ไฟว์ลิง (Fiveling ) หรือที่รู้จักกันในชื่อ อนุภาคนาโนทรง สิบเหลี่ยม ( decahedral nanoparticle ) , อนุภาคแฝดหลายชั้น (multiply-twinned particle หรือ MTP), อนุภาคนาโนทรงห้า เหลี่ยม (pentagonal nanoparticle) , เพนแทททวิน (pentatwin) หรือแฝดห้าเท่า (five-fold twin ) เป็น ผลึกแฝดชนิดหนึ่งที่มีขนาดตั้งแต่ระดับนาโนเมตรไปจนถึงมิลลิเมตรประกอบด้วยผลึกเดี่ยวที่แตกต่างกันห้าชนิดเรียงตัวอยู่รอบแกนร่วม ในกรณีส่วนใหญ่แต่ละหน่วยจะมี โครงสร้างอะตอมแบบ ลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า (face centered cubic หรือ fcc) แม้ว่าจะพบโครงสร้างผลึก แบบอื่นได้เช่น กัน

พวกมันก่อตัวขึ้นที่ขนาดค่อนข้างเล็กใน ช่วง นาโนเมตรแต่สามารถเติบโตให้ใหญ่ขึ้นได้มาก พวกมันถูกพบในผลึกแร่^{[ a ]}ที่ขุดได้จากเหมือง เช่นเพนทาโกไนต์^{[ 2 ]}หรือทองคำธรรมชาติจากยูเครน^{[ 3 ]}ในแท่งโลหะที่เติบโตผ่าน กระบวนการ ทางเคมีไฟฟ้าและในอนุภาคนาโนที่ผลิตโดยการควบแน่นของโลหะบนพื้นผิวหรือในก๊าซเฉื่อย พวกมันได้รับการศึกษาถึงศักยภาพในการใช้งานในด้านต่างๆ เช่น การปรับปรุงประสิทธิภาพของเซลล์แสงอาทิตย์หรือการเร่งปฏิกิริยาแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันเพื่อการผลิตสารเคมีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ข้อมูลเกี่ยวกับพวกมันกระจายอยู่ทั่วสาขาวิทยาศาสตร์ที่หลากหลาย โดยส่วนใหญ่คือเคมีวิทยาศาสตร์วัสดุแร่ธาตุวิทยาวัสดุนาโนและฟิสิกส์เนื่องจากมีการใช้ชื่อที่แตกต่างกันมากมาย บางครั้งข้อมูลในสาขาวิชาต่างๆ หรือภายในสาขาวิชาใดสาขาวิชาหนึ่งจึงกระจัดกระจายและทับซ้อนกัน

ที่ขนาดเล็กในช่วงนาโนเมตร จนถึงขนาดมิลลิเมตร โลหะ fcc มักจะมีการรวมกันของระนาบ {111} และ {100} ซึ่งเป็นรูปทรงพลังงานต่ำที่เรียกว่า เดคาเฮดร อนของ Marks ^{[ 4 ] [ 5 ]}เมื่อเทียบกับผลึกเดี่ยวที่ขนาดเล็ก ไฟว์ลิงสามารถเป็นโครงสร้างพลังงานต่ำกว่าได้เนื่องจากมีระนาบพื้นผิว พลังงาน ต่ำ มากกว่า ^{[ b ]}อย่างไรก็ตาม มีต้นทุนพลังงานเนื่องจากความเครียดแบบยืดหยุ่นเพื่อปิดช่องว่างเชิงมุม ( ดิสคลิเนชัน ) ซึ่งทำให้มีพลังงานสูงขึ้นที่ขนาดใหญ่ขึ้น พวกมันอาจเป็นโครงสร้างที่เสถียรที่สุดในขนาดกลางบางขนาด แต่พวกมันอาจเป็นเพียงหนึ่งในหลายโครงสร้างในประชากรของโครงสร้างที่แตกต่างกันเนื่องจากการรวมกันของอนุภาคนาโนที่อยู่ร่วมกันและปัจจัยการเติบโตแบบจลนศาสตร์ อุณหภูมิ สภาพแวดล้อมของก๊าซ และการดูดซับทางเคมีสามารถมีบทบาทสำคัญทั้งในความเสถียรทางอุณหพลศาสตร์และการเติบโตของพวกมัน ในขณะที่พวกมันมักจะสมมาตร พวกมันก็อาจไม่สมมาตรโดยที่ดิสคลิเนชันไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของอนุภาค

ย้อนกลับไปในศตวรรษที่สิบเก้า มีรายงานเกี่ยวกับอนุภาคเหล่านี้โดยผู้เขียน เช่น^Jacques -Louis Bournonในปี 1813 สำหรับมาร์คาไซต์ [ ^{9 ] [ 10 ]}และGustav Roseในปี 1831 สำหรับทองคำ^{[ 6 ]} ในแร่ธาตุวิทยาและ วรรณกรรมเกี่ยวกับ การเกิดผลึกแฝด อนุภาคเหล่านี้ถูกกล่าวถึงว่าเป็นผลึกแฝดแบบวงจรชนิดหนึ่ง ซึ่งมีหน่วยผลึกเดี่ยวที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งเรียงตัวกันเป็นวงแหวน โดยทั้งหมดจะเชื่อมต่อกันที่จุดหรือเส้นร่วม^{[ 11 ]}ชื่อไฟว์ลิงมาจากการที่พวกมันมีสมาชิกห้าตัว (ผลึกเดี่ยว) ^{[ 12 ]} ไฟว์ลิงยังถูกอธิบายว่าเป็นผลึกแฝด แบบ แมคเคิ ลชนิดหนึ่งด้วย ^{[ 13 ]}วรรณกรรมเก่าส่วนใหญ่เป็นการสังเกต โดยมีข้อมูลเกี่ยวกับวัสดุหลายชนิดที่บันทึกโดยVictor Mordechai GoldschmidtในAtlas der Kristallformenของ เขา ^{[ 14 ]}มีภาพวาดที่แสดงให้เห็นถึงการปรากฏของอนุภาคเหล่านี้ในมาร์คาไซต์ ทองคำ เงิน ทองแดง และเพชร แร่รูปแบบใหม่ที่มีโครงสร้างแบบห้าเหลี่ยมยังคงถูกค้นพบอย่างต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นเพนทาโกไนต์ซึ่งโครงสร้างถูกถอดรหัสครั้งแรกในปี พ.ศ. 2516 ได้รับการตั้งชื่อเพราะมักพบร่วมกับการเกิดแฝดแบบห้าเหลี่ยม^{[ 2 ] [ 15 ]}

