ในทางคณิตศาสตร์ แนวทาง สมัยใหม่ที่ไม่ขึ้นกับส่วนประกอบของทฤษฎีเทนเซอร์มองเทนเซอร์ว่าเป็นวัตถุเชิงนามธรรม ที่แสดงถึงแนวคิด เชิงเส้นหลายตัวแปรแบบใดแบบหนึ่งคุณสมบัติของเทนเซอร์สามารถอนุมานได้จากนิยามของมัน ไม่ว่าจะเป็นแผนที่เชิงเส้นหรือโดยทั่วไปแล้ว กฎสำหรับการจัดการเทนเซอร์เกิดขึ้นจากการขยายพีชคณิตเชิงเส้นไปสู่พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปร

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ข้อความทางเรขาคณิตที่แท้จริงอาจถูกอธิบายโดยฟิลด์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์และไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงพิกัดเลย เช่นเดียวกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปฟิลด์เทนเซอร์ที่ใช้อธิบายคุณสมบัติทางกายภาพ ก็ใช้ได้เช่น กัน วิธีการที่ไม่ต้องพึ่งพาองค์ประกอบนี้ยังถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในพีชคณิตนามธรรมและพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีซึ่งเทนเซอร์เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติ

กำหนดให้เซตจำกัด{ V ₁ , ..., V _n }ของปริภูมิเวกเตอร์ เหนือ ฟิลด์ ร่วมFเราสามารถสร้างผลคูณเทนเซอร์V ₁ ⊗ ... ⊗ V _nซึ่งองค์ประกอบของผลคูณนี้เรียกว่าเทนเซอร์

จากนั้น เทนเซอร์บนปริภูมิเวกเตอร์V จะ ถูก นิยามให้เป็นองค์ประกอบของ (กล่าวคือ เวกเตอร์ใน) ปริภูมิเวกเตอร์ในรูปแบบ: โดยที่V ^∗คือปริภูมิคู่ของV$${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$$

ถ้าในผลคูณของเรามีV จำนวน mชุดและV ^*จำนวนnชุด เทนเซอร์นั้นจะเรียกว่าเป็นเทนเซอร์ประเภท ( m , n )และเป็นแบบคอนทราเวเรียนต์อันดับmและแบบโคเวเรียนต์อันดับn และมี อันดับรวมm + nเทนเซอร์อันดับศูนย์คือสเกลาร์ (องค์ประกอบของฟิลด์F ) เทนเซอร์แบบคอนทราเวเรียนต์อันดับ 1 คือเวกเตอร์ในVและเทนเซอร์แบบโคเวเรียนต์อันดับ 1 คือวันฟอร์มในV ^* (ด้วยเหตุนี้ องค์ประกอบของสองปริภูมิหลังนี้จึงมักเรียกว่าเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์และเวกเตอร์โคเวเรียนต์) ปริภูมิของเทนเซอร์ประเภท( m , n ) ทั้งหมด จะถูกแทนด้วย $${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$$

ตัวอย่างที่ 1.เมื่อเป็นมิติจำกัด ปริภูมิของเทนเซอร์ ประเภท (1, 1)จะสมมาตรกันในลักษณะที่เป็นธรรมชาติกับปริภูมิของการแปลงเชิงเส้นจากVไปยัง V${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\oคูณ V^{*},}$

ตัวอย่างที่ 2เมื่อเป็นมิติจำกัดรูปแบบทวิเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงVจะ สอดคล้องกับ เทนเซอร์ประเภท(0, 2) ใน อย่างเป็นธรรมชาติ ตัวอย่างของรูปแบบทวิเชิงเส้นดังกล่าวอาจถูกกำหนดขึ้น เรียกว่า เทนเซอร์เมตริกที่ เกี่ยวข้องและโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์g${\displaystyle V}$${\displaystyle V\times V\to F,}$${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$

คำว่าอันดับของเทนเซอร์ขยายความมาจากแนวคิดของอันดับของเมทริกซ์ในพีชคณิตเชิงเส้น แม้ว่าคำนี้มักใช้หมายถึงลำดับ (หรือดีกรี) ของเทนเซอร์ด้วยก็ตาม อันดับของเมทริกซ์คือจำนวนเวกเตอร์คอลัมน์ขั้นต่ำที่จำเป็นในการครอบคลุมช่วงของเมทริกซ์ดังนั้น เมทริกซ์จะมีอันดับหนึ่งหากสามารถเขียนได้เป็นผลคูณภายนอกของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว: อันดับของเมทริกซ์คือจำนวนเมทริกซ์อันดับหนึ่งขั้นต่ำที่รวมกันได้เท่ากับ: $${\displaystyle A=vw^{\คณิตศาสตร์ {T} }.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$$

เทนเซอร์แบบง่าย (เรียกอีกอย่างว่าเทนเซอร์อันดับหนึ่ง เทนเซอร์พื้นฐาน หรือเทนเซอร์ที่แยกส่วนได้^{[ 1 ]} ) คือเทนเซอร์ที่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของเทนเซอร์ในรูปแบบ ที่a , b , ..., dไม่เป็นศูนย์และอยู่ในVหรือV ^∗ – นั่นคือ ถ้าเทนเซอร์ไม่เป็นศูนย์และสามารถแยกตัวประกอบได้ อย่างสมบูรณ์ เทนเซอร์ทุกตัวสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของเทนเซอร์แบบง่ายอันดับของเทนเซอร์Tคือจำนวนขั้นต่ำของเทนเซอร์แบบง่ายที่รวมกันได้T ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$$

