ในทางคณิตศาสตร์ลำดับคือกลุ่มของวัตถุที่อาจมีการซ้ำกันได้ ซึ่งเรียงลำดับตามที่กำหนดไว้ เช่นเดียวกับเซต ลำดับประกอบด้วยสมาชิก (เรียกอีกอย่างว่าองค์ประกอบหรือพจน์ ) แต่ต่างจากเซตตรงที่องค์ประกอบเดียวกันสามารถปรากฏหลายครั้งในตำแหน่งที่แตกต่างกันในลำดับ และต่างจากเซตตรงที่ลำดับมีความสำคัญ แนวคิดของลำดับสามารถขยายไปสู่ตระกูลดัชนี ได้ โดยกำหนดเป็นฟังก์ชันจากเซตดัชนี ใดๆ

ตัวอย่างเช่น (M, A, R, Y) คือลำดับของตัวอักษรที่มีตัวอักษร "M" อยู่ตัวแรกและ "Y" อยู่ตัวสุดท้าย ลำดับนี้แตกต่างจาก (A, R, M, Y) นอกจากนี้ ลำดับ(1, 1, 2, 3, 5, 8)ซึ่งมีเลข1อยู่ในสองตำแหน่งที่แตกต่างกัน ก็เป็นลำดับที่ถูกต้องเช่นกัน ลำดับอาจเป็นลำดับจำกัด ดังเช่นในตัวอย่างเหล่านี้ หรือ เป็นลำดับ อนันต์เช่น ลำดับของจำนวนเต็มคู่ บวก ( 2, 4, 6, 8, ...)

ความยาวของลำดับจำกัดถูกกำหนดโดยจำนวนองค์ประกอบในลำดับ ตำแหน่งขององค์ประกอบในลำดับคืออันดับหรือดัชนีซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติที่องค์ประกอบนั้นเป็นภาพของ โดยทั่วไปองค์ประกอบแรกจะมีดัชนี 0 หรือ 1 ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ลำดับมักจะถูกแทนด้วยตัวอักษรในรูปแบบ, และโดยที่ตัวห้อยnหมายถึงองค์ประกอบที่nของลำดับ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบที่ nของลำดับฟิโบนาชชีโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ n = n ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{n}}$

ในด้านการคำนวณและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ลำดับจำกัดมักเรียกว่าสตริงคำหรือลิสต์โดยคำศัพท์ทางเทคนิคเฉพาะที่เลือกใช้จะขึ้นอยู่กับประเภทของวัตถุที่ลำดับนั้นระบุ และวิธีการต่างๆ ในการแสดงลำดับนั้นในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ส่วนลำดับอนันต์เรียกว่าสตรีม

ลำดับว่าง ( ) รวมอยู่ในแนวคิดเรื่องลำดับส่วนใหญ่ อาจถูกยกเว้นได้ขึ้นอยู่กับบริบท

ลำดับสามารถคิดได้ว่าเป็นรายการขององค์ประกอบที่มีลำดับเฉพาะ[ 1 ] [ 2 ] ลำดับมีประโยชน์ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์หลายสาขาสำหรับการศึกษาฟังก์ชัน พื้นที่^{และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ}โดยใช้คุณสมบัติการลู่เข้าของลำดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลำดับเป็นพื้นฐานสำหรับอนุกรมซึ่งมีความสำคัญในสมการเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์ลำดับยังน่าสนใจในตัวของมันเอง และสามารถศึกษาได้ในรูปแบบของรูปแบบหรือปริศนา เช่น ในการศึกษาจำนวน เฉพาะ

มีหลายวิธีในการแสดงลำดับ ซึ่งบางวิธีก็มีประโยชน์มากกว่าสำหรับลำดับบางประเภท วิธีหนึ่งในการระบุลำดับคือการแสดงรายการสมาชิกทั้งหมดของลำดับนั้น ตัวอย่างเช่น จำนวนคี่สี่ตัวแรกประกอบเป็นลำดับ(1, 3, 5, 7)สัญลักษณ์นี้ใช้กับลำดับอนันต์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ลำดับอนันต์ของจำนวนคี่บวกเขียนได้เป็น(1, 3, 5, 7, ...)เนื่องจากการใช้จุดไข่ปลาในการแสดงลำดับทำให้เกิดความกำกวม การแสดงรายการจึงมีประโยชน์มากที่สุดสำหรับลำดับอนันต์ทั่วไปที่สามารถจดจำได้ง่ายจากสมาชิกไม่กี่ตัวแรก วิธีอื่นๆ ในการแสดงลำดับจะกล่าวถึงหลังจากตัวอย่างแล้ว

จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า1ซึ่งไม่มีตัวหารอื่นนอกจาก1และตัวมันเอง การเรียงลำดับจำนวนเฉพาะตามลำดับธรรมชาติจะได้ลำดับ(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)จำนวนเฉพาะถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวนซึ่งมีผลลัพธ์มากมายที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะ

ลำดับฟิโบนาชชีเป็นลำดับที่แต่ละองค์ประกอบเป็นผลรวมของสององค์ประกอบก่อนหน้า องค์ประกอบที่ศูนย์และองค์ประกอบแรกคือ 0 และ 1 ดังนั้นลำดับคือ(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ) ^{[ 1 ]}