การวิเคราะห์สมัยใหม่ส่วนใหญ่เริ่มต้นจากการสังเกตอนุภาคเหล่านี้โดย Shozo Ino และ Shiro Ogawa ในปี 1966-67 ^{[ 16 ] [ 17 ]}และโดยอิสระแต่ช้ากว่าเล็กน้อย (ซึ่งพวกเขายอมรับ) ในงานของ John Allpress และ John Veysey Sanders ^{[ 18 ]}ในทั้งสองกรณีนี้เป็นการตกตะกอนของโลหะลงบนพื้นผิวในสภาวะที่สะอาดมาก ( สุญญากาศสูงมาก ) ซึ่งมีการก่อตัวของเกาะอนุภาคนาโนขนาด 10-50 นาโนเมตรในระหว่าง การเติบโต ของฟิล์มบาง การ ใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบส่งผ่านและการเลี้ยวเบนผู้เขียนเหล่านี้ได้แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของหน่วยผลึกเดี่ยวห้าหน่วยในอนุภาค และความสัมพันธ์แบบแฝด พวกเขายังสังเกตเห็นผลึกเดี่ยวและอนุภาคนาโนทรงยี่สิบ หน้าประเภทที่เกี่ยวข้อง พวกเขาเรียกผลึกห้าเท่าและทรงยี่สิบหน้าว่าอนุภาคแฝดหลายตัว ( MTPs ) ในงานช่วงแรกๆ ได้มีการสร้างรูปทรงเดคาเฮดรอน (พีระมิดคู่ ห้าเหลี่ยม ) และไอโคซาเฮดรอนที่เกือบสมบูรณ์แบบ ดังนั้นจึงเรียกว่าเดคาเฮดรอน MTPหรือไอโคซาเฮดรอน MTPโดยชื่อเหล่านี้เชื่อมโยงกับสมมาตรของกลุ่มจุด เดคาเฮดรอน ( ) และไอโคซา เฮดรอน ( ) ^{[ c ]}ในขณะเดียวกัน และดูเหมือนว่าจะเป็นอิสระต่อกัน ก็มีงานวิจัยเกี่ยวกับหนวด โลหะขนาดใหญ่ ( นาโนไวร์ ) ซึ่งบางครั้งแสดงโครงสร้างห้าเท่าที่คล้ายกันมาก^{[ 19 ] [ 20 ]}ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่รายงานในปี 1877 โดยGerhard vom Rath ^{[ 21} ] มีการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางตามมา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอนุภาคนาโน ทั้งโครงสร้างภายในโดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนรุ่นแรกๆ ที่สามารถถ่ายภาพในระดับอะตอมได้^{[ 22 ] และ}โดยแบบจำลองต่อเนื่องหรืออะตอมต่างๆ ดังที่อ้างถึงในภายหลัง ${\displaystyle D_{5h}}$${\displaystyle I_{h}}$

จากการทำงานในช่วงแรกนี้ มีความพยายามอย่างมาก โดยเฉพาะในญี่ปุ่น เพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่ในขณะนั้นเรียกว่า "อนุภาคละเอียด" แต่ปัจจุบันจะเรียกว่าอนุภาคนาโน โดยการให้ความร้อนแก่ธาตุต่างๆ จนอะตอมระเหยและควบแน่นในบรรยากาศอาร์กอนเฉื่อย ทำให้เกิดอนุภาคละเอียดของของแข็งธาตุเกือบทั้งหมด จากนั้นจึงนำไปวิเคราะห์โดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน พบอนุภาคทรงสิบเหลี่ยมในวัสดุลูกบาศก์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่หน้าทั้งหมดและวัสดุอื่นๆ อีกเล็กน้อย มักพบร่วมกับรูปทรงอื่นๆ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

แม้ว่าจะมีงานวิจัยต่อเนื่องอยู่บ้างในช่วงหลายทศวรรษต่อมา แต่ความสนใจอย่างมากก็กลับมาอีกครั้งด้วยโครงการริเริ่มนาโนเทคโนโลยีแห่งชาติ^{[ 27 ]}ในขณะเดียวกัน คำศัพท์ต่างๆ เช่นอนุภาคนาโนรูปห้าเหลี่ยม เพนตาทวินหรือแฝดห้าเท่า ก็กลายเป็นเรื่องปกติในเอกสารทางวิชาการ พร้อมกับชื่อเดิม มีการเผยแพร่วิธีการต่างๆ มากมายสำหรับการผลิตไฟว์ลิง ซึ่งบางครั้งให้ผลผลิตสูง แต่บ่อยครั้งเป็นส่วนหนึ่งของประชากรที่มีรูปร่างแตกต่างกันจำนวนมาก^{[ 28 ]}วิธีการเหล่านี้มีตั้งแต่การใช้สารละลายคอลลอยด์^{[ 29 ]}ไปจนถึงวิธีการตกตะกอนที่แตกต่างกัน^{[ 23 ] [ 30 ]}มีการบันทึกไว้ว่าไฟว์ลิงเกิดขึ้นบ่อยครั้งในเพชร^{[ 31 ] [ 32 ]}ทองและเงิน^{[ 33 ]}บางครั้งในทองแดง^{[ 34 ] [ 35 ]}หรือแพลเลเดียม^{[ 36 ] [ 37 ]} และเกิดขึ้นน้อยกว่าในโลหะ ลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า (fcc) อื่นๆเช่น นิกเกล^{[ 4 ]}นอกจากนี้ยังมีกรณีเช่นเพนทาโกไนต์ที่โครงสร้างผลึกอนุญาตให้เกิดการแฝดห้าเท่าโดยมีความเครียดทางยืดหยุ่นน้อยที่สุดหรือไม่มีเลย ( ดูภายหลัง ) ^{[ 2 ]}มีงานวิจัยที่สังเกตพบในผลึกคอลลอยด์ที่ประกอบด้วยอาร์เรย์ของอนุภาคนาโนที่เป็นระเบียบ^{[ 38 ] [ 39 ]}และผลึกเดี่ยวที่ประกอบขึ้นจากอนุภาคนาโนเดคาเฮดรัลแต่ละตัว^{[ 40 ]}มีการสร้างแบบจำลองอย่างกว้างขวางด้วยวิธีการต่างๆ มากมาย เช่นอะตอมฝังตัว^{[ 4} ] ^{หลายตัว} [ ^{41 ] พลศาสตร์}โมเลกุล [ ^{42 ] วิธี} การผูกแน่น^{[ 43 ]}และวิธีการทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น^{[ 44 ]}ดังที่ Francesca Baletto และ Riccardo Ferrando ได้กล่าวถึง^{[ 45 ]}และยังได้กล่าวถึงภูมิทัศน์พลังงานในภายหลัง ด้วย

