ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ฟังก์ชันวิเคราะห์คือฟังก์ชันที่สามารถแทนด้วยอนุกรมกำลัง ลู่เข้าได้ในบริเวณนั้น กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ฟังก์ชันจริงหรือฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดใดจุดหนึ่ง ถ้าในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น ฟังก์ชันนั้นเท่ากับอนุกรมกำลังที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ดังนั้น ฟังก์ชันวิเคราะห์จึงถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชัน หรือเทียบเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดศูนย์กลางของการกระจาย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันวิเคราะห์คือฟังก์ชันที่สามารถแทนด้วย อนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้า ได้ในบริเวณนั้น

ฟังก์ชันวิเคราะห์พบได้ทั้งในวิเคราะห์เชิงจริงและวิเคราะห์เชิงซ้อนในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย ฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริงหรือเชิงซ้อนจำเป็นต้องเรียบ กล่าวคือ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ แต่ฟังก์ชันเชิงจริงที่เรียบไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันเชิงซ้อนบนเซตเปิดจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกกล่าวคือ สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ที่ทุกจุดบนเซต ด้วยเหตุนี้ ในวิเคราะห์เชิงซ้อน คำว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจึงมักใช้แทนกันได้ คำว่าฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนและฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง ใช้ เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างกรณีเหล่านี้ ในการประมวลผลสัญญาณบางครั้งฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนเรียกว่าสัญญาณ วิเคราะห์

ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เป็นเงื่อนไขความสม่ำเสมอที่เข้มงวด ฟังก์ชันวิเคราะห์มีพฤติกรรมเฉพาะที่ที่ตายตัว ตัวอย่างเช่น บนโดเมนที่เชื่อมต่อกัน ฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีรากเป็นศูนย์ที่มีจุดสะสมจะต้องมีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ตัวอย่างมาตรฐานได้แก่พหุนามฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันตรีโกณมิติบนโดเมนความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของพวกมัน

ตามหลักการแล้ว ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริงบนเซตเปิดในเส้นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆ สามารถเขียนได้ โดยที่สัมประสิทธิ์⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... เป็นจำนวนจริง และอนุกรม นี้ (ด้านขวามือของสมการนี้) ลู่เข้าสู่สำหรับในบริเวณใกล้เคียงของ(นั่นคือเซตที่ประกอบด้วยเซตเปิดซึ่งรวมถึง⁠ ⁠ ) ${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x_{0}\in D}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงคือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งโดยที่อนุกรมเทย์เลอร์ที่แต่ละจุดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น ลู่เข้าสู่ค่า n ในบริเวณใกล้เคียงของจุดต่อจุด [ ^{a ] เซต}ของฟังก์ชันวิเคราะห์จริงทั้งหมดบนเซตที่กำหนดมักจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠หรือเพียงแค่ถ้าเข้าใจโดเมน ${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }(D)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\omega }}$

กล่าวได้ว่าฟังก์ชัน ที่นิยามบนเซตย่อยบางส่วนของเส้นจำนวนจริงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง ณ จุดใดจุดหนึ่ง หากมีบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งจุดนั้นเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

นิยามของฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนได้มาจากการแทนที่ "จริง" ด้วย "เชิงซ้อน" และ "เส้นจริง" ด้วย "ระนาบเชิงซ้อน" ในนิยามข้างต้น ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกกล่าวคือเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ด้วยเหตุนี้ คำว่า "โฮโลมอร์ฟิก" และ "วิเคราะห์" จึงมักใช้แทนกันได้สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว^{[ 1 ]}

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ในเซตเปิด⁠ ⁠ ถ้าฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ (เชิงซ้อน) ${\displaystyle U}$^ได้ที่แต่ละจุดใน⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$^{[ 2} ]

ตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชันวิเคราะห์ ได้แก่

• ฟังก์ชันพื้นฐานต่อไปนี้:
  • พหุนามทุกตัว: ถ้าพหุนามมีดีกรี⁠ ⁠${\displaystyle n}$พจน์ใดๆ ที่มีดีกรีมากกว่า⁠ ⁠ ในการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของพหุนามนั้น จะต้องหายไปทันทีเป็น 0 ดังนั้นอนุกรมนี้จึงลู่เข้าอย่างเห็นได้ชัด ยิ่งไปกว่านั้น พหุนามทุกตัวเป็น ${\displaystyle n}$อนุกรมแมคลาลินของตัวเองด้วย
  • ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมเทย์เลอร์ใดๆ สำหรับฟังก์ชันนี้จะลู่เข้าไม่เพียงแต่สำหรับค่าที่ใกล้เคียงกับ ⁠ ⁠ มากพอ( ตาม${\displaystyle x}$นิยาม) เท่านั้น แต่ยังลู่เข้าสำหรับค่า⁠ ⁠ ทั้งหมด (ทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) ด้วย${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$
  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตเปิดใดๆ ในโดเมนของฟังก์ชันนั้น
  • ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตเปิดใดๆ ที่สาขาของลอการิทึมมีค่าเดียว เช่นหรือส่วนเติมเต็มในทรงกลมรีมันน์ของส่วนโค้งเชิงเดี่ยวใดๆ ที่เชื่อมต่อกับ${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$
  • ฟังก์ชันกำลังเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกที่สำหรับกำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ยกเว้นที่ศูนย์สำหรับกำลังจำนวนเต็มที่เป็นลบ และสำหรับกำลังเชิงซ้อนใดๆ บนเซตย่อยเปิดใดๆ ของระนาบเชิงซ้อนที่ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์
• ฟังก์ชันพิเศษหลาย ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในโดเมนที่เหมาะสม:
  • ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกบนโดเมนที่เหมาะสม
  • ฟังก์ชันเบสเซลบนโดเมนที่เหมาะสม
  • ฟังก์ชันแกมมาอยู่ห่างจากขั้วที่ศูนย์และจำนวนเต็มลบ
  • ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ยกเว้นขั้วเดี่ยวที่${\displaystyle 1}$
• ฟังก์ชันพีชคณิตจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เมื่ออยู่ห่างจากขั้วและจุดแตกแขนง ใดๆ ที่อาจมีอยู่ ใกล้กับจุดแตกแขนง ฟังก์ชันพีชคณิตสามารถแทนด้วยอนุกรม Puiseux ที่ลู่เข้าได้ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หลังจากเปลี่ยนตัวแปรแล้ว ฟังก์ชันนั้นจะกลายเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของ${\displaystyle z-a=t^{e}}$${\displaystyle t}$

ตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ ได้แก่

• ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริงไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ และฟังก์ชันที่สอดคล้องกันบนจำนวนเชิงซ้อนไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนบนเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างใดๆของ${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ฟังก์ชัน ที่กำหนดแบบเป็นช่วง (ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรที่แตกต่างกันในแต่ละบริเวณ) โดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ จุดที่ช่วงต่างๆ มาบรรจบกัน
• ฟังก์ชันสังยุคเชิงซ้อนไม่ใช่ ฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน แม้ว่าการจำกัด ฟังก์ชันนี้บนเส้นจำนวนจริงจะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง และเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริงเมื่อเป็นฟังก์ชันจากไปยัง${\displaystyle z\to z^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• ฟังก์ชันเรียบที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์อื่นๆและโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันเรียบใดๆที่มีขอบเขตจำกัดซึ่งไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ กล่าวคือไม่สามารถเป็นเชิงวิเคราะห์บนทั้งหมดของ^{[ 3 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เงื่อนไขต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:

1. ${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริงบนเซตเปิด⁠ ⁠${\displaystyle D}$ .
2. มีการขยายเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อนของไปยังเซตเปิดที่ประกอบด้วย⁠ ⁠${\displaystyle f}$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle D}$
3. ${\displaystyle f}$เรียบและสำหรับเซตกระชับ ทุกเซต จะมีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งสำหรับทุกค่าและจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุกค่าขอบเขตต่อไปนี้เป็นจริง^{[ 4 ]}${\displaystyle K\subset D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

ฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนนั้นเทียบเท่ากับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก อย่างสมบูรณ์ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถระบุลักษณะได้ง่ายกว่ามาก

สำหรับกรณีของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีหลายตัวแปร (ดูด้านล่าง) ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่แท้จริงสามารถระบุได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์-บรอส-ไออาโกลนิตเซอร์

