ในทางฟิสิกส์กลุ่มคลื่น (หรือที่รู้จักกันในชื่อขบวนคลื่นหรือกลุ่มคลื่น ) คือคลื่นที่เกิดขึ้นเป็นช่วงสั้นๆ ในบริเวณเฉพาะที่ซึ่งเคลื่อนที่ไปเป็นหน่วยเดียวกัน โดยมีขอบเขตเป็นซองคลื่น กลุ่มคลื่นสามารถวิเคราะห์หรือสังเคราะห์ได้จากชุดคลื่นไซน์ที่ เป็นส่วนประกอบที่มี เลขคลื่นต่างกัน จำนวนอนันต์ โดยมีเฟสและแอมพลิจูดที่ทำให้เกิดการแทรกสอดแบบเสริมกันเฉพาะในบริเวณเล็กๆ และแทรกสอดแบบหักล้างกันในที่อื่นๆ^{[ 1 ]}สัญญาณใดๆ ที่มีความกว้างจำกัดในเวลาหรือพื้นที่ จำเป็นต้องมีส่วนประกอบความถี่จำนวนมากรอบความถี่ศูนย์กลางภายในแบนด์วิดท์ที่แปรผกผันกับความกว้างนั้น แม้แต่ฟังก์ชันเกาส์เซียนก็ถือว่าเป็นกลุ่มคลื่น เพราะการแปลงฟูริเยร์ ของมัน คือ "กลุ่ม" ของคลื่นความถี่ที่รวมกลุ่มกันอยู่รอบความถี่ศูนย์กลาง^{[ 2 ]}ฟังก์ชันคลื่น ที่ เป็นส่วนประกอบแต่ละ ฟังก์ชัน และด้วยเหตุนี้ กลุ่มคลื่น จึงเป็นคำตอบของ สม การคลื่นขึ้นอยู่กับสมการคลื่น รูปทรงของกลุ่มคลื่นอาจคงที่ (ไม่มีการกระจายตัว ) หรืออาจเปลี่ยนแปลง ( มีการกระจายตัว ) ในขณะที่เคลื่อนที่

แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับแพ็กเก็ตคลื่น – การมอดูเลชั่น คลื่นพาหะความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่ม – มีมาตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 1800 แนวคิดเรื่องความเร็วกลุ่มที่แตกต่างจากความเร็วเฟสของคลื่นได้รับการเสนอครั้งแรกโดยWR Hamiltonในปี 1839 และได้รับการอธิบายอย่างละเอียดครั้งแรกโดยRayleighในหนังสือ "Theory of Sound" ของเขาในปี 1877 ^{[ 3 ]}

เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องแพ็กเก็ตคลื่นหลังจากตีพิมพ์สมการคลื่น อันโด่งดังของเขา ^{[ 4 ]}เขาแก้สมการคลื่นสำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์แนะนำหลักการซ้อนทับและใช้มันเพื่อแสดงให้เห็นว่าสถานะกระชับสามารถคงอยู่ได้ แม้ว่างานนี้จะส่งผลให้เกิดแนวคิดที่สำคัญของสถานะโคฮีเรนต์ แต่แนวคิดแพ็กเก็ตคลื่นก็ไม่ได้คงอยู่ หนึ่งปีหลังจากบทความของชโรดิงเกอร์เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กได้ตีพิมพ์บทความของเขาเกี่ยวกับหลักการความไม่แน่นอน ซึ่งแสดงให้เห็นในกระบวนการว่าผลลัพธ์ของชโรดิงเกอร์ใช้ได้กับ ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เท่านั้นไม่ใช่กับศักยภาพคูลอมบ์ที่เป็นลักษณะเฉพาะของอะตอม^{[ 4 ] : 829}

ในปีต่อมา พ.ศ. 2460 ชาร์ลส์ กัลตัน ดาร์วินได้สำรวจสมการของชโรดิงเกอร์ สำหรับ อิเล็กตรอนอิสระในพื้นที่ว่าง โดยสมมติว่าแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนเริ่มต้น[ 5 ^{]ดาร์วิน}แสดงให้เห็นว่าเมื่อเวลาผ่านไป ตำแหน่งของแพ็กเก็ตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วจะเป็น ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

