ในทางคณิตศาสตร์การรวมเชิงเส้นหรือการซ้อนทับเชิงเส้นคือการแสดงออกที่สร้างขึ้นจากชุดของพจน์โดยการคูณแต่ละพจน์ด้วยค่าคงที่และบวกผลลัพธ์เข้าด้วยกัน (เช่น การรวมเชิงเส้นของxและyจะเป็นการแสดงออกใดๆ ในรูปแบบax + byโดยที่aและbเป็นค่าคงที่) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แนวคิดของการรวมเชิงเส้นเป็นหัวใจสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นและสาขาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง บทความนี้ส่วนใหญ่กล่าวถึงการรวมเชิงเส้นในบริบทของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์โดยมีการสรุปทั่วไปบางประการในตอนท้ายของบทความ

ให้Vเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kตามปกติ เราเรียกองค์ประกอบของV ว่าเวกเตอร์และเรียกองค์ประกอบของK ว่าสเกลาร์ถ้าv ₁ ,..., v _nเป็นเวกเตอร์ และa ₁ ,..., a _nเป็นสเกลาร์ แล้วการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านั้นโดยมีสเกลาร์เหล่านั้นเป็นสัมประสิทธิ์คือ

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

การใช้คำว่า "การรวมเชิงเส้น" มีความกำกวมอยู่บ้าง ว่าหมายถึงนิพจน์หรือค่าของมัน ในกรณีส่วนใหญ่ มักเน้นที่ค่า ดังเช่นในประโยคที่ว่า "เซตของการรวมเชิงเส้นทั้งหมดของv ₁ ,..., v _nจะก่อให้เกิดปริภูมิย่อยเสมอ" อย่างไรก็ตาม เราอาจกล่าวได้ว่า "การรวมเชิงเส้นสองแบบที่แตกต่างกันสามารถมีค่าเดียวกันได้" ซึ่งในกรณีนี้จะหมายถึงนิพจน์ ความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างการใช้งานเหล่านี้เป็นแก่นแท้ของแนวคิดเรื่องการพึ่งพาเชิงเส้น : กลุ่ม เวกเตอร์ Fจะเป็นอิสระเชิงเส้นก็ต่อเมื่อการรวมเชิงเส้นใดๆ ของเวกเตอร์ในF (ในฐานะค่า) เป็นอิสระเชิงเส้นอย่างไม่ซ้ำกัน (ในฐานะนิพจน์) ไม่ว่าในกรณีใด แม้จะมองในฐานะนิพจน์ สิ่งสำคัญเกี่ยวกับการรวมเชิงเส้นก็คือสัมประสิทธิ์ของแต่ละv _iการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย เช่น การสลับตำแหน่งพจน์หรือการเพิ่มพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ ไม่ได้ทำให้เกิดการรวมเชิงเส้นที่แตกต่างกัน

ในสถานการณ์หนึ่งๆKและVอาจถูกระบุไว้อย่างชัดเจน หรืออาจเห็นได้ชัดจากบริบท ในกรณีนั้น เรามักจะพูดถึงการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์v ₁ ,..., v _nโดยที่สัมประสิทธิ์ไม่ได้ระบุไว้ (ยกเว้นว่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นต้องอยู่ในK ) หรือ ถ้าSเป็นเซตย่อยของVเราอาจพูดถึงการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน Sโดยที่ทั้งสัมประสิทธิ์และเวกเตอร์ไม่ได้ระบุไว้ ยกเว้นว่าเวกเตอร์ต้องอยู่ในเซตS (และสัมประสิทธิ์ต้องอยู่ในK ) สุดท้าย เราอาจพูดถึงการรวมเชิงเส้น อย่างง่ายๆ โดยที่ไม่ได้ระบุอะไรเลย (ยกเว้นว่าเวกเตอร์ต้องอยู่ในVและสัมประสิทธิ์ต้องอยู่ในK ) ในกรณีนี้ เราอาจหมายถึงนิพจน์นั้น เนื่องจากทุกเวกเตอร์ในVย่อมเป็นค่าของการรวมเชิงเส้นบางอย่างอย่างแน่นอน

