ในวิชาผลึกศาสตร์กลุ่มจุดผลึกศาสตร์คือกลุ่มจุดสามมิติที่ มี การดำเนินการสมมาตรที่เข้ากันได้กับสมมาตรการเลื่อน ของ แลตทิซผลึกศาสตร์สามมิติตามข้อจำกัดของผลึกศาสตร์ กลุ่มจุดผลึกศาสตร์อาจมีการหมุนหรือการผกผันแบบหนึ่ง สอง สาม สี่ และหกเท่าเท่านั้น (โปรดทราบว่าศูนย์กลางการผกผันและระนาบกระจกรวมอยู่ด้วยในฐานะการดำเนินการที่เทียบเท่ากับการผกผันแบบหนึ่งเท่าและสองเท่า) ซึ่งลดจำนวนกลุ่มจุดผลึกศาสตร์เหลือ 32 กลุ่ม (จากกลุ่มจุดทั่วไปจำนวนอนันต์) กลุ่มทั้ง 32 กลุ่มนี้เหมือนกับสมมาตรผลึกทางสัณฐานวิทยา (ภายนอก) 32 ประเภทที่โยฮันน์ ฟรีดริช คริสเตียน เฮสเซล ได้มา จากการพิจารณารูปแบบผลึกที่สังเกตได้ในปี ค.ศ. 1830 ในปี ค.ศ. 1867 แอ็กเซล กาโดลินซึ่งไม่ทราบถึงงานก่อนหน้าของเฮสเซล ได้ค้นพบกลุ่มจุดผลึกศาสตร์โดยอิสระโดยใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกเพื่อแสดงองค์ประกอบสมมาตรของกลุ่มทั้ง 32 กลุ่ม^{[ 1 ] : 379}

ในการจำแนกประเภทของผลึก แต่ละกลุ่มปริภูมิจะเชื่อมโยงกับกลุ่มจุดผลึกโดยการ "ละทิ้ง" ส่วนประกอบการเลื่อนของการดำเนินการสมมาตร กล่าวคือ โดยการเปลี่ยนการหมุนแบบเกลียวเป็นการหมุน การสะท้อนแบบเลื่อนเป็นการสะท้อน และการย้ายองค์ประกอบสมมาตรทั้งหมดไปยังจุดกำเนิด แต่ละกลุ่มจุดผลึกจะกำหนดชั้นผลึก (ทางเรขาคณิต)ของผลึกนั้น

กลุ่มจุดของผลึกเป็นตัวกำหนดการเปลี่ยนแปลงตามทิศทางของสมบัติทางกายภาพที่เกิดขึ้นจากโครงสร้างของมัน รวมถึงสมบัติทางแสงเช่นการหักเหของแสงแบบคู่หรือคุณสมบัติทางไฟฟ้าเชิงแสง เช่นปรากฏการณ์พ็อกเคลส์

กลุ่มจุดจะถูกตั้งชื่อตามสมมาตรที่เป็นส่วนประกอบ มีสัญลักษณ์มาตรฐานหลายแบบที่นักผลึกศาสตร์นักแร่วิทยาและนักฟิสิกส์ใช้

สำหรับความสัมพันธ์ระหว่างระบบทั้งสองด้านล่าง โปรดดูที่ระบบ ผลึก

ใน ระบบสัญลักษณ์ ของ Schoenfliesกลุ่มจุดจะถูกแทนด้วยตัวอักษรที่มีตัวห้อย สัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาผลึกศาสตร์มีความหมายดังต่อไปนี้:

