ทรงสิบสองเหลี่ยมทั่วไป

ฉันh , คำสั่งซื้อที่ 120
ปกติ	ดาวดวงเล็ก	ยอดเยี่ยม	ดาวขนาดใหญ่
T h , คำสั่งซื้อที่ 24	ที, ลำดับที่ 12	โอ้ ลำดับ ที่ 48	จอห์นสัน (J 84 )
ไพริโทเฮดรอน	เตตาทรอยด์	สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	สามเหลี่ยม
D 4h , คำสั่งซื้อที่ 16		D 3 ชม.ลำดับที่ 12
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหกเหลี่ยม	สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	สี่เหลี่ยมคางหมู-สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน	รูปสามเหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในทางเรขาคณิตทรงสิบสองหน้า^{[ a ]}หรือทรงสิบสองหน้า^{[ 2 ]}คือทรงหลายเหลี่ยม ใดๆ ที่มี หน้า เรียบสิบสอง หน้า ทรงสิบสอง หน้าที่คุ้นเคยมากที่สุดคือทรงสิบสองหน้าปกติที่มีรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นหน้า ซึ่งเป็นทรงตันเพลโตนอกจากนี้ยังมีทรงสิบสองหน้าดาวปกติ อีกสามแบบ ซึ่งสร้างขึ้นจากการสร้างดาวของรูปทรงนูน ทรงสิบสองหน้าดาวเหล่านี้ทั้งหมดมีสมมาตรทรงยี่สิบหน้า อันดับ 120

ทรงสิบสองเหลี่ยมบางทรงมีโครงสร้างเชิงการจัดเรียงเหมือนกับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ (ในแง่ของกราฟที่เกิดจากจุดยอดและขอบ) แต่หน้าห้าเหลี่ยมของมันไม่ปกติ: ทรงไพริโทเฮดรอน ซึ่ง เป็นรูปแบบผลึกทั่วไปในแร่ไพไรต์มีสมมาตรแบบไพริโทเฮดรอนในขณะที่ทรงเตตระทอยด์มีสมมาตรแบบเตตระเฮดรอน

ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีจำกัดของทรงพีระมิด และมีสมมาตรแบบทรงแปดเหลี่ยมทรงสิบสองเหลี่ยมแบบยาวและทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รวมถึงทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้น สามารถเติมเต็มพื้นที่ ได้ นอกจาก นี้ยังมีทรงสิบสองเหลี่ยมอื่นๆ อีก มากมาย

แม้ว่าทรงสิบสองเหลี่ยมปกติจะมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอื่นๆ แต่คุณสมบัติเฉพาะอย่างหนึ่งคือสามารถเริ่มต้นที่มุมหนึ่งของพื้นผิวและลากเส้นตรงจำนวนอนันต์ผ่านรูปทรงนั้นโดยกลับไปยังจุดเริ่มต้นโดยไม่ต้องข้ามมุมอื่นใด^{[ 3 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ โดยมีสามหน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด มี 12 หน้า 30 ขอบ และ 20 จุดยอด^{[ 4 ]}เป็นหนึ่งในห้าทรงตันเพลโต ปกติ ซึ่งตั้งชื่อตามเพลโตผู้บรรยายทรงตันเหล่านี้และถือว่าทรงตันอีกสี่ทรงเป็นสัญลักษณ์ของธาตุคลาสสิกเขากำหนดให้ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นตัวแทนของจักรวาล^{[ 5 ]} ทรงสิบสองเหลี่ยม ปกติเป็นทรงคู่ของมัน^{[ 6 ]}

จากซ้ายไปขวา: ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ, ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวเล็ก, ทรงสิบสองเหลี่ยมใหญ่, ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวใหญ่

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติมีดาว สามดวง ซึ่งทั้งหมดเป็นทรงสิบสองเหลี่ยมดาวปกติ พวกมันประกอบเป็นทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์ สามในสี่รูป ได้แก่ทรงสิบสอง เหลี่ยมดาวเล็ก ทรง สิบสองเหลี่ยมใหญ่และทรงสิบสองเหลี่ยมดาวใหญ่^{[ 7 ]}ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวเล็กและทรงสิบสองเหลี่ยมใหญ่เป็นคู่กัน ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวใหญ่เป็นคู่กับทรงยี่สิบ เหลี่ยมใหญ่ ทรงสิบสองเหลี่ยม ดาวปกติเหล่านี้ทั้งหมดมีหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมหรือรูปห้าเหลี่ยม ปกติ ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติแบบนูนและทรงสิบสองเหลี่ยมดาวใหญ่เป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนามธรรม เดียวกัน ทรงสิบสองเหลี่ยม ดาวเล็กและทรงสิบสองเหลี่ยมใหญ่เป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของทรงหลายเหลี่ยมปกติแบบนามธรรมอีกรูปหนึ่ง