โปรดทราบว่าตามนิยามแล้ว การรวมเชิงเส้นเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เพียง จำนวน จำกัด เท่านั้น ยกเว้นตามที่อธิบายไว้ใน ส่วน § การสรุปทั่วไปอย่างไรก็ตาม เซตSที่เวกเตอร์มาจาก (ถ้ามีการกล่าวถึง) ยังคงเป็นอนันต์ได้ การรวมเชิงเส้นแต่ละครั้งจะเกี่ยวข้องกับเวก เตอร์ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น นอกจากนี้ ไม่มีเหตุผลใดที่nจะไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ในกรณีนั้น เรากำหนดโดยธรรมเนียมว่าผลลัพธ์ของการรวมเชิงเส้นคือเวกเตอร์ศูนย์ในV

ให้ฟิลด์Kเป็นเซตRของจำนวนจริงและให้ปริภูมิเวกเตอร์Vเป็นปริภูมิยุคลิดR ³พิจารณาเวกเตอร์e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = ( 0,1,0)และe ₃ = (0,0,1)แล้วเวกเตอร์ใดๆ ในR ³เป็นผลรวมเชิงเส้นของe ₁ , e ₂และ  e ₃

เพื่อให้เห็นว่าเป็นเช่นนั้น ให้เลือกเวกเตอร์ใดๆ ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) ในR ³แล้วเขียนดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3 })\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

ให้Kเป็นเซตCของจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมด และให้Vเป็นเซต C _C ( R ) ของฟังก์ชันต่อเนื่อง ทั้งหมด จากเส้นจำนวนจริงRไปยังระนาบเชิงซ้อนCพิจารณาเวกเตอร์ (ฟังก์ชัน) fและgที่กำหนดโดยf ( t ) := e ^itและg ( t ) := e ^{− it} (ในที่นี้eคือฐานของลอการิทึมธรรมชาติประมาณ 2.71828... และiคือหน่วยจินตนาการซึ่งเป็นรากที่สองของ −1) การรวมเชิงเส้นบางส่วนของfและg  มีดังนี้:

• ${\displaystyle \cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}}$
• ${\displaystyle 2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.}$

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันคงที่ 3 ไม่ใช่ผลรวมเชิงเส้นของfและgเพื่อให้เห็นภาพนี้ สมมติว่า 3 สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของe itและe −it ได้ นั่นหมายความว่าจะมีสเกลาร์เชิงซ้อนaและb อยู่จริง โดยที่a<sub>e it  + b −it  = 3 สำหรับจำนวนจริง tทุกตัวเมื่อกำหนดให้t = 0 และt = π จะได้สมการa + b  = 3และa  + b = −3ซึ่งเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้

ให้Kเป็นR , Cหรือฟิลด์ใดๆ และให้Vเป็นเซตP ของ พหุนามทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์มาจากฟิลด์Kพิจารณาเวกเตอร์ (พหุนาม) p ₁  := 1, p ₂  := x + 1และp ₃  := x ² + x + 1

เพื่อตรวจสอบว่าx ²  − 1 เป็นผลรวมเชิงเส้นของp ₁ , p ₂และp ₃ หรือ ไม่ เราจะพิจารณาผลรวมเชิงเส้นแบบสุ่มของเวกเตอร์เหล่านี้ และพยายามดูว่าเมื่อใดจึงจะเท่ากับเวกเตอร์x ²  − 1 ที่ต้องการ โดยเลือกสัมประสิทธิ์แบบสุ่มa ₁ , a ₂และa ₃เราต้องการ

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

เมื่อคูณพหุนามออกมา จะได้ว่า...