อนุภาคเหล่านี้ประกอบด้วยหน่วย (ผลึกเดี่ยว) ที่แตกต่างกันห้าหน่วยซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยขอบเขตแฝดรูปแบบที่ง่ายที่สุดที่แสดงในรูปมี ผลึกทรง สี่เหลี่ยมด้าน เท่าห้าชิ้น ซึ่งส่วนใหญ่มักมี โครงสร้าง ลูกบาศก์แบบศูนย์กลางหน้าแต่ก็มีความเป็นไปได้อื่นๆ เช่นลูกบาศก์เพชรและอื่นๆ อีกเล็กน้อย รวมถึงรูปทรงที่ซับซ้อนกว่า มุมระหว่างระนาบแฝดสองระนาบมีค่าประมาณ 70.5 องศาใน fcc ดังนั้นผลรวมของห้าชิ้นนี้จึงเป็น 352.5 องศา (ไม่ใช่ 360 องศา) ทำให้เกิดช่องว่างเชิงมุม ที่ขนาดเล็ก ช่องว่างนี้จะถูกปิดโดยการเสียรูปยืดหยุ่นซึ่ง Roland de Wit ชี้ให้เห็น^{[ 46 ] [ 47 ]}ว่าสามารถอธิบายได้ว่าเป็นดิสคลิเนชัน แบบลิ่ม ซึ่งเป็นประเภทของข้อบกพร่องที่Vito Volterra กล่าวถึงเป็นครั้งแรก ในปี 1907 ^{[ 48 ]}ด้วยดิสคลิเนชัน ความเครียดในการปิดช่องว่างจะแตกต่างกันในแนวรัศมีและกระจายไปทั่วทั้งอนุภาค

สำหรับโครงสร้างอื่นๆ มุมอาจแตกต่างกันได้ มาร์คาไซต์มีมุมแฝด 74.6 องศา ดังนั้นแทนที่จะปิดลิ่มที่หายไป จะต้องเปิดมุม 13 องศา ซึ่งจะเรียกว่าดิสคลิเนชันเชิงลบ 13 องศา เฉาเหลียงและอี้หยู^{[ 49 ]} ได้ชี้ให้เห็น ว่าเมื่อ รวม โลหะระหว่างกันจะมีช่วงของมุมที่แตกต่างกัน บางมุมคล้ายกับ fcc ที่มีข้อบกพร่อง (ดิสคลิเนชันเชิงบวก) บางมุมเช่น AuCu ที่มีการทับซ้อน (ดิสคลิเนชันเชิงลบ) คล้ายกับมาร์คาไซต์^{[ 9 ] [ 50 ]}ในขณะที่เพนทาโกไนต์อาจมีการทับซ้อนน้อยที่สุดที่ 3.5 องศา^{[ 2 ]}

ข้อมูลกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนแบบส่งผ่านความละเอียดสูงจากการทดลองในช่วงแรก^{[ 22 ]}สนับสนุนแนวคิดของสนามความเครียดดิสคลิเนชันแบบกระจายในอนุภาคนาโน เช่นเดียวกับโหมดการถ่ายภาพแบบดาร์กฟิลด์และโหมดอื่นๆ ในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 52 ]}ในอนุภาคขนาดใหญ่ตรวจพบการเคลื่อนที่ ของดิสโลเคชันเพื่อลดความเครียดบางส่วน ^{[ 53 ] [ 24 ] [ 54 ] [ 55 ]}การเสียรูปของดิสคลิเนชันต้องใช้พลังงานซึ่งแปรผันตามปริมาตรของอนุภาค ดังนั้นการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชันหรือขอบเกรนจึงมีพลังงานต่ำกว่าสำหรับขนาดใหญ่^{[ 56 ]}

เมื่อไม่นานมานี้ มีการวิเคราะห์ตำแหน่งอะตอมอย่างละเอียดโดย Craig Johnson และคณะ^{[ 57 ]}ตามมาด้วยผู้เขียนคนอื่นๆ อีกหลายคน^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}ซึ่งให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเครียดและแสดงให้เห็นว่าความเครียดเหล่านั้นกระจายตัวอย่างไรในอนุภาค แม้ว่าสนามความเครียดแบบดิสคลิเนชันแบบคลาสสิกจะเป็นแบบจำลองการประมาณค่าเบื้องต้นที่เหมาะสม แต่ก็มีความแตกต่างกันเมื่อใช้แบบจำลองยืดหยุ่นที่สมบูรณ์มากขึ้น เช่นวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งตามที่ Johnson และคณะชี้ให้เห็นจำเป็นต้องใช้ความยืดหยุ่นแบบไม่สมมาตร^{[ 57 ] [ 61 ] [ 60 ]}ความซับซ้อนอีกประการหนึ่งคือสนามความเครียดเป็นแบบสามมิติ และจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นในการวัดรายละเอียดทั้งหมดตามที่ Bart Goris และคณะได้อธิบายไว้ ซึ่งพวกเขายังกล่าวถึงปัญหาเกี่ยวกับความเครียดจากฟิล์มรองรับด้วย^{[ 62 ]}นอกจากนี้ ดังที่ Srikanth Patala, Monica Olvera de la Cruzและ Marks ^{[ 51 ]} ชี้ให้เห็น และแสดงในรูป ความเค้นVon Misesจะแตกต่างกันสำหรับพีระมิดคู่ห้าเหลี่ยม (การเติบโตแบบจลน์) เมื่อเทียบกับรูปร่างพลังงานต่ำสุด^{[ 51 ]}ณ ปี 2024 ความเครียดสอดคล้องกับการคำนวณองค์ประกอบจำกัดและสนามความเครียดดิสคลิเนชัน โดยอาจมีการเพิ่มส่วนประกอบเฉือนที่ขอบเขตแฝดเพื่อรองรับความเครียดบางส่วน^{[ 57 ] [ 59 ] [ 60 ]}