ความไม่แน่นอนในตำแหน่งเริ่มต้นอยู่ ที่ใด${\displaystyle \sigma }$

ต่อมาในปี พ.ศ. 2460 Paul Ehrenfestแสดงให้เห็นว่าเวลาที่แพ็กเก็ตคลื่นสสาร ที่มีความกว้าง และมวลจะแพร่กระจายเป็นสองเท่าคือเนื่องจากมีขนาดเล็กมาก แพ็กเก็ตคลื่นในระดับของวัตถุขนาดมหาสารที่มีความกว้างและมวลมากจะเพิ่มเป็นสองเท่าเฉพาะในช่วงเวลาจักรวาล เท่านั้น ^{[ 6 ] : 49} ${\displaystyle T}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle m}$${\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar }$${\displaystyle \hbar }$

กลศาสตร์ควอนตัมอธิบายธรรมชาติของระบบอะตอมและอนุภาคย่อยอะตอมโดยใช้สมการคลื่นของชโรดิงเกอร์ ขีดจำกัดคลาสสิกของกลศาสตร์ควอนตัมและสูตรการกระเจิงควอนตัมจำนวนมากใช้แพ็กเก็ตคลื่นที่เกิดจากคำตอบต่างๆ ของสมการนี้ โปรไฟล์แพ็กเก็ตคลื่นควอนตัมเปลี่ยนแปลงขณะแพร่กระจาย พวกมันแสดงการกระจายตัว นักฟิสิกส์สรุปว่า "แพ็กเก็ตคลื่นไม่สามารถใช้เป็นตัวแทนของอนุภาคย่อยอะตอมได้" ^{[ 4 ] : 829}

ชโรดิงเกอร์พัฒนาแพ็กเก็ตคลื่นโดยหวังว่าจะตีความคำตอบของคลื่นควอนตัมเป็นกลุ่มคลื่นที่กระชับเฉพาะที่^{[ 4 ]}แพ็กเก็ตดังกล่าวแลกเปลี่ยนการจำกัดตำแหน่งกับการกระจายโมเมนตัม ในการแสดงพิกัดของคลื่น (เช่นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ) ตำแหน่งของความน่าจะเป็นเฉพาะที่ของอนุภาคจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งของคำตอบแพ็กเก็ต ยิ่งแพ็กเก็ตคลื่นเชิงพื้นที่แคบลง และด้วยเหตุนี้ตำแหน่งของแพ็กเก็ตคลื่นจึงถูกจำกัดได้ดีขึ้น การกระจายโมเมนตัมของคลื่นก็จะยิ่งมากขึ้น การแลกเปลี่ยนระหว่างการกระจายในตำแหน่งและการกระจายในโมเมนตัมนี้เป็นลักษณะเฉพาะของหลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก

การแลกเปลี่ยนที่เหมาะสมที่สุดแบบหนึ่งจะลดผลคูณของความไม่แน่นอนของตำแหน่งและความไม่แน่นอนของโมเมนตัม ให้ น้อยที่สุด^{[ 7 ] : 60} หากเราวางแพ็กเก็ตดังกล่าวไว้ในตำแหน่งหยุดนิ่ง มันก็จะยังคงหยุดนิ่งอยู่เช่นนั้น ค่าเฉลี่ยของตำแหน่งและโมเมนตัมจะตรงกับอนุภาคแบบคลาสสิก อย่างไรก็ตาม มันจะกระจายออกไปในทุกทิศทางด้วยความเร็วที่กำหนดโดยความไม่แน่นอนของโมเมนตัมที่เหมาะสมที่สุดการกระจายตัวนั้นเร็วมากจนในระยะทางรอบอะตอมหนึ่งรอบ แพ็กเก็ตคลื่นนั้นไม่สามารถจดจำได้อีกต่อไป ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p_{x}}$${\displaystyle \Delta p_{x}}$

ปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคเรียกว่าการกระเจิงในทางฟิสิกส์ แนวคิดของกลุ่มคลื่นมีบทบาทสำคัญในแนวทางการกระเจิงควอนตัมแหล่งกำเนิดโมโนโครมาติก (โมเมนตัมเดียว) ทำให้เกิดความยากลำบากในการบรรจบกันในแบบจำลองการกระเจิง^{[ 8 ] : 150} ปัญหาการกระเจิงยังมีข้อจำกัดแบบคลาสสิกด้วย เมื่อใดก็ตามที่เป้าหมายการกระเจิง (เช่น อะตอม) มีขนาดเล็กกว่ากลุ่มคลื่นมาก ศูนย์กลางของกลุ่มคลื่นจะเคลื่อนที่ตามวิถีการกระเจิงแบบคลาสสิก ในกรณีอื่นๆ กลุ่มคลื่นจะบิดเบี้ยวและกระเจิงเมื่อมีปฏิสัมพันธ์กับเป้าหมาย^{[ 9 ] : 295}

