ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในวงกลมหรือที่รู้จักกันในชื่อปัญหาหมุดสี่เหลี่ยมหรือสมมติฐานของ Toeplitzเป็นคำถามที่ยังแก้ไม่ตกในเรขาคณิต : เส้นโค้งปิดระนาบแบบง่ายทุก เส้น มีจุดยอดทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส บางรูปหรือไม่ ?นี่เป็นจริงหากเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งนูนหรือเส้นโค้งเรียบเป็นช่วงๆและในกรณีพิเศษอื่นๆ ปัญหานี้ถูกเสนอโดยOtto Toeplitzในปี 1911 ^{[ 1 ]}ผลลัพธ์เชิงบวกในช่วงแรกๆ ได้รับโดยArnold Emch ^{[ 2 ]}และLev Schnirelmann [ ^{3 ] กรณี}ทั่วไปยังคงเปิดอยู่^{[ 4 ]}

ให้เป็นเส้นโค้งจอร์แดนรูปหลายเหลี่ยมจะถูกจารึกอยู่ใน ก็ต่อเมื่อจุดยอดทั้งหมดของอยู่ในปัญหาของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกอยู่ภายในถามว่า: ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

เส้นโค้งจอร์แดนทุกเส้นสามารถบรรจุรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในได้หรือไม่?

ไม่จำเป็นว่าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะต้องปรากฏอยู่บนเส้นโค้งในลำดับใดลำดับหนึ่งโดยเฉพาะ

รูปทรงบางรูป เช่นวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามารถสร้าง สี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในได้เป็นจำนวนอนันต์ สำหรับ สามเหลี่ยมมุมป้านใดๆ จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในหนึ่ง รูป สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ใดๆ จะมี สี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในสองรูปและสำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลมใดๆ จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายในสาม รูป ^{[ 5 ]}

เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพยายามแก้ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในโดยการพิสูจน์ว่าเส้นโค้งที่มีพฤติกรรมดีในกลุ่มพิเศษจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ภายในเสมอ จากนั้นจึงประมาณเส้นโค้งใดๆ ด้วยลำดับของเส้นโค้งที่มีพฤติกรรมดี และอนุมานว่ายังคงมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ภายในเป็นลิมิตของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในเส้นโค้งของลำดับนั้น เหตุผลหนึ่งที่การโต้แย้งนี้ยังไม่ได้รับการดำเนินการจนเสร็จสมบูรณ์ก็คือ ลิมิตของลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอาจเป็นจุดเดียวแทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นโค้งหลายกรณีพิเศษมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ภายใน^{[ 6 ]}

Arnold Emch  ( 1916 ) แสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งวิเคราะห์แบบเป็นช่วงๆ จะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในเสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีของรูปหลายเหลี่ยม การพิสูจน์ของ Emch พิจารณาเส้นโค้งที่ลากโดยจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตัดกับเส้นโค้งที่ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด เขาแสดงให้เห็นว่า เมื่อเส้นโค้งเหล่านี้ตัดกับเส้นโค้งที่สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันสำหรับ ตระกูลเส้นตัด ตั้งฉากจะมี จำนวนจุดตัดเป็น เลขคี่ดังนั้นจึงมีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่อยู่ภายในเส้นโค้งที่กำหนด โดยการหมุนเส้นตั้งฉากสองเส้นอย่างต่อเนื่องเป็นมุมฉากและใช้ทฤษฎีบทค่ากลางเขาแสดงให้เห็นว่าอย่างน้อยหนึ่งในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเหล่านี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 6 ]}

Stromquistได้พิสูจน์แล้วว่า เส้นโค้งระนาบ โมโนโทนเฉพาะที่ ทุกเส้น ยอมรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้^{[ 7 ]}เงื่อนไขสำหรับการยอมรับที่จะเกิดขึ้นคือสำหรับจุดp ใดๆ เส้นโค้งCควรได้รับการแสดงเฉพาะที่ใน รูปของ กราฟ ของฟังก์ชัน${\displaystyle y=f(x)}$

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น สำหรับจุดใดๆบนจะมีบริเวณใกล้เคียงและทิศทางคงที่(ทิศทางของ “ แกน y”) ที่ไม่มีคอร์ด ใดๆ ของในบริเวณใกล้เคียงนี้ ขนานกับ ${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U(p)}$${\displaystyle n(p)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n(p)}$