• C _n (สำหรับcyclic ) บ่งชี้ว่ากลุ่มนั้นมีแกนหมุนn เท่า C _nhคือC _nที่เพิ่มระนาบสะท้อน (mirror) ที่ตั้งฉากกับแกนหมุนC _nvคือC _nที่เพิ่มระนาบสะท้อน n ระนาบที่ขนานกับแกนหมุน
• S _2n (ย่อมาจากSpiegelซึ่งเป็นภาษาเยอรมันแปลว่ากระจก ) หมายถึงกลุ่มที่มีแกนการหมุนและการสะท้อน เพียง แกน เดียว ที่มีมุม2n เท่า
• D _n (ย่อมาจากdihedralหรือสองด้าน) บ่งชี้ว่ากลุ่มนั้นมีแกนหมุนn เท่า บวกกับ แกนสองเท่า อีก n แกนที่ตั้งฉากกับแกนนั้น นอกจากนี้ D _nhยังมีระนาบสะท้อนที่ตั้งฉากกับแกนn เท่า และ D _ndนอกจากองค์ประกอบของD _nแล้ว ยังมีระนาบสะท้อนที่ขนานกับแกนn เท่าอีกด้วย
• ตัวอักษรT (สำหรับtetrahedron ) แสดงว่ากลุ่มนั้นมีสมมาตรแบบทรงสี่หน้าTd _รวมการ หมุน ที่ไม่เหมาะสมT ไม่ รวมการหมุนที่ไม่เหมาะสม และThคือ_Tที่เพิ่มการผกผันเข้าไป
• ตัวอักษรO (สำหรับoctahedron ) บ่งชี้ว่ากลุ่มนั้นมีสมมาตรของทรงแปดเหลี่ยม โดยมี ( O _h ) หรือไม่มี ( O ) การดำเนินการที่ไม่เหมาะสม (การดำเนินการที่เปลี่ยนทิศทาง)

เนื่องจากทฤษฎีบทข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์nจึงมีค่าเท่ากับ 1, 2, 3, 4 หรือ 6 ในปริภูมิ 2 หรือ 3 มิติ

D _4dและD _6dนั้นถูกห้ามใช้จริง ๆ เนื่องจากมีการหมุนที่ไม่เหมาะสมโดยมี n=8 และ 12 ตามลำดับ กลุ่มจุด 27 กลุ่มในตาราง บวกกับT , T _d , T _h , OและO _hประกอบกันเป็นกลุ่มจุดทางผลึกศาสตร์ 32 กลุ่ม

รูปแบบย่อของสัญลักษณ์เฮอร์มันน์-โมแกงที่ใช้กันทั่วไปสำหรับกลุ่มปริภูมิยังใช้เพื่ออธิบายกลุ่มจุดทางผลึกศาสตร์ด้วย ชื่อกลุ่มคือ

ครอบครัวคริสตัล	ระบบผลึก	เฮอร์มันน์-โมแกง		ชูบนิคอฟ[ 2 ]	โชเอนฟลายส์	ออร์บิโฟลด์	ค็อกซ์เตอร์	คำสั่ง
		(เต็ม)	(สั้น)
ไตรคลินิก		1	1	${\displaystyle 1\ }$	ซี1	11	[ ] +	1
		1	1	${\displaystyle {\tilde {2}}}$	C i = S 2	×	[2 + ,2 + ]	2
โมโนคลินิก		2	2	${\displaystyle 2\ }$	ซี2	22	[2] +	2
		ม	ม	${\displaystyle m\ }$	C s = C 1h	*	[ ]	2
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	2/ม.	${\displaystyle 2:m\ }$	ซี2 ชม.	2*	[2,2 + ]	4
ออร์โธรอมบิก		222	222	${\displaystyle 2:2\ }$	D 2 = V	222	[2,2] +	4
		มม.2	มม.2	${\displaystyle 2\cdot m\ }$	ซี2วี	*22	[2]	4
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	อืมมม	${\displaystyle m\cdot 2:m\ }$	D 2h = V h	*222	[2,2]	8
สี่เหลี่ยมจัตุรัส		4	4	${\displaystyle 4\ }$	ซี4	44	[4] +	4
		4	4	${\displaystyle {\tilde {4}}}$	เอส4	2×	[2 + ,4 + ]	4
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$	4/ม.	${\displaystyle 4:m\ }$	ซี4 ชม.	4 ดาว	[2,4 + ]	8
		422	422	${\displaystyle 4:2\ }$	ดี4	422	[4,2] +	8
		4 มม.	4 มม.	${\displaystyle 4\cdot m\ }$	ซี4วี	*44	[4]	8
		4 2ม.	4 2ม.	${\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}$	D 2d = V d	2*2	[2 + ,4]	8
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	4/มม.	${\displaystyle m\cdot 4:m\ }$	ดี4 ชม.	*422	[4,2]	16
หกเหลี่ยม	สามเหลี่ยม	3	3	${\displaystyle 3\ }$	ซี3	33	[3] +	3
		3	3	${\displaystyle {\tilde {6}}}$	C 3i = S 6	3×	[2 + ,6 + ]	6
		32	32	${\displaystyle 3:2\ }$	ดี3	322	[3,2] +	6
		3 เมตร	3 เมตร	${\displaystyle 3\cdot m\ }$	ซี3วี	*33	[3]	6
		3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	3ม.	${\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}$	ดี3 มิติ	2*3	[2 + ,6]	12
	หกเหลี่ยม	6	6	${\displaystyle 6\ }$	ซี6	66	[6] +	6
		6	6	${\displaystyle 3:m\ }$	ซี3 ชม.	3*	[2,3 + ]	6
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}$	6/ม.	${\displaystyle 6:m\ }$	ซี6 ชม.	6*	[2,6 + ]	12
		622	622	${\displaystyle 6:2\ }$	ดี6	622	[6,2] +	12
		6 มม.	6 มม.	${\displaystyle 6\cdot m\ }$	ซี6 โวลต์	*66	[6]	12
		6ตารางเมตร	6ตารางเมตร	${\displaystyle m\cdot 3:m\ }$	ดี3 ชม.	*322	[3,2]	12
		${\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}$	6/มม.	${\displaystyle m\cdot 6:m\ }$	ดี6 ชม.	*622	[6,2]	24
ลูกบาศก์		23	23	${\displaystyle 3/2\ }$	ที	332	[3,3] +	12
		${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$3	ม.3	${\displaystyle {\tilde {6}}/2}$	ไทย​	3*2	[3 + ,4]	24
		432	432	${\displaystyle 3/4\ }$	โอ	432	[4,3] +	24
		4 3ม.	4 3ม.	${\displaystyle 3/{\ตัวหนอน {4}}}$	ทีดี	*332	[3,3]	24
		${\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}$3${\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}$	ม. 3ม.	${\displaystyle {\tilde {6}}/4}$	โอ้​	*432	[4,3]	48

