ในพีชคณิตนามธรรมสปลิตควอเทอร์เนียน หรือโคควอเทอร์เนียนเป็นโครงสร้างทางพีชคณิต ที่ เจมส์ ค็อกเคิลนำเสนอในปี ค.ศ. 1849 โดยใช้ชื่อดังกล่าว พวกมันก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคมที่มีมิติสี่เหนือจำนวน จริง

หลังจากมีการนำเสนอนิยามของ วงแหวนและพีชคณิตแบบไม่ขึ้นกับพิกัดในศตวรรษที่ 20 ก็ได้มีการพิสูจน์ว่าพีชคณิตของสปลิตควอเทอร์เนียนนั้นสมมูลกับวงแหวนของเมทริกซ์จริง2×2 ดังนั้นการศึกษาสปลิตควอเทอร์เนียนจึงสามารถลดทอนลงเหลือเพียงการศึกษาเมทริกซ์จริง และนี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการกล่าวถึงสปลิตควอเทอร์เนียนน้อยมากในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 20 และ 21 สปลิตควอเทอร์เนียนยังเทียบเท่ากับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดCl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R )บนจำนวนจริง ดังนั้นการศึกษาสปลิตควอเทอร์เนียนจึงรวมอยู่ในการศึกษาพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและพีชคณิตเชิงเรขาคณิตในวรรณกรรม ทางคณิตศาสตร์และ ฟิสิกส์ ด้วย

สปลิตควอเทอร์เนียนคือการรวมเชิงเส้น (ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง) ขององค์ประกอบพื้นฐานสี่ตัว1, i, j, kที่สอดคล้องกับกฎการคูณต่อไปนี้:

i ² = −1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

โดยหลักการของความสัมพันธ์แบบสมาคมความสัมพันธ์เหล่านี้หมายความว่า

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

และijk = 1ด้วย เช่นกัน

ดังนั้น สปลิตควอเทอร์เนียนจึงก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติสี่ โดยมี{1, i, j, k}เป็นฐานนอกจากนี้ยังก่อให้เกิดวงแหวนไม่สลับที่ได้ ด้วย โดยการขยายกฎผลคูณข้างต้นโดยใช้คุณสมบัติการกระจายไปยังสปลิตควอเทอร์เนียนทั้งหมด

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

เมทริกซ์เหล่านี้มีตารางการคูณเดียวกันกับควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่สอดคล้องกัน เนื่องจากเมทริกซ์เหล่านี้เป็นฐานของเมทริกซ์สองคูณสองฟังก์ชัน เชิงเส้นเฉพาะ ที่แมป1, i, j, kไปยัง(ตามลำดับ) จะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิตจากควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนไปยังเมทริกซ์จริงสองคูณสอง ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {1}},{\boldสัญลักษณ์ {i}},{\boldสัญลักษณ์ {j}},{\boldสัญลักษณ์ {k}}}$

กฎการคูณข้างต้นบ่งชี้ว่าองค์ประกอบทั้งแปด1, i, j, k, −1, −i, −j, −kก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การคูณนี้ ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มไดเฮดรัล D ₄ซึ่ง เป็น กลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดยอดเป็นจุดที่มีพิกัดเป็น-1หรือ+1ดังนั้นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เรียงตามเข็มนาฬิกาจากมุมอะซิมุธ +45° คือ เมทริกซ์มีดีเทอร์มิแนนต์และให้การหมุนตามเข็มนาฬิกาหนึ่งในสี่รอบ เนื่องจากเมทริกซ์มีดีเทอร์มิแนนต์ -1 และเป็นการสะท้อนเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมแรก มันตรึงจุดยอดและและสะท้อนจุดยอดและเข้าหากัน เมทริกซ์เป็นการสะท้อนเกี่ยวกับ แกน xมันทำและเมทริกซ์ลบของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเมทริกซ์กำลังสองของเมทริกซ์มีดีเทอร์มิแนนต์และหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัส 180° รอบจุดกำเนิด มันทำ และ${\displaystyle x{\text{,}}\,y}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\bigg \{}\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}+1\\+1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}+1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}={\begin{pmatrix}-1\\+1\end{pmatrix}}{\bigg \}}}$$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {i}}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{1}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{3}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{2}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{4}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{3}{\text{,}}\;\mathbf {x} _{1}=\mathbf {i} \,\mathbf {x} _{4}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {j}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {k}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{3}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$${\displaystyle \mathbf {i} }$${\displaystyle +1}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}\leftrightarrow \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}\leftrightarrow \mathbf {x} _{4}}$