หากไม่มีการกระจายตัว กลุ่มคลื่นจะรักษารูปทรงเดิมขณะแพร่กระจาย ตัวอย่างของการแพร่กระจายโดยไม่มีการกระจายตัวคือ พิจารณาคำตอบของสมการคลื่น ต่อไปนี้ จากฟิสิกส์คลาสสิ ก$${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\,\nabla ^{2}u,}$$

โดยที่cคือความเร็วในการแพร่กระจายของคลื่นในตัวกลางที่กำหนด

เมื่อใช้หลักการกำหนดเวลาทางฟิสิกส์e ^{− iωt}สมการคลื่นจะมีคำตอบ เป็นคลื่นระนาบ$${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=e^{i{(\mathbf {k\cdot x} }-\omega (\mathbf {k} )t)},}$$

โดยที่ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่เชิงมุมωและเวกเตอร์คลื่นเชิงมุมkกำหนดโดยความสัมพันธ์การกระจายตัว ดังนี้: โดยที่ ความสัมพันธ์นี้จะต้องเป็นจริงเพื่อให้คลื่นระนาบเป็นคำตอบของสมการคลื่น เนื่องจากความสัมพันธ์เป็นเชิงเส้นสมการคลื่นจึงเรียกว่าไม่มีการกระจายตัว $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )=\pm |\mathbf {k} |c=\pm {\frac {2\pi c}{\lambda }},}$$${\displaystyle \omega ^{2}/|\mathbf {k} |^{2}=c^{2}}$

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น ลองพิจารณาสมการคลื่นหนึ่งมิติที่มี ω(k) = ±kcแล้วคำตอบทั่วไปคือ โดยที่พจน์แรกและพจน์ที่สองแสดงถึงคลื่นที่แพร่กระจายไปในทิศทาง x บวกและลบตามลำดับ $${\displaystyle u(x,t)=เอ^{ik(x-ct)}+บี^{ik(x+ct)},}$$

กลุ่มคลื่นคือการรบกวนเฉพาะที่ซึ่งเกิดจากผลรวมของรูปแบบคลื่น ที่แตกต่างกันหลายรูป แบบ หากกลุ่มคลื่นมีการจำกัดบริเวณอย่างมาก จะต้องใช้ความถี่มากขึ้นเพื่อให้เกิดการซ้อนทับแบบเสริมกันในบริเวณที่มีการจำกัดบริเวณและการซ้อนทับแบบหักล้างกันนอกบริเวณ^{[ 10 ]}จากวิธีการแก้ปัญหาคลื่นระนาบหนึ่งมิติพื้นฐาน รูปแบบทั่วไปของกลุ่มคลื่นสามารถแสดงได้ดังนี้ โดย ที่แอมพลิจูดA ( k )ซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของการซ้อนทับของคลื่นมาจากการแปลงฟูริเยร์ผกผันของ คลื่นเริ่มต้น u ( x , t ) ที่ " ดีพอสมควร " ซึ่งประเมินที่t = 0 : และ มาจากข้อกำหนดการแปลงฟูริเยร์ $${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\,dk.}$$$${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }u(x,0)~e^{-ikx}\,dx.}$$${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

ตัวอย่างเช่น การเลือก $${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x},}$$

เราได้รับ $${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {(k-k_{0})^{2}}{4}}},}$$

และสุดท้าย $${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=e^{-(x-ct)^{2}+ik_{0}(x-ct)}\\&=e^{-(x-ct)^{2}}\left[\cos \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)+i\sin \left(2\pi {\frac {x-ct}{\lambda }}\right)\right].\end{aligned}}}$$

ภาพเคลื่อนไหวข้างต้นแสดงให้เห็นถึงการแพร่กระจายแบบไม่กระจายตัวของส่วนจริงหรือส่วนจินตนาการของกลุ่มคลื่นนี้

ในทางตรงกันข้าม ในกรณีของการกระจายตัว คลื่นจะเปลี่ยนรูปร่างระหว่างการแพร่กระจาย ตัวอย่างเช่นสมการชโรดิงเกอร์อิสระมี คำตอบคลื่นระนาบในรูปแบบ: โดยที่เป็นค่าคงที่ และความสัมพันธ์การกระจายตัวเป็นไป ตาม ^{[ 11 ] [ 12 ]} โดยที่ตัวห้อยแสดงถึงสัญกรณ์เวกเตอร์หน่วยเนื่องจากความสัมพันธ์การกระจายตัวไม่เป็นเชิงเส้น สมการชโรดิงเกอร์อิสระจึงมีการ กระจายตัว$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ,}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]},}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}={\frac {\hbar }{2m}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}),}$$