ในกรณีหลายตัวแปร ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงจะสอดคล้องกับการวางนัยทั่วไปโดยตรงของลักษณะเฉพาะที่สาม^{[ 5 ]}ให้เป็นเซตเปิด และให้⁠ ⁠แล้วจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริงบนก็ต่อเมื่อและสำหรับทุกคอมแพ็กต์จะมีค่าคงที่ อยู่เช่นนั้นสำหรับทุกดัชนีหลายตัวขอบเขตต่อไปนี้ เป็นจริง ^{[ 6 ]}${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$$${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !}$$

• ผลรวม ผลคูณ และการประกอบของฟังก์ชันวิเคราะห์ล้วนเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์
• ส่วนกลับของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย ก็เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เช่นกัน
• ในกรณีที่มีตัวแปรเดียว ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันวิเคราะห์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่มีอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใดเลย จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ในกรณีที่มีตัวแปรหลายตัว เงื่อนไขที่สอดคล้องกันคือ อนุพันธ์ต้องเป็นแผนที่เชิงเส้นที่ผกผันได้ หรือเทียบเท่ากับว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนต้องไม่เป็นศูนย์
• ฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆ ก็ตามล้วน เป็น ฟังก์ชันเรียบ นั่นคือ สามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันจำนวนจริง ในความเป็นจริงแล้ว ในแง่หนึ่ง ฟังก์ชันวิเคราะห์จำนวนจริงนั้นเบาบางกว่าฟังก์ชันจำนวนจริงที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้งทั้งหมด สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ข้อความกลับกันนั้นเป็นจริง กล่าวคือ ฟังก์ชันใดๆ ที่มีอนุพันธ์เชิงซ้อนเพียงตัวเดียวบนเซตเปิด จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตนั้น (ดู§ ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และความสามารถในการหาอนุพันธ์ )
• สำหรับเซตเปิดใดๆ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$เซตของฟังก์ชันวิเคราะห์ทั้งหมดเป็นปริภูมิเฟรเชต์โดยสัมพันธ์${\displaystyle A(\Omega )}$กับการลู่เข้าแบบเอกรูปบนเซตกระชับ ข้อเท็จจริงที่ว่าลิมิตแบบเอกรูปบนเซตกระชับของฟังก์ชันวิเคราะห์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของโมเรรา อย่างง่าย เซต ของ ฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีขอบเขตทั้งหมด ที่มี นอร์มสูงสุดเป็นปริภูมิบานาค${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{\infty }(\Omega )}$
• ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงบนเซตเปิดจะไม่สมบูรณ์ภายใต้โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตย่อยกระชับ เนื่องจากลิมิตกระชับ-เปิดของฟังก์ชันวิเคราะห์จริงไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริง ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงมีความหนาแน่นในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องในโทโพโลยีกระชับ-เปิด

พหุนามไม่สามารถมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดมากเกินไปได้ เว้นแต่จะเป็นพหุนามศูนย์ (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น จำนวนจุดศูนย์มีค่าไม่เกินดีกรีของพหุนาม) ข้อความที่คล้ายกันแต่มีเงื่อนไขอ่อนกว่านั้นใช้ได้กับฟังก์ชันวิเคราะห์ ถ้าเซตของจุดศูนย์ของฟังก์ชันวิเคราะห์มีจุด${\displaystyle f}$สะสมอยู่ภายในโดเมนแล้วจะ เป็น ศูนย์${\displaystyle f}$ทุกที่บนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันซึ่ง มี จุดสะสมนั้นอยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า เป็นลำดับของ${\displaystyle (r_{n})}$จำนวนที่แตกต่างกัน โดยที่สำหรับทุกและลำดับนี้ลู่เข้าสู่จุดในโดเมนของแล้วจะเป็นศูนย์ โดย สมบูรณ์ บนส่วนประกอบที่เชื่อม ต่อกันของที่มีซึ่งเรียกว่า ทฤษฎีบทเอกลักษณ์${\displaystyle f(r_{n})=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle r}$

นอกจากนี้ หากอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ จุดใดจุดหนึ่งเป็นศูนย์ ฟังก์ชันนั้นจะมีค่าคงที่บนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันที่สอดคล้องกัน

ข้อความเหล่านี้บ่งชี้ว่า แม้ว่าฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์จะมีระดับความเป็นอิสระ มากกว่า พหุนาม แต่ก็ยังมีความยืดหยุ่นค่อนข้างจำกัด