ลำดับอื่นๆ มีจำนวนตรรกยะเป็นองค์ประกอบ เช่น ลำดับ(.9, .99, .999, .9999, ...)เข้าใกล้จำนวน1อีกตัวอย่างหนึ่งคือπเป็นลิมิตของลำดับ(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)ซึ่งเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้น อันที่จริงแล้วจำนวนจริงทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปลิมิตของลำดับจำนวนตรรกยะ (เช่น ผ่านการกระจายทศนิยมดูเพิ่มเติมได้ใน หัวข้อ ความสมบูรณ์ของจำนวนจริง ) ลำดับประเภทที่เกี่ยวข้องอีกประเภทหนึ่งคือลำดับของตัวเลขทศนิยมของจำนวนจริง เช่น ลำดับของตัวเลขทศนิยมของπ ( 3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)ลำดับนี้ไม่มีรูปแบบใดๆ ที่สังเกตได้ง่ายด้วยการตรวจสอบ

องค์ประกอบของลำดับอาจเป็นฟังก์ชันแทนที่จะเป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่นฐานเอกนามของพหุนามตัวแปรเดียวสร้างลำดับโดยใช้สัญลักษณ์ลูกศร ${\displaystyle (x\mapsto 1,x\mapsto x,x\mapsto x^{2},x\mapsto x^{3},\ldots )}$

สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์ประกอบด้วยรายการตัวอย่างลำดับจำนวนเต็มจำนวนมาก^{[ 3 ]}

สัญลักษณ์อื่นๆ อาจมีประโยชน์สำหรับลำดับที่มีรูปแบบที่คาดเดาได้ยาก หรือสำหรับลำดับที่ไม่มีรูปแบบ เช่น ตัวเลขของค่าπสัญลักษณ์หนึ่งคือการเขียนสูตรทั่วไปสำหรับการคำนวณพจน์ที่nเป็นฟังก์ชันของnใส่ไว้ในวงเล็บ และใส่ตัวห้อยที่ระบุเซตของค่าที่nสามารถรับได้ ตัวอย่างเช่น ในสัญลักษณ์นี้ ลำดับของจำนวนเต็มคู่สามารถเขียนได้เป็น โดยที่หมายถึงเซตของจำนวนธรรมชาติลำดับของจำนวนกำลังสองสามารถเขียนได้เป็นตัวแปรnเรียกว่าดัชนีและเซตของค่าที่ n สามารถรับได้เรียกว่าเซต ดัชนี${\displaystyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

การนำสัญลักษณ์นี้มาใช้ร่วมกับเทคนิคการพิจารณาองค์ประกอบของลำดับเป็นตัวแปรแต่ละตัวนั้นมักจะมีประโยชน์ ซึ่งจะได้นิพจน์เช่นซึ่งหมายถึงลำดับที่มี องค์ประกอบที่ nกำหนดโดยตัวแปรตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{สมาชิกลำดับที่ 1 ของ }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{สมาชิกลำดับที่ 2}}\\a_{3}&=3{\text{สมาชิกลำดับที่ 3}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{สมาชิกลำดับที่}}\\a_{n}&=n{\text{สมาชิกลำดับที่}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{สมาชิกลำดับที่}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

เราสามารถพิจารณาลำดับหลายลำดับพร้อมกันได้โดยใช้ตัวแปรที่แตกต่างกัน เช่นอาจเป็นลำดับที่แตกต่างจากเรายังสามารถพิจารณาลำดับของลำดับได้อีกด้วย: หมายถึงลำดับที่มี พจน์ที่ mเป็น ลำดับ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle {\bigl (}(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigr )}_{m\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

อีกทางเลือกหนึ่งนอกเหนือจากการเขียนโดเมนของลำดับด้วยตัวห้อย คือการระบุช่วงของค่าที่ดัชนีสามารถรับได้โดยการแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์แสดงถึงลำดับกำลังสองสิบพจน์การใช้สัญลักษณ์เป็นขีดจำกัดบนหมายความว่าดัชนีจะต่อเนื่องไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์และทั้งสองอธิบายลำดับของจำนวนเต็มคี่( 1, 3, 5, ...)${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}__{k=1}^{10}}$${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$${\displaystyle \infty }$${\textstyle {(2n-1)__{n=1}^{\infty }}$${\textstyle (2n-1)_{n\in \mathbb {N} }}$

ลำดับอนันต์คู่ ( bi -infinite sequence)คือลำดับที่มีดัชนีเป็น⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ซึ่ง เป็นเซตของจำนวนเต็ม ทั้งหมด และดังนั้นจึงต่อเนื่องไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทั้งในทิศทางลบและทิศทางบวก ลำดับดังกล่าวสามารถเขียนได้เป็น, , หรือ. ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$${\textstyle {(a_{n})__{n\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle {(a_{n})__{n=-\infty }^{\infty }}$

