ในพีชคณิตโฮโมมอร์ฟิซึมคือแผนที่รักษาโครงสร้าง ระหว่างโครงสร้างพีชคณิต สองโครงสร้าง ประเภทเดียวกัน (เช่น สองกลุ่มสองวงแหวนหรือสองปริภูมิเวกเตอร์ ) คำว่าโฮโมมอร์ฟิซึมมาจากภาษากรีกโบราณ : ὁμός ( homos ) หมายถึง "เหมือนกัน" และμορφή ( morphe ) หมายถึง "รูปแบบ" หรือ "รูปร่าง" อย่างไรก็ตาม คำนี้ดูเหมือนจะถูกนำเข้ามาในคณิตศาสตร์เนื่องจากการแปล (ผิดพลาด) ของภาษาเยอรมันähnlichซึ่งหมายถึง "คล้ายกัน" เป็นὁμόςซึ่งหมายถึง "เหมือนกัน" ^{[ 1 ]}คำว่า "โฮโมมอร์ฟิซึม" ปรากฏขึ้นครั้งแรกในปี 1892 เมื่อมีการระบุว่าเป็นผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเฟลิกซ์ ไคลน์ (1849–1925) ^{[ 2 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เรียกอีกอย่างว่าแผนที่เชิงเส้น และการศึกษาโฮโมมอร์ฟิ ซึม เป็นหัวข้อของพีชคณิตเชิงเส้น

แนวคิดเรื่องโฮโมมอร์ฟิซึมได้รับการขยายความในวงกว้าง ภายใต้ชื่อมอร์ฟิซึม ไปยังโครงสร้างอื่นๆ อีกมากมาย ซึ่งอาจไม่มีเซตพื้นฐาน หรือไม่ใช่โครงสร้างเชิงพีชคณิต การขยายความในวงกว้างนี้เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีหมวดหมู่

โฮโมมอร์ฟิซึมอาจเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเอนโดมอร์ฟิซึมออโตมอร์ฟิซึมฯลฯ ก็ได้ (ดูด้านล่าง) แต่ละอย่างสามารถนิยามได้ในลักษณะที่สามารถนำไปใช้กับมอร์ฟิซึมประเภทใดก็ได้

โฮโมมอร์ฟิซึม คือ ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงโครงสร้างทางพีชคณิต สองโครงสร้าง ที่มีประเภทเดียวกัน (เช่น สองกลุ่ม สองฟิลด์ สองปริภูมิเวกเตอร์) ซึ่งรักษาการดำเนินการของโครงสร้างเหล่านั้นไว้ หมายความว่า เป็นฟังก์ชัน ที่เชื่อม โยงเซตสองเซตที่มีโครงสร้างเดียวกัน โดยที่ ถ้าเป็นการดำเนินการของโครงสร้าง (ในที่นี้สมมติให้เป็นการดำเนินการ ทวิภาคเพื่อความง่าย ) แล้ว ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$$

สำหรับทุกคู่ขององค์ประกอบของ. ^{[หมายเหตุ 1 ]}มักกล่าวกันว่ารักษาการดำเนินการหรือเข้ากันได้กับการดำเนินการ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

ตามหลักการแล้ว แผนที่จะรักษาการดำเนินการที่มีอาร์กิวเมนต์จำนวนหนึ่งซึ่งกำหนดไว้บนทั้งและถ้า ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$$

สำหรับองค์ประกอบทั้งหมดใน. ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$${\displaystyle A}$

การดำเนินการที่ต้องคงไว้โดยโฮโมมอร์ฟิซึม ได้แก่การดำเนินการศูนย์ซึ่งก็คือค่าคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อ โครงสร้างต้องการ องค์ประกอบเอกลักษณ์องค์ประกอบเอกลักษณ์ของโครงสร้างแรกจะต้องถูกแมปไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ที่สอดคล้องกันของโครงสร้างที่สอง

ตัวอย่างเช่น:

• โฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุปคือ ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่างเซมิกรุปและรักษาการดำเนินการของเซมิกรุปไว้
• โฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดคือแผนที่ระหว่างโมโนอิดที่รักษาการดำเนินการของโมโนอิดไว้ และแมปองค์ประกอบเอกลักษณ์ของโมโนอิดแรกไปยังองค์ประกอบเอกลักษณ์ของโมโนอิดที่สอง (องค์ประกอบเอกลักษณ์เป็นการดำเนินการศูนย์ )
• โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มคือ ฟังก์ชันระหว่างกลุ่มที่รักษาการดำเนินการของกลุ่มไว้ นั่นหมายความว่า โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะแปลงสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่มแรกไปยังสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่มที่สอง และแปลง สมาชิก ผกผันของกลุ่มแรกไปยังสมาชิกผกผันของภาพของสมาชิกนั้น ดังนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุประหว่างกลุ่มจึงจำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มด้วย
• โฮโมมอร์ฟิซึมของริงคือ ฟังก์ชันระหว่างริงที่รักษาคุณสมบัติการบวก การคูณ และเอกลักษณ์การคูณของ ริงไว้ การรักษาเอกลักษณ์การคูณไว้หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับนิยามของริงที่ใช้ หากเอกลักษณ์การคูณไม่ได้รับการรักษาไว้ จะได้โฮโมมอร์ฟิซึมแบบ rng
• แผนที่เชิงเส้น (Linear map)คือโฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์กล่าวคือ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่รักษาโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียนและการคูณด้วยสเกลาร์ไว้
• โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลหรือที่เรียกว่าแผนที่เชิงเส้นระหว่างโมดูลก็ถูกนิยามในลักษณะเดียวกัน
• โฮโมมอร์ฟิซึมเชิงพีชคณิตคือ ฟังก์ชันที่รักษาการดำเนินการทางพีชคณิต ไว้

โครงสร้างพีชคณิตอาจมีมากกว่าหนึ่งการดำเนินการ และจำเป็นต้องมีโฮโมมอร์ฟิซึมเพื่อรักษาการดำเนินการแต่ละอย่าง ดังนั้น แผนที่ที่รักษาการดำเนินการเพียงบางส่วนจึงไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของโครงสร้าง แต่เป็นเพียงโฮโมมอร์ฟิซึมของโครงสร้างย่อยที่ได้จากการพิจารณาเฉพาะการดำเนินการที่ถูกรักษาไว้เท่านั้น ตัวอย่างเช่น แผนที่ระหว่างโมโนอิดที่รักษาการดำเนินการของโมโนอิดแต่ไม่รักษาองค์ประกอบเอกลักษณ์นั้น ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิด แต่เป็นเพียงโฮโมมอร์ฟิซึมของเซมิกรุป

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนการดำเนินการไม่จำเป็นต้องเหมือนกันทั้งในต้นทางและปลายทางของโฮโมมอร์ฟิซึม ตัวอย่างเช่นจำนวนจริงจะรวมกันเป็นกลุ่มสำหรับการบวก และจำนวนจริงบวกจะรวมกันเป็นกลุ่มสำหรับการคูณฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

$${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$$

พอใจ

$${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$$

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างสองกลุ่มนี้ ยิ่งไปกว่านั้น มันยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วย (ดูด้านล่าง) เนื่องจากฟังก์ชันผกผัน ของมัน คือลอการิทึมธรรมชาติเป็นไปตามเงื่อนไข

$${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$$ และยังเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอีกด้วย

จำนวนจริงเป็นริงซึ่งมีทั้งการบวกและการคูณ เซตของเมทริกซ์ 2×2 ทั้งหมด ก็เป็นริงเช่นกัน ภายใต้การบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ถ้าเรากำหนดฟังก์ชันระหว่างริงเหล่านี้ดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$$

โดยที่rเป็นจำนวนจริง แล้วfเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง เนื่องจากfรักษาคุณสมบัติการบวกไว้ทั้งสองอย่าง:

$${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$$

และการคูณ:

$${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$$

ยกตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เป็นศูนย์นั้น สามารถรวมกันเป็นกลุ่มได้ภายใต้การดำเนินการคูณ เช่นเดียวกับจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ (ต้องไม่รวมศูนย์ไว้ในทั้งสองกลุ่ม เนื่องจากไม่มีตัวผกผันการคูณซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับสมาชิกของกลุ่ม) จงนิยามฟังก์ชันจากจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ไปยังจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์โดย ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=|z|.}$$