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ฟังก์ชันใดๆ (ไม่ว่าจะเป็นฟังก์ชันจริงหรือฟังก์ชันเชิงซ้อน) สามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งในบริเวณใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นเท่ากับอนุกรมกำลังลู่เข้า ในบริเวณใกล้เคียงของจุดวิเคราะห์ จะมีอนุกรมกำลังลู่เข้าที่เท่ากับฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงนั้น ดังนั้นฟังก์ชันจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งในบริเวณนั้น มีฟังก์ชันจริงเรียบที่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์อยู่ด้วย: ดูที่ฟังก์ชันเรียบที่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์อันที่จริงมีฟังก์ชันดังกล่าวอยู่มากมาย

สถานการณ์จะแตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิงเมื่อพิจารณาฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนและอนุพันธ์เชิงซ้อน ฟังก์ชันใดๆ ที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ในวงกลมเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่( ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ) จะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ จุดนั้นและในทางกลับกัน ฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดโดยอนุกรมกำลังลู่เข้าในตัวแปรเชิงซ้อนจะเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ (และหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง) บนวงกลมลู่เข้า ดังนั้น ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน คำว่าฟังก์ชันวิเคราะห์จึงมีความหมายเหมือนกับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle z=z_{0}}$${\displaystyle z-z_{0}}$

ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงและเชิงซ้อนมีความแตกต่างที่สำคัญ (สามารถสังเกตได้แม้กระทั่งจากความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันกับความสามารถในการหาอนุพันธ์) ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นคุณสมบัติที่เข้มงวดกว่า เนื่องจากมีเงื่อนไขที่จำเป็นที่เข้มงวดกว่า และฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนมีโครงสร้างมากกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์บนเส้นจำนวนจริง^{[ 7 ]}

ตามทฤษฎีบทของ Liouvilleฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนที่มีขอบเขตใดๆ ที่กำหนดบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดจะเป็นค่าคงที่ ส่วนข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงจริง โดยที่ระนาบเชิงซ้อนถูกแทนที่ด้วยเส้นจำนวนจริงนั้น เห็นได้ชัดว่าเป็นเท็จ ดังที่แสดงให้เห็นโดย $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$$

นอกจากนี้ หากฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนถูกกำหนดไว้ในทรงกลม เปิด รอบจุด⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$การขยายอนุกรมกำลังของฟังก์ชันนั้นที่⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$จะลู่เข้าในทรงกลมเปิดทั้งหมด ( ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ) ข้อความนี้สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์จริง (โดยที่ทรงกลมเปิดหมายถึงช่วง เปิด ของเส้นจำนวนจริง ไม่ใช่วงกลม เปิด ของระนาบเชิงซ้อน) โดยทั่วไปแล้วไม่เป็นจริง ฟังก์ชันในตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}=0}$และทรงกลมที่มีรัศมีเกิน  ⁠ ⁠ เนื่องจาก${\displaystyle 1}$อนุกรมกำลัง⁠ ⁠ ลู่${\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots }$เข้าสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \vert x\vert \geq 1}$

ฟังก์ชันวิเคราะห์จริงใดๆ บนเซตเปิด บางเซต บนเส้นจำนวนจริง สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนบนเซตเปิดบางเซตของระนาบเชิงซ้อนได้ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันวิเคราะห์จริงที่กำหนดบนเส้นจำนวนจริงทั้งหมดจะสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่กำหนดบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้ ฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$ที่กำหนดในย่อหน้าข้างต้นเป็นตัวอย่างค้าน เนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x=\pm i}$นี่คือเหตุผลที่อนุกรมเทย์เลอร์ของ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$ลู่เข้าสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \vert x\vert >1}$ กล่าวคือ รัศมีของการลู่เข้าคือ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$เนื่องจากฟังก์ชันเชิงซ้อนมีขั้วที่ระยะ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$จากจุดประเมิน⁠ ⁠${\displaystyle 0}$และไม่มีขั้วเพิ่มเติมภายในวงกลมเปิดรัศมี⁠ ⁠${\displaystyle 1}$รอบจุดประเมิน

ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่แล้วอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนั้นจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของโดยทั่วไปแล้ว สำหรับอนุกรมกำลังใดๆ จะมีจำนวนหนึ่งที่เรียกว่ารัศมีของการลู่เข้าซึ่งอาจเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบใดๆ หรือเช่นนั้นอนุกรมกำลังจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับและลู่เข้าอย่างลู่เข้าสำหรับ[ ^{8 ] [ 9 ] ดังนั้น}เมื่ออนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้า มันจะลู่เข้าในช่วงเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ในกรณีจำนวนจริง หรือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ในกรณีจำนวนเชิงซ้อน^{[ 10 ] [ 11 ]}อนุกรมเทย์เลอร์อาจลู่เข้าอย่างสมบูรณ์หรือลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขที่จุดขอบบางจุด ทุกจุด หรือไม่มีจุดขอบใดๆ ของช่วงเปิดหรือวงกลมเลยก็ได้^{[ 12 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle |x-a|<R}$${\displaystyle |x-a|>R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน รัศมีของการลู่เข้าของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกณ จุดหนึ่งคือรัศมีของวงกลมเปิดที่ใหญ่ที่สุดซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น ซึ่งฟังก์ชันยังคงเป็นโฮโลมอร์ฟิก ในหลายกรณีทั่วไป นี่คือระยะทางไปยังจุดเอกฐาน ที่ใกล้ที่สุด ของฟังก์ชันในระนาบเชิงซ้อน^{[ 13 ]}

นี่เป็นการอธิบายรัศมีของการลู่เข้าที่แตกต่างกันสำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ที่คุ้นเคย อนุกรมสำหรับ, , และมีรัศมีของการลู่เข้าเป็นอนันต์ เนื่องจากอนุกรมเหล่านี้เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ซึ่งไม่มีจุดเอกฐานในระนาบเชิงซ้อน^{[ 14 ] [ 15 ]}ในทางตรงกันข้าม อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับรอบมีรัศมีของการลู่เข้าเนื่องจากจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดอยู่ที่^{[ 16 ]}${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle \sin z}$${\displaystyle \cos z}$${\displaystyle \log(1+z)}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z=-1}$

ความผิดปกติเชิงซ้อนสามารถกำหนดรัศมีของการลู่เข้าได้แม้กระทั่งสำหรับฟังก์ชันที่เรียบบนเส้นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น แม้ว่า จะเรียบสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด แต่ รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์รอบ ๆคือเนื่องจากฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สอดคล้องกันมีความผิดปกติที่และซึ่งเป็นจุดบนวงกลมหน่วยเชิงซ้อน^{[ 17 ]}ดังนั้น แม้แต่สำหรับฟังก์ชันค่าจริง บทบาทของความผิดปกติเชิงซ้อนก็มีความสำคัญ ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งบนเส้นจำนวนจริงทั้งหมด แต่ยังคงมีอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีรัศมีของการลู่เข้าจำกัดเท่านั้น เนื่องจากอุปสรรคในการจำกัดอาจมาจากความผิดปกติในฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สอดคล้องกันมากกว่าความล้มเหลวของความเรียบบนแกนจำนวนจริง^{[ 18 ]}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x=i}$${\displaystyle x=-i}$

อนุกรมกำลังอาจลู่เข้าที่ทุกจุดของขอบเขตของดิสก์การลู่เข้าและยังคงไม่สามารถขยายออกไปนอกดิสก์นั้นได้แบบโฮโลมอร์ฟิก ตัวอย่างเช่น ถ้าไม่ใช่จำนวนเต็มอนุกรมทวิ นาม จะมีรัศมีของการลู่เข้า[ ^{19 ] อนุกรม}ลู่เข้าทุกที่บนดิสก์หน่วยปิด รวมถึงทุกจุดขอบเขต อย่างไรก็ตาม สำหรับที่ไม่ใช่จำนวนเต็มฟังก์ชันจะไม่ขยายเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกค่าเดียวไปยังบริเวณใกล้เคียงใดๆ ของ[ ^{20 ] ดังนั้น}อุปสรรคต่อการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ที่จุดขอบเขตจึงไม่ใช่ความล้มเหลวของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง หรือขั้วหรือเอกฐานที่สำคัญแต่เป็นการแตกแขนงของการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ ในทางปฏิบัติเป็นจุดแตกแขนงของฟังก์ชัน^{[ 21 ] [ 22 ]}สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการลู่เข้าบนดิสก์ปิดนั้นอ่อนแอกว่าความสามารถในการขยายแบบโฮโลมอร์ฟิกนอกขอบเขต ${\displaystyle \alpha >0}$$${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}z^{n}}$$${\displaystyle R=1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (1+z)^{\alpha }}$${\displaystyle z=-1}$${\displaystyle z=-1}$${\displaystyle z=-1}$