เช่นเดียวกับควอเทอร์เนียน ที่ แฮมิลตันแนะนำในปี 1843 ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนเหล่านี้ก่อให้เกิดพีชคณิตเชิงสัมพันธ์จริง สี่ มิติแต่เช่นเดียวกับพีชคณิตจริงของเมทริกซ์ 2×2 และแตกต่างจากพีชคณิตจริงของควอเทอร์เนียน ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนประกอบด้วยตัวหารศูนย์ที่ไม่ใช่ตัวหารศูนย์ธรรมดาสมาชิกนิลโพเทนต์ และสมาชิกไอเดมโพเทนต์ (ตัวอย่างเช่น⁠1/2( 1 + jเป็นตัวหารศูนย์ที่สมมูลตัวเอง และ i − jเป็นตัวหารศูนย์ที่สมมูลตัวเอง) ในฐานะพีชคณิตเหนือจำนวนจริงพีชคณิตของสปลิตควอเทอร์เนียนนั้นสมมูลกับพีชคณิตของเมทริกซ์จริง 2×2 โดยสมมูลที่กำหนดไว้ข้างต้น

ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ทำให้สามารถระบุควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนแต่ละตัวด้วยเมทริกซ์ 2×2 ได้ ดังนั้นคุณสมบัติทุกอย่างของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนจึงสอดคล้องกับคุณสมบัติที่คล้ายกันของเมทริกซ์ ซึ่งมักจะมีชื่อเรียกที่แตกต่างกัน

คอนจูเกตของสปลิตควอเทอร์เนียน q = w + x i + y j + z kคือq ^∗ = w − x i − y j − z kในแง่ของเมทริกซ์ คอนจูเกตคือเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ที่ได้จากการสลับตำแหน่งของสมาชิกในแนวทแยงมุมและเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกอีกสองตัว

ผลคูณของสปลิตควอเทอร์เนียนกับคอนจูเกตของมันคือฟอร์มกำลังสองแบบไอโซโทรปิก :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

ซึ่งเรียกว่าค่ามาตรฐานของสปลิตควอเทอร์เนียน หรือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงของสปลิตควอเทอร์เนียนq = w + x i + y j + z kคือw = ( q ^∗ + q )/2ซึ่งเท่ากับร่องรอยของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

ค่ามาตรฐานของผลคูณของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนสองตัว คือ ผลคูณของค่ามาตรฐานของทั้งสองตัวนั้น ในทำนองเดียวกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์ คือ ผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เหล่านั้น คุณสมบัตินี้หมายความว่าควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนก่อให้เกิดพีชคณิตการประกอบเนื่องจากมีควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมีค่ามาตรฐานเป็นศูนย์ ดังนั้นควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนจึงก่อให้เกิด "พีชคณิตการประกอบแบบแยกส่วน" – จึงเป็นที่มาของชื่อนี้

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่มีนอร์มไม่เป็นศูนย์จะมีตัวผกผันแบบคูณนั่นคือq ^∗ / N ( q )ในแง่ของเมทริกซ์ นี่เทียบเท่ากับกฎของเครเมอร์ที่กล่าวว่าเมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์ และในกรณีนี้ ตัวผกผันของเมทริกซ์คือผลหารของเมทริกซ์ คู่ ควบกับดีเทอร์ มิแนนต์ เมทริกซ์คู่ควบคือเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์และเรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์แอดจอยต์หรือเมทริกซ์แอดจังก์ต์

ความสมมาตรระหว่างสปลิตควอเทอร์เนียนและเมทริกซ์จริง 2×2 แสดงให้เห็นว่ากลุ่มการคูณของสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีนอร์มไม่เป็นศูนย์นั้นสมมาตรกับและกลุ่มของสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีนอร์ม1นั้นสมมาตรกับ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

ในทางเรขาคณิต สปลิตควอเทอร์เนียนสามารถเปรียบเทียบได้กับควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันในฐานะกลุ่มของระนาบในทั้งสองกรณี จำนวนจริงจะก่อตัวเป็นแกนของกลุ่มระนาบ ในควอเทอร์เนียนของแฮมิลตันจะมีทรงกลมของหน่วยจินตนาการ และหน่วยจินตนาการตรงข้ามกันสองคู่ใดๆ จะสร้างระนาบเชิงซ้อนที่มีเส้นจำนวนจริง สำหรับสปลิตควอเทอร์เนียนจะมีไฮเปอร์โบโลอิดของหน่วยไฮเปอร์โบลิกและหน่วยจินตนาการที่สร้างระนาบเชิงซ้อนแบบสปลิตหรือระนาบเชิงซ้อนธรรมดา ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างในหัวข้อ§ การแบ่งชั้น

มีการแสดงแทนควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปของ พีชคณิตย่อย แบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ของ เมทริกซ์ 2×2ที่มี สมาชิก เป็นจำนวนเชิงซ้อนการแสดงแทนนี้สามารถกำหนดได้โดยโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตที่แมปควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนw + x i + y j + z kไปยังเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}}.}$

ในที่นี้i ( ตัวเอียง ) คือหน่วยจินตนาการซึ่งไม่ควรสับสนกับองค์ประกอบพื้นฐานของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนi ( ตัวโรมันปกติ )

ภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้คือวงแหวนเมทริกซ์ที่เกิดจากเมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

โดยที่ตัวยกหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ${\displaystyle ^{*}}$

โฮโมมอร์ฟิซึมนี้จะแมปควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนi, j, kไปยังเมทริกซ์ ตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

การเปรียบเทียบความเหมือนกันของพีชคณิตจะเสร็จสมบูรณ์โดยใช้การคูณเมทริกซ์เพื่อตรวจสอบเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ i, j และ k ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle jk={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i.}$

ดังนั้น สำหรับควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่แสดงในรูปเมทริกซ์เชิงซ้อน ค่าสังยุคคือเมทริกซ์ของโคแฟกเตอร์ และค่าบรรทัดฐานคือดีเทอร์มิแนนต์

ด้วยการแสดงควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน เมทริกซ์ของดีเทอร์มิแนนต์1จะสร้างกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(1,1)ซึ่งใช้ในการอธิบาย การเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกของแบบจำลองดิสก์ปวงกาเร ในเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก^{[ 1 ]}

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนอาจสร้างขึ้นโดยการสร้าง Cayley–Dickson ที่ดัดแปลง^{[ 2 ]}คล้ายกับวิธีการของLE DicksonและAdrian AlbertสำหรับพีชคณิตการหารC , HและOกฎการคูณ จะใช้เมื่อสร้างผลคูณสองเท่าในกรณีแยกจริง คอนจูเกตสองเท่าเพื่อให้ ถ้าaและbเป็นจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วนและควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วน$${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$$${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

แล้ว$${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

ในส่วนนี้เราจะศึกษาและจำแนกประเภท ของพีชคณิตย่อย จริงที่สร้างขึ้นโดยควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนเดี่ยว

ให้p = w + x i + y j + z kเป็นสปลิตควอเทอร์เนียนส่วนจริง ของมัน คือw = ⁠1/2( p + p ^* )ให้ q = p – w =​​1/2ให้ ( p – p ^* )เป็นส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริง จะ ^ได้ว่า q ^* = –qดังนั้น จึงสรุปได้ว่า p²เป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ pเป็นจำนวนจริง ( q = 0และ p = w ) หรือเป็นควอเทอร์เนียนแยกส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงล้วนๆ ( w = 0และ p = q ) ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

โครงสร้างของพีชคณิตย่อยที่สร้างโดยp นั้น เป็นไปตามหลักการตรงไปตรงมา กล่าวคือ ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

และนี่คือพีชคณิตสลับที่มิติของมันคือสอง ยกเว้นในกรณีที่pเป็นจำนวนจริง (ในกรณีนี้ พีชคณิตย่อยก็คือ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

องค์ประกอบอจำนวนจริงที่มีกำลังสองเป็นจำนวนจริงจะมีรูปแบบaqโดยที่${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

ต้องพิจารณาสามกรณี ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดในหัวข้อย่อยถัดไป

จากสัญลักษณ์ข้างต้น ถ้า(นั่นคือ ถ้าqเป็นจำนวนนิลโพเทนต์ ) แล้วN ( q ) = 0นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ามีwและt อยู่ ในนั้นโดยที่0 ≤ t < 2πและ ${\displaystyle q^{2}=0,}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนทั้งหมดที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงเป็นจำนวนนิลโพเทนต์