ในกรณีที่เข้าใจชุดตัวเลขดัชนีแล้ว มักจะละเว้นตัวห้อยและตัวยก กล่าวคือ จะเขียนเพียงสำหรับลำดับใดๆ โดยทั่วไป ดัชนีnจะหมายถึงจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่เริ่มต้นจาก1 หรือบางครั้ง อาจ หมายถึง จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดที่เริ่มต้นจาก0${\textstyle (a_{n})}$

ลำดับที่มีองค์ประกอบสัมพันธ์กับองค์ประกอบก่อนหน้าอย่างตรงไปตรงมา มักถูกกำหนดโดยใช้การเรียกซ้ำซึ่งแตกต่างจากการกำหนดลำดับขององค์ประกอบโดยใช้ฟังก์ชันของตำแหน่งขององค์ประกอบเหล่านั้น

ในการกำหนดลำดับโดยใช้การเรียกซ้ำ จำเป็นต้องมีกฎที่เรียกว่าความสัมพันธ์เวียนเกิดเพื่อสร้างแต่ละองค์ประกอบโดยอ้างอิงจากองค์ประกอบก่อนหน้า นอกจากนี้ ต้องมีองค์ประกอบเริ่มต้นที่เพียงพอเพื่อให้สามารถคำนวณองค์ประกอบถัดไปทั้งหมดในลำดับได้โดยการประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดอย่างต่อเนื่อง

ลำดับฟิโบนาชชีเป็นตัวอย่างคลาสสิกที่เรียบง่าย ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

โดยมีพจน์เริ่มต้นและพจน์แรก ๆ สามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยใช้สูตร( 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)${\displaystyle a_{0}=0}$${\displaystyle a_{1}=1}$

ตัวอย่างที่ซับซ้อนของลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดคือ^{ลำดับ}ของ Recamán [ ^{4 ]}ซึ่งกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{ถ้าผลลัพธ์เป็นบวกและไม่ได้อยู่ในพจน์ก่อนหน้า}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{มิเช่นนั้น}},\end{cases}}}$

โดยมีระยะเวลาเริ่มต้น${\displaystyle a_{0}=0.}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่คือ ความสัมพันธ์เวียนเกิดในรูปแบบ

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{nk},}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ มีวิธีการทั่วไปในการแสดงพจน์ทั่วไปของลำดับดังกล่าวในรูปฟังก์ชันของnดูได้ จาก การเกิดซ้ำเชิงเส้นในกรณีของลำดับฟิโบนาชชี จะได้และฟังก์ชันของn ที่ได้ นั้นกำหนดโดยสูตรของบิเนต์ ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$

ลำดับโฮโลโนมิกคือลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิดในรูปแบบ

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{nk},}$

โดยที่เป็นพหุนามในnสำหรับลำดับโฮโลโนมิกส่วนใหญ่ ไม่มีสูตรที่ชัดเจนสำหรับการแสดงเป็นฟังก์ชันของnอย่างไรก็ตาม ลำดับโฮโลโนมิกมีบทบาทสำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันพิเศษ หลายฟังก์ชัน มีอนุกรมเทย์เลอร์ซึ่งลำดับสัมประสิทธิ์เป็นโฮโลโนมิก การใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดช่วยให้สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันพิเศษดังกล่าวได้อย่างรวดเร็ว ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle a_{n}}$

ไม่ใช่ทุกลำดับที่จะสามารถระบุได้ด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนเฉพาะตามลำดับธรรมชาติ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)

ตามหลักการแล้ว ลำดับสามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นช่วงของจำนวนเต็มองค์ประกอบของโดเมนคือตำแหน่งหรือดัชนีขององค์ประกอบในลำดับ ในขณะที่ค่าที่ฟังก์ชันรับคือองค์ประกอบของลำดับ ช่วงนั้นอาจเป็นจำนวนจำกัดหรืออนันต์ ดังนั้นคำนิยามนี้จึงครอบคลุมการใช้คำว่า "ลำดับ" ในหลายรูปแบบ รวมถึงลำดับอนันต์ด้านเดียว ลำดับอนันต์สองด้าน และลำดับจำกัด (ดูคำนิยามของลำดับประเภทต่างๆ เหล่านี้ด้านล่าง) ในบางบริบท โคโดเมนของลำดับ (ค่าที่เป็นไปได้ของเทอม) จะถูกกำหนดโดยบริบท ตัวอย่างเช่น โดยกำหนดให้เป็นเซตของจำนวนจริง^{[ 5 ]}เซตของจำนวนเชิงซ้อน^{[ 6 ]}หรือปริภูมิเชิงทอพอโลยี^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