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

และเมื่อรวบรวมกำลังของx ที่คล้ายกัน เราจะได้

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

พหุนามสองพหุนามจะเท่ากันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

ระบบสมการเชิงเส้นนี้สามารถแก้ได้ง่ายๆ ขั้นแรก สมการแรกบอกว่าa³ เท่ากับ ₁เมื่อรู้เช่นนั้น เราก็สามารถแก้สมการที่สองหา_{ค่า a²} ซึ่งได้เป็น -1 สุดท้าย สมการสุดท้ายบอกว่าa¹ เท่ากับ _-1เช่นกัน ดังนั้น วิธีเดียวที่จะได้ผลรวมเชิงเส้นคือใช้สัมประสิทธิ์เหล่านี้ ถูกต้องแล้ว

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

ดังนั้นx ²  − 1 จึง เป็นผลรวมเชิงเส้นของp ₁ , p ₂และ  p ₃

ในทางกลับกัน ถ้าเราพยายามทำให้x ³  − 1 เป็นผลรวมเชิงเส้นของp ₁ , p ₂และp ₃แล้วทำตามกระบวนการเดียวกันกับก่อนหน้านี้ เราจะได้สมการ

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อเรากำหนดให้สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากันในกรณีนี้ สมการสำหรับx ³  คือ

${\displaystyle 0=1}$

ซึ่งเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นจึงไม่มีทางที่สิ่งนี้จะใช้ได้ผล และx ³  − 1 ไม่ใช่ ผลรวมเชิง เส้น ของp ₁ , p ₂และ  p ₃

พิจารณาฟิลด์K ใดๆ และปริภูมิเวกเตอร์V ใดๆ และให้v ₁ ,..., v _nเป็นเวกเตอร์ (ในV ) เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพิจารณาเซตของ การรวมเชิงเส้น ทั้งหมดของเวกเตอร์เหล่านี้ เซตนี้เรียกว่าสแปนเชิงเส้น (หรือเรียกสั้นๆ ว่าสแปน ) ของเวกเตอร์ เช่นS = { v ₁ , ..., v _n } เราเขียนสแปนของSเป็น span( S ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}หรือ sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

สมมติว่าสำหรับเซตของเวกเตอร์v ₁ ,..., v _nบางเซต เวกเตอร์ตัวเดียวสามารถเขียนได้ในสองวิธีที่แตกต่างกันในรูปของการรวมเชิงเส้นของเซตเหล่านั้น:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ โดยที่ }}a_{i}\neq b_{i}.}$

สิ่งนี้เทียบเท่ากับการลบสิ่งเหล่านี้ ( ) กับการกล่าวว่าการรวมกันที่ไม่ธรรมดาเป็นศูนย์: ^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

ถ้าเป็นไปได้ เวกเตอร์ v ₁ ,..., v _nจะเรียกว่า เวกเตอร์ ที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น (linearly dependent ) มิฉะนั้น จะเรียกว่าเวกเตอร์ที่ไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น (linearly independent ) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงการขึ้นต่อกันหรือความไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้นของเซตเวกเตอร์ S ใดๆ ก็ได้

ถ้าSเป็นอิสระเชิงเส้น และปริภูมิแผ่ขยายของSเท่ากับVแล้วSจะ เป็นฐานสำหรับV

โดยการจำกัดสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในการรวมเชิงเส้น เราสามารถกำหนดแนวคิดที่เกี่ยวข้อง ได้แก่การรวมเชิงเส้นตรงการรวมเชิงกรวยและการรวมเชิงนูนตลอดจนแนวคิดที่เกี่ยวข้องของเซตที่ปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านี้

ประเภทของการผสมผสาน	ข้อจำกัดเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์	ชื่อชุด	พื้นที่จำลอง
การรวมกันเชิงเส้น	ไม่มีข้อจำกัด	ปริภูมิย่อยเวกเตอร์	${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$
การผสมผสานแบบแอฟฟิน	${\textstyle \sum a_{i}=1}$	ปริภูมิย่อยเชิงเส้น	ระนาบแอฟฟิน
การผสมผสานทรงกรวย	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$	กรวยนูน	Quadrant , octantหรือorthant
การผสมผสานแบบนูน	${\displaystyle a_{i}\geq 0}$และ${\textstyle \sum a_{i}=1}$	เซตนูน	ซิมเพล็กซ์

เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้มีข้อจำกัด มากกว่า จึงทำให้มีเซตย่อยจำนวนมากขึ้นที่ปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านั้น ดังนั้นเซตย่อยเชิงเส้นตรง กรวยนูน และเซตนูน จึงเป็นการวางนัยทั่วไปของปริภูมิย่อยเวกเตอร์: ปริภูมิย่อยเวกเตอร์เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง กรวยนูน และเซตนูนด้วย แต่เซตนูนไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ เชิงเส้นตรง หรือกรวยนูนเสมอไป

