ในพีชคณิตสากลและตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์พีชคณิตเทอมคือโครงสร้างพีชคณิต ที่สร้างขึ้นอย่างอิสระ เหนือลายเซ็น ที่ กำหนด^{[ 1 ] [ 2 ]}ตัวอย่างเช่น ในลายเซ็นที่ประกอบด้วยการดำเนินการไบนารี เดียว พีชคณิตเทอมเหนือเซตX ของตัวแปรคือ แมกมาอิสระที่สร้างขึ้นโดยXอย่างแท้จริงคำพ้องความหมายอื่นๆ สำหรับแนวคิดนี้ ได้แก่พีชคณิตอิสระสัมบูรณ์และพีชคณิตอนาธิปไตย^{[ 3 ]}

จาก มุมมอง ของทฤษฎีหมวดหมู่ พีชคณิตเทอมเป็นวัตถุเริ่มต้นสำหรับ หมวดหมู่ของพีชคณิตที่สร้างโดย Xทั้งหมดที่มีลายเซ็นเดียวกันและวัตถุนี้ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม เรียกว่าพีชคณิตเริ่มต้นโดยสร้างพีชคณิตทั้งหมดในหมวดหมู่ด้วยการฉายภาพโฮโมมอร์ฟิก^{[ 4 ] [ 5 ]}

แนวคิดที่คล้ายกันคือจักรวาลเฮอร์แบรนด์ในตรรกะซึ่งมักใช้ชื่อนี้ใน การเขียน โปรแกรมเชิงตรรกะ^{[ 6 ]}ซึ่งถูกกำหนด (อย่างอิสระโดยสมบูรณ์) โดยเริ่มจากเซตของค่าคงที่และสัญลักษณ์ฟังก์ชันในเซตของข้อความนั่นคือ จักรวาลเฮอร์แบรนด์ประกอบด้วยเทอมพื้นฐาน ทั้งหมด : เทอมที่ไม่มีตัวแปรอยู่ในนั้น

สูตรอะตอมหรืออะตอมโดยทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นภาคแสดงที่ใช้กับกลุ่มของเทอม ส่วนอะตอมพื้นฐานคือภาคแสดงที่มีเฉพาะเทอมพื้นฐานเท่านั้นฐานเฮอร์แบรนด์คือเซตของอะตอมพื้นฐานทั้งหมดที่สามารถสร้างขึ้นจากสัญลักษณ์ภาคแสดงในชุดข้อความและเทอมดั้งเดิมในเอกภพเฮอร์แบรนด์^{[ 7 ] [ 8 ]}แนวคิดทั้งสองนี้ตั้งชื่อตามฌาคส์ เฮอร์แบรนด์

พีชคณิตเทอมยังมีบทบาทในความหมายของชนิดข้อมูลนามธรรมโดยที่การประกาศชนิดข้อมูลนามธรรมจะให้ลายเซ็นของโครงสร้างพีชคณิตหลายประเภท และพีชคณิตเทอมเป็นแบบจำลองที่เป็นรูปธรรมของการประกาศนามธรรมนั้น

ฟังก์ชันประเภท หนึ่ง คือเซตของสัญลักษณ์ฟังก์ชัน โดยแต่ละสัญลักษณ์จะมีจำนวนอินพุต ที่เกี่ยวข้อง (เช่น จำนวนอาร์ริตี) สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆให้แทนสัญลักษณ์ฟังก์ชันในที่มีจำนวน อาร์ริตี เท่ากับ 0 ค่าคงที่คือสัญลักษณ์ฟังก์ชันที่มีจำนวนอาร์ริตีเป็น 0 ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \tau _{n}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle n}$

ให้เป็นชนิดข้อมูล และให้เป็นเซตของสัญลักษณ์ที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งแทนสัญลักษณ์ตัวแปร (เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าและเป็นเซตที่ไม่ซ้ำกัน) แล้วเซตของเทอมชนิดข้อมูลบนคือเซตของสตริง ที่มีรูปแบบดีทั้งหมด ที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้สัญลักษณ์ตัวแปรของและค่าคงที่และการดำเนินการของ ในทางคณิตศาสตร์คือเซตที่เล็กที่สุดซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T(X)}$

• ${\displaystyle X\cup \tau _{0}\subseteq T(X)}$   — สัญลักษณ์ตัวแปรแต่ละตัวจากเป็นเทอมในและสัญลักษณ์ค่าคงที่แต่ละตัวจาก ก็เป็นเทอมใน เช่นกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle \tau _{0}}$
• สำหรับสัญลักษณ์ฟังก์ชันและเทอม ทั้งหมด เรามีสตริง   — เมื่อกำหนดเทอม แล้ว การนำสัญลักษณ์ฟังก์ชันแบบ -ary มาใช้ กับเทอมเหล่านั้นจะแสดงถึงเทอมนั้นอีกครั้ง${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f\in \tau _{n}}$${\displaystyle t_{1},...,t_{n}\in T(X)}$${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})\in T(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$