นี่เป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของพีชคณิตย่อยเหล่านี้โดยใช้จุดบนวงกลมเช่นกัน: ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปแบบดังกล่าวจะก่อตัวเป็นวงกลม พีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบนิลโพเทนต์จะมีจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียว และวงกลมนั้นจะไม่มีจุดอื่นใดอีก ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบนิลโพเทนต์นั้นสมมาตรกับและ กับระนาบของจำนวนคู่${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

นี่คือกรณีที่N ( q ) > 0โดยให้ หนึ่งมี ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า⁠1/nqเป็นส่วนหนึ่งของไฮเปอร์โบโลอิดของระนาบสองแผ่นของสมการดังนั้น จึงมีจำนวนจริง n , t , uที่ 0 ≤ t < 2πและ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนทั้งหมดที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงซึ่งมีบรรทัดฐานเป็นบวก

นี่เป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของพีชคณิตย่อยที่สอดคล้องกันโดยคู่ของจุดตรงข้ามของไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่น: ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปแบบดังกล่าวสร้างไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่น; พีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นบวกจะมีจุดตรงข้ามสองจุดบนไฮเปอร์โบโลอิดนี้พอดี จุดหนึ่งอยู่บนแต่ละแผ่น; และไฮเปอร์โบโลอิดนี้ไม่มีจุดอื่นใดอีก ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นบวกนั้น สมมาตรกับและ กับฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

นี่คือกรณีที่N ( q ) < 0โดยให้ หนึ่งมี ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า⁠1/nqเป็นส่วนหนึ่งของไฮเปอร์โบโลอิดของระนาบหนึ่งของสมการ ^y² + z² − x² = ¹ ดังนั้นจึง^มีจำนวนจริง n , t , uที่ 0 ≤ t < 2πและ

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ของควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนทั้งหมดที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงซึ่งมีบรรทัดฐานเป็นลบ

นี่เป็นการกำหนดพารามิเตอร์ของพีชคณิตย่อยที่สอดคล้องกันโดยใช้จุดตรงข้ามสองจุดของไฮเปอร์โบโลอิดหนึ่งแผ่น: ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนในรูปแบบดังกล่าวจะสร้างไฮเปอร์โบโลอิดหนึ่งแผ่น; พีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนที่มีส่วนที่ไม่ใช่จำนวนจริงที่มีค่าบรรทัดฐานเป็นลบจะมีจุดตรงข้ามสองจุดบนไฮเปอร์โบโลอิดนี้อย่างแน่นอน; และไฮเปอร์โบโลอิดนี้จะไม่มีจุดอื่นใดอีก ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีส่วนที่ไม่เป็นจำนวนจริงที่มีบรรทัดฐานเป็นลบนั้น สม isomorphic กับและกับวงแหวนของจำนวนเชิงซ้อนแบบสปลิตนอกจากนี้ยังสม isomorphic (ในฐานะพีชคณิต) กับโดยการแมปที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

ดังที่เห็นข้างต้น สปลิตควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จำนวนจริงโดยสมบูรณ์ที่มีค่ามาตรฐาน-1, 1และ0จะก่อตัวเป็นไฮเปอร์โบโลอิดหนึ่งแผ่น ไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่น และกรวยวงกลม ตาม ลำดับ ในปริภูมิของควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จำนวนจริง

พื้นผิวเหล่านี้เป็น เส้นกำกับคู่และไม่ตัดกันส่วนประกอบเติมเต็มของพื้นผิวเหล่านี้ประกอบด้วยบริเวณที่เชื่อมต่อกันหกบริเวณ:

• บริเวณทั้งสองที่ตั้งอยู่บนด้านเว้าของไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่น โดยที่${\displaystyle N(q)>1}$
• บริเวณสองแห่งระหว่างไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่นกับกรวย ซึ่ง${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• บริเวณระหว่างกรวยและไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียวที่${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• บริเวณภายนอกไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นหนึ่งแผ่น ซึ่ง${\displaystyle N(q)<-1}$

การแบ่งชั้นนี้สามารถปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นได้โดยการพิจารณาสปลิตควอเทอร์เนียนที่มีนอร์มคงที่: สำหรับจำนวนจริงn ≠ 0 ทุก ตัว สปลิตควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จำนวนจริงล้วนๆ ที่มีนอร์มnจะก่อให้เกิดไฮเปอร์โบโลอิด ไฮเปอร์โบโลอิดเหล่านี้ทั้งหมดเป็นเส้นกำกับของกรวยข้างต้น และไม่มีพื้นผิวใดตัดกับพื้นผิวอื่น เนื่องจากเซตของสปลิตควอเทอร์เนียนที่ไม่ใช่จำนวนจริงล้วนๆ คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของพื้นผิวเหล่านี้ จึงทำให้ได้การแบ่งชั้นที่ต้องการ

ควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนได้รับการนำไปใช้กับการปรับสมดุลสี^{[ 3 ]}แบบจำลองนี้อ้างอิงถึงพีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์สมมาตรที่แสดงถึงพีชคณิต แบบจำลองนี้ทำให้ไตรโครมาซี สอดคล้อง กับการต่อต้านของเฮริงและใช้แบบจำลอง Cayley–Kleinของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกสำหรับระยะทางสี

โคควอเทอร์เนียนได้รับการแนะนำครั้งแรก (ภายใต้ชื่อนั้น) ^{[ 4 ]}ในปี พ.ศ. 2392 โดยเจมส์ ค็อกเคิล ใน นิตยสารปรัชญาลอนดอน-เอดินบะระ-ดับลินบทความแนะนำโดยค็อกเคิลได้รับการกล่าวถึงอีกครั้งในบรรณานุกรม^{[ 5 ]}ของสมาคมควอเทอร์เนียน ในปี พ.ศ. 2447

ในปี พ.ศ. 2421 WK Cliffordเกือบจะอธิบายการแสดงแทนควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนด้วยเมทริกซ์: ^{[ 6 ]}เขาใช้Kเพื่อแสดงหน่วยจินตนาการ ข้อผิดพลาดเพียงอย่างเดียวคือเครื่องหมายลบหายไปในสมการ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle JK={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-I.}$

อเล็กซานเดอร์ แมคฟาร์เลนเรียกโครงสร้างของเวกเตอร์สปลิตควอเทอร์เนียนว่าเป็นระบบเอ็กซ์สเฟริคัลเมื่อเขาพูดในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ในปารีสในปี พ.ศ. 2443 ^{[ 7 ]}แมคฟาร์เลนพิจารณา "คู่ตรงข้ามไฮเปอร์โบโลอิดัลของการวิเคราะห์ทรงกลม" ในบทความปี พ.ศ. 2453 เรื่อง "การรวมและการพัฒนาหลักการของพีชคณิตของพื้นที่" ในวารสารของสมาคมควอเทอร์เนียน^{[ 8 ]}

Hans Beckเปรียบเทียบการแปลงควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนกับคุณสมบัติการสลับวงกลมของการแปลงโมเบียสในปี พ.ศ. 2453 ^{[ 9 ]}โครงสร้างควอเทอร์เนียนแบบแยกส่วนยังถูกกล่าวถึงสั้นๆ ในAnnals of Mathematics อีกด้วย ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• พาราควอเทอร์เนียน (Ivanov และ Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) แมนิโฟลด์ที่มีโครงสร้างพาราควอเทอร์เนียนได้รับการศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีสตริงในเอกสารเกี่ยวกับพาราควอเทอร์เนียนkจะถูกแทนที่ด้วย−k
• ระบบทรงกลมเอ็กสเฟริคัล (แมคฟาร์เลน 1900)
• สปลิตควอเทอร์เนียน (Rosenfeld 1988) ^{[ 12 ]}
• แอนติควอเทอร์เนียน (โรเซนเฟลด์ 1988)
• ซูโดควอเทอร์เนียน (Yaglom 1968 ^{[ 13 ]} Rosenfeld 1988)

• เมทริกซ์ของเปาลี
• สปลิต-ไบควอเทอร์เนียน
• ออคโทเนียนแยก
• ควอเทอร์เนียนคู่

• Brody, Dorje C.และEva-Maria Graefe . "เกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงซ้อนและโคควอเทอร์เนียน". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic manifolds", Differential Geometry and its Applications 23 , pp. 205–234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 . 
• Mohaupt, Thomas (2006), "การพัฒนาใหม่ในเรขาคณิตพิเศษ", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "รากของควอเทอร์เนียนแยก", Applied Mathematics Letters 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006) "การหมุนด้วยควอเทอร์เนียนแบบไทม์ไลค์ในปริภูมิ Minkowski 3 มิติ" วารสารเรขาคณิตและฟิสิกส์ 56: 322–36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) คุณสมบัติทางพีชคณิตและเชิงวิเคราะห์บางประการของพีชคณิตโคควอเทอร์เนียนความก้าวหน้าในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดประยุกต์