ในทางเรขาคณิตดิสก์( หรือเขียนว่าdisc ) ^{[ 1 ]}คือบริเวณในระนาบที่ล้อมรอบด้วยวงกลมดิสก์จะเรียกว่าปิดได้หากมีวงกลมที่เป็นขอบเขตอยู่ภายใน และจะเรียกว่าเปิดได้หากไม่มี วงกลมที่เป็นขอบเขตอยู่ภายใน ^{[ 2 ]}

สำหรับรัศมี n หนึ่งๆวงกลมเปิดมักจะใช้สัญลักษณ์และวงกลมปิดจะใช้สัญลักษณ์อย่างไรก็ตาม ในสาขาโทโพโลยีวงกลมปิดมักจะใช้สัญลักษณ์ในขณะที่วงกลมเปิดจะใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle r}$${\displaystyle D_{r}}$${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$

ในพิกัดคาร์ทีเซียนดิสก์เปิดที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีRกำหนดโดยสูตร^{[ 1 ]} ในขณะที่ดิสก์ปิดที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเดียวกันกำหนดโดย ${\displaystyle (a,b)}$$${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\},}$$$${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}$$

พื้นที่ของวงกลมปิดหรือวงกลมเปิดที่มีรัศมี^Rคือ π R² (ดูพื้นที่ของวงกลม ) ^{[ 3 ]}

แผ่นดิสก์มีสมมาตรแบบวงกลม^{[ 4 ]}

ดิสก์เปิดและดิสก์ปิดไม่สมมูลกันทางโทโพโลยี (กล่าวคือ ไม่เป็นโฮโมมอร์ฟิกกัน ) เนื่องจากมีคุณสมบัติทางโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ดิสก์ปิดทุกอันเป็นดิสก์กระชับในขณะที่ดิสก์เปิดทุกอันไม่ใช่ดิสก์กระชับ^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของโทโพโลยีเชิงพีชคณิตพวกมันมีคุณสมบัติร่วมกันหลายอย่าง ทั้งสองสามารถหดตัวได้^{[ 6 ]}และดังนั้นจึงสมมูลกันทางโฮโมโทปีกับจุดเดียว ซึ่งหมายความว่ากลุ่มพื้นฐาน ของพวกมัน เป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ และกลุ่มโฮโมโลยี ทั้งหมด เป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ ยกเว้นกลุ่มที่ 0 ซึ่งสมมูลกับZ ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของจุด (และดังนั้นจึงรวมถึงของดิสก์ปิดหรือดิสก์เปิดด้วย) คือ 1 ^{[ 7 ]}

แผนที่ต่อเนื่องทุก แผนที่ จากดิสก์ปิดไปยังตัวมันเองมีจุดตรึง อย่างน้อยหนึ่งจุด (เราไม่จำเป็นต้องให้แผนที่นั้นเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือแบบทั่วถึง ) นี่คือกรณีn = 2 ของทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer [ ^{8 ]}ข้อความนี้เป็นเท็จสำหรับดิสก์เปิด^{: [ 9 ]}

ลองพิจารณาฟังก์ชัน ที่แมปทุกจุดบนวงกลมหน่วยเปิดไปยังอีกจุดหนึ่งบนวงกลมหน่วยเปิดทางด้านขวาของจุดที่กำหนด แต่สำหรับวงกลมหน่วยปิด ฟังก์ชันนี้จะตรึงทุกจุดไว้บนครึ่งวงกลม${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

การแจกแจงแบบเอกรูปบนวงกลมหน่วยนั้นพบได้บ้างในทางสถิติ โดยส่วนใหญ่จะพบในงานวิจัยเชิงปฏิบัติการในคณิตศาสตร์การวางผังเมือง ซึ่งอาจใช้ในการจำลองประชากรภายในเมือง การใช้งานอื่นๆ อาจใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็น1การแจกแจงที่ง่ายต่อการคำนวณความน่าจะเป็นที่ชุดอสมการเชิงเส้นที่กำหนดจะเกิดขึ้น ( การแจกแจงแบบเกาส์เซียนในระนาบต้องใช้การคำนวณเชิงตัวเลข )