แม้ว่ารูปทรงดาวทั้งสามแบบจะตรงตามข้อกำหนดด้านความสม่ำเสมอและมีสิบสองหน้า ดังนั้นรูปทรงใดๆ ก็ตามจึงอาจเรียกได้ว่าเป็น "ทรงสิบสองหน้าปกติ" แต่คำเฉพาะนี้สงวนไว้สำหรับรูปทรงแรกที่เป็นรูปทรงนูนเท่านั้น รูปทรงที่ห้าที่อาจจัดอยู่ในประเภททรงสิบสองหน้าปกติได้ นั่นคือ ทรง สิบสองเหลี่ยมโฮโซเฮดรอนก็ไม่ได้ถูกเรียกเช่นนั้นเช่นกัน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะมันมีอยู่เฉพาะในรูปของทรงหลายเหลี่ยมทรงกลมและเป็นรูปทรงที่เสื่อมสภาพในปริภูมิยูคลิด

ในทางผลึกศาสตร์รูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่สำคัญสองแบบสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปผลึกในบางชั้นสมมาตรของระบบผลึกทรงลูกบาศก์ซึ่งมีความสมมูลทางโทโพโลยีกับรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติ แต่มีความสมมาตรน้อยกว่า ได้แก่ รูปทรงไพริโทเฮดรอนที่มีสมมาตรแบบไพริโทเฮดรอนและ รูปทรงเททา ร์ทอยด์ที่มีสมมาตรแบบเททราเฮดรอน

ไพริโทเฮดรอน (หรือโดเดคาเฮดรอนห้าเหลี่ยม) คือโดเดคาเฮดรอนที่มีสมมาตรไพริโทเฮดรอน T _hเช่นเดียวกับโดเดคาเฮดรอนปกติมันมี หน้า ห้าเหลี่ยมที่ เหมือนกัน สิบสองหน้า โดยมีสามหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอด 20 จุด อย่างไรก็ตาม รูปห้าเหลี่ยมไม่ได้ถูกจำกัดให้เป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ และการจัดเรียงอะตอมพื้นฐานไม่มีแกนสมมาตรห้าเท่าที่แท้จริง ขอบ 30 ขอบของมันถูกแบ่งออกเป็นสองชุด โดยมี 24 และ 6 ขอบที่มีความยาวเท่ากัน แกนสมมาตรการหมุน เพียงอย่างเดียว คือแกนสองเท่าที่ตั้งฉากกันสามแกนและแกนสามเท่าสี่แกน^{[ 8 ]}

แม้ว่าทรงสิบสองเหลี่ยมปกติจะไม่มีอยู่ในผลึก แต่รูปทรงไพริโทเฮดรอนก็พบได้ในผลึกของแร่ไพไรต์^{[ 8 ]}และอาจเป็นแรงบันดาลใจในการค้นพบรูปทรงทรงตันเพลโต ปกติ ^{[ 9 ]}ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้เป็นรูปทรงของผลึกกึ่งควอนตัม (เช่นผลึกกึ่งควอนตัมโฮลเมียม-แมกนีเซียม-สังกะสี ) ที่มีสมมาตรทรงยี่สิบเหลี่ยมซึ่งรวมถึงแกนหมุนห้าเท่าที่แท้จริง^{[ 10 ]}

ชื่อคริสตัลไพไรต์ มาจาก ลักษณะผลึกทั่วไป 2 แบบของไพไรต์ (อีกแบบคือทรงลูกบาศก์ ) ในไพไรต์แบบไพริโทเฮดรัล หน้าผลึกจะมีดัชนีมิลเลอร์เท่ากับ (210) ซึ่งหมายความว่ามุมไดเฮดรัลคือ 2·arctan(2) ≈ 126.87° และหน้าผลึกรูปห้าเหลี่ยมแต่ละหน้าจะมีมุมหนึ่งประมาณ 121.6° อยู่ระหว่างสองมุมประมาณ 106.6° และตรงข้ามกับสองมุมประมาณ 102.6° สูตรต่อไปนี้แสดงการวัดสำหรับหน้าผลึกที่สมบูรณ์แบบ (ซึ่งพบได้ยากในธรรมชาติ)

${\displaystyle {\text{ความสูง}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{ด้านยาว}}}$

${\displaystyle {\text{ความกว้าง}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{ด้านยาว}}}$

$ด้านสั้น = √7/12 ⋅ ด้านยาว$

แร่ไพไรต์ธรรมชาติ (โดยมีมุมหน้าตัดอยู่ทางด้านขวา)

จุดยอดทั้งแปดของลูกบาศก์มีพิกัดเป็น (±1, ±1, ±1)

พิกัดของจุดยอดเพิ่มเติมทั้ง 12 จุดมีดังนี้

• ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h ² ) ) ,
• ( ±(1 + h ), ±(1 − h ² ), 0 )และ
• ( ±(1 − h ² ), 0, ±(1 + h ) ) .

hคือความสูงของ "หลังคา" รูปทรง ลิ่มที่อยู่เหนือหน้าของลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านเท่ากับ 2

กรณีสำคัญคือh = ⁠1/2(หนึ่งในสี่ของความยาวด้านของลูกบาศก์) สำหรับไพไรต์ธรรมชาติที่สมบูรณ์แบบ (รวมถึงไพริโทเฮดรอนในโครงสร้าง Weaire–Phelan ด้วย )

อีกตัวอย่างหนึ่งคือh = ⁠1/φ= 0.618... สำหรับทรงสิบสองเหลี่ยมปกติดูส่วน"อิสรภาพทางเรขาคณิต"สำหรับกรณีอื่นๆ

ไพริโทเฮดราสองอันที่มีพิกัดไม่เป็นศูนย์สลับกัน จะอยู่ในตำแหน่งคู่ตรงข้ามกัน เหมือนกับโดเดคาเฮดราในสารประกอบของโดเดคาเฮดราสองอัน

ภาพฉายออร์โธกราฟิกของทรงพีระมิดพีริโทเฮดรอนที่มีh = 1/2

ความสูง 1/2 และ 1/ φ

รูปทรงของทรงสิบสองเหลี่ยมสามารถอธิบายได้ว่าเป็นจุดตัดของครึ่งพื้นที่สิบสองส่วน

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \|(x,y,z)\|_{D}\leq 1\}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \|(x,y,z)\|_{D}=\max {\Big \{}|\alpha x+\beta z|,\ |\alpha x-\beta z|,\ |\alpha y+\beta x|,\ |\alpha y-\beta x|,\ |\alpha z+\beta y|,\ |\alpha z-\beta y|{\Big \}}}$

และ

${\displaystyle \alpha ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \beta ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {1}{\varphi }}.}$

แอนิเมชัน
โครงสร้างคล้ายรังผึ้งที่ประกอบด้วยไพริโทเฮดราแบบนูนและเว้าสลับกัน โดยมีความสูงระหว่าง ± ⁠1/φ⁠	ความสูงระหว่าง 0 (ลูกบาศก์) และ 1 (ทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูน)

ทรงพีระมิดพีริโทเฮดรอนมีระดับความเป็นอิสระทางเรขาคณิต โดยมีกรณีจำกัดคือทรงนูนลูกบาศก์ที่ขอบเขตหนึ่งของขอบที่เรียงตัวเป็นเส้นตรง และทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นขอบเขตอีกด้านหนึ่งเมื่อขอบ 6 ด้านลดความยาวลงเหลือศูนย์ ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติแสดงถึงกรณีพิเศษระดับกลางที่ขอบและมุมทั้งหมดเท่ากัน