ทางเลือกอื่นสำหรับแบบจำลองความเครียดดิสคลิเนชันที่เสนอโดย BG Bagley ในปี 1965 สำหรับหนวด^{[ 63 ]}คือการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างอะตอมออกจากลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ว่าโครงสร้างผลึกสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 64 ]}มีพลังงานต่ำกว่า fcc และโครงสร้างอะตอมที่มีพลังงานต่ำกว่านำไปสู่อนุภาคเดคาเฮดรัล มุมมองนี้ได้รับการขยายความโดย Cary Y. Yang ^{[ 65 ]}และยังสามารถพบได้ในงานยุคแรกๆ ของMiguel José Yacamán [ ^{66 ] [ 67 ] มี}การวัดโครงสร้างเฉลี่ยโดยใช้การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ซึ่งมีการโต้แย้งว่าสนับสนุนมุมมองนี้^{[ 68 ]}อย่างไรก็ตาม การวัดด้วยรังสีเอกซ์เหล่านี้เห็นเพียงค่าเฉลี่ยซึ่งแสดงให้เห็นการจัดเรียงแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส และมีหลักฐานมากมายเกี่ยวกับการเสียรูปที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งย้อนกลับไปถึงงานในช่วงแรกของ Allpress และ Sanders ^{[ 18 ]} Tsutomu Komoda ^{[ 22 ]} Marks และDavid J. Smith ^{[ 52 ]}และเมื่อเร็ว ๆ นี้โดยการถ่ายภาพความละเอียดสูงของรายละเอียดโครงสร้างอะตอม^{[ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นณ ปี 2024 การถ่ายภาพเชิงทดลองสนับสนุนแบบจำลองดิสคลิเนชันที่มีความยืดหยุ่นแบบไม่สมมาตร

รูปทรงสามมิติขึ้นอยู่กับวิธีการก่อตัวของไฟว์ลิง รวมถึงสภาพแวดล้อม เช่น ความดันก๊าซและอุณหภูมิ ในงานช่วงแรกๆ มีการรายงานเฉพาะไบพีระมิดรูปห้าเหลี่ยมเท่านั้น^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}ในปี 1970 อิโนะพยายามสร้างแบบจำลองพลังงาน แต่พบว่าไบพีระมิดเหล่านี้มีพลังงานสูงกว่าผลึกเดี่ยวที่มี รูปร่าง โครงสร้างวูล์ฟเขาพบรูปแบบที่มีพลังงานต่ำกว่าโดยการเพิ่มหน้า {100} ^{[ 70 ]}ซึ่งปัจจุบันเรียกกันทั่วไปว่าเดคาเฮดรอนของอิโนะพลังงานพื้นผิวของรูปแบบนี้และไอโคซาเฮดรอนแฝด ที่เกี่ยวข้อง จะแปรผันตามกำลังสองในสามของปริมาตร ดังนั้นจึงอาจมีพลังงานต่ำกว่าผลึกเดี่ยว ดังที่จะกล่าวถึงต่อ ไป

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าอิโนจะสามารถอธิบายอนุภาคทรงยี่สิบหน้าได้ แต่เขาก็ไม่สามารถอธิบายอนุภาคทรงสิบหน้าได้ ต่อมา ลอเรนซ์ ดี. มาร์คส์ได้เสนอแบบจำลองโดยใช้ทั้งข้อมูลจากการทดลองและการวิเคราะห์เชิงทฤษฎี ซึ่งอิงตามโครงสร้างวูล์ฟที่ปรับปรุงแล้วซึ่งรวมถึงพื้นผิวหลายด้านมากขึ้น รวมถึง {100} ของอิโน เช่นเดียวกับพื้นผิว {111} ที่ยื่นออกมาที่ขอบเขตแฝด โดยอาจมีพื้นผิวอื่นๆ เช่น {110} ในขณะที่ยังคงรักษาความสมมาตรของกลุ่มจุดทรง สิบหน้าไว้ ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 56 ]}แนวทางนี้ยังรวมถึงผลกระทบของก๊าซและปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อมอื่นๆ ผ่านการเปลี่ยนแปลงพลังงานพื้นผิวของด้านต่างๆ ด้วย การรวมแบบจำลองนี้เข้ากับความยืดหยุ่นของเดอ วิต^{[ 47 ]}อาร์ชิบัลด์ ฮาวีและมาร์คส์ สามารถอธิบายความเสถียรของอนุภาคทรงสิบ หน้าได้ ^{[ 56 ]}งานอื่นๆ ในไม่ช้าก็ยืนยันรูปร่างที่มาร์คส์รายงานสำหรับอนุภาคที่ผ่านการอบอ่อน^{[ 71 ]}สิ่งนี้ได้รับการยืนยันเพิ่มเติมในการคำนวณอะตอมอย่างละเอียดในอีกไม่กี่ปีต่อมาโดย Charles Cleveland และUzi Landmanซึ่งได้บัญญัติศัพท์ว่าMarks decahedraสำหรับรูปทรงเหล่านี้^{[ 4 ]}ปัจจุบันชื่อนี้ถูกใช้กันอย่างแพร่หลาย^{[ 25 ] [ 33 ] [ 72 ] [ 73 ]}${\displaystyle D_{5h}}$