ในกรณีนี้ แพ็กเก็ตคลื่นจะกำหนดโดย: โดยที่อีกครั้งหนึ่งเป็นเพียงการแปลงฟูริเยร์ของถ้า(และดังนั้น) เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนแพ็กเก็ตคลื่นจะเรียกว่าแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียน^{[ 13 ]}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int g(\mathbf {k} )e^{i{[\mathbf {k\cdot r} }-\omega (\mathbf {k} )t]}d^{3}k}$$${\displaystyle g(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$${\displaystyle g(\mathbf {k} )}$

ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการชโรดิงเกอร์อิสระหนึ่งมิติ (โดย กำหนดให้ 2Δ x , mและħเท่ากับหนึ่ง) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น ซึ่งแสดงถึงกลุ่มคลื่นที่จำกัดอยู่ในอวกาศ ณ จุดกำเนิดในรูปของฟังก์ชันเกาส์เซียน จะเห็นได้ดังนี้ $${\displaystyle \psi (x,0)={\sqrt[{4}]{2/\pi }}\exp \left({-x^{2}+ik_{0}x}\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x,t)&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{4}}k_{0}^{2}}~e^{-{\frac {1}{1+2it}}\left(x-{\frac {ik_{0}}{2}}\right)^{2}}\\&={\frac {\sqrt[{4}]{2/\pi }}{\sqrt {1+2it}}}e^{-{\frac {1}{1+4t^{2}}}(x-k_{0}t)^{2}}~e^{i{\frac {1}{1+4t^{2}}}\left((k_{0}+2tx)x-{\frac {1}{2}}tk_{0}^{2}\right)}~.\end{aligned}}}$$

ภาพรวมของพฤติกรรมการกระจายตัวของกลุ่มคลื่นนี้สามารถสังเกตได้จากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น: เห็นได้ชัดว่ากลุ่มคลื่นที่กระจายตัวนี้ ขณะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่มคงที่k _o จะกระจายตัวออกไปอย่างรวดเร็ว: ความกว้างของมันจะเพิ่มขึ้นตามเวลาเป็น√ 1 + 4 t ² → 2 tดังนั้นในที่สุดมันจะแพร่กระจายไปยังบริเวณที่ไร้ขีดจำกัดของอวกาศ $${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {\sqrt {2/\pi }}{\sqrt {1+4t^{2}}}}~e^{-{\frac {2(x-k_{0}t)^{2}}{1+4t^{2}}}}~.}$$

แพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนแบบกระจายข้างต้น ซึ่งไม่ได้ปรับให้เป็นมาตรฐานและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แทนที่จะเป็นที่t = 0 สามารถเขียนเป็น 3 มิติ ในหน่วยมาตรฐานได้ดังนี้: ^{[ 14 ] [ 15 ]} การแปลงฟูริเยร์ก็เป็นเกาส์เซียนในแง่ของเลขคลื่นเวกเตอร์ k โดยที่aและส่วนกลับของมันเป็นไปตามความสัมพันธ์ความไม่แน่นอน ซึ่ง สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกำลังสองของความกว้างของแพ็กเก็ตคลื่นในขณะที่ส่วนกลับของมันสามารถเขียนได้เป็น $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$$${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$$${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$$${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},}$$$${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}$$

คลื่นแต่ละลูกจะหมุนเฟสในเวลาเท่านั้น ดังนั้นคำตอบที่แปลงฟูริเยร์แบบขึ้นอยู่กับเวลาจึงเป็นดังนี้

การแปลงฟูริเยร์ผกผันยังคงเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน แต่ในที่นี้พารามิเตอร์aกลายเป็นจำนวนเชิงซ้อน และมีปัจจัยการปรับค่ามาตรฐานโดยรวม

อินทิกรัลของΨเหนือปริภูมิทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง เพราะมันเป็นผลคูณภายในของΨกับสถานะพลังงานศูนย์ ซึ่งเป็นคลื่นที่มีความยาวคลื่นอนันต์ เป็นฟังก์ชันคงที่ของปริภูมิ สำหรับสถานะพลังงาน ใดๆ η ( x )ผลคูณภายในจะ เปลี่ยนแปลงตามเวลาในลักษณะง่ายๆ เท่านั้น คือ เฟสของมันจะหมุนด้วยความถี่ที่กำหนดโดยพลังงานของηเมื่อηมีพลังงานเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับคลื่นที่มีความยาวคลื่นอนันต์ มันจะไม่เปลี่ยนแปลงเลย $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$