เป็นไปได้ที่จะก้าวข้ามข้อจำกัดเหล่านี้ไป โดยสร้างรูปทรงพีระมิดหกเหลี่ยมแบบเว้าหรือแบบไม่นูน รูปทรงเอนโดโดคาเฮดรอนเป็นรูปทรงเว้าและด้านเท่า สามารถปูพื้นผิวพื้นที่ด้วยรูปทรงโดเดคาเฮดรอนปกติแบบนูนได้ จากนั้นในทิศทางเดียวกัน เราจะผ่านกรณีที่เสื่อมสภาพซึ่งจุดยอดทั้งสิบสองจุดมาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลาง และไปยังรูปทรงโดเดคาเฮดรอนดาวขนาดใหญ่ ปกติ ซึ่งขอบและมุมทั้งหมดเท่ากันอีกครั้ง และหน้าต่างๆ ถูกบิดเบี้ยวเป็นรูปห้าเหลี่ยม ปกติ ในอีกด้านหนึ่ง เมื่อผ่านรูปทรงโดเดคาเฮดรอนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เราจะได้รูปทรงโดเดคาเฮดรอนด้านเท่าที่ไม่นูน ซึ่งมีหน้ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าที่ตัดกันเองคล้ายรูปปลา

กรณีพิเศษของไพริโทเฮดรอน
ค่าสัมบูรณ์ที่เท่ากันและเครื่องหมายตรงข้ามกันจะรวมกันเป็นโครงสร้างคล้ายรังผึ้ง (ลองเปรียบเทียบกับภาพเคลื่อนไหวนี้ ) อัตราส่วนที่แสดงคืออัตราส่วนของความยาวขอบ กล่าวคือ ขอบในชุด 24 (ที่สัมผัสกับจุดยอดของลูกบาศก์) ต่อขอบในชุด 6 (ที่สอดคล้องกับหน้าของลูกบาศก์)
อัตราส่วน	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
ชม.	− ⁠√ 5 + 1/2⁠	−1	⁠− √ 5 + 1/2⁠	0	⁠√ 5 − 1/2⁠	1	⁠√ 5 + 1/2⁠
	−1.618...		−0.618...		0.618...		1.618...
ภาพ	ดาวปกติทรงสิบสองเหลี่ยมดาวขนาดใหญ่มีหน้า เป็นรูป ดาวห้าแฉก ปกติ	เสื่อมสภาพ มีจุดยอด 12 จุดตรงกลาง	ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าเว้า เรียกว่าเอนโดโดเดคาเฮดรอน	ลูกบาศก์ สามารถแบ่งออกเป็นรูปทรงพีระมิดฐานสาม ได้โดยการแบ่งครึ่งขอบและหน้าทั้งหมดในทิศทางสลับกัน	ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นกรณีกลางที่มีความยาวด้านเท่ากัน	ทรง สิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นกรณีเสื่อมสภาพที่ขอบขวางทั้ง 6 ด้านมีความยาวเป็นศูนย์	ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าที่ตัดกันเอง

รูปทรงเททาร์ทอยด์ (หรือเรียกอีกอย่างว่ารูปทรงสิบสองเหลี่ยมห้าเหลี่ยมสี่เหลี่ยมจัตุรัส , รูปทรงห้าเหลี่ยมสามด้าน และ รูปทรงสิบสอง เหลี่ยมห้าเหลี่ยมสี่เหลี่ยมจัตุรัส ) คือรูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีสมมาตรแบบไครัลเตตระเฮ ดรัล (T) เช่นเดียวกับรูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติมันมี หน้า ห้าเหลี่ยมที่ เหมือนกันสิบสอง หน้า โดยมีสามหน้ามาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุดจากทั้งหมด 20 จุด อย่างไรก็ตาม รูปห้าเหลี่ยมเหล่านั้นไม่ใช่รูปห้าเหลี่ยมปกติ และรูปทรงนี้ไม่มีแกนสมมาตรห้าเท่า

แม้ว่ารูปทรงสิบสองเหลี่ยมปกติจะไม่มีอยู่ในผลึก แต่รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่ามีอยู่ ชื่อสี่เหลี่ยมด้านเท่ามาจากรากศัพท์ภาษากรีกที่แปลว่าหนึ่งในสี่ เนื่องจากมีสมมาตรแปดเหลี่ยมเต็มหนึ่งในสี่ และสมมาตรไพริโทเฮดรัลครึ่งหนึ่ง^{[ 11 ]}แร่โคบอลไทต์สามารถมีรูปแบบสมมาตรนี้ได้^{[ 12 ]}

สามารถสร้าง รูปทรงนามธรรมที่มี โครงสร้าง และสมมาตรเหมือนกับลูกบาศก์และทรงสี่หน้าได้ ในลูกบาศก์แต่ละหน้าจะถูกแบ่งครึ่งด้วยขอบเอียง ในทรงสี่หน้าแต่ละขอบจะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วน และจุดยอดใหม่แต่ละจุดจะเชื่อมต่อกับจุดศูนย์กลางของหน้า (ในสัญลักษณ์ทรงหลายเหลี่ยมของคอนเวย์ รูปทรงนี้เรียกว่าทรงสี่หน้าไจโร)

