ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต Proj เป็นโครงสร้างที่คล้ายคลึงกับโครงสร้างสเปกตรัมของวงแหวน ของ แผนผังเชิงเส้นตรงซึ่งสร้างวัตถุที่มีคุณสมบัติทั่วไปของปริภูมิเชิงฉายและวาไรตี้เชิงฉายโครงสร้างนี้แม้จะไม่ใช่ฟังก์ชันแต่ก็เป็นเครื่องมือพื้นฐานในทฤษฎี แผนผัง

ในบทความนี้ จะถือว่า วงแหวน ทั้งหมด เป็นวงแหวนสลับที่และมีเอกลักษณ์

ให้เป็นริงสลับที่ แบบมีระดับ โดยที่คือ การแยกส่วน ผลรวมโดยตรงที่เกี่ยวข้องกับระดับนั้นไอเดียลที่ไม่เกี่ยวข้องของคือไอเดียลของสมาชิกที่มีดีกรีเป็นบวกเรากล่าวว่าไอเดียล เป็น ไอเดีย ลเอกพันธุ์ถ้ามันถูกสร้างขึ้นโดยสมาชิกเอกพันธุ์ ดังนั้น ในฐานะเซตเพื่อความกระชับ บางครั้งเราจะเขียน แทน${\displaystyle S}$$${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

เราอาจกำหนดโทโพโลยีที่เรียกว่าโทโพโลยีซาริสกีบนโดยกำหนดให้เซตปิดเป็นเซตที่มีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

โดยที่เป็นอุดมคติเอกพันธุ์ของ เช่นเดียว กับในกรณีของแผนผังเชิงเส้นตรง สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วว่าก่อ ตัวเป็นเซตปิดของโทโพโลยีบน${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V(a)}$${\displaystyle X}$

อันที่จริง ถ้าเป็นกลุ่มของอุดมคติแล้ว เราจะได้และถ้าเซตดัชนีIเป็นเซตจำกัดแล้ว${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจใช้เซตเปิดเป็นจุดเริ่มต้นและกำหนด

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์ย่อว่า โดยที่คือไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยสำหรับไอเดียลใดๆเซตและเป็นเซตเสริมกัน ดังนั้นการพิสูจน์แบบเดียวกันกับก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าเซตก่อให้เกิดโทโพโลยีบนข้อดีของแนวทางนี้คือเซตโดยที่ครอบคลุมองค์ประกอบเอกพันธุ์ทั้งหมดของริงก่อให้เกิดฐานสำหรับโทโพโลยีนี้ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้สำหรับการวิเคราะห์เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันสำหรับสเปกตรัมของริงก็ขาดไม่ได้เช่นกัน ${\displaystyle D(Sf)}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle Sf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle V(a)}$${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle D(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

เรายังสร้างชีฟบนซึ่งเรียกว่า “ชีฟโครงสร้าง” เช่นเดียวกับในกรณีเชิงเส้นตรง ซึ่งทำให้มันกลายเป็นสกีมเช่นเดียวกับในกรณีของการสร้างสเปค มีหลายวิธีในการดำเนินการ วิธีที่ตรงที่สุด ซึ่งยังชี้ให้เห็นถึงการสร้างฟังก์ชันปกติบนวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟในเรขาคณิตพีชคณิตแบบคลาสสิกอย่างมาก คือวิธีต่อไปนี้ สำหรับเซตเปิดใดๆของ(ซึ่งตามคำนิยามคือเซตของอุดมคติเฉพาะเอกพันธุ์ของที่ไม่มี) เรากำหนดริงให้เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมด ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{+}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(โดยที่หมายถึงวงแหวนย่อยของวงแหวนเศษส่วนที่ประกอบด้วยเศษส่วนขององค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเดียวกัน) โดยที่สำหรับแต่ละอุดมคติเฉพาะของ: ${\displaystyle S_{(p)}}$${\displaystyle S_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$