สำหรับค่าที่กำหนดเฟสของฟังก์ชันคลื่นจะแปรผันตามตำแหน่งเป็น โดย จะ แปรผันแบบกำลังสองกับตำแหน่ง ซึ่งหมายความว่ามันแตกต่างจากการคูณด้วยตัวประกอบเฟส เชิงเส้น เช่นเดียวกับกรณีของการกำหนดโมเมนตัมคงที่ให้กับกลุ่มคลื่น โดยทั่วไป เฟสของกลุ่มคลื่นเกาส์เซียนจะมีทั้งพจน์เชิงเส้นและพจน์กำลังสอง สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองเริ่มต้นด้วยการเพิ่มขึ้นจากไปสู่​​เมื่อกลุ่มคลื่นเกาส์เซียนมีความคมมากขึ้น จากนั้น ณ จุดที่คมที่สุด เฟสของฟังก์ชันคลื่นจะแปรผันเชิงเส้นกับตำแหน่ง จากนั้นสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองจะเพิ่มขึ้นจากไปสู่​​เมื่อกลุ่มคลื่นเกาส์เซียนแผ่ขยายออกอีกครั้ง ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +\infty }$

อินทิกรัล∫ |Ψ| ² d ³ rก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน ซึ่งเป็นข้อความของการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น^{[ 16 ]}โดยชัดเจน เมื่อrคือระยะห่างจากจุดกำเนิด ความเร็วของอนุภาคเป็นศูนย์ และความกว้างที่กำหนดโดย ซึ่งคือ√ aที่เวลาt = 0 (ที่เลือกโดยพลการ) ในขณะที่ในที่สุดจะเติบโตเชิงเส้นตามเวลา เป็นħt /( m √ a )ซึ่งบ่งชี้ถึง การแพร่ กระจายของกลุ่มคลื่น^{[ 17 ]}$${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$$$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}$$

ตัวอย่างเช่น หากแพ็กเก็ตคลื่นอิเล็กตรอนเริ่มต้นอยู่ในบริเวณที่มีขนาดระดับอะตอม (เช่น10 ⁻¹⁰ม.) ความกว้างของแพ็กเก็ตจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในเวลาประมาณ10 ⁻¹⁶วินาที เห็นได้ชัดว่าแพ็กเก็ตคลื่นอนุภาคแพร่กระจายออกไปอย่างรวดเร็วมาก (ในพื้นที่ว่าง): ^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น หลังจาก1มิลลิวินาที ความกว้างจะเพิ่มขึ้นเป็นประมาณหนึ่งกิโลเมตร

การเติบโตเชิงเส้นนี้สะท้อนให้เห็นถึงความไม่แน่นอนของโมเมนตัม (ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา): กลุ่มคลื่นถูกจำกัดอยู่ในช่วงแคบๆΔ x = √ a /2ดังนั้นจึงมีโมเมนตัมที่ไม่แน่นอน (ตามหลักการความไม่แน่นอน) เป็นจำนวนħ / √ 2 aการกระจายตัวของความเร็วเป็นħ/m √ 2 aและดังนั้นตำแหน่งในอนาคตจึงเป็นħt /m √ 2 aความสัมพันธ์ของความไม่แน่นอนจึงเป็นอสมการที่เข้มงวด ซึ่งห่างไกลจากจุดอิ่มตัวมาก! ความไม่แน่นอนเริ่มต้นΔ x Δ p = ħ /2ได้เพิ่มขึ้นเป็นปัจจัยħt/ma (สำหรับ tที่มาก)

ฟังก์ชันคลื่นควอนตัม 2 มิติแบบเกาส์เซียน:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}$

โดยที่^{[ 19 ]}

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$

ตรงกันข้ามกับแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนข้างต้น ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่มคงที่และกระจายตัวอยู่เสมอ มีฟังก์ชันคลื่นที่อิงตามฟังก์ชัน Airyซึ่งแพร่กระจายอย่างอิสระโดยไม่มีการกระจายตัวของซองคลื่น รักษารูปร่าง และเร่งความเร็วในพื้นที่ว่าง: ^{[ 20 ]} โดยเพื่อความเรียบง่าย (และการทำให้เป็นมิติเดียว ) การเลือกħ = 1 , m = 1/2และBเป็นค่าคงที่ใดๆ ส่งผลให้ $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$$${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

ในสถานการณ์ที่ปราศจากแรงนี้ ไม่มีความขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Ehrenfestเนื่องจากสถานะดังกล่าวไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ และมีค่า⟨ x ⟩ ที่ไม่นิยาม (อนันต์) สำหรับทุกช่วงเวลา (ในขอบเขตที่สามารถนิยามได้ ค่า⟨ p ⟩ = 0สำหรับทุกช่วงเวลา แม้ว่าจะมีการเร่งความเร็วที่เห็นได้ชัดของส่วนหน้าก็ตาม)

