ใน การศึกษา ทางคณิตศาสตร์ของปริภูมิเมตริกเราสามารถพิจารณาความยาวส่วนโค้งของเส้นทางในปริภูมิได้ หากจุดสองจุดอยู่ห่างกันในระยะทางที่กำหนด เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าเราจะสามารถเดินทางจากจุดแรกไปยังจุดที่สองได้ตามเส้นทางที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับ (หรือใกล้เคียงมาก) ระยะทางนั้น ระยะทางระหว่างจุดสองจุดในปริภูมิเมตริกเมื่อเทียบกับเมตริกภายในถูกกำหนดให้เป็นค่าต่ำสุดของความยาวของเส้นทางทั้งหมดจากจุดแรกไปยังจุดที่สอง ปริภูมิเมตริกเป็นปริภูมิเมตริกความยาวก็ต่อเมื่อเมตริกภายในสอดคล้องกับเมตริกดั้งเดิมของปริภูมิ

ถ้าปริภูมิมีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าคือมีเส้นทางที่ยาวน้อยที่สุด (เส้นทางจีโอเดสิก ) อยู่เสมอ ปริภูมินั้นจะเรียกว่าปริภูมิเมตริกจีโอเดสิกตัวอย่างเช่นระนาบยุคลิดเป็นปริภูมิจีโอเดสิก โดยมีส่วนของเส้นตรงเป็นเส้นทางจีโอเดสิก ระนาบยุคลิดที่ ตัด จุดกำเนิดออกไปแล้วจะไม่ใช่ปริภูมิจีโอเดสิก แต่ก็ยังคงเป็นปริภูมิเมตริกความยาวอยู่

ให้เป็นปริภูมิเมตริกกล่าวคือเป็นกลุ่มของจุด (เช่น จุดทั้งหมดในระนาบ หรือจุดทั้งหมดบนวงกลม) และเป็นฟังก์ชันที่ให้ระยะทางระหว่างจุดต่างๆเรากำหนดเมตริกใหม่บนซึ่งเรียกว่าเมตริกภายในที่เหนี่ยวนำดังนี้: คือค่าต่ำสุดของความยาวของเส้นทางทั้งหมดจากไปยัง ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ในที่นี้เส้นทางจากไปยัง เป็นแผนที่ต่อเนื่อง${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

โดยมีและความยาวของเส้นทางดังกล่าวถูกกำหนดดังนี้: ไปยังพาร์ติชันจำกัดแต่ละพาร์ติชัน ${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$

${\displaystyle P=\{0=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=1\}}$

ของช่วงให้พิจารณาผลรวม ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \Sigma (P)=\sum _{k=0}^{n-1}d(\gamma (x_{k}),\gamma (x_{k+1})).}$

จากนั้นเรากำหนดความยาวของให้เป็น ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \ell (\gamma )=\sup _{P\in {\mathfrak {P}}}\Sigma (P),}$

โดยที่คือเซตของพาร์ติชันจำกัดของถ้าค่าสูงสุดเป็นค่าจำกัด เราเรียกว่าเส้นโค้งที่สามารถปรับให้ตรงได้โปรดทราบว่าถ้า ไม่มีเส้นทางจากไปเนื่องจากค่าต่ำสุดของเซตว่างภายในช่วงปิด [0,+∞] คือ +∞ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

การแมปนั้นเป็นแบบไอเดมโพเทนต์ กล่าวคือ ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

ถ้า

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

สำหรับทุกจุดและในเรากล่าวว่าเป็นปริภูมิความยาวหรือปริภูมิเมตริกเส้นทางและเมตริกนั้นเป็นเมตริก ภายใน${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d}$

เรากล่าวว่าเมตริกมีจุดกึ่งกลางโดยประมาณถ้าสำหรับจุดใดๆและจุดคู่ใดๆ ใน จะมีอยู่จริงในที่ทำให้และมีค่าน้อยกว่าทั้งคู่ ${\displaystyle d}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x,c)}$${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

• ปริภูมิยูคลิด ที่มีเมตริกยูคลิดแบบปกติเป็นปริภูมิเมตริกเส้นทางก็เช่นกัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• วงกลมหน่วย ที่มีเมตริกที่สืบทอดมาจากเมตริกแบบยุคลิด( เมตริกคอร์ดัล ) ไม่ใช่ปริภูมิเมตริกเส้นทาง เมตริกภายในที่เหนี่ยวนำบนวงกลมจะวัดระยะทางเป็นมุมในหน่วยเรเดียนและปริภูมิเมตริกความยาวที่ได้เรียกว่าวงกลมรีมันน์ในสองมิติ เมตริกคอร์ดัลบนทรงกลมไม่ใช่เมตริกภายใน และเมตริกภายในที่เหนี่ยวนำจะกำหนดโดยระยะทางวงกลมใหญ่${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$
• แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันทุกอันสามารถเปลี่ยนเป็นปริภูมิเมตริกเส้นทางได้โดยการกำหนดระยะห่างระหว่างสองจุดเป็นค่าต่ำสุดของความยาวของเส้นโค้งที่อนุพันธ์ต่อเนื่องซึ่งเชื่อมต่อจุดทั้งสอง (โครงสร้างแบบรีมันน์ช่วยให้สามารถกำหนดความยาวของเส้นโค้งดังกล่าวได้) ในทำนองเดียวกัน แมนิโฟลด์อื่นๆ ที่มีการกำหนดความยาวได้แก่แมนิโฟลด์แบบฟินส์เลอร์และแมนิโฟลด์แบบซับรีมันน์
• ปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์และ นูน ใด ๆ ก็เป็นปริภูมิเมตริกความยาว ( Khamsi & Kirk 2001 , ทฤษฎีบท 2.16) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของKarl Mengerอย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ มีปริภูมิเมตริกความยาวที่ไม่นูนอยู่ด้วย

• โดยทั่วไป เรามีและโทโพโลยีที่กำหนดโดย จึง ละเอียดกว่าหรือเท่ากับโทโพโลยีที่กำหนดโดยเสมอ${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$${\displaystyle d}$
• พื้นที่ดังกล่าวเป็นพื้นที่เมตริกเส้นทางเสมอ (โดยมีข้อแม้ว่าอาจเป็นอนันต์ได้ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น)${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• เมตริกของปริภูมิความยาวมีจุดกึ่งกลางโดยประมาณ ในทางกลับกัน ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ ทุกปริภูมิที่มีจุดกึ่งกลางโดยประมาณก็เป็นปริภูมิความยาวเช่นกัน
• ทฤษฎีบท ฮอปฟ์-ริโนว์กล่าวว่า ถ้าปริภูมิความยาวสมบูรณ์และกะทัดรัดเฉพาะที่แล้ว จุดสองจุดใดๆ ในปริภูมิ ความยาวนั้น สามารถเชื่อมต่อกันได้ด้วยเส้นทางจีโอเดสิกที่สั้นที่สุด และ เซตปิดที่มีขอบเขตทั้งหมดใน ปริภูมิความยาวนั้น ก็เป็น เซต กะทัดรัดเช่นกัน${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$