นั่นคือค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนเชิงซ้อนดังนั้น จึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม เนื่องจากมันรักษาคุณสมบัติการคูณไว้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$$

โปรดทราบว่าฟังก์ชันfไม่สามารถขยายไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริง (จากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนจริง) ได้ เนื่องจากฟังก์ชัน f ไม่รักษาคุณสมบัติการบวกไว้

$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$$

ตัวอย่างเช่น แผนภาพแสดงโฮโมมอร์ฟิซึม ของ โมโนอิดจากโมโนอิดไปยังโมโนอิดเนื่องจากชื่อของการดำเนินการที่สอดคล้องกันแตกต่างกัน คุณสมบัติการรักษาโครงสร้างที่โมโนอิดทั้งสองชนิดมีจึงมีค่า เท่ากับและ${\displaystyle f}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$${\displaystyle f(0)=1}$

พีชคณิตการประกอบ บนฟิลด์หนึ่งมีรูปแบบกำลังสองเรียกว่านอร์มซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มการคูณของไปยังกลุ่มการคูณของ ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle N:A\to F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$

โฮโมมอร์ฟิซึมหลายประเภทมีชื่อเฉพาะ ซึ่งมีการกำหนดไว้สำหรับมอร์ฟิซึม ทั่วไปด้วยเช่น กัน

ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างพีชคณิตประเภทเดียวกันมักถูกนิยามว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 28}

ในบริบททั่วไปของทฤษฎีหมวดหมู่ไอโซมอร์ฟิซึมถูกนิยามว่าเป็นมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมเช่นกัน ในกรณีเฉพาะของโครงสร้างพีชคณิต นิยามทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน แม้ว่าอาจแตกต่างกันสำหรับโครงสร้างที่ไม่ใช่พีชคณิตซึ่งมีเซตพื้นฐานอยู่

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ ถ้า

$${\displaystyle f:A\to B}$$

ถ้าเป็น (โฮโม)มอร์ฟิซึม มันจะมีอินเวอร์ส ถ้ามีโฮโมมอร์ฟิซึมอยู่

$${\displaystyle g:B\to A}$$

โดยที่

$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$$

ถ้าและมีเซตพื้นฐาน และมีตัวผกผันแล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ในความเป็นจริงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเนื่องจากหมายความว่าและเป็นฟังก์ชันทั่วถึงเนื่องจากสำหรับทุกในจะมีและเป็นภาพของสมาชิกใน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x=f(g(x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างโครงสร้างพีชคณิต ให้เป็นแผนที่ โดยที่เป็นสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวของที่ทำให้ เรามีและเหลือเพียงแค่แสดงว่าgเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ถ้าเป็นการดำเนินการทวิภาคของโครงสร้าง สำหรับทุกคู่ของสมาชิกของเรามี ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g:B\to A}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$${\displaystyle *}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$$

และจึงเข้ากันได้กับเนื่องจากหลักฐานการพิสูจน์คล้ายกันสำหรับจำนวนอาร์กิวเมนต์ ใดๆ จึงแสดงให้เห็นว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ${\displaystyle g}$${\displaystyle *.}$${\displaystyle g}$

การพิสูจน์นี้ใช้ไม่ได้กับโครงสร้างที่ไม่ใช่พีชคณิต ตัวอย่างเช่น สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี มอร์ฟิซึมคือแผนที่ต่อเนื่องและอินเวอร์สของแผนที่ต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนั้นไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องเสมอไป ดังนั้น ไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งเรียกว่าโฮมีโอเมอร์ฟิซึมหรือแผนที่ต่อเนื่องสองทาง จึงเป็นแผนที่ต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ซึ่งอินเวอร์สของมันก็ต่อเนื่องเช่นกัน

เอนโดมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีโดเมนเท่ากับโคโดเมนหรือโดยทั่วไปแล้วคือมอร์ฟิซึมที่มีแหล่งที่มาเท่ากับเป้าหมาย^{[ 3 ] : 135}