_{แม้ว่าลำดับจะเป็นประเภทหนึ่งของฟังก์ชัน แต่โดยทั่วไปแล้วจะแยกแยะลำดับออกจากฟังก์ชัน ใน}เชิงสัญลักษณ์ โดยที่ค่าอินพุตจะเขียนเป็นตัวห้อยแทนที่จะอยู่ในวงเล็บ กล่าวคือ เขียนเป็นnแทนที่จะเป็นa ( n )นอกจากนี้ยังมีข้อแตกต่างทางด้านคำศัพท์ด้วย เช่น ค่าของลำดับที่ค่าอินพุตต่ำสุด (มักจะเป็น 1 ) เรียกว่า "องค์ประกอบแรก" ของลำดับ ค่าที่ค่าอินพุตที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสอง (มักจะเป็น2 ) เรียกว่า "องค์ประกอบที่สอง" เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ในขณะที่ฟังก์ชันที่แยกออกมาจากค่าอินพุตมักจะเขียนด้วยตัวอักษรตัวเดียว (เช่นf ) ลำดับที่แยกออกมาจากค่าอินพุตมักจะเขียนด้วยสัญลักษณ์เช่นหรือเพียงแค่ โดยที่Aคือโดเมน หรือเซตดัชนีของลำดับ ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$${\textstyle (a_{n}).}$

ความยาวของลำดับถูกกำหนดโดยจำนวนพจน์ในลำดับนั้น

ลำดับที่มีความยาวจำกัดเรียกว่าลำดับจำกัดลำดับจำกัดที่มีความยาวnเรียกอีกอย่างว่าn -tupleลำดับจำกัดรวมถึงลำดับว่างซึ่งเขียนแทนด้วย( )ที่ไม่มีสมาชิกใดๆ

โดยปกติ คำว่าลำดับอนันต์หมายถึงลำดับที่อนันต์ในทิศทางหนึ่ง และจำกัดในอีกทิศทางหนึ่ง ลำดับดังกล่าวมีสมาชิกตัวแรก แต่ไม่มีสมาชิกตัวสุดท้าย และเรียกว่า ลำดับอนันต์ด้านเดียวหรือลำดับอนันต์ทางเดียวเมื่อต้องการความชัดเจน ในทางตรงกันข้าม ลำดับที่อนันต์ในทั้งสองทิศทาง กล่าวคือ ไม่มีทั้งสมาชิกตัวแรกและสมาชิกตัวสุดท้าย เรียกว่าลำดับอนันต์สองทางลำดับอนันต์สองทิศทางหรือลำดับอนันต์สองด้านฟังก์ชันจากเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดไปยังเซต เช่น ลำดับของจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด(..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...)เป็นลำดับอนันต์สองทาง ลำดับนี้สามารถเขียนแทนด้วย... ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\textstyle {(2n)__{n=-\infty }^{\infty }}$

ลำดับจะเรียกว่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง (monotonic increasing)ถ้าแต่ละพจน์มากกว่าหรือเท่ากับพจน์ก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น ลำดับจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกพจน์ถ้าแต่ละพจน์ที่ต่อเนื่องกันมากกว่า (>) พจน์ก่อนหน้าอย่างเคร่งครัด ลำดับนั้นเรียกว่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องอย่างเคร่งครัด (strictly monotonically increasing ) ลำดับจะลดลงอย่างต่อ เนื่อง (monotonic decreasing ) ถ้าแต่ละพจน์ที่ต่อเนื่องกันน้อยกว่าหรือเท่ากับพจน์ก่อนหน้า และจะลดลงอย่างต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดถ้าแต่ละพจน์น้อยกว่าพจน์ก่อนหน้าอย่างเคร่งครัด ถ้าลำดับเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างใดอย่างหนึ่ง จะเรียกว่า ลำดับ โมโนโทน (monotone sequence) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดทั่วไปของฟังก์ชันโมโนโทน (monotonic function ) ${\textstyle {(a_{n})__{n=1}^{\infty }}$${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

คำว่า"ไม่ลดลง"และ"ไม่เพิ่มขึ้น"มักถูกใช้แทน คำว่า " เพิ่มขึ้น " และ"ลดลง"เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจเกิดขึ้นกับคำว่า " เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด"และ"ลดลงอย่างเคร่งครัด"ตามลำดับ

ถ้าลำดับของจำนวนจริง ( a _n ) เป็นเช่นนั้น โดยที่พจน์ทั้งหมดน้อยกว่าจำนวนจริงM บาง จำนวน ลำดับนั้นจะเรียกว่ามีขอบเขตบนกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีจำนวน จริง Mอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุกn , a _n ≤ M จำนวนจริง Mดังกล่าวเรียกว่าขอบเขตบน ในทำนองเดียวกัน ถ้าสำหรับจำนวนจริงm บาง จำนวนa _n ≥ mสำหรับทุกnที่มากกว่าN บาง จำนวน ลำดับนั้นจะมีขอบเขตล่างและจำนวนจริงm ดัง กล่าวเรียก ว่า ขอบเขตล่างถ้าลำดับมีขอบเขตทั้งบนและล่าง ลำดับนั้นจะเรียกว่ามี ขอบเขต

ลำดับย่อยของลำดับที่กำหนด คือลำดับที่เกิดจากการลบองค์ประกอบบางส่วนออกจากลำดับที่กำหนด โดยไม่เปลี่ยนแปลงตำแหน่งสัมพัทธ์ขององค์ประกอบที่เหลืออยู่ ตัวอย่างเช่น ลำดับของจำนวนเต็มคู่บวก(2, 4, 6, ...)เป็นลำดับย่อยของจำนวนเต็มบวก(1, 2, 3, ...)ตำแหน่งขององค์ประกอบบางส่วนจะเปลี่ยนไปเมื่อลบองค์ประกอบอื่นๆ ออก แต่ตำแหน่งสัมพัทธ์ยังคงเดิม