เนื่องจากฟังก์ชันวิเคราะห์ถูกแทนด้วยอนุกรมกำลังในระดับท้องถิ่น ค่าของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ บริเวณหนึ่งบางครั้งสามารถกำหนดค่าในบริเวณที่ใหญ่กว่าได้ กระบวนการนี้เรียกว่าการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ (analytic continuation ) โดยเริ่มต้นจากการแสดงอนุกรมกำลังในบริเวณใกล้เคียงหนึ่ง จากนั้นบางครั้งเราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อกำหนดฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงที่ทับซ้อนกัน และดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปตามเส้นทางในโดเมน

การต่อยอดเชิงวิเคราะห์จะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวก็ต่อเมื่อมันปรากฏอยู่บนโดเมนที่เชื่อมต่อกัน กล่าวคือ ถ้าฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์สองฟังก์ชันบนเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันตกลงกันบนเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่าง หรือโดยทั่วไปบนเซตที่มีจุดสะสมในโดเมนแล้ว ฟังก์ชันทั้งสองนั้นจะตกลงกันทุกที่บนเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันนั้น นี่เป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบท เอกลักษณ์

อย่างไรก็ตาม การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ไม่จำเป็นต้องเป็นไปได้ทุกที่ และไม่จำเป็นต้องมีค่าเดียว ตัวอย่างเช่นลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เฉพาะที่บนแต่การต่อยอดรอบเส้นทางปิดที่ล้อมรอบจะเปลี่ยนค่าของมันด้วยผลคูณจำนวนเต็มของด้วยเหตุนี้ สาขาที่มีค่าเดียวของลอการิทึมจึงสามารถกำหนดได้บนโดเมนเช่นแต่ไม่ใช่บนทั้งหมดของการนำฟังก์ชันวิเคราะห์เดียวในดิสก์และสร้างการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นโดยทั่วไปจะนำไปสู่พื้นผิวรีมันน์ที่ครอบคลุมเซตย่อยแบบเปิดของทรงกลมรีมันน์ฟังก์ชันวิเคราะห์ทั่วโลกที่ได้มาด้วยวิธีนี้เป็นชีฟ ตามธรรมชาติ มากกว่าฟังก์ชัน: แต่ละเจิร์มเป็นอนุกรมกำลังลู่เข้าในดิสก์บางดิสก์ แต่เจิร์มหลายตัวอาจซ้อนกันได้^{[ 23 ]}${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

ฟังก์ชันพีชคณิตเป็นอีกแหล่งหนึ่งของการต่อขยายเชิงวิเคราะห์แบบหลายค่า ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ โดยที่สาขา เป็นเช่นนั้นมีอนุกรมกำลังลู่เข้าในดิสก์สามารถต่อขยายรอบวงที่ล้อมรอบ ได้แต่จะเปลี่ยนเป็นค่าลบหลังจากวงเดียว พื้นผิวรีมันน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันพีชคณิตคือการปกคลุมแบบแตกแขนง จำกัด ของทรงกลมรีมันน์ ${\displaystyle f(z)={\sqrt {1-z}}}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle z=1}$

ฟังก์ชันพิเศษหลายฟังก์ชันถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยอนุกรมกำลังหรือสูตรปริพันธ์บนโดเมนที่จำกัด จากนั้นจึงขยายโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยอนุกรมดิริชเลต์ สำหรับแต่มี การต่อยอด แบบเมโรเมอร์ฟิกไปยังระนาบเชิงซ้อน โดยมีขั้วเดี่ยวที่เรียบง่ายที่ $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$${\displaystyle s=1}$

เราสามารถกำหนดฟังก์ชันวิเคราะห์ในหลายตัวแปรได้โดยใช้ชุดอนุกรมกำลังในตัวแปรเหล่านั้น (ดูชุดอนุกรมกำลัง ) ฟังก์ชันวิเคราะห์ในหลายตัวแปรมีคุณสมบัติบางอย่างเหมือนกับฟังก์ชันวิเคราะห์ในตัวแปรเดียว อย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน ปรากฏการณ์ใหม่และน่าสนใจจะปรากฏขึ้นในสองมิติหรือมากกว่านั้น