คลื่น Airy เป็นคลื่นไร้การกระจายตัวเพียงชนิดเดียวในพื้นที่ว่างหนึ่งมิติ^{[ 21 ]}ในมิติที่สูงกว่านั้น คลื่นไร้การกระจายตัวชนิดอื่นก็เป็นไปได้^{[ 22 ]}

ในปริภูมิเฟสสิ่งนี้เห็นได้ชัดใน ฟังก์ชันความ น่าจะเป็นวิกเนอร์แบบบริสุทธิ์ของคลื่นชุดนี้ ซึ่งรูปร่างในxและpไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป แต่ลักษณะเฉพาะจะเร่งไปทางขวาในลักษณะพาราโบลาที่เร่งขึ้น ฟังก์ชันวิกเนอร์เป็นไปตามสมการทั้งสามนี้ ซึ่งแสดงให้เห็นข้อเท็จจริงสามประการ: $${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$

1. การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเทียบเท่ากับการเลื่อนในปริภูมิเฟสด้วยระยะ.${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$
2. เส้นโค้งแสดงระดับของฟังก์ชันวิกเนอร์เป็นรูปพาราโบลาที่มีรูปแบบ.${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$
3. การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเทียบเท่ากับการเฉือนในปริภูมิเฟสตาม ทิศทาง - ด้วยความเร็ว${\displaystyle x}$${\displaystyle p/m=2p}$

โปรดสังเกตว่าการกระจายโมเมนตัมที่ได้จากการอินทิเกรตเหนือค่าx ทั้งหมด นั้นมีค่าคงที่ เนื่องจากนี่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในปริภูมิโมเมนตัมจึงเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้

ขีดจำกัดความกว้างแคบของโซลูชันแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนที่กล่าวถึงคือเคอร์เนลตัวแพร่ แบบอิสระ Kสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ โดยทั่วไปจะเรียกว่าฟังก์ชันกรีน [ ^{23 ]}แต่ในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นธรรมเนียมที่จะสงวนชื่อฟังก์ชันกรีนไว้สำหรับการแปลงฟูริเยร์^เวลาของ K

เพื่อความง่าย ให้กลับมาพิจารณาในมิติเดียว โดย กำหนดให้ mและ ħ เท่ากับหนึ่ง เมื่อaเป็นปริมาณอนันต์εเงื่อนไขเริ่มต้นแบบเกาส์เซียน ซึ่งปรับขนาดใหม่เพื่อให้ปริพันธ์มีค่าเท่ากับหนึ่ง จะกลายเป็นฟังก์ชันเดลต้า δ ( x )ดังนั้นวิวัฒนาการตามเวลาของมันจึง ให้ ผลลัพธ์เป็นตัวแพร่กระจาย $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$$${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,}$$

โปรดสังเกตว่ากลุ่มคลื่นเริ่มต้นที่แคบมากจะขยายกว้างออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทันที แต่เฟสจะแกว่งตัวเร็วขึ้นเมื่อค่าx มีขนาดใหญ่ สิ่งนี้อาจดูแปลก—คำตอบเปลี่ยนจากที่จำกัดอยู่ ณ จุดหนึ่งไปเป็น "ทุกหนทุกแห่ง" ในช่วงเวลาต่อมาทั้งหมดแต่เป็นการสะท้อนถึงความไม่แน่นอนของโมเมนตัม มหาศาล ของอนุภาคที่จำกัดอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าค่ามาตรฐานของฟังก์ชันคลื่นเป็นอนันต์ ซึ่งก็ถูกต้องเช่นกัน เนื่องจากกำลังสองของฟังก์ชันเดลต้ามีค่าลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ในลักษณะเดียวกัน

ปัจจัยที่เกี่ยวข้องกับεคือปริมาณเล็กน้อยมากซึ่งมีอยู่เพื่อให้แน่ใจว่าการอินทิเกรตเหนือK นั้น มีความหมายที่ชัดเจน ในกรณีที่ε → 0นั้นKจะกลายเป็นเพียงการแกว่งไปมา และการอินทิเกรตของKจะไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ในส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ เราจะกำหนดให้ ε เป็นศูนย์ แต่เพื่อให้การอินทิเกรตเหนือสถานะกลางทั้งหมดมีความหมายที่ชัดเจน การพิจารณาลิมิตε → 0 นั้นจะต้องพิจารณาหลังจากคำนวณสถานะสุดท้ายแล้วเท่านั้น