ตามหลักการแล้ว ลำดับย่อยของลำดับคือลำดับใดๆ ที่อยู่ในรูปแบบโดยที่เป็นลำดับจำนวนเต็มบวกที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$

ลำดับประเภทอื่นๆ ที่สามารถกำหนดได้ง่าย ได้แก่:

• ลำดับจำนวนเต็มคือ ลำดับที่มีพจน์เป็นจำนวนเต็ม
• ลำดับพหุนามคือลำดับที่มีพจน์เป็นพหุนาม
• ลำดับจำนวนเต็มบวกบางครั้งเรียกว่าลำดับทวีคูณถ้าa _nm = a _n a _mสำหรับทุกคู่n , mที่nและmเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ [ ^{8 ] ใน}กรณีอื่นๆ ลำดับมักเรียกว่าลำดับทวีคูณถ้าa _n = na ₁สำหรับทุกnยิ่งไปกว่านั้นลำดับฟิโบนาชชีทวีคูณ^{[ 9 ]}เป็นไปตามความสัมพันธ์เวียนเกิดa _n = a _{n −1} a _{n −2}
• ลำดับไบนารีคือ ลำดับที่มีพจน์ซึ่งมีค่าเป็น 2 ค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน เช่นค่าฐาน 2 (0, 1, 1, 0, ...)ผลการโยนเหรียญ (หัว/ก้อย) (H, T, H, H, T, ...) คำตอบของชุดคำถามจริงหรือเท็จ (T, F, T, T, ...) เป็นต้น

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของลำดับคือการลู่เข้าถ้าลำดับลู่เข้า มันจะลู่เข้าสู่ค่าเฉพาะค่าหนึ่งที่เรียกว่าลิมิตถ้าลำดับลู่เข้าสู่ลิมิตใดๆ ลำดับนั้นก็จะลู่เข้าลำดับที่ไม่ลู่เข้าเรียกว่า ลำดับ ลู่ ออก

โดยทั่วไปแล้ว ลำดับจะมีลิมิตก็ต่อเมื่อองค์ประกอบของลำดับเข้าใกล้ค่าบางค่า(เรียกว่าลิมิตของลำดับ) มากขึ้นเรื่อยๆ และค่าเหล่านั้นจะเข้าใกล้และคงที่อยู่ใกล้กับ ค่า ดังกล่าวซึ่งหมายความว่า เมื่อกำหนดจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์ องค์ประกอบทั้งหมดของลำดับ ยกเว้นจำนวนจำกัด จะมีระยะห่างจากค่าดังกล่าว น้อยกว่า ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d}$

ตัวอย่างเช่น ลำดับที่แสดงทางด้านขวาลู่เข้าสู่ค่า 0 ในทางกลับกัน ลำดับ(ซึ่งเริ่มต้นด้วย 1, 8, 27, ...) และ(ซึ่งเริ่มต้นด้วย −1, 1, −1, 1, ...) ต่างก็ลู่เข้าสู่ค่าอื่น ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$${\textstyle b_{n}=n^{3}}$${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}$

ถ้าลำดับลู่เข้า ค่าที่ลำดับลู่เข้าจะมีค่าเดียว ค่านี้เรียกว่าลิมิตของลำดับโดยปกติลิมิตของลำดับลู่เข้าจะใช้สัญลักษณ์ถ้าลำดับลู่เข้าเป็นลำดับลู่ออก สัญลักษณ์จะไม่มีความหมาย ${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

ลำดับของจำนวนจริงลู่เข้าสู่จำนวนจริงถ้าสำหรับทุกมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุกเรามี^{[ 5 ]}${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

ถ้าเป็นลำดับของจำนวนเชิงซ้อนแทนที่จะเป็นลำดับของจำนวนจริง สูตรสุดท้ายนี้ยังคงสามารถใช้เพื่อกำหนดการลู่เข้าได้ โดยมีเงื่อนไขว่า แทนค่าสัมบูรณ์ นั่นคือโดยที่คือ ค่าสัง ยุคเชิงซ้อนของถ้าเป็นลำดับของจุดในปริภูมิเมตริกสูตรนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดการลู่เข้าได้ ถ้าแทนที่นิพจน์ด้วย นิพจน์ซึ่งแทนระยะห่างระหว่างและ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle |a_{n}-L|}$${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle L}$

ถ้าและเป็นลำดับลู่เข้า ลิมิตต่อไปนี้จะมีอยู่ และสามารถคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 5 ] [ 10 ]}${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{n})}$

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$สำหรับทุกคนและ${\displaystyle p>0}$${\displaystyle a_{n}>0}$

นอกจากนี้:

• ถ้าสำหรับทั้งหมดที่มากกว่าบาง^ค่าแล้ว^[ก ]${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( ทฤษฎีบทการบีบอัด ) ถ้าเป็นลำดับที่สำหรับทุกและแล้วจะลู่เข้าและ${\displaystyle (c_{n})}$${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$${\displaystyle (c_{n})}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ถ้าลำดับมีขอบเขตและเป็นลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อยๆลำดับนั้นก็จะลู่เข้า
• ลำดับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับย่อยทั้งหมดของลำดับนั้นลู่เข้า

ลำดับโคชี (Cauchy sequence) คือลำดับที่พจน์ต่างๆ อยู่ใกล้กันมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อ n มีค่ามาก แนวคิดของลำดับโคชีมีความสำคัญในการศึกษาลำดับในปริภูมิเมตริกโดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงจริงผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างยิ่งประการหนึ่งในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงจริงคือลักษณะเฉพาะของลำดับโคชีในการลู่เข้า :

ลำดับของจำนวนจริงจะลู่เข้า (ในจำนวนจริง) ก็ต่อเมื่อเป็นลำดับโคชีเท่านั้น

ในทางตรงกันข้าม มีลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่ไม่ลู่เข้าสู่จำนวนตรรกยะ เช่น ลำดับที่กำหนดโดยและเป็นลำดับโคชี แต่ไม่มีลิมิตเป็นจำนวนตรรกยะ (ดูลำดับโคชี § ตัวอย่างที่ไม่ใช่: จำนวนตรรกยะ ) โดยทั่วไปแล้ว ลำดับของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่ลู่เข้าสู่จำนวนอตรรกยะจะเป็นลำดับโคชี แต่ไม่ลู่เข้าเมื่อตีความว่าเป็นลำดับในเซตของจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle x_{1}=1}$${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$

ปริภูมิเมตริกที่สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของการลู่เข้าของลำดับตามแบบโคชี เรียกว่าปริภูมิเมตริกสมบูรณ์และมีความเหมาะสมเป็นพิเศษสำหรับการวิเคราะห์

ในแคลคูลัส เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดสัญลักษณ์สำหรับลำดับที่ไม่ลู่เข้าในความหมายที่กล่าวถึงข้างต้น แต่กลับมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ และคงที่อยู่เช่นนั้น หรือมีค่าเป็นลบมากขึ้นเรื่อยๆ และคงที่อยู่เช่นนั้น ถ้ามีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อเราจะเขียนว่า ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่าอนันต์หรือ ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ตัวอย่างของลำดับดังกล่าวคือa _n = n

ถ้าค่า มีค่าเป็นลบอย่างมาก (กล่าวคือเป็นลบและมีขนาดใหญ่) เมื่อเราจะเขียนว่า ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

และกล่าวว่าลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่าลบอนันต์หรือลู่เข้าสู่ค่าลบอนันต์

โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมคือผลรวมของพจน์ในลำดับ นั่นคือ เป็นนิพจน์ในรูปแบบหรือโดยที่เป็นลำดับของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ผลรวมย่อยของอนุกรมคือนิพจน์ที่ได้จากการแทนที่สัญลักษณ์อนันต์ด้วยจำนวนจำกัด กล่าวคือ ผลรวม ย่อยลำดับที่ Nของอนุกรมคือจำนวน ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots }$${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.}$

ผลรวมย่อยเหล่านั้นประกอบกันเป็นลำดับซึ่งเรียกว่าลำดับผลรวมย่อยของอนุกรมถ้าหากลำดับผลรวมย่อยลู่เข้า เราจะกล่าวว่าอนุกรมนั้นลู่เข้าและลิมิตเรียกว่าค่าของอนุกรม เราใช้สัญลักษณ์เดียวกันในการแสดงอนุกรมและค่าของอนุกรม กล่าวคือ เราเขียน. ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

ลำดับมีบทบาทสำคัญในวิชาโทโพโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาปริภูมิเมตริกตัวอย่างเช่น:

• ปริภูมิเมตริกจะกะทัดรัดก็ต่อเมื่อมันกะทัดรัดตามลำดับเท่านั้น
• ฟังก์ชันจากปริภูมิเมตริกหนึ่งไปยังปริภูมิเมตริกอื่นจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นแปลงลำดับลู่เข้าเป็นลำดับลู่เข้า
• ปริภูมิเมตริกเป็นปริภูมิเชื่อมต่อก็ต่อเมื่อ เมื่อใดก็ตามที่ปริภูมิถูกแบ่งออกเป็นสองเซต เซตหนึ่งในสองเซตนั้นจะมีลำดับที่ลู่เข้าสู่จุดในอีกเซตหนึ่ง
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะแยกได้ก็ต่อเมื่อมีลำดับของจุดหนาแน่นเท่านั้น

ลำดับสามารถขยายไปสู่เน็ตหรือฟิลเตอร์ได้การขยายความเหล่านี้ทำให้สามารถขยายทฤษฎีบทบางส่วนข้างต้นไปสู่ปริภูมิที่ไม่มีเมตริกได้

ผลคูณเชิงทอพอโลยีของลำดับของปริภูมิเชิงทอพอโลยี คือผลคูณคาร์ทีเซียนของปริภูมิเหล่านั้น ซึ่งมีทอพอโลยีตามธรรมชาติที่เรียกว่า ทอพอโล ยี ผลคูณ