• เซตศูนย์ของฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนในตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวจะไม่เป็นเซตไม่ต่อเนื่องหากเซตนั้นไม่ว่างเปล่า ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทการขยายของฮาร์ทอกส์
• โดเมนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟีสำหรับฟังก์ชันค่าเดียวประกอบด้วยเซตเปิด (ที่เชื่อมต่อกัน) ใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว มีเพียงเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันบางเซตเท่านั้นที่เป็นโดเมนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟี การกำหนดลักษณะของโดเมนของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟีนำไปสู่แนวคิดเรื่องความนูนเทียม (pseudoconvexity )

แนวคิดที่คล้ายคลึงกันของความเป็นวิเคราะห์สามารถกำหนดได้เหนือฟิลด์ค่าสมบูรณ์ อื่นๆ โดยจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนเป็นสองฟิลด์ที่โดดเด่นที่สุดซึ่งค่าสัมบูรณ์เป็นแบบอาร์คิมีเดียน ฟังก์ชันวิเคราะห์ยังสามารถกำหนดได้เหนือฟิลด์เฉพาะที่ที่ ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน เช่นจำนวน p-adic และฟิลด์ส่วนขยายจำกัดและฟิลด์ของอนุกรมลอเรนต์ อย่างเป็น ทางการเหนือฟิลด์จำกัด^{[ 24 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((t))}$

ถ้าเป็นฟิลด์ค่าที่สมบูรณ์ ฟังก์ชันบนบริเวณใกล้เคียงของจุดเรียกว่าวิเคราะห์ได้ ถ้าแสดงเฉพาะที่ด้วยอนุกรมกำลังลู่เข้าที่มีสัมประสิทธิ์ ในในกรณีที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน การลู่เข้าจะถูกควบคุมโดย ค่าสัมบูรณ์ อัลตราเมตริกและทฤษฎีที่ได้จะแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากการวิเคราะห์จริงและเชิงซ้อน^{[ 25 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle a\in K}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}$$${\displaystyle K}$

ตัวอย่างเช่น อนุกรมกำลังบน จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันวิเคราะห์บนจำนวนเต็มp -adic ก็ต่อเมื่อ ในทำนองเดียวกัน อนุกรมบนฟิลด์ส่วนขยายจำกัดของ ฟิลด์ p -adic จะลู่เข้าสู่ริงของจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อเหตุผลก็คือเกณฑ์อัลตราเมตริก: ถ้าแล้วและความเป็นอัลตราเมตริกหมายความว่าส่วนกลางใดๆ ของอนุกรมจะต้องเป็นไปตาม เงื่อนไข${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid |x|_{p}\leq 1\}}$$${\displaystyle |a_{n}|_{p}\to 0.}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle |a_{n}|_{K}\to 0}$${\displaystyle |x|_{K}\leq 1}$${\displaystyle |a_{n}x^{n}|\leq |a_{n}|}$$${\displaystyle \left|\sum _{n=N}^{M}a_{n}x^{n}\right|_{K}\leq \max _{N\leq n\leq M}|a_{n}|.}$$

โดยทั่วไปแล้ว บนวงกลมปิด อนุกรม จะลู่เข้าบนวงกลมนั้นก็ต่อเมื่อ โดยที่ หมายถึงตัวทำให้สม่ำเสมอของ $${\displaystyle a+\pi ^{m}{\mathcal {O}}_{K}=\{x:|x-a|\leq |\pi |^{m}\},}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}$$$${\displaystyle |b_{n}|\,|\pi |^{mn}\to 0.}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle K|\mathbb {Q} _{p}}$

เหนือฟิลด์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน วงแหวนของฟังก์ชันวิเคราะห์บนดิสก์ปิดจึงเกี่ยวข้องกับพีชคณิตเทตซึ่งเป็นพีชคณิตของอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์มีแนวโน้มเป็นศูนย์เร็วพอสมควร มุมมองนี้เป็นพื้นฐานในเรขาคณิตวิเคราะห์แบบแข็งและรูปแบบอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน^{[ 26 ]}

• สมการโคชี-รีมันน์
• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก
• ทฤษฎีบทพาเลย์-ไวเนอร์
• ฟังก์ชันกึ่งวิเคราะห์
• การประกอบฟังก์ชันวิเคราะห์แบบอนันต์
• ฟังก์ชันเรียบที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์

• "ฟังก์ชันวิเคราะห์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันวิเคราะห์" . MathWorld .
• โปรแกรมแก้หาค่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนที่อยู่ในบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดย Ivan B. Ivanov