เส้นโค้งโมโนโทนเฉพาะที่ ได้แก่ รูปหลายเหลี่ยมทุกประเภท เส้นโค้งนูนปิดทุกเส้น และเส้นโค้งแบบแบ่งช่วงทุกเส้นที่ ไม่มี จุดแหลมคม${\displaystyle C^{1}}$

เงื่อนไขที่อ่อนกว่าความโมโนโทนิกเฉพาะที่บนเส้นโค้งคือ สำหรับบางค่าเส้นโค้งจะไม่มีรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พิเศษที่จารึกอยู่ภายใน ที่มีขนาด เท่ากับ รูป สี่เหลี่ยมคางหมูพิเศษคือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากันสามด้าน แต่ละด้านยาวกว่าด้านที่สี่ จารึกอยู่ภายในเส้นโค้งโดยมีลำดับจุดยอดที่สอดคล้องกับลำดับตามเข็มนาฬิกาของเส้นโค้งเอง ขนาดของมันคือความยาวของส่วนของเส้นโค้งที่ขยายออกไปรอบ ๆ ด้านเท่ากันทั้งสามด้าน ในที่นี้ ความยาวนี้วัดในโดเมนของการกำหนดพารามิเตอร์ คงที่ ของเนื่องจากอาจไม่สามารถหาความยาวได้แทนที่จะใช้การอ้างอิงลิมิต การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีการกีดขวางสัมพัทธ์เงื่อนไขนี้เปิดและหนาแน่นในปริภูมิของเส้นโค้งจอร์แดนทั้งหมดโดยสัมพันธ์กับโทโพโลยีแบบกะทัดรัด-เปิดในแง่นี้ ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกอยู่ภายในได้รับการแก้ไขสำหรับเส้นโค้งทั่วไป^{[ 6 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

ถ้าเส้นโค้งจอร์แดนถูกจารึกไว้ในวงแหวนที่มีรัศมี ภายนอก ไม่เกินเท่าของรัศมีภายใน และถูกวาดในลักษณะที่แยกวงกลมภายในของวงแหวนออกจากวงกลมภายนอก เส้นโค้งนั้นจะบรรจุสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกไว้ ในกรณีนี้ ถ้าเส้นโค้งที่กำหนดถูกประมาณด้วยเส้นโค้งที่มีพฤติกรรมที่ดี สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ใดๆ ที่บรรจุจุดศูนย์กลางของวงแหวนและจารึกอยู่ในการประมาณ จะถูกแยกออกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่จารึกไว้ซึ่งไม่บรรจุจุดศูนย์กลางในเชิงโทโพโลยี ลิมิตของลำดับของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่จะต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่อีกครั้ง แทนที่จะเป็นจุดเสื่อมสภาพ ดังนั้นจึงสามารถใช้การอ้างเหตุผลแบบลิมิตได้^{[ 6 ]}${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

คำตอบยืนยันยังเป็นที่รู้จักสำหรับเส้นโค้งสมมาตรศูนย์กลาง แม้กระทั่งแฟรกทัลเช่นเกล็ดหิมะ Kochและเส้นโค้งที่มีสมมาตรสะท้อนข้ามเส้นตรง^{[ 8 ]}

ในปี 2017 Terence Taoได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์การมีอยู่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในเส้นโค้งที่เกิดจากการรวมกันของกราฟของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ซึ่งทั้งสองฟังก์ชันมีค่าเดียวกันที่จุดปลายของเส้นโค้ง และทั้งสองฟังก์ชันเป็นไปตาม เงื่อนไข ความต่อเนื่องแบบ Lipschitzโดยมีค่าคงที่ Lipschitz น้อยกว่าหนึ่ง Tao ยังได้กำหนดข้อสันนิษฐาน ที่เกี่ยวข้องหลาย ประการ^{[ 9 ]} ในปี 2024 Joshua Greene และ Andrew Lobb ได้ตีพิมพ์เอกสารก่อนตีพิมพ์ที่ปรับปรุงผลลัพธ์นี้สำหรับเส้นโค้งที่มีค่าคงที่ Lipschitz น้อยกว่า^{[ 10 ]}${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2565 Gregory R. Chambers แสดงให้เห็นว่า ถ้าเป็นเส้นโค้งจอร์แดนซึ่งอยู่ใกล้กับเส้นโค้งจอร์แดนในแล้วจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกอยู่ภายใน เขาแสดงให้เห็นว่า ถ้า เป็น ความโค้งที่ไม่มีเครื่องหมายสูงสุดของและมีแผนที่จากภาพของไปยังภาพของโดยที่และมีจำนวนรอบแล้วจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จารึกอยู่ภายในที่มีความยาวด้านเป็นบวก^{[ 11 ]}${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \|f(x)-x\|<1/10\kappa }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \gamma }$