การแสดงกลุ่มจุดด้วยภาพกราฟิกเป็นเรื่องปกติ เพื่อให้เข้าใจสมมาตรของกลุ่มจุดได้ง่ายขึ้น โดยทั่วไป จะใช้ การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกเนื่องจากจะรักษาความสัมพันธ์เชิงมุมไว้ การฉายภาพมีสองประเภท ประเภทแรก ดังแสดงในที่นี้ คือการฉายภาพขององค์ประกอบสมมาตร เพื่อแสดงความสัมพันธ์เชิงมุมระหว่างกัน ในกรณีนี้ องค์ประกอบสมมาตรแต่ละอันจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ดังแสดงในตารางด้านล่าง เส้นบางใช้เพื่อกำหนดขอบเขตของทรงกลมของการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก และแกนการหมุนหรือการผกผันการหมุนในกรณีที่ไม่ตัดกับระนาบสะท้อน ระนาบสะท้อนแสดงด้วยเส้นหนา ประเภทที่สองของการฉายภาพ คือการฉายภาพจุดทั่วไป และจุดเพิ่มเติมทั้งหมดที่สร้างขึ้นจากจุดเริ่มต้นนั้นโดยใช้องค์ประกอบสมมาตรของกลุ่มจุด^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

องค์ประกอบสมมาตร	การแสดงผลกราฟิก
2
3
4
6
1 =i
2 =ม	เส้นทึบแสดงถึงระนาบสะท้อนที่อยู่นอกหน้ากระดาษ
3
4
6

กล่าวได้ว่ากลุ่มสองกลุ่มเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมี การจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่งและโฮโมมอร์ฟิกระหว่างกลุ่มทั้งสอง กล่าวคือ การเปลี่ยนชื่อองค์ประกอบของกลุ่มหนึ่งด้วยองค์ประกอบของกลุ่มที่สองอย่างถูกต้อง จะทำให้ได้กลุ่มที่สอง และในทางกลับกัน กลุ่มจุดผลึกศาสตร์หลายกลุ่มมีโครงสร้างภายในที่เหมือนกันในแง่นี้ ตัวอย่างเช่น กลุ่มจุด1 , 2 และ m มีการดำเนินการสมมาตรทางเรขาคณิตที่แตกต่างกัน (การผกผัน การหมุน และการสะท้อน ตามลำดับ) แต่ทั้งหมดมีโครงสร้างของกลุ่มวัฏจักร C _{2 ร่วมกัน กลุ่ม} ไอโซมอร์ฟิกทั้งหมด มี ลำดับเดียวกันแต่ไม่ใช่ทุกกลุ่มที่มีลำดับเดียวกันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน กลุ่มจุดที่ไอโซมอร์ฟิกกันแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