"การให้เหตุผลอันชาญฉลาดโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน" แสดงให้เห็นว่าระยะทางยูคลิด เฉลี่ย ระหว่างสองจุดบนวงกลมคือ⁠128/45π⁠ ≈ 0.90541 , ^{[ 10 ]} ในขณะที่การ รวม โดยตรงในพิกัดเชิงขั้วแสดงให้เห็นว่าระยะทางกำลังสองเฉลี่ยคือ 1

ถ้าเรากำหนดตำแหน่งใดๆ ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะqเราก็สนใจที่จะหาค่าเฉลี่ยระยะทางb ( q ) จากจุดต่างๆ ในการกระจายไปยังตำแหน่งนี้ และค่าเฉลี่ยกำลังสองของระยะทางดังกล่าวด้วย ค่า ^หลังนี้สามารถคำนวณได้โดยตรงจากq² + ⁠1/2⁠ .

ในการหาb ( q )เราจำเป็นต้องพิจารณาแยกกันในกรณีที่ตำแหน่งอยู่ภายในหรือภายนอก กล่าวคือในกรณีที่q ≶ 1และเราพบว่าในทั้งสองกรณี ผลลัพธ์สามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์เชิงวงรีที่สมบูรณ์เท่านั้น

หากเราพิจารณาตำแหน่งภายใน เป้าหมายของเรา (โดยดูจากแผนภาพ) คือการคำนวณค่าที่คาดหวังของrภายใต้การแจกแจงที่มีความหนาแน่นเป็น⁠1/πสำหรับ 0 ≤ r ≤ s (θ)โดยทำการอินทิเกรตในพิกัดเชิงขั้วที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตำแหน่งคงที่ซึ่งพื้นที่ของเซลล์คือ r d r dθ  ดังนั้น $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

ที่นี่s (θ)สามารถหาได้ในรูปของqและθโดยใช้กฎของโคไซน์ขั้นตอนที่จำเป็นในการประเมินอินทิกรัล พร้อมด้วยเอกสารอ้างอิงหลายฉบับ จะพบได้ในบทความของ Lew et al.; ^{[ 10 ]}ผลลัพธ์คือ โดย ที่KและEเป็นอินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง^{[ 11 ]} b (0) = ⁠$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$2/3; b (1) = ⁠32/9π⁠ ≈ 1.13177 .

เมื่อพิจารณาตำแหน่งภายนอก เราสามารถตั้งค่าอินทิกรัลในลักษณะเดียวกันได้ โดยครั้งนี้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ โดยที่กฎของโคไซน์บอกเราว่าs ₊ (θ)และs _– (θ)เป็นรากของsในสมการ ดังนั้น เราอาจแทนu = q sinθเพื่อให้ได้ โดยใช้อินทิกรัลมาตรฐาน^{[ 12 ]}$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

ดังนั้นb (1) = ⁠ อีกครั้ง32/9πในขณะเดียวกัน ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

• ดิสก์หน่วยคือดิสก์ที่มีรัศมีหนึ่ง
• แอนนูลัส (คณิตศาสตร์)คือ บริเวณระหว่างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน
• ลูกบอล (คณิตศาสตร์)เป็นคำที่ใช้เรียกโดยทั่วไปสำหรับวัตถุสามมิติที่มีลักษณะคล้ายแผ่นดิสก์
• พีชคณิตดิสก์คือปริภูมิของฟังก์ชันบนดิสก์
• ส่วนโค้งวงกลม
• ดิสก์ออร์โธเซนทรอยด์ซึ่งประกอบด้วยจุดศูนย์กลางบางจุดของรูปสามเหลี่ยม