ในแคลคูลัสเชิง อินทิ กรัล อินทิกรัลเชิงวงรีเป็นหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจำนวนหนึ่งซึ่งนิยามว่าเป็นค่าของอินทิกรัลบางประเภท ซึ่งได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยจูลิโอ ฟาญาโนและเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ( ประมาณค.ศ. 1750 ) ชื่อของฟังก์ชันเหล่านี้มีที่มาจากความเกี่ยวข้องกับปัญหาการหาความยาวส่วนโค้งของวงรี

คณิตศาสตร์สมัยใหม่ให้นิยาม "ปริพันธ์เชิงวงรี" ว่าเป็นฟังก์ชันf ใดๆ ที่สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

โดยที่Rเป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปรสองตัวPเป็นพหุนามดีกรี 3 หรือ 4 ที่ไม่มีรากซ้ำ และcเป็นค่าคงที่

โดยทั่วไป อินทิกรัลในรูปแบบนี้ไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ ข้อยกเว้นสำหรับกฎทั่วไปนี้คือ เมื่อPมีรากซ้ำ เมื่อR ( x , y )ไม่มีกำลังคี่ของyและเมื่ออินทิกรัลเป็นแบบซูโดอิลิปติก อย่างไรก็ตาม ด้วยสูตรการลดรูป ที่เหมาะสม อินทิกรัลเชิงวงรีทุกตัวสามารถนำมาอยู่ในรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลเหนือฟังก์ชันตรรกยะและ รูปแบบแคนอนิกเลอจองเดอร์ทั้งสาม รูปแบบ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าอินทิกรัลเชิงวงรีชนิดที่หนึ่ง สอง และสาม

นอกจากรูปแบบเลอจองเดอร์ที่แสดงไว้ด้านล่างแล้ว อินทิกรัลเชิงวงรีอาจแสดงในรูปแบบสมมาตรของคาร์ลสัน ได้เช่นกัน การศึกษา การแมปของชวาร์ซ-คริสตอฟเฟลจะช่วยให้เข้าใจทฤษฎีของอินทิกรัลเชิงวงรีได้ดียิ่งขึ้นในอดีต ฟังก์ชัน เชิงวงรีถูกค้นพบว่าเป็นฟังก์ชันผกผันของอินทิกรัลเชิงวงรี

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ในขณะที่อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ตัวแปรเหล่านี้สามารถแสดงได้หลายวิธีที่แตกต่างกัน แต่ให้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากัน เนื่องจากให้ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลเชิงวงรีเดียวกัน ตำราส่วนใหญ่ยึดตามระบบการตั้งชื่อมาตรฐาน โดยใช้หลักการตั้งชื่อดังต่อไปนี้

เพื่อแสดงเหตุผลข้อหนึ่ง:

• αคือมุมโมดูลาร์
• k = sin αซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ความเยื้องศูนย์หรือ ค่า สัมประสิทธิ์ความเยื้องศูนย์ เชิงวงรี
• m = k ² = sin ² α ,พารามิเตอร์

ปริมาณทั้งสามข้างต้นนั้นสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์โดยปริมาณอื่น ๆ (โดยมีเงื่อนไขว่าปริมาณเหล่านั้นต้องเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ) ดังนั้นจึงสามารถใช้แทนกันได้

อาร์กิวเมนต์อีกตัวหนึ่งสามารถแสดงได้เช่นเดียวกันในรูปφ ซึ่งเป็นแอ มพลิจูดหรือในรูปxหรือuโดยที่x = sin φ = sn uและsnคือหนึ่งในฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobian

การระบุค่าของปริมาณใดปริมาณหนึ่งเหล่านี้จะกำหนดค่าของปริมาณอื่นๆ โปรดทราบว่าuยังขึ้นอยู่กับmด้วย ความสัมพันธ์เพิ่มเติมบางประการที่เกี่ยวข้องกับuได้แก่ $${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

ค่าหลังนี้บางครั้งเรียกว่าแอมพลิจูดเดลต้าและเขียนเป็นΔ( φ ) = dn uบางครั้งในเอกสารทางวิชาการก็กล่าวถึงพารามิเตอร์เสริมโมดูลัสเสริมหรือมุมโมดูลาร์เสริมซึ่งจะมีการอธิบายเพิ่มเติมในบทความเกี่ยวกับช่วงเวลาหนึ่งในสี่