พลังงานขั้นต่ำหรือรูปร่างทางเทอร์โมไดนามิกสำหรับอนุภาคเหล่านี้^{[ 7 ] [ 8 ]}ขึ้นอยู่กับพลังงานพื้นผิวสัมพัทธ์ของระนาบต่างๆ คล้ายกับรูปร่าง Wulff ของผลึกเดี่ยว โดยเกิดจากการรวมส่วนของโครงสร้าง Wulff แบบดั้งเดิมเข้ากับระนาบภายในเพิ่มเติมอีกสองระนาบเพื่อแสดงขอบเขตแฝด^{[ 8 ] [ 7 ]}ภาพรวมของรหัสสำหรับการคำนวณรูปร่างเหล่านี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี 2021 โดย Christina Boukouvala และคณะ^{[ 74 ]}โดยพิจารณาเฉพาะระนาบ {111} และ {100} เท่านั้น: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• รูปทรงสิบเหลี่ยมอิโนเกิดขึ้นเมื่อพลังงานพื้นผิวของระนาบ {100} มีค่าน้อย${\displaystyle \gamma _{111}>2\gamma _{100}/{\sqrt {3}}}$
• รูปทรงทั่วไปคือเดคาเฮดรอนของมาร์คส์ที่มีหน้า {100} และพื้นผิวเว้าที่ขอบเขตแฝดสำหรับ${\displaystyle \gamma _{100}/{\sqrt {3}}<\gamma _{111}<2\gamma _{100}/{\sqrt {3}}}$
• เนื่องจากไม่มีเหลี่ยมมุม {100} และอนุภาคเหล่านี้จึงถูกเรียกว่านาโนสตาร์^{[ 75 ]}${\displaystyle \gamma _{111}<\gamma _{100}/{\sqrt {3}}}$
• สำหรับค่าที่ต่ำมากรูปทรงสมดุลจะเป็นแท่งยาวตามแนวแกนสมมาตรห้าเท่าทั่วไป${\displaystyle \gamma _{100}}$

ภาพถ่ายของทองคำไฟว์ลิงขนาด 0.5 ซม. จากMiassเป็นเดคาเฮดรอนของ Marks ที่มีในขณะที่ภาพร่างของ Rose ^{[ 6 ]}เป็นสำหรับ กลุ่ม อะตอม 75 อะตอมที่แสดงด้านบนสอดคล้องกับรูปร่างเดียวกันสำหรับอะตอมจำนวนน้อย ในทางทดลอง ในผลึก fcc ไฟว์ลิงที่มีเฉพาะระนาบ {111} และ {100} เป็นเรื่องปกติ แต่ระนาบอื่นๆ อีกมากมายสามารถปรากฏอยู่ในโครงสร้าง Wulff ซึ่งนำไปสู่รูปร่างที่กลมมนมากขึ้น^{[ 8 ] [ 72 ]}ตัวอย่างเช่น ระนาบ {113} สำหรับซิลิคอน^{[ 76 ]}เป็นที่ทราบกันว่าพื้นผิวสามารถสร้างโครงสร้างใหม่เป็นโครงสร้างอะตอมที่แตกต่างกันในระนาบอะตอมด้านนอกสุด ตัวอย่างเช่น การสร้างโครงสร้างไดเมอร์ใหม่สำหรับระนาบ {100} ของอนุภาคซิลิคอน^{[ 76 ]}ของชั้นหกเหลี่ยมบนระนาบ {100} ของเดคาเฮดรอนทองคำ^{[ 72 ]}${\displaystyle \gamma _{111}\approx 0.85\gamma _{100}}$${\displaystyle \gamma _{111}\approx 0.7\gamma _{100}}$

รูปร่างที่ปรากฏนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับพลังงานพื้นผิวของด้านต่างๆ เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับวิธีการเติบโตของอนุภาคด้วย รูปร่างทางเทอร์โมไดนามิกถูกกำหนดโดยการสร้างแบบ Wulffซึ่งพิจารณาพลังงานของพื้นผิวที่เป็นไปได้แต่ละด้านและให้รูปร่างที่มีพลังงานต่ำที่สุด รูปทรงสิบเหลี่ยมดั้งเดิมของ Marks นั้นสร้างขึ้นจากรูปแบบของการสร้างแบบ Wulff ที่คำนึงถึงขอบเขตแฝด^{[ 7 ] [ 8 ]}มีการสร้างแบบ Wulff ทางจลนศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งใช้อัตราการเติบโตของพื้นผิวต่างๆ แทนพลังงาน^{[ 69 ] [ 78 ]}การเติบโตประเภทนี้มีความสำคัญเมื่อการก่อตัวของเกาะ ใหม่ บนด้านแบนจำกัดอัตราการเติบโต^{[ 79 ]}หากพื้นผิว {100} ของ Ino เติบโตเร็วขึ้น พื้นผิวเหล่านั้นจะไม่ปรากฏในรูปร่างสุดท้าย เช่นเดียวกับพื้นผิวที่เว้าเข้าไปที่ขอบเขตแฝด ซึ่งนำไปสู่รูปทรงพีระมิดคู่ห้าเหลี่ยมที่มักพบเห็น^{[ 69 ]}หรืออีกทางหนึ่ง หากพื้นผิว {111} เติบโตเร็วและ {100} เติบโตช้า รูปร่างจลน์จะเป็นแท่งยาวตามแกนห้าเท่าทั่วไปดังแสดงในรูป^{[ 80 ] [ 81 ] [ 77 ] [ 82 ]}

รูปทรงชุดอื่นที่แตกต่างกันสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อการแพร่กระจายของอะตอมไปยังอนุภาคมีบทบาทสำคัญ ซึ่งเป็นระบอบการเติบโตที่เรียกว่าการเติบโตที่ควบคุมโดยการแพร่กระจายในกรณีดังกล่าวความโค้ง ของพื้นผิว สามารถมีบทบาทสำคัญได้^{[ 84 ] [ 78 ]}ตัวอย่างเช่น ทำให้เกิดหนามแหลมที่มุมแหลมของพีระมิดคู่ห้าเหลี่ยม บางครั้งทำให้เกิดรูปดาวแหลม ดังแสดงในรูป^{[ 83 ]}

แนวทางที่พบได้บ่อยที่สุดในการทำความเข้าใจการก่อตัวของอนุภาคเหล่านี้ ซึ่ง Ino ใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2512 ^{[ 70 ]}คือการพิจารณาพลังงานเป็นฟังก์ชันของขนาดโดยเปรียบเทียบแฝดไอโคซาเฮดรัล อนุภาคนาโนเดคาเฮดรัล และผลึกเดี่ยว พลังงานทั้งหมดสำหรับอนุภาคแต่ละประเภทสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของสามเทอม:

