ในวิชาฟิสิกส์เวกเตอร์คลื่น (หรือเวกเตอร์คลื่น ) คือเวกเตอร์ที่ใช้ในการอธิบายคลื่นโดยทั่วไปมีหน่วยเป็นรอบต่อเมตร เวกเตอร์คลื่นมีทั้งขนาดและทิศทางขนาดของเวกเตอร์คลื่นคือเลขคลื่นของคลื่น (แปรผกผันกับความยาวคลื่น ) และทิศทางของเวกเตอร์คลื่นตั้งฉากกับหน้าคลื่นในตัวกลางไอโซโทรปิก ทิศทางนี้ยังเป็นทิศทางการแพร่กระจายของคลื่นด้วย

เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือเวกเตอร์คลื่นเชิงมุม (หรือเวกเตอร์คลื่นเชิงมุม ) ซึ่งโดยทั่วไปมีหน่วยเป็นเรเดียนต่อเมตร เวกเตอร์คลื่นและเวกเตอร์คลื่นเชิงมุมมีความสัมพันธ์กันด้วยค่าคงที่สัดส่วนคงที่ คือ 2π เรเดียน  ต่อรอบ

เป็นเรื่องปกติในสาขาฟิสิกส์ หลายสาขา ที่จะเรียกเวกเตอร์คลื่นเชิงมุมว่าเวกเตอร์คลื่น เฉยๆ ซึ่งแตกต่างจากสาขาอื่นๆ เช่นผลึกศาสตร์ [ ^{1 ] [ 2 ] นอกจาก} นี้ยังเป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์kแทนเวกเตอร์คลื่นตามที่ใช้

ในบริบทของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถกำหนดเวกเตอร์คลื่นสี่มิติได้ โดยการรวมเวกเตอร์คลื่น (เชิงมุม) และความถี่ (เชิงมุม) เข้า ด้วยกัน

คำว่าเวกเตอร์คลื่นและเวกเตอร์คลื่นเชิงมุมมีความหมายแตกต่างกัน ในที่นี้ เวกเตอร์คลื่นจะใช้สัญลักษณ์และเลขคลื่นจะใช้สัญลักษณ์ เวกเตอร์คลื่นเชิงมุมจะใช้สัญลักษณ์kและเลขคลื่นเชิงมุมจะใช้สัญลักษณ์k = | k |ซึ่งมีความสัมพันธ์กันโดย ${\displaystyle {\tilde {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}}$${\displaystyle {\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}\right|}$${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi {\ตัวหนอน {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}}$

คลื่นเดินทางไซน์เป็นไปตามสมการ

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),}$

ที่ไหน:

• rคือตำแหน่ง
• ได้เวลาแล้ว
• ψคือฟังก์ชันของrและtที่อธิบายถึงการรบกวนที่อธิบายคลื่น (ตัวอย่างเช่น สำหรับคลื่นในมหาสมุทรψ จะเป็นความสูงส่วนเกินของน้ำ หรือสำหรับคลื่นเสียง ψจะเป็นความดันอากาศส่วนเกิน )
• Aคือแอมพลิจูดของคลื่น (ขนาดสูงสุดของการสั่น)
• φคือค่าชดเชยเฟส
• ω คือ ความถี่เชิงมุม (ตามเวลา) ของคลื่น ซึ่งอธิบายว่าคลื่นเคลื่อนที่ไปกี่เรเดียนต่อหน่วยเวลา และมีความสัมพันธ์กับคาบTโดยสมการ${\displaystyle \omega ={\tfrac {2\pi }{T}},}$
• kคือเวกเตอร์เชิงมุมของคลื่น ซึ่งอธิบายว่าคลื่นเคลื่อนที่ไปกี่เรเดียนต่อหน่วยระยะทาง และมีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นโดยสมการ${\displaystyle |\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.}$

สมการเทียบเท่าโดยใช้เวกเตอร์คลื่นและความถี่คือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle f}$คือความถี่
• ${\displaystyle {\tilde {\boldสัญลักษณ์ {\nu }}}}$คือเวกเตอร์คลื่น

ทิศทางที่เวกเตอร์คลื่นชี้ไปนั้นต้องแตกต่างจาก "ทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น " "ทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น" คือทิศทางการไหลของพลังงานของคลื่น และทิศทางที่กลุ่มคลื่น ขนาดเล็ก จะเคลื่อนที่ กล่าวคือ ทิศทางของความเร็วกลุ่มสำหรับคลื่นแสงในสุญญากาศ นี่คือทิศทางของเวกเตอร์พอยน์ติง ด้วย ในทางกลับกัน เวกเตอร์คลื่นชี้ไปในทิศทางของความเร็วเฟสกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์คลื่นชี้ไปในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวเฟสคงที่หรือที่เรียกว่าหน้า คลื่น

ในตัวกลางไอโซโทรปิกที่ไม่สูญเสีย พลังงาน เช่น อากาศ ก๊าซใดๆ ของเหลวใดๆของแข็งอสัณฐาน (เช่นแก้ว ) และผลึกทรงลูกบาศก์ทิศทางของเวกเตอร์คลื่นจะเหมือนกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น หากตัวกลางเป็นแอนไอโซโทรปิก เวกเตอร์คลื่นโดยทั่วไปจะชี้ไปในทิศทางอื่นที่ไม่ใช่ทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น เวกเตอร์คลื่นจะตั้งฉากกับพื้นผิวที่มีเฟสคงที่เสมอ

ตัวอย่างเช่น เมื่อคลื่นเดินทางผ่านตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเช่นคลื่นแสงผ่านผลึกที่ไม่สมมาตรหรือคลื่นเสียงผ่านหินตะกอนเวกเตอร์คลื่นอาจไม่ได้ชี้ไปในทิศทางการแพร่กระจายของคลื่นอย่างแม่นยำ^{[ 4 ] [ 5 ]}