โดยสรุป คำว่าพีชคณิต ของประเภทเหนือคือ พีชคณิตของประเภทที่แมปนิพจน์แต่ละรายการไปยังการแสดงสตริงของมัน ตามหลักการแล้วถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$

• โดเมนของคือ.${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$${\displaystyle T(X)}$
• สำหรับแต่ละฟังก์ชัน nullary ในจะถูกกำหนดเป็นสตริง${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau _{0}}$${\displaystyle f^{{\mathcal {T}}(X)}()}$${\displaystyle f}$
• สำหรับฟังก์ชันn -ary ทั้งหมดและแต่ละฟังก์ชันในโดเมนจะถูกกำหนดเป็นสตริง${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle t_{1},...,t_{n}}$${\displaystyle f^{{\mathcal {T}}(X)}(t_{1},...,t_{n})}$${\displaystyle f(t_{1},...,t_{n})}$

พีชคณิตเทอมเรียกว่าพีชคณิตอิสระโดยสมบูรณ์เพราะสำหรับพีชคณิตประเภท ใดๆ และสำหรับฟังก์ชันใดๆจะขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเพียงแค่ประเมินแต่ละเทอมให้เป็นค่าที่สอดคล้องกัน ในทางรูปธรรม สำหรับแต่ละ: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle g:X\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{\ast }:{\mathcal {T}}(X)\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}(X)}$${\displaystyle g^{\ast }(t)\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}(X)}$

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle t\in X}$${\displaystyle g^{\ast }(t)=g(t)}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle t=f\in \tau _{0}}$${\displaystyle g^{\ast }(t)=f^{\mathcal {A}}()}$
• ถ้าที่และแล้ว​${\displaystyle t=f(t_{1},...,t_{n})}$${\displaystyle f\in \tau _{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle g^{\ast }(t)=f^{\mathcal {A}}(g^{\ast }(t_{1}),...,g^{\ast }(t_{n}))}$

ตัวอย่างประเภทที่ได้รับแรงบันดาลใจจากเลขคณิตจำนวนเต็มสามารถกำหนดได้โดย, , , และสำหรับแต่ละ ${\displaystyle \tau _{0}=\{0,1\}}$${\displaystyle \tau _{1}=\{\}}$${\displaystyle \tau _{2}=\{+,*\}}$${\displaystyle \tau _{i}=\{\}}$${\displaystyle i>2}$

พีชคณิตประเภทที่รู้จักกันดีที่สุดมีจำนวนธรรมชาติเป็นโดเมน และตีความ, , , และในแบบปกติ เราเรียกมันว่า ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {A}__{nat}}$

สำหรับ ชุดตัวแปรตัวอย่างเราจะมาศึกษาเทอมพีชคณิตประเภทเหนือ${\displaystyle X=\{x,y\}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

ขั้นแรก เราจะพิจารณาเซตของคำศัพท์ประเภทover ก่อน เราใช้ สีแดงเพื่อระบุสมาชิกของเซต ซึ่งอาจยากต่อการจดจำเนื่องจากรูปแบบทางไวยากรณ์ที่ไม่ธรรมดา ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle {\color {red}x}\in T(X)}$เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ตัวแปร${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle {\color {red}1}\in T(X)}$เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์คงที่ ดังนั้น${\displaystyle 1\in \tau _{0}}$
• ${\displaystyle {\color {red}+x1}\in T(X)}$เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร ดังนั้น ในทางกลับกัน${\displaystyle +}$
• ${\displaystyle {\color {red}*+x1x}\in T(X)}$เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร${\displaystyle *}$

โดยทั่วไปแล้ว แต่ละสตริงในจะสอดคล้องกับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นจากสัญลักษณ์ที่ยอมรับได้และเขียนใน รูปแบบสั ญ กรณ์นำหน้าแบบโปแลนด์ตัวอย่างเช่น เทอมจะสอดคล้องกับนิพจน์ ใน สัญกรณ์แทรกแบบปกติไม่จำเป็นต้องมีวงเล็บเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมในสัญกรณ์แบบโปแลนด์ เช่น นิพจน์แทรกจะสอดคล้องกับเทอม${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle {\color {red}*+x1x}}$${\displaystyle (x+1)*x}$${\displaystyle x+(1*x)}$${\displaystyle {\color {red}+x*1x}}$

เพื่อยกตัวอย่างค้าน เรามีตัวอย่างเช่น

• ${\displaystyle {\color {red}z}\not \in T(X)}$เนื่องจากไม่ใช่ทั้งสัญลักษณ์ตัวแปรที่ยอมรับได้และสัญลักษณ์ค่าคงที่ที่ยอมรับได้${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle {\color {red}3}\not \in T(X)}$ด้วยเหตุผลเดียวกัน
• ${\displaystyle {\color {red}+1}\not \in T(X)}$เนื่องจากเป็นสัญลักษณ์ฟังก์ชัน 2 ตัวแปร แต่ในที่นี้ใช้กับตัวแปรเพียงตัวเดียว (เช่น)${\displaystyle +}$${\displaystyle {\color {red}1}}$