เฮอร์มันน์-โมแกง	โชเอนฟลายส์	คำสั่ง	กลุ่มบทคัดย่อ
1	ซี1	1	ซี1	${\displaystyle G_{1}^{1}}$
1	C i = S 2	2	ซี2	${\displaystyle G_{2}^{1}}$
2	ซี2	2
ม	C s = C 1h	2
3	ซี3	3	ซี3	${\displaystyle G_{3}^{1}}$
4	ซี4	4	ซี4	${\displaystyle G_{4}^{1}}$
4	เอส4	4
2/ม.	ซี2 ชม.	4	D 2 = C 2 × C 2	${\displaystyle G_{4}^{2}}$
222	D 2 = V	4
มม.2	ซี2วี	4
3	C 3i = S 6	6	ซี6	${\displaystyle G_{6}^{1}}$
6	ซี6	6
6	ซี3 ชม.	6
32	ดี3	6	ดี3	${\displaystyle G_{6}^{2}}$
3 เมตร	ซี3วี	6
อืมมม	D 2h = V h	8	ดี2 × ซี2	${\displaystyle G_{8}^{3}}$
4/ม.	ซี4 ชม.	8	C 4 × C 2	${\displaystyle G_{8}^{2}}$
422	ดี4	8	ดี4	${\displaystyle G_{8}^{4}}$
4 มม.	ซี4วี	8
4 2ม.	D 2d = V d	8
6/ม.	ซี6 ชม.	12	C 6 × C 2	${\displaystyle G_{12}^{2}}$
23	ที	12	เอ4	${\displaystyle G_{12}^{5}}$
3ม.	ดี3 มิติ	12	ดี6	${\displaystyle G_{12}^{3}}$
622	ดี6	12
6 มม.	ซี6 โวลต์	12
6ตารางเมตร	ดี3 ชม.	12
4/มม.	ดี4 ชม.	16	ดี4 × ซี2	${\displaystyle G_{16}^{9}}$
6/มม.	ดี6 ชม.	24	ดี6 × ซี2	${\displaystyle G_{24}^{5}}$
ม.3	ไทย​	24	A 4 × C 2	${\displaystyle G_{24}^{10}}$
432	โอ	24	เอส4	${\displaystyle G_{24}^{7}}$
4 3ม.	ทีดี	24
ม. 3ม.	โอ้​	48	S 4 × C 2	${\displaystyle G_{48}^{7}}$

ตารางนี้ใช้กลุ่มวงจร (C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , C ₆ ), กลุ่มไดเฮดรัล (D ₂ , D ₃ , D ₄ , D _{6 ),} กลุ่มสลับกลุ่มหนึ่ง(A ₄ ) และกลุ่มสมมาตรกลุ่ม หนึ่ง (S ₄ ) โดยสัญลักษณ์ " × " แสดงถึง ผล คูณ โดยตรง

1. ไม่ต้องใช้โครงสร้างตาข่ายแบบ บราเวส์
2. แปลงองค์ประกอบสมมาตรทั้งหมดที่มีส่วนประกอบการเลื่อนให้เป็นองค์ประกอบสมมาตรที่ไม่มีสมมาตรการเลื่อน (ระนาบเลื่อนจะถูกแปลงเป็นระนาบสะท้อนธรรมดา แกนเกลียวจะถูกแปลงเป็นแกนหมุนธรรมดา)
3. แกนการหมุน แกน การกลับด้านและระนาบสะท้อนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ความสมมาตรของวัสดุสามารถส่งผลกระทบอย่างมากต่อคุณสมบัติที่ "อนุญาต" ให้แสดงออกมาโดยผลึกนั้น อิทธิพลเหล่านี้สรุปไว้ในหลักการของ Von Neumann ^{[ 7 ]}และโดยทั่วไปแล้วโดยกฎของ Curie ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}กฎเหล่านี้ระบุว่าความสมมาตรของคุณสมบัติทางกายภาพของผลึกจะต้องมีความสมมาตรอย่างน้อยเท่ากับตัวผลึกเอง ตัวอย่างทั่วไปที่ยกมาคือคุณสมบัติทางไฟฟ้าแบบเพียโซและแบบไพโรคุณสมบัติเหล่านี้สร้างไดโพลไฟฟ้าในผลึกภายใต้ความเครียดหรือการเปลี่ยนแปลงทางความร้อน ไดโพลไฟฟ้ามีทิศทางและไม่สามารถมีอยู่ในผลึกที่มีสมมาตรแบบผกผันได้ อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นความจริง ผลึกที่ไม่มีสมมาตรแบบผกผันไม่จำเป็นต้องแสดงคุณสมบัติทางไฟฟ้าแบบเพียโซหรือแบบไพโรเสมอไป

ผลึกหลายเหลี่ยมประกอบด้วยผลึกขนาดเล็กจำนวนมากที่มีทิศทางการเรียงตัวแตกต่างกัน ในกรณีอุดมคติ หากมีผลึกขนาดเล็กเพียงพอในตัวอย่างขนาดใหญ่เพียงพอ ทุกทิศทางการเรียงตัวจะถูกแสดงออกมา ทำให้ได้ วัสดุที่มีคุณสมบัติ ไอโซโทรปิก โดยประมาณ ในทางปฏิบัติแล้ว สิ่งนี้ทำให้ผลึกหลายเหลี่ยมแสดงคุณสมบัติที่มีสมมาตรสูงกว่าผลึกแต่ละชนิดที่ประกอบกันขึ้น ตัวอย่างเช่น ผลึกหลายเหลี่ยมในอุดมคติหรือ ผลึก ไพโรอิเล็กทริกจะแสดงไดโพลไฟฟ้าในทุกทิศทาง ซึ่งจะหักล้างกัน ทำให้ผลึกหลายเหลี่ยมมีค่าโพลาไรเซชันสุทธิเป็นศูนย์

กลุ่มจุดผลึกศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มคูรีช่วยให้เราสามารถอธิบายสมมาตรของผลึกหลายเหลี่ยมโดยใช้สมมาตรของการวางแนวของผลึกแต่ละชิ้น ในผลึกหลายเหลี่ยมในอุดมคติ การวางแนวทุกแบบจะเหมือนกัน ซึ่งอาจคิดได้ว่ามีสมมาตรการหมุนอนันต์ในทุกทิศทางที่กำหนดโดย ∞∞ ซึ่งแสดงถึงแกนการหมุนสองแกนที่ตั้งฉากกัน สิ่งนี้ให้กลุ่มสองกลุ่มคือ ∞∞ ถ้าผลึกหลายเหลี่ยมมีไครัลลิตี้สุทธิ และ ∞∞m ถ้าไม่มีไครัลลิตี้สุทธิ กลุ่มคูรีที่เหลืออาจได้มาจากสมมาตรในอุดมคติโดยใช้หลักการของคูรี^{[ 11 ] [ 9 ] [ 10 ]}หลักการของคูรีระบุว่าสมมาตรของผลึก (หลายเหลี่ยม) ภายใต้สิ่งเร้าคือจุดตัดของสมมาตรของสิ่งเร้าและสมมาตรของผลึก (หลายเหลี่ยม) ด้านล่างนี้คือตารางที่แสดงกลุ่มคูรีทั้ง 7 กลุ่ม พร้อมด้วย mmm และ 222 ซึ่งเป็นผลมาจากผลึกหลายเหลี่ยมในอุดมคติที่ได้รับสิ่งกระตุ้นที่แตกต่างกัน เพื่อสร้างสมมาตรที่หลากหลาย

การขยายสมมาตรไปสู่ผลึกหลายเหลี่ยมนี้มีคุณค่าอย่างมากต่อการผลิต เนื่องจากช่วยให้สามารถสร้างตัวอย่างผลึกหลายเหลี่ยมที่แสดงคุณสมบัติสมมาตรต่ำได้ แทนที่จะต้องใช้ผลึกเดี่ยวบริสุทธิ์ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถกำหนดทิศทางของคุณสมบัติได้ด้วยกระบวนการผลิต แทนที่จะต้องกำหนดทิศทางของผลึกเดี่ยวอย่างระมัดระวัง ตัวอย่างเช่น หากต้องการวัสดุไพโรอิเล็กทริก อาจสร้างผลึกหลายเหลี่ยมของวัสดุที่เหมาะสม แล้วนำไปสัมผัสกับสนามไฟฟ้าแรงสูงเพื่อปรับทิศทางของไดโพลของผลึกแต่ละชิ้นให้สอดคล้องกับสนามไฟฟ้านั้น ผลึกหลายเหลี่ยมที่ได้ก็จะแสดงคุณสมบัติไพโรอิเล็กทริกไปตามทิศทางที่สนามไฟฟ้าถูกนำไปใช้