ในสัญลักษณ์นี้ การใช้เครื่องหมายขีดแนวตั้งเป็นตัวคั่นแสดงว่าตัวแปรที่ตามมาคือ "พารามิเตอร์" (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) ในขณะที่เครื่องหมายแบ็กสแลชแสดงว่าเป็นมุมโมดูลาร์ การใช้เครื่องหมายเซมิโคลอนแสดงว่าตัวแปรที่อยู่ข้างหน้าคือค่าไซน์ของแอมพลิจูด การใช้ตัวคั่นตัวแปรที่แตกต่างกันซึ่งอาจทำให้สับสนนี้เป็นธรรมเนียมปฏิบัติในปริพันธ์เชิงวงรี และสัญลักษณ์ส่วนใหญ่เข้ากันได้กับที่ใช้ในหนังสืออ้างอิงของAbramowitz และ Stegunและที่ใช้ในตารางปริพันธ์ของGradshteyn และ Ryzhik $${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha )}$$

ยังมีธรรมเนียมการเขียนสัญลักษณ์สำหรับอินทิกรัลเชิงวงรีอื่นๆ ที่ใช้ในเอกสารทางวิชาการ สัญลักษณ์ที่มีการสลับตัวแปรF ( k , φ )มักพบเห็นได้บ่อย และในทำนองเดียวกันE ( k , φ )สำหรับอินทิกรัลชนิดที่สองAbramowitz และ Stegunแทนที่อินทิกรัลชนิดแรกF ( φ , k ) ด้วย ตัวแปรφ ในนิยามของอินทิกรัลชนิดที่สองและ ชนิดที่สาม เว้นแต่ว่าตัวแปรนั้นจะตามด้วยเครื่องหมายขีดแนวตั้ง เช่นE ( F ( φ , k )| k² )แทนE ( φ | k² ⁾ ยิ่งไปกว่านั้น อินทิกรั ล ที่สมบูรณ์ ^ของพวกเขาใช้พารามิเตอร์k²เป็นตัวแปรแทนค่าสัมบูรณ์kเช่นK ( k² ⁾แทนที่จะ^เป็นK ( k )และปริพันธ์ชนิดที่สามที่กำหนดโดยGradshteyn และ Ryzhik , Π( φ , n , k ) , จะวางแอมพลิจูดφไว้ก่อน ไม่ใช่ "ลักษณะเฉพาะ" n

ดังนั้นจึงต้องระมัดระวังในการใช้สัญลักษณ์เมื่อใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ เพราะเอกสารอ้างอิงและซอฟต์แวร์ที่มีชื่อเสียงหลายแห่งใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกันในการกำหนดความหมายของฟังก์ชันเชิงวงรี ตัวอย่างเช่น ซอฟต์แวร์ MathematicaของWolframและWolfram Alpha กำหนดความหมายของ ปริพันธ์ เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกโดยใช้พารามิเตอร์mแทนที่จะใช้โมดูลัสเชิงวงรีk

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดแรกFถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

นี่คือรูปแบบตรีโกณมิติของเลอจองเดอร์สำหรับอินทิกรัลเชิงวงรี เมื่อแทนค่าt = sin θและx = sin φจะได้รูปแบบพีชคณิตของจาโคบี:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ในแง่ของแอมพลิจูดและมุมโมดูลาร์จะได้ดังนี้: $${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

เมื่อx = sn( u , k )จะได้ว่า: ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobian นี้เป็นอินเวอร์สอย่างง่ายของปริพันธ์เชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดแรก $${\displaystyle F(x;k)=u;}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดแรกมีทฤษฎีบทการบวกดังต่อไปนี้: $${\displaystyle F\left[\arctan(x),k\right]+F\left[\arctan(y),k\right]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

ค่าสัมประสิทธิ์วงรีสามารถแปลงได้ด้วยวิธีนั้น: $${\displaystyle F\left[\arcsin(x),k\right]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดที่สองEในรูปแบบตรีโกณมิติของเลอจองเดอร์คือ

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

เมื่อแทนค่าt = sin θและx = sin φจะได้รูปแบบพีชคณิตของ Jacobi ดังนี้:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

ในทำนองเดียวกัน ในแง่ของแอมพลิจูดและมุมโมดูลาร์: $${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีได้แก่ $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

ความยาว ส่วนโค้งเมริเดียนจากเส้นศูนย์สูตรถึงละติจูดφ เขียนได้ในรูปของEโดย ที่aคือแกนกึ่งเอกและeคือค่าความเยื้องศูนย์กลาง $${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดที่สองมีทฤษฎีบทการบวกดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[1ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}$$

ค่าสัมประสิทธิ์วงรีสามารถแปลงได้ด้วยวิธีนั้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดที่สามΠคือ $${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

