ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการแมปคาบจะเชื่อมโยงตระกูลของแมนิโฟลด์คาห์เลอร์เข้ากับตระกูลของโครงสร้างฮอดจ์

ให้f  : X → B เป็นมอร์ฟิซึมแบบโฮโลมอร์ฟิกซับเมอร์ ซี ฟ สำหรับจุดbในB เราจะใช้สัญลักษณ์ X _bแทนไฟเบอร์ของfเหนือbกำหนดจุด 0 ในB ทฤษฎีบทของ Ehresmannรับประกันว่ามีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิด ขนาดเล็ก Uรอบ 0 ซึ่งfกลายเป็นไฟเบอร์บันเดิลนั่นคือf ⁻¹ ( U )เป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิกกับX ₀ × Uโดยเฉพาะอย่างยิ่งแผนที่ ประกอบ

${\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}}$

เป็นการแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึม การแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมนี้ไม่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกการทำให้เป็นแบบไม่สำคัญ การทำให้เป็นแบบไม่สำคัญนั้นสร้างขึ้นจากเส้นทางเรียบในUและสามารถแสดงได้ว่าชั้นโฮโมโทปีของการแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมขึ้นอยู่กับการเลือกชั้นโฮโมโทปีของเส้นทางจากbไปยัง 0 เท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าUสามารถหดตัวได้ จะมีการแปลงแบบดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้อย่างดีจนถึงระดับโฮโมโทปี

การแปลงแบบดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมจากXbไปยัง_X0 ทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มโคฮอโมโล _ยี

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} )}$

และเนื่องจากแผนที่โฮโมโทปีเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ที่เหมือนกันบนโคโฮโมโลยี ดังนั้นไอโซมอร์ฟิซึมนี้จึงขึ้นอยู่กับคลาสโฮโมโทปีของเส้นทางจากbไปยัง 0 เท่านั้น

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันที่เหมาะสมและX ₀เป็นวาไรตี้ Kähler เงื่อนไข Kähler เปิดอยู่ ดังนั้นหลังจากอาจจะลดขนาดUแล้วX _bจะเป็นคอมแพ็กต์และ Kähler สำหรับทุกbในUหลังจากลดขนาดUต่อไปอีก เราอาจสมมติว่ามันเป็นคอนแทรกต์ได้ จากนั้นจะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้อย่างดีระหว่างกลุ่มโคฮอโมโลยีของX ₀และX _bไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มโคฮอโมโลยีเหล่านี้โดยทั่วไปจะไม่รักษาโครงสร้าง HodgeของX ₀และX _bไว้ เนื่องจากพวกมันถูกเหนี่ยวนำโดยดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม ไม่ใช่ไบ โฮโลมอร์ฟิซึม ให้F ^p H ^k ( X _b , C )แทน ขั้น ^ตอน ที่ pของการกรอง Hodge จำนวน Hodge ของX _bเหมือนกับของX ₀ [ ^{1 ]}ดังนั้นจำนวนb _{p , k} = dim F ^p H ^k ( X _b , C )จึงไม่ขึ้นอยู่กับb แผนที่คาบคือแผนที่

${\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}$

โดยที่Fคือความหลากหลายของธงของโซ่ของปริภูมิย่อยที่มีมิติb _{p , k}สำหรับทุกpที่ส่ง

${\displaystyle b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.}$

เนื่องจากX _bเป็นแมนิโฟลด์คาห์เลอร์ การกรองฮอดจ์จึงสอดคล้องกับความสัมพันธ์ทวิเชิงเส้นของฮอดจ์-รีมันน์ซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.}$

ไม่ใช่ทุกแฟล็กของซับสเปซที่จะตรงตามเงื่อนไขนี้ ซับเซตของแฟล็กวาไรตี้ที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าโดเมนคาบท้องถิ่นที่ไม่โพลาไรซ์และ ใช้สัญลักษณ์เป็น ซับเซตเปิดของแฟล็กวาไรตี้F${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