คุณสมบัติทางวัสดุบางอย่าง เช่น แม่เหล็ก แสดงสมมาตรเพิ่มเติมอีกรูปแบบหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่า สมมาตรผกผัน สมมาตรแม่เหล็ก สมมาตรย้อนเวลา หรือสมมาตรสองสีสมมาตรใหม่นี้จะพลิกสถานะไบนารี เช่น สปิน และเชื่อมโยงกับองค์ประกอบสมมาตรอื่นๆ ไม่ว่าจะเป็นคุณสมบัติใดก็ตาม สถานะไบนารี ณ จุดใดจุดหนึ่งมักจะแสดงด้วยจุดสีดำหรือสีขาว จึงเป็นที่มาของชื่อ 'สมมาตรสองสี'

ตัวอย่าง:

แบบจำลองคลาสสิกสำหรับแม่เหล็กพิจารณาสปินของอิเล็กตรอนเป็นวงจรไฟฟ้าที่สร้างไดโพลแม่เหล็ก ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของเวกเตอร์เสมือนหากถูกกระทำโดยระนาบสะท้อนที่ตั้งฉากกับไดโพล วงจรไฟฟ้า (สปิน) จะยังคงอยู่ในสถานะเดิม ทำให้เกิดไดโพลเดียวกัน หากถูกกระทำโดยระนาบสะท้อนที่ขนานกับไดโพล วงจรไฟฟ้า (สปิน) จะพลิกกลับ ทำให้เกิดไดโพลตรงข้าม สำหรับทั้งสองกรณีนี้ อาจเพิ่มสมมาตรแบบผกผันให้กับระนาบสะท้อนได้ ผลกระทบเชิงพื้นที่ของกระจกจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ผลกระทบต่อสถานะไบนารีจะกลับด้าน กล่าวคือ หากกระจกปกติพลิกสปิน กระจกแบบผกผันจะไม่พลิกสปิน

โดยการเพิ่มสมมาตรแบบผกผันให้กับกลุ่มจุดผลึกศาสตร์ ทำให้เกิดกลุ่มแม่เหล็ก 122 กลุ่ม ในจำนวนนี้ 32 กลุ่มเป็นกลุ่มจุดผลึกศาสตร์ดั้งเดิม และ 32 กลุ่มเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มสีเทา ซึ่งสถานะสีดำและสีขาวของคุณสมบัติจะทับซ้อนกันที่จุดเดียวกัน กลุ่มที่เหลืออีก 58 กลุ่มสามารถแสดงคุณสมบัติไดโครอิก เช่น แม่เหล็กได้^{[ 12 ] [ 13 ]}

• สมมาตรโมเลกุล
• กลุ่มจุด
• กลุ่มอวกาศ
• กลุ่มจุดในสามมิติ
• ระบบผลึก
• ผลึกศาสตร์เชิงเรขาคณิตก่อนการใช้รังสีเอ็กซ์

• สัญลักษณ์กลุ่มจุดในตารางสากลสำหรับผลึกศาสตร์ (2006) เล่ม A บทที่ 12.1 หน้า 818-820
• ชื่อและสัญลักษณ์ของผลึก 32 ชนิดในตารางผลึกศาสตร์สากล (2006) เล่ม A บทที่ 10.1 หน้า 794
• ภาพรวมของกลุ่มทั้ง 32 กลุ่ม
• Kostov, RI 2024. ตารางสีของสมมาตร 32 ประเภท พร้อมสถิติของแร่ธาตุในระบบผลึก – สมมาตร: วัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ (เทศกาลสมมาตร 2024. 17-20 กรกฎาคม 2024, ปิซา, อิตาลี. “การเอน” สมมาตร. เอกสารประกอบการประชุม; บรรณาธิการ S. Brasili, J. Gielis), เล่มเดียว, 91-94. https://doi.org/10.26830/symmetryfestival2024_24