เทนเซอร์ศูนย์มีอันดับศูนย์ เทนเซอร์อันดับ 0 หรือ 1 ที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีอันดับ 1 เสมอ อันดับของเทนเซอร์อันดับ 2 หรือสูงกว่าที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของมิติของเวกเตอร์ทั้งหมด ยกเว้นเวกเตอร์ที่มีมิติสูงสุดใน (ผลรวมของผลคูณของ) ที่สามารถแสดงเทนเซอร์ได้ ซึ่งก็คือd ^{n −1}เมื่อผลคูณแต่ละอันเป็นผลคูณของ เวกเตอร์ n ตัวจากปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดที่มีมิติ d

ในทางดัชนี เทนเซอร์อันดับ 1 คือเทนเซอร์ที่มีรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$$

อันดับของเทนเซอร์อันดับ 2 สอดคล้องกับอันดับเมื่อพิจารณาเทนเซอร์เป็นเมทริกซ์ [ ^{3 ] และ}สามารถกำหนดได้จากการกำจัดแบบเกาส์เซียนเป็นต้น อย่างไรก็ตาม อันดับของเทนเซอร์อันดับ 3 หรือสูงกว่านั้นมักจะยากมากที่จะกำหนด และการแยกส่วนเทนเซอร์ที่มีอันดับต่ำบางครั้งก็มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก^{[ 4 ]}ในความเป็นจริง ปัญหาของการหาอันดับของเทนเซอร์อันดับ 3 บนฟิลด์จำกัด ใดๆ นั้น เป็นNP-Completeและบนจำนวนตรรกยะนั้นเป็นNP-Hard [ ^{5 ] งาน}คำนวณ เช่น การคูณเมทริกซ์อย่างมีประสิทธิภาพและการประเมินพหุนาม อย่างมีประสิทธิภาพ สามารถแปลงเป็นปัญหาของการประเมินชุดของฟอร์มเชิงเส้นคู่ พร้อมกัน สำหรับอินพุตที่กำหนดx _iและy _j หาก ทราบ การแยกส่วนเทนเซอร์ Tที่มีอันดับต่ำ ก็ จะทราบกลยุทธ์การประเมิน ที่มีประสิทธิภาพ ^{[ 6 ]}$${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$$

ปริภูมิสามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติสากลในแง่ของการแมปเชิงเส้นหลายตัวข้อดีของแนวทางนี้คือ ช่วยให้เห็นว่าการแมปเชิงเส้นจำนวนมากเป็น "ธรรมชาติ" หรือ "เรขาคณิต" (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานใดๆ) จากนั้นจึงสามารถเขียนข้อมูลการคำนวณที่ชัดเจนโดยใช้ฐานได้ และลำดับความสำคัญนี้อาจสะดวกกว่าการพิสูจน์ว่าสูตรหนึ่งก่อให้เกิดการแมปที่เป็นธรรมชาติ อีกแง่มุมหนึ่งคือ ผลคูณเทนเซอร์ไม่ได้ใช้เฉพาะกับโมดูลอิสระ เท่านั้น และแนวทาง "สากล" สามารถนำไปใช้กับสถานการณ์ทั่วไปได้ง่ายกว่า ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$

ฟังก์ชันค่าสเกลาร์บนผลคูณคาร์ทีเซียน (หรือผลรวมโดยตรง ) ของปริภูมิเวกเตอร์ เรียกว่าฟังก์ชันหลายเชิงเส้น ถ้าฟังก์ชันนั้นเป็นเชิงเส้นในแต่ละอาร์กิวเมนต์ ปริภูมิของการแมปหลายเชิงเส้นทั้งหมดจากV ₁ × ... × V _NไปยังWจะใช้สัญลักษณ์L ^N ( V ₁ , ..., V _N ;  W )เมื่อN = 1 การแมปหลายเชิงเส้นก็คือการแมปเชิงเส้นธรรมดา และปริภูมิของการแม ป เชิงเส้นทั้งหมดจากVไปยังWจะใช้สัญลักษณ์L ( V ; W )$${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$$

ลักษณะเฉพาะสากลของผลคูณเทนเซอร์บ่งชี้ว่า สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นหลายตัวแต่ละฟังก์ชัน (โดยที่W สามารถแทนฟิลด์ของสเกลา ร์ ปริภูมิเวกเตอร์ หรือปริภูมิเทนเซอร์) จะมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันเพียงฟังก์ชันเดียว ซึ่ง สำหรับทุกv _iในVและα _iในV ^∗$${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$$$${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$$$${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$$

โดยใช้คุณสมบัติสากล จะได้ว่า เมื่อVมีมิติจำกัดปริภูมิของ เทนเซอร์ ( m , n )จะมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ$${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$$

แต่ละVในนิยามของเทนเซอร์จะสอดคล้องกับV ^∗ภายในอาร์กิวเมนต์ของแผนที่เชิงเส้น และในทางกลับกัน (โปรดทราบว่าในกรณีแรก มีV จำนวน mชุดและV ^∗จำนวนn ชุด และในกรณีหลังจะเป็นไปในทางตรงกันข้าม) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมี $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$$

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์มักต้องเกี่ยวข้องกับสนามเทนเซอร์บนแมนิโฟลด์เรียบคำว่าเทนเซอร์บางครั้งใช้เป็นคำย่อของสนามเทนเซอร์สนามเทนเซอร์แสดงถึงแนวคิดของเทนเซอร์ที่เปลี่ยนแปลงไปตามแต่ละจุดบนแมนิโฟลด์