สมมติในตอนนี้ว่าไม่เพียงแต่X _b แต่ละตัว จะเป็น Kähler เท่านั้น แต่ยังมีคลาส Kähler ที่แปรผันแบบโฮโลมอร์ฟิกในbด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมมติว่ามีคลาส ω ในH ² ( X , Z )เช่นนั้น สำหรับทุกbการจำกัด ω _bของ ω ไปยังX _bเป็นคลาส Kähler ω _bกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นQบนH ^k ( X _b , C ) ตามกฎ

${\displaystyle Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{nk}\wedge \xi \wedge \eta .}$

รูปแบบนี้แปรผันแบบโฮโลมอร์ฟิกในbและด้วยเหตุนี้ ภาพของการแมปคาบจึงสอดคล้องกับข้อจำกัดเพิ่มเติมซึ่งมาจากความสัมพันธ์ทวิเชิงเส้นของ Hodge–Riemann อีกครั้ง ข้อจำกัดเหล่านั้นได้แก่:

1. ความตั้งฉาก : F ^p H ^k ( X _b , C )ตั้งฉากกับF ^{k − p + 1} H ^k ( X _b , C )โดยสัมพันธ์กับQ
2. ความเป็นบวกแน่นอน : สำหรับทุกp + q = kการจำกัดของไปยังคลาสดั้งเดิมของประเภท( p , q )จะเป็นบวกแน่นอน${\displaystyle \textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{pq}Q}$

โดเมนคาบเวลาท้องถิ่นแบบโพลาไรซ์คือเซตย่อยของโดเมนคาบเวลาท้องถิ่นแบบไม่โพลาไรซ์ซึ่งมีแฟล็กที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมเหล่านี้ เงื่อนไขแรกเป็นเงื่อนไขปิด และเงื่อนไขที่สองเป็นเงื่อนไขเปิด ดังนั้น โดเมนคาบเวลาท้องถิ่นแบบโพลาไรซ์จึงเป็นเซตย่อยแบบปิดเฉพาะที่ของโดเมนคาบเวลาท้องถิ่นแบบไม่โพลาไรซ์และของแฟล็กวาไรตี้Fการแมปคาบเวลาถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว

โดเมนคาบเวลาท้องถิ่นแบบโพลาไรซ์และการแมปคาบเวลาแบบโพลาไรซ์ยังคงแสดงด้วยและตามลำดับ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

การมุ่งเน้นเฉพาะการแมปช่วงเวลาในระดับท้องถิ่นนั้นละเลยข้อมูลที่มีอยู่ในโทโพโลยีของปริภูมิฐานBการแมปช่วงเวลาในระดับสากลถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ข้อมูลนี้ยังคงมีอยู่ ความยากลำบากในการสร้างการแมปช่วงเวลาในระดับสากลมาจากโมโนโดรมีของB : ไม่มีคลาสโฮโมโทปีของดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันอีกต่อไปที่เชื่อมโยงไฟเบอร์X _bและX ₀แต่คลาสโฮโมโทปีที่แตกต่างกันของเส้นทางในBจะเหนี่ยวนำให้เกิดคลาสโฮโมโทปีของดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมที่อาจแตกต่างกัน และด้วยเหตุนี้จึงอาจเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มโคโฮโมโลยีที่อาจแตกต่างกันด้วย ดังนั้นจึงไม่มีแฟล็กที่กำหนดไว้อย่างดีสำหรับแต่ละไฟเบอร์อีกต่อไป แต่แฟล็กจะถูกกำหนดขึ้นโดยขึ้นอยู่กับการกระทำของกลุ่ม พื้นฐาน เท่านั้น

ในกรณีที่ไม่มีขั้ว ให้กำหนดกลุ่มโมโนโดรมี Γ เป็นกลุ่มย่อยของ GL( H ^k ( X ₀ , Z )) ซึ่งประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึม ทั้งหมด ที่เกิดจากคลาสโฮโมโทปีของเส้นโค้งในBดังที่กล่าวมาข้างต้น วาไรตี้ธงเป็นผลหารของกลุ่มลีโดยกลุ่มย่อยพาราโบลิก และกลุ่มโมโนโดรมีเป็นกลุ่มย่อยเลขคณิตของกลุ่มลี โดเมนคาบที่ไม่มีขั้วทั่วโลกเป็นผลหารของโดเมนคาบที่ไม่มีขั้วเฉพาะที่โดยการกระทำของ Γ (ดังนั้นจึงเป็นการรวบรวมโคเซตคู่ ) ในกรณีที่มีขั้ว องค์ประกอบของกลุ่มโมโนโดรมีจะต้องรักษารูปแบบทวิเชิงเส้นQ ไว้ด้วย และโดเมนคาบที่มีขั้วทั่วโลกถูกสร้างขึ้นเป็นผลหารโดย Γ ในลักษณะเดียวกัน ในทั้งสองกรณี การแมปคาบจะนำจุดของBไปยังคลาสของการกรองฮอดจ์บน X _b

กริฟฟิธส์พิสูจน์ว่าแผนที่คาบเป็นโฮโลมอร์ฟิกทฤษฎีบทความตั้งฉาก ของเขา จำกัดขอบเขตของแผนที่คาบ

การกรองแบบ Hodge สามารถแสดงในพิกัดโดยใช้เมทริกซ์คาบ เลือกฐาน δ ₁ , ..., δ _rสำหรับส่วนที่ปราศจากแรงบิดของกลุ่มโฮโมโลยีเชิงปริพันธ์ลำดับที่k H _k ( X , Z )กำหนดค่าpและqโดยที่p + q = kและเลือกฐาน ω ₁ , ..., ω _sสำหรับรูปแบบฮาร์มอนิกของประเภท( p , q )เมทริกซ์คาบของX ₀เทียบกับฐานเหล่านี้คือเมทริกซ์

${\displaystyle \Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.}$

ค่าต่างๆ ในเมทริกซ์คาบขึ้นอยู่กับการเลือกฐานและโครงสร้างเชิงซ้อน ค่า δ สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการเลือกเมทริกซ์ Λ ในSL( r , Z )และค่า ω สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการเลือกเมทริกซ์AในGL( s , C )เมทริกซ์คาบจะเทียบเท่ากับ Ω ถ้าสามารถเขียนได้เป็นA ΩΛ สำหรับการเลือกAและ Λ บางค่า

พิจารณาตระกูลของเส้นโค้งวงรี

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

โดยที่ λ คือจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์หรือหนึ่ง การกรองแบบฮอดจ์บนกลุ่มโคฮอโมโลยีแรกของเส้นโค้งมีสองขั้นตอน คือF ⁰และF ¹อย่างไรก็ตามF ⁰คือกลุ่มโคฮอโมโลยีทั้งหมด ดังนั้นเทอมที่น่าสนใจเพียงอย่างเดียวของการกรองคือF ¹ซึ่งก็คือH ^1,0ซึ่งเป็นปริภูมิของฟอร์มฮาร์มอนิกเชิงโฮโลมอร์ฟิก 1

H ^1,0เป็นเส้นโค้งหนึ่งมิติ เนื่องจากเส้นโค้งเป็นรูปวงรี และสำหรับทุกค่า λ เส้นโค้งนี้ถูกสร้างขึ้นโดยรูปแบบเชิงอนุพันธ์ω = dx / yในการหาตัวแทนที่ชัดเจนของกลุ่มโฮโมโลยีของเส้นโค้ง โปรดทราบว่าเส้นโค้งสามารถแสดงได้ในรูปกราฟของฟังก์ชันหลายค่า

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}$

บนทรงกลมรีมันน์จุดแยกสาขาของฟังก์ชันนี้อยู่ที่ศูนย์ หนึ่ง λ และอนันต์ ลากเส้นตัดสาขา 2 เส้น เส้นหนึ่งลากจากศูนย์ไปยังหนึ่ง และอีกเส้นหนึ่งลากจาก λ ไปยังอนันต์ เส้นตัดสาขาเหล่านี้ครอบคลุมจุดแยกสาขาทั้งหมดของฟังก์ชัน ดังนั้นจึงตัดฟังก์ชันหลายค่าออกเป็นสองแผ่นที่มีค่าเดียว กำหนดค่าε > 0 ที่มีขนาดเล็ก บนแผ่นใดแผ่นหนึ่งเหล่านี้ ลากเส้นโค้งγ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t )สำหรับ ε ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ เส้นโค้งนี้จะล้อมรอบเส้นตัดสาขา[0, 1]และไม่ตัดกับเส้นตัดสาขา[λ, ∞ ] ทีนี้ลองลากเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่ง δ( t ) ที่เริ่มต้นในระนาบหนึ่งเป็นδ( t ) = 1 + 2(λ − 1) tสำหรับ0 ≤ t ≤ 1/2และต่อเนื่องในระนาบอื่นเป็นδ( t ) = λ + 2(1 − λ)( t − 1/2)สำหรับ1/2 ≤ t ≤ 1แต่ละครึ่งของเส้นโค้งนี้เชื่อมต่อจุด 1 และ λ บนระนาบทั้งสองของพื้นผิวรีมันน์จากทฤษฎีบท Seifert–van Kampenกลุ่มโฮโมโลยีของเส้นโค้งนี้เป็นอิสระอันดับสอง เนื่องจากเส้นโค้งทั้งสองมาบรรจบกันที่จุดเดียว1 + ε ดังนั้นชั้นโฮโมโลยีของเส้นโค้งทั้งสองจึงไม่ใช่พหุคูณที่แท้จริงของชั้นโฮโมโลยีอื่น และด้วยเหตุ _นี้จึงเป็นฐานของH1เมทริกซ์คาบสำหรับตระกูลนี้จึงเป็น

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.}$

เราจะย่อรายการแรกของเมทริกซ์นี้เป็นA และรายการที่สองเป็นB

รูปแบบทวิเชิงเส้น√ −1 Qเป็นบวกแน่นอน เนื่องจากในระดับท้องถิ่น เราสามารถเขียน ω เป็นf dz ได้เสมอ ดังนั้น

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}$

โดยทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเร γ และ δ สอดคล้องกับคลาสโคฮอโมโลยี γ ^*และ δ ^*ซึ่งรวมกันเป็นฐานสำหรับH ¹ ( X ₀ , Z )ดังนั้น ω จึงสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ γ ^*และ δ ^*สัมประสิทธิ์ได้มาจากการประเมิน ω เทียบกับองค์ประกอบฐานคู่ γ และ δ:

${\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}$

เมื่อเราเขียนความแน่นอนเชิงบวกของQ ใหม่ ในรูปแบบเหล่านี้ เราจะได้

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

เนื่องจาก γ ^*และ δ ^*เป็นจำนวนเต็ม จึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสังยุค ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจาก γ และ δ ตัดกันที่จุดเดียว และจุดเดียวนั้นเป็นตัวสร้างของH ₀ดังนั้น ผลคูณคัพของ γ ^*และ δ ^*จึงเป็นคลาสพื้นฐานของX ₀ด้วยเหตุนี้ จำนวนเต็มนี้จึงเท่ากับจำนวนเต็มนี้มีค่าเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ดังนั้นทั้งAและB จึงไม่ สามารถเป็นศูนย์ได้ ${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B}$

หลังจากปรับขนาด ω แล้ว เราอาจสมมติว่าเมทริกซ์คาบเท่ากับ(1 τ)สำหรับจำนวนเชิงซ้อน τ บางตัวที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ซึ่งจะขจัดความกำกวมที่เกิดจาก การกระทำ GL(1, C )การกระทำของSL(2, Z )จึงเป็นการกระทำปกติของกลุ่มมอดูลาร์บนระนาบครึ่งบนดังนั้น โดเมนของคาบจึงเป็นทรงกลมรีมันน์ นี่คือการกำหนดพารามิเตอร์ปกติของเส้นโค้งวงรีเป็นแลตทิซ

• ทฤษฎีของฮอดจ์
• ความหลากหลายแบบจาโคเบียน
• กลุ่มโมดูลาร์

• การกำหนดช่วงเวลาในสารานุกรมคณิตศาสตร์