1. ${\displaystyle f(p)}$เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ;${\displaystyle S_{(p)}}$
2. มีเซตย่อยเปิดที่มีสมาชิกเอกพันธุ์ที่มีดีกรีเดียวกันอยู่ ซึ่งสำหรับแต่ละอุดมคติเฉพาะของ: ${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle s,t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$
   • ${\displaystyle t}$ไม่อยู่ใน;${\displaystyle q}$
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

จากนิยามจะเห็นได้ทันทีว่าก่อตัวเป็นชีฟของวงแหวนบนและสามารถแสดงได้ว่าคู่ ( , ) นั้นเป็นสกีม (ซึ่งทำได้โดยการแสดงว่าเซตย่อยเปิดแต่ละเซตนั้นเป็นสกีมเชิงเส้นตรง) ${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle D(f)}$

คุณสมบัติที่สำคัญของโครงสร้างข้างต้นคือความสามารถในการสร้างโลคัลไลเซชันสำหรับแต่ละไอเดียลเฉพาะของคุณสมบัตินี้ยังมีอยู่ในโมดูลแบบแบ่งระดับ ใดๆ บนและด้วยเหตุนี้ ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยที่เหมาะสม ส่วนก่อนหน้าจึงสร้างชีฟสำหรับชีฟดังกล่าวใดๆ ซึ่งแสดงด้วยของโมดูลบนชีฟนี้เป็นแบบกึ่งสอดคล้องโดยการสร้าง หากถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบจำนวนจำกัดของดีกรี(เช่นวงแหวนพหุนามหรือผลหารเอกพันธุ์ของมัน) ชีฟแบบกึ่งสอดคล้องทั้งหมดบนเกิดขึ้นจากโมดูลแบบแบ่งระดับโดยการสร้างนี้^{[ 1 ]}โมดูลแบบแบ่งระดับที่สอดคล้องกันไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{(p)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$

กรณีพิเศษของชีฟที่เกี่ยวข้องกับโมดูลแบบมีระดับคือ เมื่อเรากำหนดให้ เป็นตัวมันเองที่มีระดับต่างกัน กล่าวคือ เราให้องค์ประกอบดีกรีของ เป็น องค์ประกอบดีกรี ของ ดังนั้นและกำหนดให้ แทนด้วยจากนั้นเราจะได้เป็นชีฟกึ่งสอดคล้องกันบน ซึ่งแทนด้วยหรือเรียก ง่ายๆ ว่า ชีฟบิดของSerreสามารถตรวจสอบได้ว่า เป็น ชีฟที่ผกผันได้ จริง${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (d+1)}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$${\displaystyle M=S(1)}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle O_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

เหตุผลหนึ่งที่ทำให้มีประโยชน์คือ มันสามารถกู้คืนข้อมูลพีชคณิตของที่สูญหายไปเมื่อเราเปลี่ยนไปใช้เศษส่วนที่มีดีกรีเป็นศูนย์ในการสร้าง ในกรณี Spec AสำหรับริงAส่วนตัดทั่วโลกของชีฟโครงสร้างจะประกอบเป็นAเอง ในขณะที่ส่วนตัดทั่วโลกของในที่นี้จะประกอบเป็นเพียงองค์ประกอบที่มีดีกรีเป็นศูนย์ของ เท่านั้นถ้าเรากำหนด ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

จากนั้นแต่ละส่วน จะประกอบด้วย ข้อมูลระดับ เกี่ยวกับ ซึ่ง แสดงด้วยและเมื่อรวมกันแล้วจะประกอบด้วยข้อมูลการให้คะแนนทั้งหมดที่สูญหายไป ในทำนองเดียวกัน สำหรับกลุ่มของโมดูล ที่มีการให้คะแนนใดๆ เรากำหนด ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