${\displaystyle E_{total}=E_{surface}V^{2/3}+E_{strain}V+E_{surface\ stress}V^{2/3}}$

สำหรับปริมาตรโดยที่คือพลังงานพื้นผิวคือพลังงานความเครียดดิสคลิเนชันเพื่อปิดช่องว่าง (หรือการทับซ้อนสำหรับมาร์คาไซต์และอื่นๆ) และคือเทอมการเชื่อมต่อสำหรับผลของความเครียดต่อพลังงานพื้นผิวผ่านความเค้นพื้นผิว [ ^{85 ] [ 86 ] [ 87 ]}ซึ่งอาจมีส่วนสำคัญ^{[ 61 ] ผลรวมของสามเทอมนี้จะถูกเปรียบเทียบกับพลังงาน พื้น}ผิวทั้งหมดของผลึกเดี่ยว (ซึ่งไม่มีความเครียด) และเทอมที่คล้ายกันสำหรับอนุภาคไอโคซาเฮดรัล เนื่องจากอนุภาคเดคาเฮดรัลมีพลังงานพื้นผิวทั้งหมดต่ำกว่าผลึกเดี่ยวเนื่องจาก (โดยประมาณใน fcc) พื้นผิว {111} ที่มีพลังงานต่ำกว่า จึงมีพลังงานทั้งหมดต่ำกว่าสำหรับช่วงขนาดกลาง โดยอนุภาคไอโคซาเฮดรัลมีความเสถียรมากกว่าที่ขนาดเล็กมาก (อนุภาคไอโคซาเฮดรอลมีพื้นผิว {111} มากขึ้น แต่ก็มีความเครียดมากขึ้นด้วย^{[ 56 ]} ) ที่ขนาดใหญ่ พลังงานความเครียดสามารถมีขนาดใหญ่มาก ดังนั้นจึงเป็นไปได้ทางพลังงานที่จะมีดิสโลเคชันและ/หรือขอบเกรนแทนที่จะเป็นความเครียดที่กระจายตัว^{[ 55 ]}ตัวอย่างแร่ขนาดใหญ่มากเกือบจะแน่นอนว่าติดอยู่ในโครงสร้างพลังงานสูงที่ไม่เสถียร ${\displaystyle V}$${\displaystyle E_{surface}}$${\displaystyle E_{strain}}$${\displaystyle E_{surface\ stress}}$

ไม่มีข้อตกลงทั่วไปเกี่ยวกับขนาดที่แน่นอนเมื่อมีการเปลี่ยนผ่านซึ่งอนุภาคประเภทใดมีพลังงานต่ำที่สุด เนื่องจากสิ่งเหล่านี้แตกต่างกันไปตามวัสดุและสภาพแวดล้อม เช่น ก๊าซและอุณหภูมิ เทอมความเค้นพื้นผิวที่เชื่อมต่อกันและพลังงานพื้นผิวของเหลี่ยมมีความไวต่อสิ่งเหล่านี้มาก^{[ 88 ] [ 89 ] [ 90 ]}นอกจากนี้ ตามที่ Michael Hoare และ P. Pal ^{[ 91 ]}และR. Stephen Berry ^{[ 92 ] [ 93 ]} ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก และวิเคราะห์สำหรับอนุภาคเหล่านี้โดยPulickel Ajayanและ Marks ^{[ 94 ]}รวมถึงมีการกล่าวถึงโดยผู้อื่น เช่นAmanda Barnard [ ^{95 ]} David J. Wales [ ^{41 ] [ 64 ] [ 96 ] Kristen} Fichthorn ^{[ 97 ]}และ Baletto และ Ferrando ^{[ 45 ]}ที่ขนาดเล็กมากจะมีประชากรทางสถิติ^ของโครงสร้างที่แตกต่างกัน ดังนั้นโครงสร้างที่แตกต่างกันจำนวนมากจะอยู่ร่วมกัน ในหลายกรณีเชื่อกันว่าอนุภาคนาโนเติบโตจากเมล็ดขนาดเล็กมากโดยไม่เปลี่ยนรูปร่าง และสะท้อนถึงการกระจายตัวของโครงสร้างที่มีอยู่ร่วมกัน^{[ 28 ]}

สำหรับระบบที่รูปร่างไอโคซาเฮดรัลและเดคาเฮดรัลมีพลังงานค่อนข้างต่ำ การแข่งขันระหว่างโครงสร้างเหล่านี้มีนัยสำคัญต่อการทำนายโครงสร้างและคุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์และจลนศาสตร์โดยรวม สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากภูมิทัศน์พลังงานแบบกรวยคู่^{[ 98 ] [ 99 ]}ซึ่งโครงสร้างทั้งสองตระกูลถูกแยกออกจากกันด้วยกำแพงพลังงานที่ค่อนข้างสูงที่อุณหภูมิที่พวกมันอยู่ในสมดุลทางอุณหพลศาสตร์สถานการณ์นี้เกิดขึ้นกับคลัสเตอร์ของอะตอม 75 อะตอมที่มีศักยภาพ Lennard-Jonesซึ่งพลังงานศักยภาพต่ำสุดโดยรวมคือเดคาเฮดรัล และโครงสร้างที่อิงตาม ไอโค ซาเฮดรัลMackay ที่ไม่สมบูรณ์ ^{[ 100 ]}ก็มีพลังงานศักยภาพต่ำเช่นกัน แต่มีเอนโทรปีสูงกว่า กำแพงพลังงานอิสระระหว่างตระกูลเหล่านี้มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับพลังงานความร้อนที่มีอยู่ที่อุณหภูมิที่พวกมันอยู่ในสมดุล ตัวอย่างแสดงในรูป โดยมีความน่าจะเป็นในส่วนล่างและพลังงานด้านบนพร้อมแกนของพารามิเตอร์ลำดับ และอุณหภูมิ ที่อุณหภูมิต่ำ คลัสเตอร์เดคาเฮดรัล 75 อะตอม (Dh) เป็นจุดต่ำสุดของพลังงานอิสระโดยรวม แต่เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นเอนโทรปี ที่สูงขึ้น ของโครงสร้างที่แข่งขันกันโดยอิงจากไอโคซาเฮดรัลที่ไม่สมบูรณ์ (Ic) ทำให้เกิดระบบจำกัดที่คล้ายกับการเปลี่ยนเฟสอันดับแรกและที่อุณหภูมิสูงขึ้นไปอีก สถานะคล้ายของเหลวจะได้รับความนิยม^{[ 26 ]}${\displaystyle Q_{6}}$${\displaystyle T}$