ในฟิสิกส์ของของแข็ง “เวกเตอร์คลื่น” (เรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์ k ) ของอิเล็กตรอนหรือโฮลในผลึกคือเวกเตอร์คลื่นของฟังก์ชันคลื่นกลศาสตร์ควอนตัม คลื่น อิเล็กตรอนเหล่านี้ไม่ใช่ คลื่น ไซน์ ธรรมดา แต่มีฟังก์ชันซองคลื่น ชนิดหนึ่ง ที่เป็นไซน์ และเวกเตอร์คลื่นถูกกำหนดผ่านคลื่นซองคลื่นนั้น โดยปกติจะใช้ “นิยามทางฟิสิกส์” ดูทฤษฎีบทของ Blochสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม^{[ 6 ]}

พื้นผิวคลื่นเคลื่อนที่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอาจถือได้ว่าเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซ (ปริภูมิย่อย 3 มิติ) ในปริภูมิเวลา ซึ่งเกิดจากเหตุการณ์ทั้งหมดที่ผ่านพื้นผิวคลื่น ขบวนคลื่น (แทนด้วยตัวแปรX บางตัว ) อาจถือได้ว่าเป็นตระกูลไฮเปอร์เซอร์เฟซในปริภูมิเวลาที่มีพารามิเตอร์เดียว ตัวแปรX นี้ เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ของตำแหน่งในปริภูมิเวลา อนุพันธ์ของสเกลาร์นี้เป็นเวกเตอร์ที่บ่งบอกลักษณะของคลื่น เวกเตอร์คลื่นสี่มิติ^{[ 7 ]}

เวกเตอร์คลื่นสี่มิติ คือเวกเตอร์คลื่นสี่มิติซึ่งกำหนดไว้ในพิกัดมินคอฟสกีดังนี้:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,}$

โดยที่ความถี่เชิงมุมเป็นองค์ประกอบเชิงเวลา และเวกเตอร์เลขคลื่นเป็นองค์ประกอบเชิงพื้นที่ ${\displaystyle {\tfrac {\โอเมก้า }{c}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง สามารถเขียนเลขคลื่นkได้ ในรูปของความถี่เชิงมุม ωหารด้วยความเร็วเฟสv _pหรือในรูปของคาบผกผันTและความยาวคลื่นผกผันλ

เมื่อเขียนออกมาอย่างชัดเจน รูปแบบ คอนทราแวเรียนต์และโคแวเรียนต์จะเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ขนาด สเกลาร์ลอเรนซ์ของเวกเตอร์คลื่นสี่มิติคือ:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

เวกเตอร์คลื่นสี่ตัวเป็นศูนย์สำหรับ อนุภาค ไร้มวล (โฟตอนิก) ซึ่งมวลนิ่ง${\displaystyle m_{o}=0}$

ตัวอย่างของเวกเตอร์คลื่นสี่มิติที่เป็นศูนย์คือลำแสง เอก สีที่ สอดคล้องกัน ซึ่งมีความเร็วเฟส${\displaystyle v_{p}=c}$

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,}${สำหรับแสง/ค่าว่าง}

ซึ่งจะมีความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และขนาดของส่วนเชิงพื้นที่ของเวกเตอร์คลื่นสี่มิติ ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0}${สำหรับแสง/ค่าว่าง}

เวกเตอร์คลื่นสี่มิติมีความสัมพันธ์กับโมเมนตัมสี่มิติดังนี้:

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$

เวกเตอร์คลื่นสี่มิติมีความสัมพันธ์กับความถี่สี่มิติดังนี้:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)}$

เวกเตอร์คลื่นสี่มิติมีความสัมพันธ์กับความเร็วสี่มิติดังนี้:

${\displaystyle K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}$

การแปลงลอเรนซ์ของเวกเตอร์คลื่นสี่มิติเป็นวิธีหนึ่งในการหาปรากฏการณ์ดอปเปลอร์เชิงสัมพัทธภาพ เมทริกซ์ลอเรนซ์ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

ในกรณีที่แหล่งกำเนิดแสงเคลื่อนที่เร็วและต้องการทราบความถี่ของแสงที่ตรวจพบในกรอบอ้างอิงของโลก (ห้องทดลอง) เราจะใช้การแปลงลอเรนซ์ดังต่อไปนี้ โปรดสังเกตว่าแหล่งกำเนิดแสงอยู่ในกรอบอ้างอิงS  sและโลกอยู่ในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตS obsโดยใช้การแปลงลอเรนซ์กับเวกเตอร์คลื่น

${\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }}$

และการเลือกที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนประกอบนั้นส่งผลให้ ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}}$

โคไซน์ทิศทางของเทียบกับคือที่ใด${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle k^{1}}$${\displaystyle k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}}$

ตัวอย่างเช่น หากนำสิ่งนี้ไปใช้กับสถานการณ์ที่แหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ออกไปจากผู้สังเกตโดยตรง ( ) จะได้ดังนี้: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}}$

หากนำไปประยุกต์ใช้กับสถานการณ์ที่แหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ตรงไปยังผู้สังเกต ( θ = 0 ) จะได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}}$

หากนำไปประยุกต์ใช้กับสถานการณ์ที่แหล่งกำเนิดเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกับผู้สังเกต ( θ = π /2 ) จะได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}}$

• การขยายคลื่นระนาบ
• ระนาบการตกกระทบ

• Brau, Charles A. (2004). ปัญหาสมัยใหม่ในพลศาสตร์ไฟฟ้าคลาสสิก . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-514665-3.