เมื่อกำหนดเซตเทอมแล้ว เราจะพิจารณาพีชคณิตเทอมประเภทบนพีชคณิตนี้ใช้เป็นโดเมน ซึ่งจำเป็นต้องกำหนดการบวกและการคูณ ฟังก์ชันการบวกรับเทอมสองเทอมและแล้วส่งคืนเทอม ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันการคูณจะแมปเทอมและ ที่กำหนด ให้ไปยังเทอมตัวอย่างเช่นจะมีค่าเป็นเทอม โดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการและเป็นเหมือน "ตัวถ่วง" ในแง่ที่ว่ามันแค่บันทึกว่าควรคำนวณอะไร ไม่ใช่ลงมือทำจริง ${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle +^{{\mathcal {T}}(X)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\color {red}+}pq}$${\displaystyle *^{{\mathcal {T}}(X)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\color {red}*}pq}$${\displaystyle *^{{\mathcal {T}}(X)}({\color {red}+x1},{\color {red}x})}$${\displaystyle {\color {red}*+x1x}}$${\displaystyle +^{{\mathcal {T}}(X)}}$${\displaystyle *^{{\mathcal {T}}(X)}}$

ตัวอย่างหนึ่งของการขยายเฉพาะตัวของโฮโมมอร์ฟิซึมคือการพิจารณาที่กำหนดโดยและโดยทั่วไปแล้วจะกำหนดการกำหนดค่าให้กับสัญลักษณ์ตัวแปร และเมื่อทำเช่นนี้แล้ว ทุกเทอมจากสามารถประเมินได้ในวิธีที่ไม่ซ้ำกันตัวอย่างเช่น ${\displaystyle g:X\to {\mathcal {A}}_{nat}}$${\displaystyle g(x)=7}$${\displaystyle g(y)=3}$${\displaystyle g}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {A}__{nat}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}&g^{*}({\color {red}+x1})\\=&g^{*}({\color {red}x})+g^{*}({\color {red}1})&{\text{ since }}g^{*}{\text{ is a homomorphism }}\\=&g({\color {red}x})+g^{*}({\color {red}1})&{\text{ since }}g^{*}{\text{ coincides on }}X{\text{ with }}g\\=&7+g^{*}({\color {red}1})&{\text{ by definition of }}g\\=&7+1&{\text{ since }}g^{*}{\text{ is a homomorphism }}\\=&8&{\text{ according to the well-known arithmetical rules in }}{\mathcal {A}}_{nat}\\\end{array}}}$

ในทำนองเดียวกัน ก็จะได้ ${\displaystyle g^{*}({\color {red}*+x1x})=...=8*g({\color {red}x})=...=56}$

ลายเซ็นσของภาษาคือสามสิ่ง < O , F , P > ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษรของค่าคงที่Oสัญลักษณ์ฟังก์ชันFและภาคแสดงPฐานHerbrand ^{[ 10 ]}ของลายเซ็นσประกอบด้วยอะตอมพื้นฐานทั้งหมดของσ : สูตรในรูปแบบR ( t ₁ , ...,  t _n ) โดยที่t ₁ , ...,  t _nเป็นเทอมที่ไม่มีตัวแปร (กล่าวคือ องค์ประกอบของเอกภพ Herbrand) และRเป็น สัญลักษณ์ความสัมพันธ์ n -ary ( กล่าวคือภาคแสดง ) ในกรณีของตรรกะที่มีความเท่าเทียมกัน มันยังประกอบด้วยสมการทั้งหมดในรูปแบบt ₁ = t ₂โดยที่t ₁และt ₂ไม่มีตัวแปร

ทฤษฎีลำดับแรกของพีชคณิตเทอมใดๆ สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าสามารถตัดสินได้โดยใช้การกำจัดตัวบ่งปริมาณ ความซับซ้อนของปัญหาการตัดสินใจอยู่ในระดับNONELEMENTARYเนื่องจากตัวสร้างไบนารีเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันการจับคู่^{[ 11 ]}

• การเขียนโปรแกรมชุดคำตอบ
• โคลน (พีชคณิต)
• ขอบเขตของการอภิปราย / จักรวาล (คณิตศาสตร์)
• ทฤษฎีต้นไม้ของราบิน (ทฤษฎีเอกภาคของต้นไม้ไบนารีสมบูรณ์แบบ อนันต์ สามารถตัดสินได้)
• พีชคณิตเบื้องต้น
• ประเภทข้อมูลนามธรรม
• ระบบการเขียนคำศัพท์ใหม่

• Joel Berman (2005). "โครงสร้างของพีชคณิตอิสระ"ในทฤษฎีโครงสร้างของออโตมาตา เซมิกรุป และพีชคณิตสากลสปริงเกอร์หน้า 47–76 . MR 2210125 

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Herbrand Universe" . แมทเวิลด์ .