ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวโบลซาหรืออีกนัยหนึ่งคือเส้นโค้งโบลซา เชิงพีชคณิตเชิงซ้อน (แนะนำโดยออสการ์ โบลซา  ( 1887 )) คือพื้นผิวรีมันน์ แบบกระชับ ที่มีจีนัส โดยมีลำดับสูงสุดที่เป็นไปได้ของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบคอน ฟอร์มอล ในจีนัสนี้ กล่าวคือลำดับ 48 ( กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของเมทริกซ์เหนือฟิลด์จำกัด ) กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมแบบเต็ม (รวมถึงการสะท้อน) คือผลคูณกึ่งตรงลำดับ 96 ( GAPระบุกลุ่มทั้งสองนี้ว่าเป็น SmallGroup(48,29) และ SmallGroup(96,193)) แบบจำลองเชิงเส้นสำหรับพื้นผิวโบลซาสามารถหาได้จากตำแหน่งของสมการ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle GL_{2}(3)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

พื้นผิวโบลซา (Bolza surface) คือส่วนเติมเต็มเรียบของเส้นโค้งเชิงเส้นตรงนี้ เส้นโค้งโบลซายังเกิดขึ้นจากการปกคลุมสองชั้นแบบแตกแขนงของทรงกลมรีมันน์ (Riemann sphere ) โดยมีจุดแตกแขนงอยู่ที่จุดยอดทั้งหกของทรงแปดเหลี่ยม ปกติ ที่จารึกอยู่ภายในทรงกลม สามารถเห็นได้จากสมการข้างต้น เนื่องจากด้านขวามือมีค่าเป็นศูนย์หรืออนันต์ที่จุดทั้งหกจุด ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle x=0,1,i,-1,-i,\infty }$

พื้นผิว Bolza ได้รับความสนใจจากนักฟิสิกส์ เนื่องจากเป็นแบบจำลองที่ค่อนข้างง่ายสำหรับความโกลาหลควอนตัมในบริบทนี้ มักจะเรียกว่าแบบจำลอง Hadamard–Gutzwiller [ ^{1 ] ทฤษฎี}สเปกตรัมของตัวดำเนินการ Laplace–Beltramiที่กระทำกับฟังก์ชันบนพื้นผิว Bolza เป็นที่สนใจของทั้งนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ เนื่องจากมีการคาดการณ์ว่าพื้นผิวนี้จะทำให้ค่าไอเกน บวกแรก ของ Laplacian มีค่าสูงสุดในบรรดาพื้นผิว Riemann ปิดขนาดกะทัดรัดทั้งหมด ที่มีจีนัส และมี ความโค้งลบคงที่ เวกเตอร์ไอเกนของตัวดำเนินการ Laplace-Beltrami เป็นอนาล็อกควอนตัมของวงโคจรแบบคาบ และในฐานะที่เป็นอนาล็อกแบบคลาสสิกของการคาดการณ์นี้ เป็นที่ทราบกันว่าในบรรดาพื้นผิวไฮเปอร์โบลิกจีนัสทั้งหมด พื้นผิว Bolza จะทำให้ความยาวของจีโอเดสิกปิดที่สั้นที่สุดหรือซิสโทล มีค่าสูงสุด ( Schmutz 1993 ) ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$

พื้นผิวโบลซาเทียบเท่าเชิงคอนฟอร์มัลกับพื้นผิวสามเหลี่ยม – ดูสามเหลี่ยมชวาร์ซโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มฟุคเซียนที่กำหนดพื้นผิวโบลซาเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่มีมุมกลุ่มของไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางเป็นกลุ่มย่อยของ กลุ่มย่อย ดัชนี 2 ของกลุ่มการสะท้อน ซึ่งประกอบด้วยผลคูณของการสะท้อนจำนวนคู่ ซึ่งมีการนำเสนอเชิงนามธรรมในแง่ของตัวสร้างและความสัมพันธ์เช่นกันกลุ่มฟุคเซียนที่กำหนดพื้นผิวโบลซายังเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสามเหลี่ยม (3,3,4) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 ในกลุ่มสามเหลี่ยมกลุ่มนี้ไม่มีการรับรู้เป็นผลหารลำดับของกลุ่มองค์ประกอบบรรทัดฐานของพีชคณิตควอเทอร์เนียน แต่กลุ่มนี้มี ${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle (2,3,8)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (3,3,4)}$

ภายใต้การกระทำของบนจานปวงกาเรโดเมนพื้นฐานของพื้นผิวโบลซาคือรูปแปดเหลี่ยมปกติที่มีมุมและจุดอยู่ที่ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

โดยที่. ด้านตรงข้ามของรูปแปดเหลี่ยมถูกระบุภายใต้การกระทำของกลุ่มฟุคเซียน ตัวสร้างของกลุ่มนี้คือเมทริกซ์ ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{พีเมทริกซ์}},}$

โดยที่และรวมถึงตัวผกผันของพวกมัน ตัวสร้างเป็นไปตามความสัมพันธ์ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

เครื่องกำเนิดเหล่านี้เชื่อมต่อกับสเปกตรัมความยาวซึ่งเป็นเซตของความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดของวงรอบทางเรขาคณิต ความยาวที่สั้นที่สุดดังกล่าวเรียกว่าซิสโทลของพื้นผิว ซิสโทลของพื้นผิวโบลซาคือ

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

องค์ประกอบของสเปกตรัมความยาวสำหรับพื้นผิวโบลซาถูกกำหนด โดย${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle \ell _{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

โดยที่วิ่งผ่านจำนวนเต็มบวก (แต่ไม่รวม 4, 24, 48, 72, 140 และค่าที่สูงกว่าต่างๆ) ( Aurich, Bogomolny & Steiner 1991 ) และเป็นจำนวนเต็มคี่ที่ไม่ซ้ำกันซึ่งทำให้ มีค่าน้อยที่สุด ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert mn{\sqrt {2}}\vert .}$

สามารถหาฟอร์มปิดที่เทียบเท่าของซิสโทลได้โดยตรงจากกลุ่มสามเหลี่ยม มี สูตรในการคำนวณความยาวด้านของสามเหลี่ยม (2,3,8) อย่างชัดเจน ซิสโทลมีค่าเท่ากับสี่เท่าของความยาวด้านของด้านกลางในสามเหลี่ยม (2,3,8) นั่นคือ

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

ความยาวทางเรขาคณิตยังปรากฏอยู่ในพิกัดเฟนเชล-นีลเซนของพื้นผิวด้วย ชุดพิกัดเฟนเชล-นีลเซนสำหรับพื้นผิวที่มีจีนัส 2 ประกอบด้วยสามคู่ โดยแต่ละคู่เป็นความยาวและการบิด อาจกล่าวได้ว่าชุดพิกัดที่ง่ายที่สุดสำหรับพื้นผิวโบลซาคือโดย ที่${\displaystyle \ell _{n}}$${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

นอกจากนี้ยังมีชุดพิกัด "สมมาตร" ซึ่งความยาวทั้งสามเป็นซิสโทลและการบิดทั้งสามจะกำหนดโดย^{[ 2 ]}${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

สมมาตรของพื้นผิวโบลซา (Bolza surface) สามารถเข้าใจได้ในแง่ของการปูพื้นผิวด้วยรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกด้านเท่า 16 รูป โดยมี 8 รูปต่อจุดยอด หากเราเลือกสามเหลี่ยมรูปใดรูปหนึ่งจาก 16 รูปนั้น เรียกว่า T สมมาตรใดๆ ของพื้นผิวโบลซาจะต้องถ่ายทอด T ไปยังสามเหลี่ยมรูปใดรูปหนึ่งใน 16 รูปนั้น (อาจจะเป็นตัวมันเอง) เรียกว่าสามเหลี่ยมรูป T' สามเหลี่ยม T สามารถแปลงไปเป็น T' ได้ใน 6 วิธีที่รักษาระยะห่างไว้ ซึ่งแต่ละวิธีเป็นไปตามการเรียงสับเปลี่ยนจุดยอดของมัน แสดงให้เห็นว่ามีสมมาตรทั้งหมด 6×16 = 96 แบบ

หนึ่งในตัวเลือกทั่วไปของโดเมนพื้นฐานสำหรับพื้นผิวโบลซาคือรูปแปดเหลี่ยมปกติในจานปวงกาเร โดยการกระทำสมมาตรทั้งสี่ที่สร้างกลุ่มสมมาตร (แบบเต็ม) มีดังนี้:

• R – การหมุนลำดับที่ 8 รอบจุดศูนย์กลางของรูปแปดเหลี่ยม;
• S – การสะท้อนในเส้นจำนวนจริง;
• T – การสะท้อนที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งใน 16 (4,4,4) รูป ที่ปูรูปแปดเหลี่ยม
• U – การหมุนลำดับที่ 3 รอบจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยม (4,4,4)

สิ่งเหล่านี้แสดงด้วยเส้นหนาในรูปด้านข้าง โดยเป็นไปตามความสัมพันธ์ชุดต่อไปนี้:

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RURU=SUSU=R^{7}USTU=R^{4}UR^{4}U^{2}=e\rangle ,}$

การกระทำที่ไม่สำคัญ (เอกลักษณ์) อยู่ ที่ไหนความสัมพันธ์เก้าข้อแรกนั้นจะนำรูปแปดเหลี่ยมที่แสดงไว้ไปยังตัวมันเอง แต่ความสัมพันธ์ข้อสุดท้ายจะนำไปยังรูปแปดเหลี่ยมข้างเคียงที่ใช้ขอบร่วมกัน เราอาจใช้ชุดความสัมพันธ์นี้ในGAPเพื่อดึงข้อมูลเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนของกลุ่ม (ซึ่งGAPระบุว่าเป็น SmallGroup(96,193)) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้สี่แบบในมิติเดียว สองแบบในมิติสอง แบบในมิติสามแบบสี่แบบ และแบบในมิติสี่แบบสามแบบ และ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

เป็นไปตามที่คาดไว้

การนำเสนออีกรูปแบบหนึ่งของกลุ่มสมมาตรแบบเต็มเริ่มต้นด้วยกลุ่มสามเหลี่ยม โดยให้s , lและhแทนการพลิกผ่านด้านสั้น ด้านยาว หรือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม กลุ่มสมมาตรแบบเต็มคือ ${\displaystyle \เดลต้า (2,3,8)}$

${\displaystyle \langle s,l,h\mid s^{2}=l^{2}=h^{2}=(sl)^{2}=(sh)^{3}=(lh)^{8}=(sh(lh)^{3})^{2}=e\rangle ,}$

โดยที่ความสัมพันธ์สุดท้ายนั้น ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นจริงในกลุ่มสามเหลี่ยมสมบูรณ์ จะเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางจีโอเดสิกซึ่งมีความยาวเท่ากับซิสโทล ${\displaystyle \ell _{1}}$

ในที่นี้ ทฤษฎีสเปกตรัมหมายถึงสเปกตรัมของตัวดำเนินการลาปลาเซียนปริภูมิไอเกนแรก (นั่นคือ ปริภูมิไอเกนที่สอดคล้องกับค่าไอเกนบวกตัวแรก) ของพื้นผิวโบลซาเป็นสามมิติ และปริภูมิไอเกนที่สองเป็นสี่มิติ ( Cook 2018 ), ( Jenni 1981 ) เชื่อกันว่าการตรวจสอบการรบกวนของเส้นโหนดของฟังก์ชันในปริภูมิไอเกนแรกในปริภูมิไทช์มุลเลอร์จะให้ผลลัพธ์ตามที่คาดการณ์ไว้ในบทนำ การคาดการณ์นี้อิงจากการคำนวณเชิงตัวเลขอย่างกว้างขวางของค่าไอเกนของพื้นผิวและพื้นผิวอื่นๆ ที่มีจีนัส 2 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สเปกตรัมของพื้นผิวโบลซาเป็นที่ทราบกันดีว่ามีความแม่นยำสูงมาก ( Strohmaier & Uski 2013 ) ตารางต่อไปนี้แสดงค่าไอเกนบวกสิบค่าแรกของพื้นผิวโบลซา ${\displaystyle \Delta }$

การคำนวณเชิงตัวเลขของค่าไอเกนบวกสิบค่าแรกของพื้นผิวโบลซา

ค่าลักษณะเฉพาะ	ค่าตัวเลข	ความหลากหลาย
${\displaystyle \lambda _{0}}$	0	1
${\displaystyle \lambda _{1}}$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
${\displaystyle \lambda _{2}}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
${\displaystyle \lambda _{3}}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
${\displaystyle \lambda _{4}}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
${\displaystyle \lambda _{5}}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
${\displaystyle \lambda _{6}}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
${\displaystyle \lambda _{7}}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
${\displaystyle \lambda _{8}}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
${\displaystyle \lambda _{9}}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
${\displaystyle \lambda _{10}}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

ค่าดีเทอร์มิแนนต์สเปกตรัมและพลังงานแคซิเมียร์ ของพื้นผิวโบลซาคือ ${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

และ

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

ตามลำดับ โดยเชื่อว่าทศนิยมทุกตำแหน่งนั้นถูกต้อง มีการคาดการณ์ว่าค่าดีเทอร์มิแนนต์สเปกตรัมจะมีค่าสูงสุดในจีนัส 2 สำหรับพื้นผิวโบลซา

วาไรตี้จาโคเบียนของเส้นโค้งโบลซาเป็นผลคูณของ เส้น โค้งวงรี สองชุด ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [{\sqrt {-2}}]}$

พีชคณิตควอเทอร์เนียนที่อธิบายกลุ่มสามเหลี่ยมสามารถถือได้ว่าเป็นพีชคณิตที่สร้างขึ้นจากพีชคณิตแบบสมาคมโดยตัวสร้างi, jและความสัมพันธ์ ${\displaystyle (3,3,4)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

ด้วยการเลือกคำสั่งที่ เหมาะสม ^{[ 4 ]}

• เส้นโค้งไฮเปอร์อิลิปติก
• ไคลน์ควอติก
• เส้นโค้งของ Bring
• พื้นผิวแมคบีธ
• แฝดสามแรกของฮูร์วิตซ์