และคาดหวังว่าชีฟที่ “บิดเบี้ยว” นี้จะประกอบด้วยข้อมูลการจัดระดับเกี่ยวกับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นชีฟที่เกี่ยวข้องกับโมดูล แบบจัดระดับ เราก็คาดหวังว่ามันจะประกอบด้วยข้อมูลการจัดระดับที่สูญหายเกี่ยวกับ เช่นกันสิ่งนี้ชี้ให้เห็น แม้จะผิดพลาดก็ตาม ว่าสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากชีฟเหล่านี้ เนื่องจากอย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นจริงในกรณีที่เป็นวงแหวนพหุนาม ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง สถานการณ์นี้แตกต่างจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน Specเป็นตัวผกผันกับฟังก์ชันส่วนทั่วโลกในหมวดหมู่ของปริภูมิวงแหวนเฉพาะที่ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$$${\displaystyle S}$

ถ้าเป็นริง เราจะกำหนดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟnมิติเหนือให้เป็นสกีม${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

การจัดระดับบนวงแหวนพหุนามถูกกำหนดโดยการให้แต่ละพหุนามมีดีกรีหนึ่ง และทุกองค์ประกอบของพหุนามมีดีกรีศูนย์ เมื่อเปรียบเทียบกับนิยามของพหุนามข้างต้น เราจะเห็นว่าส่วนต่าง ๆ ของพหุนามนั้นเป็นพหุนามเอกพันธุ์เชิงเส้นที่สร้างขึ้นโดยพหุนามเอง สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงการตีความอีกแบบหนึ่งของพหุนาม นั่นคือเป็นชีฟของ “พิกัด” สำหรับพหุนามเนื่องจาก พหุนามเหล่านี้เป็นพิกัดของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟของ พหุ นามอย่างแท้จริง${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

ถ้าเรากำหนดให้ริงฐานเป็นแล้ว จะมีมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟแบบแคนอนิกไปยังเส้นตรงเชิงเส้นตรง ซึ่งไฟเบอร์จะเป็นเส้นโค้งวงรียกเว้นที่จุดที่เส้นโค้งเสื่อมสภาพกลายเป็นเส้นโค้งปม ดังนั้นจึงมีไฟเบอร์เรชันซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมเรียบของสกีม ด้วย (ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้เกณฑ์จาโคเบียน ) ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$${\displaystyle \lambda =0,1}$$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$

ไฮเปอร์ เซอร์เฟซ เชิงโปรเจกทีฟเป็นตัวอย่างของสามมิติเฟอร์มาต์ควินติกซึ่งเป็นแมนิโฟลด์คาลาบี-เยาด้วย นอกจากไฮเปอร์เซอร์เฟซเชิงโปรเจกทีฟแล้ว วาไรตีเชิงโปรเจกทีฟใดๆ ที่ถูกตัดออกโดยระบบพหุนามเอกพันธุ์ในตัวแปร n สามารถแปลงเป็นโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟได้โดยใช้การสร้าง proj สำหรับพีชคณิตแบบแบ่งระดับซึ่งทำให้เกิดการฝังวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟลงในโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$${\displaystyle (n+1)}$$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$

ปริภูมิเชิงฉายแบบถ่วงน้ำหนักสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้วงแหวนพหุนามที่มีตัวแปรซึ่งมีดีกรีที่ไม่เป็นมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเชิงฉายแบบถ่วงน้ำหนักสอดคล้องกับการเลือกวงแหวนที่ตัวแปรมีน้ำหนัก 2 ในขณะที่ตัวแปรมีน้ำหนัก 2 ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$${\displaystyle \operatorname {Proj} }$${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$${\displaystyle X_{0},X_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{2}}$