ตัวแพร่คือแอมพลิจูดสำหรับการไปถึงจุดxที่เวลาtเมื่อเริ่มต้นจากจุดกำเนิดx = 0 เนื่องจากสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง แอมพลิจูดสำหรับการไปถึงจุดxเมื่อเริ่มต้นจากจุดyจะเป็นฟังก์ชันเดียวกัน เพียงแต่ตอนนี้ถูกเลื่อนตำแหน่งแล้ว $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

ในกรณีที่tมีค่าเล็กมาก ตัวแพร่กระจายจะกลายเป็นฟังก์ชันเดลต้า แต่เฉพาะในแง่ของการกระจาย เท่านั้น กล่าวคือ การอินทิเกรตปริมาณนี้คูณด้วยฟังก์ชันทดสอบ ที่หาอนุพันธ์ได้โดยพลการ จะให้ค่าของฟังก์ชันทดสอบที่ศูนย์ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$

เพื่อให้เข้าใจเช่นนี้ โปรดสังเกตว่าปริพันธ์ของK ตลอดทุกพื้นที่ เท่ากับ 1 ตลอดเวลา เนื่องจากปริพันธ์นี้คือผลคูณภายในของKกับฟังก์ชันคลื่นสม่ำเสมอ แต่ตัวประกอบเฟสในเลขชี้กำลังมีอนุพันธ์เชิงพื้นที่ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่จุดกำเนิด ดังนั้นเมื่อเวลาน้อย จะมีการหักล้างเฟสอย่างรวดเร็วที่ทุกจุดยกเว้นจุดเดียว นี่เป็นความจริงอย่างเคร่งครัดเมื่อพิจารณา ลิมิต ε →0 ในตอนท้ายสุด$${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$

ดังนั้น เคอร์เนลการแพร่กระจายคือวิวัฒนาการของฟังก์ชันเดลต้าในอนาคต และมีความต่อเนื่องในแง่หนึ่ง กล่าวคือ มันจะกลับไปสู่ฟังก์ชันเดลต้าเริ่มต้นในช่วงเวลาสั้นๆ หากฟังก์ชันคลื่นเริ่มต้นเป็นยอดแหลมที่แคบมาก ณ ตำแหน่งy มัน จะกลายเป็นคลื่นสั่น $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$$${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

เนื่องจากฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของยอดแหลมแคบๆ ดังกล่าว ดังนั้น วิวัฒนาการตามเวลาของ ฟังก์ชัน ψ ₀ ทุกฟังก์ชันจึงถูกกำหนดโดยเคอร์เนลการแพร่กระจายKนี้ $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$

ดังนั้น นี่จึงเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการในการแสดงคำตอบพื้นฐานหรือคำตอบทั่วไปการตีความของนิพจน์นี้คือ แอมพลิจูดสำหรับอนุภาคที่จะพบที่จุดxในเวลาtคือแอมพลิจูดที่เริ่มต้นที่yคูณด้วยแอมพลิจูดที่เคลื่อนที่จากyไปยังxรวมกันเหนือจุดเริ่มต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด กล่าวอีก นัยหนึ่งคือ เป็นการสังเคราะห์ของเคอร์เนลKกับเงื่อนไขเริ่มต้นψ _{0 ที่กำหนดขึ้นเอง}$${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

เนื่องจากแอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปyหลังจากเวลาt + t ' สามารถพิจารณาได้ในสองขั้นตอน ตัวแพร่กระจายจึงปฏิบัติตามเอกลักษณ์การประกอบ ซึ่งสามารถตีความได้ดังนี้: แอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปzในเวลาt + t ' คือผลรวมของแอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปyในเวลาtคูณด้วยแอมพลิจูดในการเดินทางจากyไปzในเวลาt ' รวมเหนือสถานะกลางที่เป็นไปได้ทั้งหมด yนี่เป็นคุณสมบัติของระบบควอนตัมใดๆ และโดยการแบ่งเวลาออกเป็นหลายส่วน ทำให้สามารถแสดงวิวัฒนาการของเวลาเป็นปริพันธ์เส้นทางได้^{[ 24 ]}$${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$

การแพร่กระจายของกลุ่มคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมมีความสัมพันธ์โดยตรงกับการแพร่กระจายของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการแพร่กระจายสำหรับอนุภาคที่เดินแบบสุ่มฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะสอดคล้อง กับ สมการการแพร่กระจาย^{[ 25 ]} โดยที่ปัจจัย 2 ซึ่งสามารถกำจัดได้โดยการปรับขนาดเวลาหรือพื้นที่นั้นเป็นเพียงเพื่อความสะดวกเท่านั้น $${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}$$

