ในทางคณิตศาสตร์คำว่า"pointwise"ใช้เพื่อระบุว่าคุณสมบัติบางอย่างถูกกำหนดโดยการพิจารณาแต่ละค่าของฟังก์ชัน บางฟังก์ชัน กลุ่มแนวคิด "pointwise" ที่สำคัญคือการดำเนินการแบบ pointwiseซึ่งก็คือการดำเนินการที่กำหนดบนฟังก์ชันโดยการใช้การดำเนินการกับค่าของฟังก์ชันแยกกันสำหรับแต่ละจุดในโดเมนของการกำหนดความสัมพันธ์ ที่สำคัญ ก็สามารถกำหนดได้แบบ pointwise เช่นกัน ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f.}$

การดำเนินการทวิภาคo : Y × Y → YบนเซตYสามารถยกขึ้นแบบจุดต่อจุดเป็นการดำเนินการO : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y )บนเซตX → Yของฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังYได้ดังนี้: กำหนดให้ฟังก์ชันสองฟังก์ชันf ₁ : X → Yและf ₂ : X → Yจงนิยามฟังก์ชันO ( f ₁ , f ₂ ): X → Yโดย

โดยทั่วไปoและOจะใช้สัญลักษณ์เดียวกัน นิยามที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับการดำเนินการเอกภาคoและการดำเนินการที่มีจำนวนอาร์กิวเมนต์ อื่นๆ ด้วย

การบวกแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่ มีโดเมนและ โคโดเมนเดียวกันนั้นนิยามได้ดังนี้: ${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x).}$

ผลคูณแบบจุดต่อจุด หรือการคูณแบบจุดต่อจุด คือ:

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}$

ผลคูณแบบจุดต่อจุดกับสเกลาร์มักเขียนโดยให้พจน์สเกลาร์อยู่ก่อน ดังนั้น เมื่อเป็นสเกลาร์ : ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).}$

ตัวอย่างหนึ่งของการดำเนินการกับฟังก์ชันที่ไม่ใช่การดำเนินการแบบจุดต่อจุดคือการสังเคราะห์ (convolution )

การดำเนินการแบบจุดต่อจุดจะสืบทอดคุณสมบัติต่างๆ เช่นการจัดกลุ่มการสลับที่และการกระจายตัวจากการดำเนินการที่สอดคล้องกันบนโคโดเมนถ้า เป็นโครงสร้างพีชคณิต บางอย่าง เซตของฟังก์ชันทั้งหมดที่ไปยังเซตตัวพาของสามารถแปลงเป็นโครงสร้างพีชคณิตประเภทเดียวกันได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

โดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการแบบแยกส่วนจะถูกกำหนดบนเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์เป็นสมาชิกของเซตสำหรับจำนวนธรรมชาติ บางจำนวน และฟิลด์ บางฟิลด์ ถ้าเรากำหนดให้ส่วนประกอบที่ i ของเวกเตอร์ใดๆเป็นแล้วการบวกแบบแยกส่วนคือ ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$

สามารถกำหนดการดำเนินการแบบแยกส่วนประกอบบนเมทริกซ์ได้ การบวกเมทริกซ์เป็นการดำเนินการแบบแยกส่วนประกอบ ในขณะที่การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่ ${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$

ทูเพิลสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชัน และเวกเตอร์ก็เป็นทูเพิลเช่นกัน ดังนั้น เวกเตอร์ใดๆ จึงสอดคล้องกับฟังก์ชันโดยที่และการดำเนินการแบบแยกส่วนประกอบบนเวกเตอร์ใดๆ ก็คือการดำเนินการแบบจุดต่อจุดบนฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเวกเตอร์เหล่านั้น ${\displaystyle v}$${\displaystyle f:n\to K}$${\displaystyle f(i)=v_{i}}$

ในทฤษฎีลำดับเป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดลำดับบางส่วนแบบ จุดต่อจุด บนฟังก์ชัน ด้วยโพเซตA , B เซตของฟังก์ชันA → Bสามารถเรียงลำดับได้โดยการกำหนดf ≤ gถ้า(∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x )ลำดับแบบจุดต่อจุดยังสืบทอดคุณสมบัติบางอย่างของโพเซตพื้นฐานด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้า A และ B เป็นแลตทิซต่อเนื่องเซตของฟังก์ชันA → Bที่มีลำดับแบบจุดต่อจุด ก็จะเป็นแลตทิซต่อเนื่องเช่นกัน การใช้ลำดับแบบจุดต่อจุดบนฟังก์ชันทำให้สามารถกำหนดแนวคิดสำคัญอื่นๆ ได้อย่างกระชับ เช่น:

• ตัวดำเนินการปิด cบนเซตลำดับบางส่วนPคือแผนที่ตัวเองแบบโมโนโทนและเอกลักษณ์ บน P (กล่าวคือตัวดำเนินการฉายภาพ ) ที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ id _A ≤ cโดยที่ id คือฟังก์ชันเอกลักษณ์
• ในทำนองเดียวกัน ตัวดำเนินการฉายภาพkเรียกว่าตัวดำเนินการเคอร์เนลก็ต่อเมื่อk ≤ id _Aเท่านั้น

ตัวอย่างหนึ่งของ ความสัมพันธ์แบบจุดต่อจุด อนันต์คือการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชัน— ลำดับของฟังก์ชัน ที่มี จะลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังฟังก์ชันfถ้า สำหรับแต่ละxในX$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$$${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$