โครงสร้าง proj ขยายไปสู่ริงแบบสองระดับและหลายระดับ ในทางเรขาคณิต สิ่งนี้สอดคล้องกับการนำผลคูณของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟมาใช้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดริงแบบระดับที่มีดีกรีของตัวสร้างแต่ละตัวแล้วผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตเหล่านี้เหนือจะให้พีชคณิตแบบสองระดับโดยที่มีน้ำหนักและมีน้ำหนักจากนั้นโครงสร้าง proj จะให้ซึ่งเป็นผลคูณของโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ มีการฝังโครงร่างดังกล่าวลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟโดยการนำพีชคณิตแบบระดับทั้งหมดมาใช้โดยที่องค์ประกอบดีกรีถือเป็นองค์ประกอบดีกรี ซึ่งหมายความว่าชิ้นส่วนแบบระดับที่ ของคือโมดูลนอกจากนี้ โครงร่างยังมาพร้อมกับชีฟแบบสองระดับซึ่งเป็นผลคูณเทนเซอร์ของชีฟโดยที่และคือการฉายภาพเชิงแคนอนิกที่ได้มาจากการฉีดของพีชคณิตเหล่านี้จากไดอะแกรมผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน $${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle (0,1)}$$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a+b)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S_{\bullet }}$$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$

การขยายความทั่วไปของการสร้าง Proj แทนที่วงแหวนSด้วยชีฟของพีชคณิตและผลลัพธ์ที่ได้คือสกีมซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นไฟเบอร์เรชัน ของ Proj ของวงแหวน การสร้างนี้มักใช้ ตัวอย่างเช่น เพื่อสร้าง บันเดิลของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเหนือ สกี ม ฐาน

ในทางทฤษฎี ให้Xเป็นสกีม ใดๆ และSเป็นชีฟของพีชคณิตแบบแบ่งระดับ (ซึ่งนิยามของมันคล้ายกับนิยามของโมดูลบนปริภูมิริงเฉพาะที่ ) กล่าวคือ ชีฟที่มีการแยกส่วนผลรวมโดยตรง ${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle O_{X}}$

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

โดยที่แต่ละโมดูลเป็นโมดูล - ซึ่งสำหรับทุกเซตย่อยเปิดUของXนั้นS ( U ) เป็นพีชคณิต - และการแยกส่วนผลรวมโดยตรงที่ได้ ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

เป็นการจัดระดับพีชคณิตนี้ในฐานะวงแหวน ในที่นี้เราสมมติว่า. เราตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมว่าSเป็นชีฟกึ่งสอดคล้องกันซึ่งเป็นสมมติฐาน "ความสอดคล้อง" บนส่วนต่างๆ เหนือเซตเปิดที่แตกต่างกัน ซึ่งจำเป็นสำหรับการดำเนินการสร้างต่อไป ${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$

ในการตั้งค่านี้ เราสามารถสร้างโครงร่างและแผนที่ "การฉายภาพ" pไปยังXได้ โดยที่สำหรับทุก แอฟฟิ น เปิดUของX${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

คำจำกัดความนี้ชี้ให้เห็นว่าเราสร้างโดยการกำหนดโครงร่างสำหรับแต่ละแอฟฟินเปิดU ก่อน โดยการตั้งค่า ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle Y_{U}}$

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

และแผนที่จากนั้นแสดงให้เห็นว่าข้อมูลเหล่านี้สามารถเชื่อมต่อกันได้ “เหนือ” จุดตัดแต่ละจุดของเส้นตรงเปิดสองเส้นUและVเพื่อสร้างโครงร่างYซึ่งเรากำหนดให้เป็นไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าการกำหนดให้แต่ละเป็นแผนที่ที่สอดคล้องกับการรวม เข้าไปในS ( U ) ในฐานะองค์ประกอบที่มีดีกรีศูนย์ จะให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันที่จำเป็นของในขณะที่ความสอดคล้องของตัวมันเองนั้นเป็นผลมาจากสมมติฐานความสอดคล้องกึ่งๆบน S${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle O_{X}(U)}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle Y_{U}}$