แนวคิดเหล่านี้มักเกิดขึ้นเมื่อเราสามารถสร้างการรวมเชิงเส้นบางอย่างของวัตถุได้ แต่ไม่ใช่ทุกอย่าง ตัวอย่างเช่นการแจกแจงความน่าจะเป็นนั้นปิดภายใต้การรวมแบบนูน (เพราะมันก่อตัวเป็นเซตแบบนูน) แต่ไม่ปิดภายใต้การรวมแบบกรวยหรือแบบแอฟฟิน (หรือแบบเชิงเส้น) และมาตรวัดที่เป็นบวกนั้นปิดภายใต้การรวมแบบกรวย แต่ไม่ปิดภายใต้การรวมแบบแอฟฟินหรือแบบเชิงเส้น ดังนั้นจึงกำหนดมาตรวัดที่มีเครื่องหมายเป็นการปิดเชิงเส้น

การรวมเชิงเส้นและการรวมเชิงอัฟฟินสามารถกำหนดได้บนฟิลด์ (หรือริง) ใดๆ ก็ได้ แต่การรวมเชิงกรวยและการรวมเชิงนูนต้องอาศัยแนวคิดเรื่อง "บวก" ดังนั้นจึงสามารถกำหนดได้เฉพาะบนฟิลด์เรียงลำดับ (หรือริงเรียงลำดับ ) เท่านั้น ซึ่งโดยทั่วไปคือจำนวนจริง

หากอนุญาตเฉพาะการคูณด้วยสเกลาร์ เท่านั้น ไม่ใช่การบวก จะได้รูปทรงกรวย (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรูปทรงนูน) โดยทั่วไปแล้วมักจะจำกัดนิยามให้ยอมรับเฉพาะการคูณด้วยสเกลาร์บวกเท่านั้น

โดยทั่วไปแล้ว แนวคิดเหล่านี้ทั้งหมดจะถูกนิยามว่าเป็นเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์แวดล้อม (ยกเว้นปริภูมิเชิงเส้นตรง ซึ่งถือว่าเป็น "ปริภูมิเวกเตอร์ที่ไม่สนใจจุดกำเนิด") มากกว่าที่จะถูกกำหนดเป็นสัจพจน์อย่างอิสระ

ในเชิงนามธรรมมากขึ้น ในภาษาของทฤษฎีโอเปอแรดเราสามารถพิจารณาปริมาณเวกเตอร์ว่าเป็นพีชคณิตเหนือโอเปอแรด( ผลรวมโดยตรง อนันต์ ดังนั้นจึงมีเพียงจำนวนจำกัดของพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งสอดคล้องกับการหาผลรวมแบบจำกัดเท่านั้น) ซึ่งกำหนดพารามิเตอร์ของการรวมเชิงเส้น: ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์สอดคล้องกับการรวมเชิงเส้น ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาการรวมเชิงเส้นแบบแอฟฟิน การรวมเชิงเส้นแบบกรวย และการรวมเชิงเส้นแบบนูน ว่าสอดคล้องกับซับโอเปอแรดที่พจน์ต่างๆ รวมกันได้ 1 พจน์ทั้งหมดไม่เป็นลบ หรือทั้งสองอย่าง ตามลำดับ ในทางกราฟิก สิ่งเหล่านี้คือระนาบแอฟฟินอนันต์ ไฮเปอร์อ็อกแทนต์อนันต์ และซิมเพล็กซ์อนันต์ นี่เป็นการกำหนดอย่างเป็นทางการถึงความหมายของการเป็นหรือซิมเพล็กซ์มาตรฐานที่เป็นปริมาณแบบจำลอง และข้อสังเกตต่างๆ เช่น ทุกรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ มีขอบเขต เป็นภาพของซิมเพล็กซ์ ในที่นี้ ซับโอเปอแรดสอดคล้องกับการดำเนินการที่จำกัดมากขึ้น และด้วยเหตุนี้จึงสอดคล้องกับทฤษฎีทั่วไปมากขึ้น ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