เอนโดมอร์ฟิซึมของโครงสร้างพีชคณิต หรือของวัตถุในหมวดหมู่จะก่อให้เกิดโมโนอิดภายใต้การประกอบ

เอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์หรือของโมดูลก่อให้เกิดวงแหวนในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์หรือโมดูลอิสระ ที่มี มิติจำกัดการเลือกฐานจะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนระหว่างวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมและวงแหวนของเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน

ออโตมอร์ฟิซึมคือเอนโดมอร์ฟิซึมที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วย^{[ 3 ] : 135}

ออโตมอร์ฟิซึมของโครงสร้างพีชคณิตหรือของวัตถุในหมวดหมู่หนึ่งๆ จะก่อให้เกิดกลุ่มภายใต้การประกอบ ซึ่งเรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของโครงสร้างนั้น

กลุ่มจำนวนมากที่ได้รับชื่อนั้นเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมที่มีโครงสร้างทางพีชคณิตบางอย่าง ตัวอย่างเช่นกลุ่ม เชิงเส้นทั่วไป เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์มิติเหนือฟิลด์${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ถูกนำเสนอโดยเอวาริสต์ กาโลอิสเพื่อใช้ในการศึกษารากของพหุนามและเป็นพื้นฐานของทฤษฎีของกาโลอิส

สำหรับโครงสร้างพีชคณิตโมโนมอร์ฟิซึมมักถูกนิยามว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 29}

ในบริบททั่วไปของทฤษฎีหมวดหมู่โมโนมอร์ฟิซึมถูกกำหนดให้เป็นมอร์ฟิซึมที่สามารถยกเลิกได้ทางซ้าย [ ^{5 ] ซึ่ง}หมายความว่า (โฮโม)มอร์ฟิซึมเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ถ้าสำหรับคู่ใด ๆของมอร์ฟิซึมจากวัตถุอื่นใดไปยังแล้วหมายความว่า ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$

นิยามของโมโนมอร์ฟิซึม ทั้งสองนี้ เทียบเท่ากันสำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปทั้งหมด กล่าวคือ เทียบเท่ากันสำหรับฟิลด์ซึ่งโฮโมมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นโมโนมอร์ฟิซึม และสำหรับวาไรตี้ของพีชคณิตสากลนั่นคือโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดการดำเนินการและสัจพจน์ (เอกลักษณ์) โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ (ฟิลด์ไม่ได้เป็นวาไรตี้ เนื่องจากตัวผกผันการคูณถูกกำหนดไว้เป็นการดำเนินการเอกภาคหรือเป็นคุณสมบัติของการคูณ ซึ่งในทั้งสองกรณี จะถูกกำหนดไว้สำหรับสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิยามทั้ง สอง ของโมโนมอร์ฟิซึม นั้นเทียบเท่ากันสำหรับเซต แมกมาเซมิกรุปโมโนอิดกรุปริง ฟิลด์ปริภูมิเวกเตอร์และโมดูล

โมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน (Split Monomorphism)คือ โฮโมมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สซ้ายและดังนั้นตัวมันเองก็เป็นอินเวอร์สขวาของโฮโมมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่งด้วย กล่าวคือ โฮโมมอร์ฟิซึมจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน ถ้ามีโฮโมมอร์ฟิซึม อยู่เช่นนั้นโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมเสมอ สำหรับความหมายทั้งสองของโมโนมอร์ฟิซึม สำหรับเซตและปริภูมิเวกเตอร์ โมโนมอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแบบแยกส่วน แต่คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงสำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปส่วนใหญ่ ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

ในพีชคณิต เอพิโม ร์ฟิซึมมักถูกนิยามว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง^{[ 3 ] : 134 [ 4 ] : 43} ในทางกลับกัน ในทฤษฎีหมวดหมู่เอพิโมร์ฟิซึมถูกนิยามว่าเป็นมอร์ฟิซึม ที่สามารถ ยกเลิกได้ทางขวา^{[ 5 ]}ซึ่งหมายความว่า (โฮโม)มอร์ฟิซึมเป็นเอพิโมร์ฟิซึม ถ้าสำหรับมอร์ฟิซึมคู่ใดๆจากไปยังวัตถุอื่นใดความเท่าเทียมกันหมายถึง ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$${\displaystyle g=h}$

โฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงสามารถยกเลิกทางขวาได้เสมอ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับโครงสร้างพีชคณิต อย่างไรก็ตาม นิยามของเอพิโมร์ฟิซึม ทั้งสอง นั้นเทียบเท่ากันสำหรับเซตปริภูมิเวกเตอร์กลุ่มอาเบเลียนโมดูล(ดูด้านล่างสำหรับบทพิสูจน์) และกลุ่ม^{[ 6} ] ความสำคัญของโครงสร้างเหล่านี้ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้นและพีชคณิตเชิงโฮโมโลยี อาจอธิบาย ^ถึงการอยู่ร่วมกันของนิยามที่ไม่เทียบเท่ากันสองแบบ

โครงสร้างพีชคณิตที่มีเอพิโมร์ฟิซึมที่ไม่ครอบคลุม ได้แก่เซมิกรุปและริงตัวอย่างพื้นฐานที่สุดคือการรวมจำนวนเต็มเข้ากับจำนวนตรรกยะซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของริงและเซมิกรุปแบบคูณ สำหรับทั้งสองโครงสร้างนี้ เป็นโมโนมอร์ฟิซึมและเอพิโมร์ฟิซึมที่ไม่ครอบคลุม แต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 5 ] [ 7 ]}

ตัวอย่างทั่วไปของเรื่องนี้คือการกำหนดขอบเขตของวงแหวนด้วยเซตการคูณ การกำหนดขอบเขตทุกครั้งเป็นเอพิโมฟิซึมของวงแหวน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง เนื่องจากการกำหนดขอบเขตเป็นพื้นฐานในพีชคณิตเชิงสลับและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนี่อาจอธิบายได้ว่าทำไมในสาขาเหล่านี้ การนิยามเอพิโมฟิซึมว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่ตัดทอนได้ทางขวาจึงเป็นที่นิยมมากกว่า

สปลิตเอพิโมฟิซึม (Split Epimorphism)คือ โฮโมมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สขวาและดังนั้นตัวมันเองจึงเป็นอินเวอร์สซ้ายของโฮโมมอร์ฟิซึมอื่นนั้นด้วย กล่าวคือ โฮโมมอร์ฟิซึมจะเป็นสปลิตเอพิโมฟิซึม ถ้ามีโฮโมมอร์ฟิซึม อยู่เช่นนั้นสปลิตเอพิโมฟิซึมจะเป็นเอพิโมฟิซึมเสมอ สำหรับความหมายทั้งสองของเอพิโมฟิซึม สำหรับเซตและปริภูมิเวกเตอร์ ทุกเอพิโมฟิซึมเป็นสปลิตเอพิโมฟิซึม แต่คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงสำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปส่วนใหญ่ ${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon B\to A}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

โดยสรุปแล้ว หนึ่งคนมี

$${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$$

ข้อสรุปสุดท้ายคือความสมมูลกันของเซต ปริภูมิเวกเตอร์ โมดูล กลุ่มอาเบเลียน และกลุ่มต่างๆ ส่วนข้อสรุปแรกคือความสมมูลกันของเซตและปริภูมิเวกเตอร์

โฮโมมอร์ฟิซึมใดๆกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนก็ต่อ เมื่อ ความสัมพันธ์นี้เรียกว่าเคอร์เนลของมันเป็นความสัมพันธ์สมภาคบนเซตผลหารสามารถมีโครงสร้างประเภทเดียวกับ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยการกำหนดการดำเนินการของเซตผลหารด้วยสำหรับแต่ละการดำเนินการของในกรณีนั้น ภาพของในภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมจะต้อง เป็น ไอโซมอร์ฟิกกับข้อเท็จจริงนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X/\!\sim }$

เมื่อโครงสร้างพีชคณิตเป็น กลุ่มสำหรับการดำเนินการบางอย่างชั้นสมมูล ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ของการดำเนินการนี้ก็เพียงพอที่จะกำหนดลักษณะความสัมพันธ์สมมูล ในกรณีนี้ ผลหารโดยความสัมพันธ์สมมูลจะถูกแทนด้วย(โดยปกติอ่านว่า " mod ") ในกรณีนี้เช่นกันจะถูกเรียกว่าเคอร์เนลของมากกว่า เคอร์เนล ของโฮโมมอร์ฟิซึมของโครงสร้างพีชคณิตประเภทหนึ่งๆ จะมีโครงสร้างบางอย่างโดยธรรมชาติ โครงสร้างของเคอร์เนลประเภทนี้จะเหมือนกับโครงสร้างที่พิจารณาในกรณีของกลุ่มอาเบเลียนปริภูมิเวกเตอร์และโมดูลแต่จะแตกต่างกันและได้รับชื่อเฉพาะในกรณีอื่นๆ เช่นกลุ่มย่อยปกติสำหรับเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มและอุดมคติสำหรับเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน (ในกรณีของวงแหวนไม่สลับที่ เคอร์เนลคืออุดมคติสองด้าน ) ${\displaystyle K}$${\displaystyle X/K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle f}$

ในทฤษฎีแบบจำลองแนวคิดของโครงสร้างพีชคณิตได้รับการขยายไปสู่โครงสร้างที่เกี่ยวข้องทั้งการดำเนินการและความสัมพันธ์ ให้Lเป็นลายเซ็นที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ และA , Bเป็นโครงสร้างL สองโครงสร้าง จากนั้น โฮโมมอร์ฟิซึมจากAไปBคือการแมปhจากโดเมนของAไปยังโดเมนของBโดยที่

• h ( F ^A ( a ₁ ,..., a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a _n )) สำหรับแต่ละสัญลักษณ์ฟังก์ชันn -ary FในL ,
• R ^A ( a ₁ ,..., a _n ) บ่งชี้ว่าR ^B ( h ( a ₁ ),..., h ( a n ₎ ) สำหรับแต่ละสัญลักษณ์ความสัมพันธ์n -ary RในL

ในกรณีพิเศษที่มีความสัมพันธ์แบบไบนารีเพียงหนึ่งเดียว เราจะได้แนวคิดของ โฮโมมอร์ฟิ ซึมกราฟ^{[ 8 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมยังใช้ในการศึกษาภาษาทางการ^{[ 9 ]}และมักจะเรียกสั้นๆ ว่ามอร์ฟิซึม [ ^{10 ] เมื่อ}กำหนดตัวอักษรและฟังก์ชันที่สำหรับทุกเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมบน^{[หมายเหตุ 2 ]}ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมบนและแทนสตริงว่าง แล้วเรียกว่า โฮโม มอ ร์ฟิ ซึม แบบ -freeเมื่อสำหรับทุกใน${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$${\displaystyle x\neq \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

โฮโมมอร์ฟิซึมบนที่สอดคล้องกับสำหรับทุกเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบ -เอกรูป^{[ 11 ]}ถ้าสำหรับทุก(นั่นคือเป็นแบบ 1-เอกรูป) แล้วเรียกว่าการเข้ารหัสหรือการฉายภาพ ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$${\displaystyle |h(a)|=k}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle |h(a)|=1}$${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

เซตของคำที่สร้างขึ้นจากตัวอักษรอาจถูกมองว่าเป็นโมโนอิดอิสระที่สร้างขึ้นโดย โดยที่การดำเนินการของโมโนอิดคือการต่อคำและองค์ประกอบเอกลักษณ์คือคำว่าง จากมุมมองนี้ โฮโมมอร์ฟิซึมของภาษาจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดอย่างแม่นยำ[ ^{หมายเหตุ 3 ]}${\displaystyle \Sigma ^{*}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

• ดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม
• การเข้ารหัสแบบโฮโมมอร์ฟิก
• การแบ่งปันความลับแบบโฮโมมอร์ฟิก – โปรโตคอลการลงคะแนนแบบกระจายอำนาจที่เรียบง่าย
• สัณฐานวิทยา
• ควาซิมอร์ฟิซึม