การวิเคราะห์ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์หรือหัวข้อทางคณิตศาสตร์ โดย ไม่ใช้พิกัดหรือส่วนประกอบจะ พัฒนาแนวคิดเหล่านั้นบน ระนาบ ใดๆ ก็ได้ โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงระบบพิกัด ใดๆ โดย เฉพาะ

โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณแบบไม่ขึ้นกับพิกัดจะทำให้ระบบสมการง่ายขึ้น และจำกัดความไม่สอดคล้องกันบางประเภทโดยธรรมชาติ ทำให้ได้ความสง่างามทางคณิตศาสตร์ มากขึ้น แต่ต้องแลกมาด้วยการลดทอนความซับซ้อนของสูตรโดยละเอียดที่จำเป็นในการประเมินสมการเหล่านี้ภายในระบบพิกัดเฉพาะ

นอกเหนือจากความสง่างามแล้ว การคำนวณแบบไม่ขึ้นกับพิกัดยังมีความสำคัญอย่างยิ่งในบางแอปพลิเคชันสำหรับการพิสูจน์ว่านิยามที่กำหนดนั้นถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีฐานอาจดูน่าสนใจที่จะสร้างปริภูมิคู่ขนานเป็นปริภูมิที่เกิดจากการรวมสัญลักษณ์ที่มีวงเล็บแต่ก็ไม่ชัดเจนในทันทีว่าการสร้างนี้เป็นอิสระจากระบบพิกัดเริ่มต้นที่เลือกไว้ ดังนั้นจึงควรสร้างเป็นปริภูมิของฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีวงเล็บแล้วจึงหาอนุพันธ์ของสูตรที่ขึ้นกับพิกัดจากโครงสร้างนี้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle v_{1}^{*},...,v_{n}^{*}}$${\displaystyle \langle \sum \alpha _{i}v_{i},\sum \beta _{i}v_{i}^{*}\rangle :=\sum \alpha _{i}\beta _{i}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \langle v,\varphi \rangle =\varphi (v)}$

อย่างไรก็ตาม บางครั้งการดำเนินการจากวิธีการที่ไม่ขึ้นกับพิกัดอาจซับซ้อนเกินไป หรือวิธีการที่ไม่ขึ้นกับพิกัดอาจรับประกันความเป็นเอกลักษณ์แต่ไม่รับประกันการมีอยู่ของวัตถุที่อธิบาย หรือวิธีการที่ไม่ขึ้นกับพิกัดอาจไม่มีอยู่จริง ตัวอย่างเช่น สถานการณ์สุดท้าย การแมปบ่งชี้ถึงไอโซมอร์ฟิซึมทั่วไประหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดกับปริภูมิคู่ แต่ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ไม่ได้รับการรับรองโดยคำจำกัดความที่ไม่ขึ้นกับพิกัดใดๆ ตัวอย่างเช่น สถานการณ์ที่สอง วิธีทั่วไปในการสร้างผลคูณไฟเบอร์ของสกีมเกี่ยวข้องกับการติดกาวตามแพทช์แอฟฟิน^{[ 1 ]}เพื่อลดความไม่สง่างามของการสร้างนี้ ผลคูณไฟเบอร์จึงมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสากลที่สะดวก และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นอิสระจากแพทช์แอฟฟินเริ่มต้นที่เลือก ${\displaystyle v_{i}\mapsto v_{i}^{*}}$

ก่อนการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์โดยเดส์การ์ต การศึกษา เรขาคณิตโดยไม่ใช้พิกัดเป็นแนวทางเดียวที่มีอยู่(และปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเรขาคณิตสังเคราะห์ ) หลังจากที่การศึกษาเรขาคณิตส่วนใหญ่ใช้พิกัดเป็นหลักมาหลายศตวรรษ แนวโน้มในปัจจุบันคือการแนะนำการศึกษาเรขาคณิตโดยไม่ใช้พิกัดให้แก่นักเรียนตั้งแต่เนิ่นๆ แล้วจึงค่อยอธิบายการศึกษาเรขาคณิตโดยใช้พิกัดจากการศึกษาเรขาคณิตโดยไม่ใช้พิกัด แทนที่จะทำในทางกลับกัน

สาขาต่างๆ ที่ปัจจุบันมักนำเสนอด้วยการรักษาแบบไร้พิกัด ได้แก่แคลคูลัสเวกเตอร์เทนเซอร์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และกราฟิกคอมพิวเตอร์^{[ 2 ]}

ในวิชาฟิสิกส์ การมีอยู่ของวิธีการที่ไม่ขึ้นกับพิกัดในการ อธิบาย ทฤษฎีทางฟิสิกส์นั้นเป็นผลสืบเนื่องมาจากหลักการความแปรผันทั่วไป

• ความแปรปรวนร่วมทั่วไป
• พื้นฐานของเรขาคณิต
• การเปลี่ยนฐาน
• เงื่อนไขพิกัด
• การประมวลผลเทนเซอร์แบบปราศจากส่วนประกอบ
• ความเป็นอิสระของภูมิหลัง
• โทโพโลยีที่ไร้ประโยชน์