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น เมื่อกำหนดลำดับของพื้นที่แล้ว พื้นที่ผลคูณคือ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},}$

ถูกกำหนดให้เป็นเซตของลำดับทั้งหมดโดยที่สำหรับแต่ละiเป็นสมาชิกของการฉายภาพแบบแคนอนิกคือแผนที่p _i  : X → X _iที่กำหนดโดยสมการดังนั้นโทโพโลยีผลคูณบนX จึง ถูกนิยามให้เป็นโทโพโลยีที่หยาบที่สุด (กล่าวคือ โทโพโลยีที่มีเซตเปิดน้อยที่สุด) ซึ่งการฉายภาพp _i ทั้งหมด มีความต่อเนื่องบางครั้งโทโพโลยีผลคูณนี้เรียกว่าโทโพโลยีไทโคนอฟ ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}}$

ในการวิเคราะห์ลำดับนั้นโดยทั่วไปแล้วเราจะพิจารณาลำดับที่มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

กล่าวคือ ลำดับอนันต์ขององค์ประกอบที่จัดทำดัชนีด้วยจำนวนธรรมชาติ

ลำดับอาจเริ่มต้นด้วยดัชนีที่แตกต่างจาก1หรือ0ตัวอย่างเช่น ลำดับที่กำหนดโดยx _n = 1/log( n )โดยที่logคือลอการิทึมธรรมชาติจะถูกกำหนดได้เฉพาะเมื่อn ≥ 2 เท่านั้น เมื่อพูดถึงลำดับอนันต์ดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วก็เพียงพอแล้ว (และไม่เปลี่ยนแปลงมากนักสำหรับการพิจารณาส่วนใหญ่) ที่จะสมมติว่าสมาชิกของลำดับนั้นถูกกำหนดไว้แล้วอย่างน้อยสำหรับทุกดัชนีที่มากพอนั่นคือ มากกว่าN ที่กำหนด ไว้

ลำดับพื้นฐานที่สุดคือลำดับเชิงตัวเลข กล่าวคือ ลำดับของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ลำดับประเภทนี้สามารถขยายไปสู่ลำดับของสมาชิกในปริภูมิเวกเตอร์ บางประเภท ได้ ในทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์ ปริภูมิเวกเตอร์ที่พิจารณามักจะเป็นปริภูมิฟังก์ชันยิ่งไปกว่านั้น เรายังสามารถศึกษาลำดับที่มีสมาชิกอยู่ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีบาง ประเภทได้อีกด้วย

ปริภูมิของลำดับคือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นลำดับอนันต์ของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือปริภูมิของฟังก์ชันที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันจากจำนวนธรรมชาติไปยังฟิลด์Kโดยที่Kเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงหรือฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน เซตของฟังก์ชันดังกล่าวทั้งหมดสามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นเซตของลำดับอนันต์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีสมาชิกอยู่ในKและสามารถเปลี่ยนเป็นปริภูมิเวกเตอร์ได้ภายใต้การดำเนินการบวกฟังก์ชันแบบจุดต่อจุดและการคูณสเกลาร์แบบจุดต่อจุด ปริภูมิของลำดับทั้งหมดเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของปริภูมินี้ โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิของลำดับจะมีนอร์มหรืออย่างน้อยก็มีโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี

ปริภูมิของลำดับที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์คือ ปริภูมิ ℓ ^pซึ่งประกอบด้วย ลำดับที่หาผลรวมกำลัง pได้ โดยมี นอร์ม pปริภูมิเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษของปริภูมิL ^pสำหรับการวัดการนับบนเซตของจำนวนธรรมชาติ ลำดับประเภทสำคัญอื่นๆ เช่น ลำดับลู่เข้าหรือลำดับศูนย์ก่อให้เกิดปริภูมิของลำดับ ซึ่งแสดงด้วยcและc ₀ ตามลำดับ โดยมีนอร์ม sup ปริภูมิของลำดับใดๆ ก็สามารถมีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ได้ ซึ่งภายใต้โทโพโลยีนี้ มันจะกลายเป็น ปริภูมิ Fréchetชนิดพิเศษที่เรียกว่าปริภูมิ FK

ลำดับบนฟิลด์อาจถูกมองว่าเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์ ได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตของลำดับที่มีค่าเป็นF (โดยที่ Fเป็นฟิลด์) คือปริภูมิฟังก์ชัน (อันที่จริงคือปริภูมิผลคูณ ) ของ ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น Fบนเซตของจำนวนธรรมชาติ

พีชคณิตนามธรรมใช้ลำดับหลายประเภท รวมถึงลำดับของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น กลุ่มหรือวงแหวน

ถ้าAเป็นเซตโมโนอิดอิสระเหนือA (เขียนแทนด้วยA ^*หรือเรียกว่าKleene starของA ) คือโมโนอิดที่ประกอบด้วยลำดับจำกัด (หรือสตริง) ทั้งหมดที่มีสมาชิกศูนย์ตัวขึ้นไปของAโดยใช้การดำเนินการทวิภาคของการต่อกันเซมิกรุปอิสระA ⁺คือซับเซมิกรุปของA ^*ที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมด ยกเว้นลำดับว่าง