มีการสนับสนุนการทดลองโดยอาศัยงานที่อนุภาคนาโนเดี่ยวถูกถ่ายภาพโดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน ไม่ว่าจะเป็นขณะที่พวกมันเติบโตหรือเป็นฟังก์ชันของเวลา หนึ่งในงานแรกๆ คืองานของ Yagi et al ^{[ 101 ]}ซึ่งสังเกตการเปลี่ยนแปลงในโครงสร้างภายในโดยตรงตามเวลาในระหว่างการเติบโต งานวิจัยล่าสุดได้สังเกตความแปรผันในโครงสร้างภายในในเซลล์ของเหลว^{[ 102 ]}หรือการเปลี่ยนแปลงระหว่างรูปแบบต่างๆ อันเนื่องมาจากการให้ความร้อนหรือลำแสงอิเล็กตรอนในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 103 ] [ 104 ] [ 105 ]}รวมถึงผลกระทบของพื้นผิว^{[ 42 ]}

ออลเพรสและแซนเดอร์สเสนอแนวทางทางเลือกในการลดพลังงานเพื่อทำความเข้าใจอนุภาคเหล่านี้ที่เรียกว่า "การเกิดแฝดแบบต่อเนื่อง" ^{[ 18 ]}โดยเริ่มจากหน่วยเตตระเฮดรัลเดี่ยว จากนั้นจึงเกิดแฝดขึ้นโดยบังเอิญระหว่างการเติบโตหรือโดยการชนกับเตตระเฮดรัลอื่น มีการเสนอว่ากระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้จนกระทั่งมีหน่วยรวมกันห้าหน่วยในที่สุด^{[ 106 ]}

คำว่า "การเกิดแฝดต่อเนื่อง" ในปัจจุบันมีความหมายถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้อง: การเคลื่อนที่ของดิสคลิเนชันไปยังหรือจากตำแหน่งสมมาตรตามที่ร่างไว้ในการจำลองอะตอมในรูป^{[ 106 ]}ดูเพิ่มเติมที่ Haiqiang Zhao et al ^{[ 73 ]}สำหรับภาพทดลองที่คล้ายกันมาก

ในขณะที่ภาพทดลองในหลายกรณีแสดงโครงสร้างสมมาตร แต่บางครั้งก็ไม่สมมาตรนัก และศูนย์กลางห้าเท่าค่อนข้างไม่สมมาตร^{[ 107 ] [ 73 ]}มีกรณีที่ไม่สมมาตรซึ่งอาจมีเสถียรภาพชั่วคราว^{[ 7 ]}และความไม่สมมาตรยังอาจเป็นกระบวนการบรรเทาความเครียด^{[ 108 ]}หรือเกี่ยวข้องกับวิธีที่อนุภาคเปลี่ยนเป็นผลึกเดี่ยวหรือจากผลึกเดี่ยว^{[ 101 ] [ 94 ]} ในระหว่างการเติบโตอาจมีการเปลี่ยนแปลง ดังที่ Katsumichi Yagi และคณะได้สังเกตโดยตรงสำหรับการเติบโตภายในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 101 ]} และการเคลื่อนย้ายของดิสคลิเนชันจากภายนอกได้รับการสังเกตในการศึกษาเซลล์ของเหลวในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน^{[ 102 ]}รายละเอียดมากมายเกี่ยวกับกระบวนการอะตอมที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของดิสคลิเนชันได้รับการให้ไว้โดยใช้การคำนวณพลศาสตร์โมเลกุลที่ได้รับการสนับสนุนโดยทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่นดังแสดงในรูป^{[ 106 ]}

อนุภาคทรงสิบเหลี่ยมมีแนวคิดและการประยุกต์ใช้ที่เกี่ยวข้องอยู่หลายประการ

หลังจากการค้นพบควาซิครัสตัล ไม่นาน Linus Pauling ^{[ 109 ] [ 110 ]}ได้เสนอแนะว่าแฝดวงจรห้าเท่าเช่นนี้เป็นแหล่งที่มาของ ข้อมูล การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน ที่ Dan Shechtmanสังเกตเห็น^{[ 111 ]}แม้ว่าจะมีความคล้ายคลึงกัน แต่ปัจจุบันควาซิครัสตัลถือเป็นประเภทการบรรจุที่แตกต่างจากไฟว์ลิงและอนุภาคไอโคซาเฮดรัลที่เกี่ยวข้อง^{[ 112 ] [ 113 ]}

มีความเป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงกับการเร่งปฏิกิริยาแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันโดยอนุภาคเดคาเฮดรัลแสดงประสิทธิภาพที่แตกต่างกัน^{[ 114 ] [ 115 ] [ 58 ] [ 116 ]}การศึกษาครั้งแรกโดย Avery และ Sanders ^{[ 114 ]}ไม่พบอนุภาคเหล่านี้ในตัวเร่งปฏิกิริยารถยนต์ ต่อมางานวิจัยโดย Marks และ Howie พบอนุภาคเหล่านี้ในตัวเร่งปฏิกิริยาเงิน^{[ 115 ]}และยังมีรายงานอื่นๆ อีก มีการเสนอแนะว่าความเครียดที่พื้นผิวสามารถเปลี่ยนแปลงอัตราการเกิดปฏิกิริยาได้^{[ 58 ]}และเนื่องจากมีหลักฐานว่าความเครียดที่พื้นผิวสามารถเปลี่ยนแปลงการดูดซับโมเลกุลและการเร่งปฏิกิริยาได้ จึงมีหลักฐานสนับสนุนทางอ้อมสำหรับเรื่องนี้^{[ 117 ] [ 118 ]}ณ ปี 2024 มีหลักฐานเชิงทดลองบางอย่างเกี่ยวกับปฏิกิริยาเร่งปฏิกิริยาที่แตกต่างกัน^{[ 119 ] [ 116 ] [ 120 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าการตอบสนองของพื้นผิวพลาสมอนโพลาไรตันในอนุภาคนาโนขึ้นอยู่กับรูปร่างของอนุภาค^{[ 121 ]}ด้วยเหตุนี้ อนุภาคทรงสิบเหลี่ยมจึงมีการตอบสนองทางแสงที่เฉพาะเจาะจง^{[ 122 ] [ 123 ]}การใช้งานที่แนะนำอย่างหนึ่งคือการปรับปรุงการดูดซับแสงโดยใช้คุณสมบัติพลาสมอนิกโดยการเพิ่มอนุภาคเหล่านี้ลงในเซลล์แสงอาทิตย์ พอลิเมอ ร์^{[ 124 ]}