คำตอบของสมการนี้คือ ฟังก์ชันเกาส์เซียน ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของ_{เคอร์เนล}ความร้อนเนื่องจากปริพันธ์ของρtมีค่าคงที่ในขณะที่ความกว้างแคบลงในช่วงเวลาสั้นๆ ฟังก์ชันนี้จึงเข้าใกล้ฟังก์ชันเดลต้าที่t = 0 อีกครั้ง เฉพาะในแง่ของการกระจายเท่านั้น ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันทดสอบf ใด ๆ $${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$

ฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็นแกนการแพร่กระจายสำหรับสมการการแพร่ และเป็นไปตามเอกลักษณ์ การสังเคราะห์ ซึ่งทำให้สามารถแสดงการแพร่ในรูปของปริพันธ์เส้นทางได้ ตัวแพร่กระจายคือเลขชี้กำลังของตัวดำเนินการHซึ่ง เป็นตัวดำเนินการการแพร่แบบอนันต์ $${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$$${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$$${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

เมทริกซ์มีดัชนีสองตัว ซึ่งในปริภูมิต่อเนื่องทำให้เป็นฟังก์ชันของxและx ' ในกรณีนี้ เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อน เมทริกซ์องค์ประกอบKจึงขึ้นอยู่กับความแตกต่างของตำแหน่งเท่านั้น และการใช้สัญลักษณ์ ที่สะดวกอย่างหนึ่ง คือการเรียกตัวดำเนินการ เมทริกซ์องค์ประกอบ และฟังก์ชันของความแตกต่างด้วยชื่อเดียวกัน: $${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

ความไม่แปรเปลี่ยนของการเลื่อนตำแหน่ง หมายความว่า การคูณเมทริกซ์ต่อเนื่องนั้นโดย พื้นฐาน แล้วคือการสังเคราะห์ (convolution) $${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$$${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลสามารถกำหนดได้ในช่วงของtซึ่งรวมถึงค่าเชิงซ้อน ตราบใดที่ปริพันธ์เหนือเคอร์เนลการแพร่กระจายยังคงลู่เข้า ตราบ ใดที่ส่วนจริงของzเป็นบวก สำหรับค่าx ที่มาก K จะลดลงแบบเอก ซ์โปเนนเชียล และปริพันธ์เหนือKจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ $${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$

ขีดจำกัดของนิพจน์นี้สำหรับzที่เข้าใกล้แกนจินตนาการบริสุทธิ์คือตัวแพร่กระจายของชโรดิงเกอร์ที่พบข้างต้น ซึ่งแสดงให้เห็นถึงวิวัฒนาการตามเวลาของเกาส์เซียนดังที่กล่าวมาแล้ว $${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$

จากเอกลักษณ์พื้นฐานของการยกกำลัง หรือการอินทิเกรตตามเส้นทาง ซึ่งใช้ได้กับค่า z เชิงซ้อนทั้งหมดโดยที่อินทิกรัลลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ทำให้ตัวดำเนินการมีนิยามที่ชัดเจน $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$

ดังนั้น วิวัฒนาการควอนตัมของฟังก์ชันเกาส์เซียน ซึ่งก็คือเคอร์เนลการแพร่กระจายเชิงซ้อนKจึง เทียบเท่ากับสถานะที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา $${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$$${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

นี่คือตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงรูปแบบการแพร่กระจายของคำตอบเกาส์เซียนเชิงซ้อนดังกล่าวข้างต้น $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

• สื่อการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของกลุ่มคลื่นที่ Wikiversity
• คำจำกัดความของคำว่า"wave packet"ในพจนานุกรมวิกิพีเดีย
• แผนภาพแพ็กเก็ตคลื่น 1 มิติใน Google
• แผนภาพแสดงคลื่น 1 มิติและความหนาแน่นความน่าจะเป็นใน Google
• แผนภาพคลื่นแพ็กเก็ต 2 มิติใน Google
• แผนภูมิแสดงคลื่น 2 มิติใน Google
• แผนภาพความหนาแน่นความน่าจะเป็น 2 มิติใน Google
• ฟิสิกส์ควอนตัมออนไลน์: การจำลองแบบโต้ตอบของแพ็กเก็ตคลื่นอิสระ
• เว็บ-ชโรดิงเกอร์ : การจำลองพลวัตของกลุ่มคลื่นแบบ 2 มิติเชิงโต้ตอบ
• การจำลองกลุ่มคลื่นใน 2 มิติ (ตามทฤษฎีการสังเคราะห์ฟูริเยร์ใน 2 มิติ)