การฉายภาพแบบออร์โธกราฟิกจากแกนสมมาตร 2 เท่าและ 3 เท่า

รูปทรงลูกบาศก์และทรงสี่หน้า

ความสัมพันธ์กับทรงสิบสองเหลี่ยมไดอาคิส

สามารถสร้างทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าได้โดยการขยายหน้า 12 หน้าจากทั้งหมด 24 หน้าของทรงสิบสองเหลี่ยมไดอาคิส (ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่แสดงในภาพนี้มีพื้นฐานมาจากทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้นโดยการขยายหน้า 24 หน้าจากทั้งหมด 48 หน้าของทรงสิบสองเหลี่ยมดิสไดอาคิส ) เททาร์ทอยด์ไค รัลที่สร้างขึ้นจากทรงสิบสองเหลี่ยมไดอาคิสตรงกลาง แบบจำลองผลึกทางด้านขวาแสดงให้เห็นเททาร์ทอยด์ที่สร้างขึ้นโดยการขยายหน้าสีน้ำเงินของแกนโดเดคาเฮดรัลไดอาคิส ดังนั้น ขอบระหว่างหน้าสีน้ำเงินจึงถูกปกคลุมด้วยขอบโครงกระดูกสีแดง

จุดต่อไปนี้เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมเททาร์ทอยด์ภายใต้สมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า :

( a , b , c ); ( −a , −b , c ); ( −⁠n/ง₁⁠ , − ⁠n/ง₁, ⁠​n/ง₁) ; (− c , − a , b ); (− ⁠n/d ₂, ⁠​n/d ₂, ⁠​n/d ₂) ,

ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}

0 ≤ a ≤ b ≤ c ,

n = a ² c − bc ² ,

d ₁ = a ² − ab + b ² + ac − 2 bc ,

d ₂ = a ² + ab + b ² − ac − 2 bc ,

nd ₁ d ₂ ≠ 0 .

ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าที่มีสมมาตรมากกว่าที่กำหนดไว้ ทรง สี่เหลี่ยมด้านเท่า ไตรอาคิสเป็นกรณีเสื่อมสภาพที่มีขอบยาวเป็นศูนย์ 12 ขอบ (ในแง่ของสีที่ใช้ข้างต้น หมายความว่า จุดยอดสีขาวและขอบสีเขียวถูกดูดกลืนโดยจุดยอดสีเขียว)

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแบบต่างๆ ตั้งแต่ทรงสิบสองเหลี่ยมปกติไปจนถึงทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าไตรอาคิส

ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นทรงตันคาตาลันที่มีหน้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสิบสองหน้าและสมมาตรแบบทรงแปดเหลี่ยม มันเป็นคู่ของทรงลูกบาศก์ แปดเหลี่ยม ซึ่ง เป็น ทรงตันอาร์คิมีเดียน [ ^{14 ]}และเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปผลึก ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเรียงตัวกันเพื่อเติมเต็มพื้นที่ด้วยหน้าสมมาตรแบบศูนย์กลาง เรียกว่า^โซโนเฮดรอน^{[ 15 ]}

ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถมองได้ว่าเป็นทรงสามหน้าแบบเสื่อมสภาพโดยที่ขอบพิเศษทั้ง 6 ด้านถูกลดความยาวลงเหลือศูนย์ ทำให้รูปห้าเหลี่ยมกลายเป็นหน้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ทรงสิบสองเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีโครงสร้างรูปดาว หลายแบบ โดยแบบแรกเป็นโครงสร้างเติมเต็มช่องว่างแบบทรงขนานด้วย

รูปทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนที่สำคัญอีกรูปหนึ่งคือรูปทรงสิบสองเหลี่ยมบิลินสกิมีสิบสองหน้าที่สมมาตรกับรูปทรงสามหน้าขนม เปียกปูน กล่าว คือ เส้นทแยงมุมมีอัตราส่วนตามอัตราส่วนทองคำ รูปทรงนี้ ยังเป็นโซโนเฮดรอนและได้รับการอธิบายโดยบิลินสกิในปี 1960 ^{[ 16 ]}รูปทรงนี้เป็นรูปทรงเติมเต็มพื้นที่อีกรูปหนึ่ง และสามารถเกิดขึ้นได้ในพื้นที่เติม เต็มที่ไม่เป็นคาบ พร้อมกับรูปทรงสามหน้าขนมเปียกปูน รูปทรงยี่สิบหน้าขนมเปียกปูน และรูปทรงหกหน้าขนมเปียกปูน^{[ 17 ]}

มี ทรง สิบสองเหลี่ยม นูนที่แตกต่างกันทางโทโพโลยี 6,384,634 รูป ไม่รวมภาพสะท้อน—จำนวนจุดยอดอยู่ระหว่าง 8 ถึง 20 ^{[ 18 ]}ทรงหลายเหลี่ยมสองรูปจะแตกต่างกันทางโทโพโลยีหากมีการจัดเรียงหน้าและจุดยอดที่แตกต่างกันโดยเนื้อแท้ ซึ่งทำให้ไม่สามารถบิดเบือนรูปหนึ่งไปเป็นอีกรูปหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนความยาวของขอบหรือมุมระหว่างขอบหรือหน้า

ในทางทอพอโลยี รูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีลักษณะเด่นแตกต่างกัน (ไม่รวมรูปทรงห้าเหลี่ยมและรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) ได้แก่:

• 
  ปริซึมสิบเหลี่ยมคือปริซึมที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสสิบรูปและฐานสิบเหลี่ยมสองฐาน กลุ่มสมมาตรของมันคือ สมมาตร D _10hลำดับที่ 40 ^{[ 19 ]}
• 
  ปริซึมแอนติรูปห้าเหลี่ยม : ปริซึมแอนติที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสิบรูปและฐานรูปห้าเหลี่ยมสองฐาน มี สมมาตร D _5dอันดับ 20 ^{[ 19 ]}
• 
  โดมห้าเหลี่ยม : ทรงตันจอห์นสันที่มีสามเหลี่ยมห้ารูป สี่เหลี่ยมห้ารูป ห้าเหลี่ยมหนึ่งรูป และสิบเหลี่ยมหนึ่งรูป มี สมมาตร C _5vอันดับ 10 ^{[ 20 ] [ 19 ]}
• 
  ดิสฟีนอยด์แบบสั้น : ทั้งของแข็งจอห์นสันและเดลตาเฮดรอนประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสิบสองรูป เป็นD _2dอันดับ 8 มีสมมาตรเช่นเดียวกับดิสฟีนอยด์แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส [ ^{19 ] [ 21 ] คู่}กันของมันคือไจโรไบฟาสติเจียมแบบยาวซึ่งเป็น ทรง แปดเหลี่ยม
• 
  พีระมิดคู่สี่เหลี่ยมด้านยาว ซึ่งเป็นทรงตันของจอห์นสัน ได้มาจากการเพิ่มหน้าตรงข้ามสองด้านของลูกบาศก์ด้วยพีระมิดสี่เหลี่ยมด้านเท่า รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีสามเหลี่ยมแปดรูปและสี่เหลี่ยมสี่รูป มี สมมาตร D _4hอันดับ 16 ^{[ 20 ] [ 19 ]}
• 
  ไอโคซาเฮดรอนแบบเมตาบิดิมินิช : ของแข็งจอห์นสันที่ได้จากการลบพีระมิดห้าเหลี่ยม สองอันออก จากไอโคซาเฮดรอนปกติส่งผลให้ได้สามเหลี่ยมสิบรูปและห้าเหลี่ยมสองรูป มี สมมาตร C _2vอันดับ 4 ^{[ 20 ] [ 19 ]}
• 
  พีระมิดคู่หกเหลี่ยม : พีระมิดคู่ ที่มี สามเหลี่ยมหน้าจั่วสิบสองรูปได้มาจากการนำพีระมิดหกเหลี่ยม สองอัน มาต่อกันที่ฐาน^{[ 22 ]}ถ้าพีระมิดที่ต่อกันทั้งสองมีฐานปกติและจุดยอดตั้งฉากกับจุดศูนย์กลางของฐาน พีระมิดคู่จะมี สมมาตร D _6hอันดับ 24 ^{[ 23 ]}เช่นเดียวกับพีระมิดคู่อื่นๆ พีระมิดคู่หกเหลี่ยมเป็นรูปทรงที่หน้าเปลี่ยนรูปได้และเป็นคู่ของปริซึมหกเหลี่ยม^{[ 24 ] [ 25 ]}
• 
  ทรงสี่เหลี่ยมคางหมูหกเหลี่ยม : ทรงสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีรูปว่า วสิบสองรูป เป็นทรงสมมาตรแบบหน้าสมมาตร เป็นทรงสมมาตรคู่ของทรงปริซึมหกเหลี่ยมและมี สมมาตร D _6dอันดับ 24
• 
  ทรงสี่หน้าไตรอาคิส : ทรงตันคาตาลันและคลีโทปของทรงสี่หน้าปกติได้มาจากการติดพีระมิดสามเหลี่ยมสี่อันลงบนแต่ละหน้าของทรงสี่หน้าปกติ ทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วสิบสองรูป^{[ 14 ] [ 26 ]}มีคุณสมบัติการถ่ายทอดหน้าและคุณสมบัติของรูเพิร์ต [ ^{27 ] [ 28 ] เป็น}ทรงคู่ของทรงสี่หน้าที่ถูกตัดทอนมีสมมาตรเดียวกันกับ สมมาตร T _dอันดับ 24 ^{[ 14 ]}
• 
  พีระมิดสิบเอ็ดเหลี่ยม: พีระมิดที่มีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสิบสองรูปและ รูป สิบเอ็ดเหลี่ยม ปกติหนึ่ง หน้า มี สมมาตร C _11vลำดับที่ 11 ^{[ 29 ]}
• 
  ทรงสิบสองเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู-รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน : ทรงหลายเหลี่ยมที่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหกรูปและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหกรูป เป็นทรงคู่ของทรงสามเหลี่ยมออร์โธบิคูโพลาทั้งสองมี สมมาตร D _3hอันดับ 12 เป็นที่รู้จักในเรื่องการปูพื้นผิวโดยการเลื่อนสำเนาของตัวเอง^{[ 30 ]}
• 
  ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (หรือที่รู้จักกันในชื่อ "ทรงสิบสองเหลี่ยมด้านเท่าแบบยาว"): ทรงหลายเหลี่ยมที่มีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแปดรูปและรูปหกเหลี่ยม ด้านเท่าสี่รูป มี สมมาตร D _4hอันดับ 16 เป็นหนึ่งในห้าทรงหลายเหลี่ยมหรือทรงขนานของเฟเดอรอฟที่สร้างขึ้นเพื่อสร้างรังผึ้ง^{[ 31 ]}