การสังเกตไฟว์ลิงส่วนใหญ่เกิดขึ้นกับอนุภาคเดี่ยว โครงสร้างที่คล้ายกันนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในฟิล์มบางเมื่ออนุภาครวมตัวกันเพื่อสร้างการเคลือบต่อเนื่อง แต่จะไม่เกิดการตกผลึกใหม่ทันที^{[ 126 ] [ 127 ]}นอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการอบอ่อนของฟิล์ม^{[ 128 ] [ 129 ]}ซึ่งการจำลองพลศาสตร์โมเลกุลได้ระบุว่ามีความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่ของขอบเขตแฝดและดิสคลิเนชัน^{[ 130 ]}คล้ายกับกรณีของอนุภาคนาโนเดี่ยวที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้มีหลักฐานเชิงทดลองในฟิล์มบางสำหรับการปฏิสัมพันธ์ระหว่างดิสโลเคชันบางส่วนและดิสคลิเนชัน^{[ 131 ]}ดังที่ de Wit ได้กล่าวไว้ในปี 1971 ^{[ 46 ]}นอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้จากการเสียรูปทางกล^{[ 125 ]}การก่อตัวของโครงสร้างไฟว์ลิงในท้องถิ่นโดยการอบอ่อนหรือการเสียรูปนั้นเกิดจากการรวมกันของการคลายความเครียดและการเคลื่อนที่แบบแฝด^{[ 128 ] [ 125 ] [ 132 ]}ซึ่งแตกต่างจากการก่อตัวของอนุภาคที่แยกตัวออกจากกันซึ่งขับเคลื่อนด้วยพลังงานพื้นผิวที่อธิบายไว้ข้างต้น

• เคมีฟิสิกส์  – สาขาย่อยของวิชาเคมีและฟิสิกส์
• กลุ่มอะตอม (ทางเคมี)  – กลุ่มของอะตอมหรือโมเลกุลที่ยึดติดกันหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• กลุ่มอะตอม (ฟิสิกส์)  – กลุ่มอะตอมหรือโมเลกุลขนาดเล็ก
• ลักษณะผลึก  – รูปร่างที่มองเห็นได้ของแร่
• การเกิดผลึกแฝด  – ปรากฏการณ์ในกระบวนการตกผลึก
• การเอียง  – ข้อบกพร่องเชิงมุมในวัสดุ
• แฝดทรงยี่สิบหน้า  – โครงสร้างที่พบในกลุ่มอะตอมและอนุภาคนาโน
• นาโนคลัสเตอร์  – กลุ่มของอะตอมหรือโมเลกุลที่ยึดติดกัน
• วัสดุนาโน  – วัสดุที่มีขนาดอนุภาค 1 ถึง 100 นาโนเมตร
• นาโนไวร์  – ลวดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางระดับนาโนเมตร
• การเกิดนิวเคลียส  – ขั้นตอนเริ่มต้นในการเปลี่ยนสถานะหรือการประกอบตัวเองของโมเลกุลของสาร
• พลังงานพื้นผิว  – พลังงานส่วนเกินที่พื้นผิวของวัสดุเมื่อเทียบกับส่วนภายในของวัสดุนั้น
• ความเค้นบนพื้นผิว  – การเปลี่ยนแปลงของพลังงานพื้นผิวเมื่อเกิดความเครียด
• โครงสร้างวูล์ฟ (Wulff construction)  – รูปทรงที่มีพลังงานต่ำที่สุดของผลึกเดี่ยว

• "รหัสผู้สร้างคริสตัล" . www.on.msm.cam.ac.uk . สืบค้นเมื่อ1 เมษายน 2567 .โค้ดจากกลุ่มของEmilie Ringeซึ่งคำนวณรูปร่างทางอุณหพลศาสตร์และจลนศาสตร์สำหรับอนุภาคทรงสิบเหลี่ยม และยังทำการจำลองทางแสงด้วย ดูเพิ่มเติมที่Boukouvala, Christina; Ringe, Emilie (17 ตุลาคม 2019). "Wulff-Based Approach to Modeling the Plasmonic Response of Single Crystal, Twinned, and Core–Shell Nanoparticles" . The Journal of Physical Chemistry C . 123 (41): 25501– 25508. doi : 10.1021/acs.jpcc.9b07584 . ISSN 1932-7447 . PMC 6822593 . PMID 31681455 .   .
• "WulffPack – ชุดโปรแกรมสำหรับโครงสร้าง Wulff" . wulffpack.materialsmodeling.org . สืบค้นเมื่อ1 เมษายน 2024 .โค้ดจาก JM Rahm และ P Erhart ซึ่งคำนวณรูปร่างทางเทอร์โมไดนามิก ทั้งแบบต่อเนื่องและแบบอะตอม ดูเพิ่มเติมที่Rahm, J.; Erhart, Paul (2020). "WulffPack: แพ็คเกจ Python สำหรับการสร้าง Wulff" . Journal of Open Source Software . 5 (45): 1944. Bibcode : 2020JOSS....5.1944R . doi : 10.21105/joss.01944 . ISSN 2475-9066 . .
• "Shape Software" . www.shapesoftware.com . สืบค้นเมื่อ 9 พฤษภาคม 2024 .โค้ดนี้สามารถใช้สร้างรูปทรง Wulff ทางเทอร์โมไดนามิกส์ รวมถึงการเกิดผลึกแฝดได้