ถ้าSมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือเป็นชีฟที่สอดคล้องกันและสร้างS ในระดับท้องถิ่น เหนือ(นั่นคือ เมื่อเราผ่านไปยังสตอล์กของชีฟSที่จุดxของXซึ่งเป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับที่มีองค์ประกอบดีกรีศูนย์ก่อตัวเป็นริงจากนั้นองค์ประกอบดีกรีหนึ่งจะก่อตัวเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือและยังสร้างสตอล์กเป็นพีชคณิตเหนือมันด้วย) แล้วเราสามารถสร้างโครงสร้างเพิ่มเติมได้ เหนือแอฟฟินเปิดU แต่ละตัว Proj S ( U ) จะมีชีฟผกผันได้O(1)และสมมติฐานที่เราเพิ่งทำไปนั้นรับประกันว่าชีฟเหล่านี้สามารถเชื่อมต่อกันได้เช่นเดียวกับข้างต้น ชีฟที่ได้บนก็ถูกกำหนดให้เป็นO (1) เช่นกัน และทำหน้าที่คล้ายกับชีฟบิดบน Proj ของริง ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle O_{X,x}}$${\displaystyle O_{X,x}}$${\displaystyle Y_{U}}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$

ให้เป็นชีฟกึ่งสอดคล้องกันบนแผนผังชีฟของพีชคณิตสมมาตรเป็นชีฟกึ่งสอดคล้องกันตามธรรมชาติของโมดูลเกรด ซึ่งสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบที่มีดีกรี 1 แผนผังที่ได้จะถูกแทนด้วยถ้าเป็นประเภทจำกัด มอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกของมันคือมอร์ฟิซึมแบบโปรเจคทีฟ^{[ ​​2 ]}${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$

สำหรับค่าใดๆไฟเบอร์ของมอร์ฟิซึมข้างต้นเหนือคือปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่สัมพันธ์กับปริภูมิคู่ของปริภูมิเวกเตอร์ เหนือ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$${\displaystyle k(x)}$

ถ้าเป็นชีฟกึ่งสอดคล้องของโมดูลเกรดที่สร้างขึ้นโดยและโดยที่เป็นประเภทจำกัด แล้วจะเป็นสับสคีมปิดของและจะเป็นโปรเจกทีฟเหนือในความเป็นจริง สับสคีมปิดทุกอันของโปรเจกทีฟจะมีรูปแบบนี้^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle O_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

ในกรณีพิเศษ เมื่อเป็นอิสระในระดับท้องถิ่นที่มีอันดับเราจะได้บันเดิลเชิงโปรเจกทีฟเหนือที่มีมิติสัมพัทธ์แท้จริงแล้ว ถ้าเราเลือกการคลุมแบบเปิดของXโดยแอฟฟินแบบเปิดโดยที่เมื่อจำกัดอยู่บนแต่ละการคลุมเหล่านี้จะเป็นอิสระเหนือAแล้ว ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

และด้วยเหตุนี้จึงเป็นบันเดิลของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ตระกูลของวาไรตี้หลายตระกูลสามารถสร้างขึ้นได้จากสับสกีมของบันเดิลเชิงโปรเจกทีฟเหล่านี้ เช่น ตระกูลเส้นโค้งวงรีไวเออร์สตรัส สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความหลัก ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

Global Proj สามารถใช้สร้างLefschetz pencils ได้ ตัวอย่างเช่น ให้และใช้พหุนามเอกพันธุ์ดีกรี k เราสามารถพิจารณาชีฟอุดมคติของและสร้าง Global Proj ของชีฟผลหารของพีชคณิตนี้ได้ซึ่งสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนว่าเป็นมอร์ฟิซึมเชิงโปรเจกทีฟ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}}$

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้คือการขยายโครงร่างโดยสัมพันธ์กับกลุ่มไอเดียลที่สอดคล้องกัน

• พื้นที่ฉายภาพ
• เรขาคณิตเชิงพีชคณิตของปริภูมิเชิงฉาย
• การฉายภาพ