Armand Spitzใช้ทรงสิบสองเหลี่ยมเป็น "ทรงกลม" เทียบเท่าสำหรับเครื่องฉายท้องฟ้าจำลอง Digital Dome ของเขา^{[ 32 ]}โดยอิง^{ตามคำ}แนะนำจากAlbert Einstein

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทรงหลายเหลี่ยม 12ด้าน

• ทรงตันที่สี่ของเพลโตและ "ไพริโทเฮดรอน"โดยพอล สตีเฟนสัน, 1993, The Mathematical Gazette, Vol. 77, No. 479 (กรกฎาคม 1993), หน้า 220–226 [1]
• โมเดล VRML และแอนิเมชั่นของ Pyritohedronและกลุ่มดาว ต่างๆ
• คลิทซิง, ริชาร์ด. "3D convex uniform polyhedra o3o5x – doe" .
• แบบร่างโครงสร้างทรงสิบสองเหลี่ยมที่แก้ไขและพิมพ์ได้ พร้อมมุมมอง 3 มิติแบบโต้ตอบ
• ทรงหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอ
• ทรงหลายเหลี่ยมโอริกามิ – แบบจำลองที่สร้างด้วยโอริกามิแบบโมดูลาร์
• โพลีเฮดราในโลกเสมือนจริงสารานุกรมโพลีเฮดรา
• KJM MacLean, การวิเคราะห์ทางเรขาคณิตของทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้าและทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติอื่นๆ
• การแสดงภาพสามมิติของทรงสิบสองเหลี่ยม
• Stella: Polyhedron Navigator : ซอฟต์แวร์ที่ใช้สร้างภาพบางส่วนในหน้านี้
• วิธีทำทรงสิบสองเหลี่ยมจากลูกบาศก์โฟม