ในบริบทของทฤษฎีกลุ่มลำดับ

${\displaystyle G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}}$

ความสัมพันธ์ระหว่าง กลุ่มและ โฮโมมอร์ฟิซึม ของกลุ่มเรียกว่า ความสัมพันธ์ แบบแม่นยำ (exact ) ถ้าภาพ (หรือช่วง ) ของโฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัวเท่ากับเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมตัวถัดไป

${\displaystyle \mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})}$

ลำดับของกลุ่มและโฮโมมอร์ฟิซึมอาจเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรือแบบอนันต์

สามารถกำหนดนิยามที่คล้ายกันนี้ได้สำหรับโครงสร้างพีชคณิต อื่นๆ บางอย่าง ตัวอย่างเช่น เราอาจมีลำดับที่แน่นอนของปริภูมิเวกเตอร์และแผนที่เชิงเส้นหรือของโมดูลและ โฮโมมอร์ฟิ ซึม ของโมดูล

ในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและโทโพโลยีเชิง พีชคณิต ลำดับสเปกตรัมเป็นวิธีการคำนวณกลุ่มโฮโมโลยีโดยการประมาณค่าต่อเนื่องกัน ลำดับสเปกตรัมเป็นการขยายความของลำดับที่แน่นอนและนับตั้งแต่ที่ฌอง เลอเรย์  ( 1946 ) ได้นำเสนอ ลำดับสเปกตรัมก็กลายเป็นเครื่องมือวิจัยที่สำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีโฮโมโทปี

ลำดับดัชนีเชิงอันดับ (Ordinal-indexed sequence)เป็นการขยายความของลำดับธรรมดา ถ้าαเป็นลำดับลิมิตและXเป็นเซต ลำดับดัชนี αของสมาชิกในXคือฟังก์ชันจากαไปยังXในศัพท์เฉพาะนี้ ลำดับดัชนี ωคือลำดับธรรมดา

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ลำดับจำกัดเรียกว่าลิส ต์ ลำดับที่อาจไม่มี ที่ สิ้นสุดเรียกว่าสตรีมลำดับจำกัดของตัวอักษรหรือตัวเลขเรียกว่าสตริง

ลำดับอนันต์ของตัวเลข (หรือตัวอักษร ) ที่ดึงมาจากตัวอักษรจำนวนจำกัด นั้น มีความน่าสนใจเป็นพิเศษในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี โดยทั่วไปมักเรียกกันว่าลำดับหรือสตรีมตรงข้ามกับสตริง จำนวนจำกัด ตัวอย่างเช่น ลำดับไบนารีอนันต์ คือลำดับอนันต์ของบิต (ตัวอักษรที่ดึงมาจากตัวอักษร{0, 1} ) เซตC = {0, 1} ^∞ของลำดับไบนารีอนันต์ทั้งหมดบางครั้งเรียกว่าปริภูมิแคนเตอร์

ลำดับไบนารีอนันต์สามารถแทนภาษาทางการ (ชุดของสตริง) ได้โดยการตั้งค่าบิตที่nของลำดับเป็น1ก็ต่อเมื่อ สตริงที่ n (ตามลำดับ shortlex ) อยู่ในภาษา การแทนแบบนี้มีประโยชน์ในวิธีการสร้างแนวทแยงมุมสำหรับการพิสูจน์^{[ 11 ]}

• การนับจำนวน
• สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์
• ความสัมพันธ์เวียนเกิด
• พื้นที่ลำดับ

การดำเนินงาน

• ผลิตภัณฑ์คอชี

ตัวอย่าง

• สัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่อง
• ลำดับฟาเรย์
• ลำดับฟิโบนาชชี
• ลำดับการมองและการพูด
• ลำดับ Thue–Morse
• รายการลำดับจำนวนเต็ม

ประเภท

• ลำดับ ±1
• ลำดับเลขคณิต
• ลำดับอัตโนมัติ
• ลำดับโคชี
• ลำดับการเรียกซ้ำคงที่
• ลำดับเรขาคณิต
• การดำเนินฮาร์โมนิก
• ลำดับโฮโลโนมิก
• ลำดับปกติ
• ลำดับไบนารีสุ่มเทียม
• ลำดับแบบสุ่ม

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

• รายการ (การคำนวณ)
• โครงข่าย (โทโพโลยี) (การขยายความของลำดับ)
• ลำดับดัชนีเชิงอันดับ
• การเรียกซ้ำ (วิทยาการคอมพิวเตอร์)
• เซต (คณิตศาสตร์)
• ทูเปิล
• การเรียงสับเปลี่ยน

ค้นหาคำว่า "ลำดับ"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

ลองค้นหาคำว่า enumerate  หรือcollectionใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• "ลำดับ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• สารานุกรมลำดับจำนวนเต็มออนไลน์
• วารสารลำดับจำนวนเต็ม (ฟรี)