อาจมีคนถามว่ารูปทรงอื่นๆ สามารถจารึกลงในเส้นโค้งจอร์แดนที่กำหนดได้หรือไม่ เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับสามเหลี่ยมและเส้นโค้งจอร์แดน ใดๆ จะมีสามเหลี่ยมที่คล้ายกับและจารึกอยู่ใน[ ^{12 ] [ 13 ] ยิ่ง}ไปกว่านั้น เซตของจุดยอดของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีความหนาแน่นใน[ ^{14 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง จะ มี สามเหลี่ยมด้านเท่าที่จารึกอยู่เสมอ${\displaystyle T}$${\displaystyle C}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นโค้งจอร์แดนใดๆ ก็ตามสามารถมีสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่จารึกอยู่ ภายในได้ สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Vaughan โดยการลดปัญหาลงเหลือเพียงปัญหาการไม่สามารถฝังระนาบเชิงโปรเจกทีฟใน; การพิสูจน์ของเขาจากราวปี 1977 ได้รับการตีพิมพ์ใน Meyerson ^{[ 15 ]} ในปี 2020 Morales และ Villanueva ได้กำหนดลักษณะของระนาบต่อเนื่อง ที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น ซึ่งยอมรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จารึกอยู่ภายในอย่างน้อยหนึ่งรูป^{[ 16 ]}ในปี 2020 Joshua Evan Greene และ Andrew Lobb ได้พิสูจน์ว่าสำหรับเส้นโค้งจอร์แดนเรียบและสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทุกรูป ในระนาบยุคลิด จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่คล้ายกับซึ่งมีจุดยอดอยู่บน[ ^{4 ] [ 17 ] [ 18 ] สิ่ง}นี้เป็นการขยายความทั้งการมีอยู่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ที่มีรูปร่างใดๆ ก็ได้) และการมีอยู่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนเส้นโค้งเรียบ ซึ่งเป็นที่ทราบกันมาตั้งแต่ผลงานของŠnirel'man (1944 ) ^{[ 3 ]}ในปี 2021 Greene และ Lobb ได้ขยายผลลัพธ์ในปี 2020 ของพวกเขาและพิสูจน์ว่าเส้นโค้ง Jordan ที่เรียบทุกเส้นสามารถจารึกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบวงกลม ทุกรูปได้ (โดยมีความคล้ายคลึงกันในการรักษาทิศทาง) ^{[ 19 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$

การวางนัยทั่วไปบางประการของปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในพิจารณารูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ภายในเส้นโค้งและต่อเนื่องทั่วไปมากขึ้นในปริภูมิยุคลิด มิติสูง ตัวอย่างเช่น Stromquist พิสูจน์ว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องทุกเส้นที่สอดคล้องกับ "เงื่อนไข A" ซึ่งก็คือไม่มีคอร์ดสองคอร์ดใดในบริเวณใกล้เคียงที่เหมาะสมของจุดใด ๆ ตั้งฉากกัน จะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ภายในซึ่งมีด้านเท่ากันและเส้นทแยงมุมเท่ากัน^{[ 7 ]}เส้นโค้งประเภทนี้รวมถึงเส้นโค้งทั้งหมด Nielsen และ Wright พิสูจน์ว่าต่อเนื่องสมมาตรใด ๆในประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ภายในจำนวนมาก^{[ 8 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991), "Inscribed squares", Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory , The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 11, Cambridge University Press, pp.  58– 65, 137– 144, ISBN 978-0-88385-315-3

• มาร์ค เจ. นีลเซน, รูปทรงที่จารึกอยู่ในเส้นโค้ง: การสำรวจปัญหาเก่าแก่โดยสังเขป
• ช่องสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้: เดนเน่พูดคุยในบล็อกของจอร์แดน เอลเลนเบิร์ก
• Grant Sanderson, ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขนี้สอนให้ฉันเข้าใจว่าโทโพโลยีคืออะไร , 3Blue1Brown , YouTube – วิดีโอที่แสดงวิธีแก้ปัญหาในเวอร์ชันที่ง่ายขึ้นโดยใช้โทโพโลยี