จากมุมมองนี้ เราสามารถมองว่าการรวมเชิงเส้นเป็นรูปแบบการดำเนินการทั่วไปที่สุดในปริภูมิเวกเตอร์ กล่าวคือ การบอกว่าปริภูมิเวกเตอร์เป็นพีชคณิตเหนือตัวดำเนินการของการรวมเชิงเส้นนั้น หมายความว่า การดำเนินการทางพีชคณิต ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในปริภูมิเวกเตอร์ล้วนเป็นการรวมเชิงเส้น นั่นเอง

การดำเนินการพื้นฐานอย่างการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ รวมถึงการมีอยู่ของเอกลักษณ์การบวกและตัวผกผันการบวก ไม่สามารถนำมาผสมผสานกันในรูปแบบที่ซับซ้อนไปกว่าการรวมเชิงเส้นทั่วไปได้ กล่าวคือ การดำเนินการพื้นฐานเหล่านี้เป็นเซตก่อกำเนิดสำหรับตัวดำเนินการของการรวมเชิงเส้นทั้งหมด

ท้ายที่สุดแล้ว ข้อเท็จจริงนี้เป็นหัวใจสำคัญที่ทำให้การรวมเชิงเส้นมีประโยชน์ในการศึกษาปริภูมิเวกเตอร์

ถ้าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแล้ว อาจมีวิธีที่จะทำความเข้าใจ การรวมเชิงเส้น อนันต์ บางอย่างได้ โดยใช้ทอพอโลยีของVตัวอย่างเช่น เราอาจสามารถพูดถึง การรวมเชิงเส้น _{อนันต์ 1 v 1} + a ₂  v 2 ₊ a ₃  v 3 ₊ ⋯ _ที่  ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ การรวมเชิงเส้นอนันต์ดังกล่าวไม่ได้มีความหมายเสมอไป เราเรียกว่า การรวมเชิงเส้น ลู่เข้าเมื่อมันมีความหมาย การอนุญาตให้มีการรวมเชิงเส้นมากขึ้นในกรณีนี้อาจนำไปสู่แนวคิดที่แตกต่างกันของช่วง การเป็นอิสระเชิงเส้น และฐาน บทความเกี่ยวกับปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบต่างๆ จะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องเหล่านี้

ถ้าKเป็นวงแหวนสลับที่แทนที่จะเป็นฟิลด์ สิ่งต่างๆ ที่กล่าวมาข้างต้นเกี่ยวกับการรวมเชิงเส้นจะสามารถขยายไปสู่กรณีนี้ได้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราเรียกปริภูมิแบบนี้ว่าโมดูลแทนที่จะ เป็นปริภูมิเวก เตอร์ ถ้าKเป็นวงแหวนไม่สลับที่ แนวคิดนี้ก็ยังคงสามารถขยายไปได้เช่นกัน โดยมีข้อแม้หนึ่งข้อคือ เนื่องจากโมดูลเหนือวงแหวนไม่สลับที่นั้นมีทั้งแบบซ้ายและขวา การรวมเชิงเส้นของเราจึงอาจมีอยู่ในทั้งสองแบบ ขึ้นอยู่กับความเหมาะสมของโมดูลนั้นๆ ซึ่งเป็นเพียงเรื่องของการคูณสเกลาร์ในด้านที่ถูกต้องเท่านั้น

ความซับซ้อนยิ่งขึ้นเกิดขึ้นเมื่อVเป็นไบโมดูลเหนือวงแหวนสองวง คือK _LและK _Rในกรณีนั้น การรวมเชิงเส้นทั่วไปที่สุดจะมีลักษณะดังนี้

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

โดยที่a ₁ ,..., a _nเป็นสมาชิกของK _L , b ₁ ,..., b _nเป็นสมาชิกของK _R , และv ₁ ,…, v _nเป็นสมาชิกของV .

• ผลรวมถ่วงน้ำหนัก

• การรวมเชิงเส้นและสแปน: ทำความเข้าใจการรวมเชิงเส้นและสแปนของเวกเตอร์ , khanacademy.org