หรือ

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

ตัวเลขnเรียกว่าลักษณะเฉพาะและสามารถรับค่าใดก็ได้ โดยไม่ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์อื่นๆ อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าค่าΠ(1; ⁠π/2⁠ | m )มีค่าเป็นอนันต์ สำหรับ m ใด ๆ

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคเบียนคือ $${\displaystyle \Pi \left(n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k\right)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

ความยาวส่วนโค้งของเส้นเมริเดียนจากเส้นศูนย์สูตรถึงละติจูดφยังมีความสัมพันธ์กับกรณีพิเศษของΠ ด้วย :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

กล่าวได้ว่าปริพันธ์เชิงวงรีนั้น 'สมบูรณ์' เมื่อแอมพลิจูดφ = ⁠π/2และด้วยเหตุนี้ x = 1อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกKจึงสามารถนิยามได้ดังนี้ หรือ นิยาม ให้กระชับยิ่งขึ้นโดยใช้อินทิกรัลไม่สมบูรณ์ชนิดแรกดังนี้ $${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$$${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

สามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมกำลัง$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(P_{2n}(0)\right)^{2}k^{2n},}$$

โดยที่P _nคือพหุนามเลอจองเดอร์ซึ่งเทียบเท่ากับ

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

โดยที่n !!หมายถึงแฟกทอเรียลคู่ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของเกาส์ อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกบางครั้งเรียกว่าช่วงเวลาหนึ่งในสี่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากในแง่ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์จึงสามารถแปลงได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K{\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}\end{aligned}}}$$

นิพจน์นี้ใช้ได้กับทุกค่า ของ k โดยที่0 ≤ k ≤ 1 : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

ถ้าk ² = λ ( i √ r )และ(โดยที่λคือฟังก์ชันแลมบ์ดาโมดูลาร์ ) แล้วK ( k )สามารถแสดงได้ในรูปแบบปิดโดยใช้ฟังก์ชันแกมมา^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่นr = 2 , r = 3และr = 7จะให้ผลลัพธ์ดังนี้ตามลำดับ^{[ 3 ]}${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$

$${\displaystyle K{\left({\sqrt {2}}-1\right)}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{8}}\right)}\Gamma {\left({\frac {3}{8}}\right)}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}}{8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\pi }}}},}$$

และ

$${\displaystyle K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {1}{8\pi }}{\sqrt[{4}]{3}}\,{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}$$

และ

$${\displaystyle K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)\Gamma \left({\frac {4}{7}}\right)}{4{\sqrt[{4}]{7}}\pi }}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขที่ว่า อยู่ในฟิลด์กำลังสองจินตนาการ^{[หมายเหตุ 1 ]}ก็เพียงพอแล้ว^{[ 4 ] [ 5 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้าk = e ^{5 πi /6}แล้ว⁠$${\displaystyle {\frac {iK'}{K}}={\frac {iK\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{K(k)}}}$$iK ′/เค⁠ = e ^{2 πi /3}และ ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle K{\left(e^{5\pi i/6}\right)}={\frac {e^{-\pi i/12}\Gamma ^{3}{\left({\frac {1}{3}}\right)}{\sqrt[{4}]{3}}}{4{\sqrt[{3}]{2}}\pi }}.}$$

สูตรที่สองข้างต้น ซึ่งเขียนเป็นสามารถเติมเต็มได้ด้วยสมการ 5 สมการที่แสดงว่าเป็นคาบสำหรับตัวหารคู่ทั้งหมดของ: ${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}=2^{7/3}\,3^{-1/4}\,K{\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{k}}\right)^{k/2}}{\sqrt {\pi }}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 24}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}&=4\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)^{3}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{11/3}\cdot 3\cdot K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)^{4}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{17/2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)^{2}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)^{6}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{55/6}\,3^{7/4}\,({\sqrt {3}}+1)^{3}\,K\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{2}\,K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{24}}\right)^{12}}{\sqrt {\pi }}}&=2^{89/3}3^{25/4}({\sqrt {2}}+1)^{6}({\sqrt {3}}-1)^{3}K\!\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{3}K\!\left({\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)^{4}K\!\left((2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})\right)^{6}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle K\left(k\right)\approx {\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{8}}{\frac {k^{2}}{1-k^{2}}}-{\frac {\pi }{16}}{\frac {k^{4}}{1-k^{2}}}}$$ การประมาณค่านี้มีความแม่นยำสัมพัทธ์ดีกว่า3 × 10 ⁻⁴สำหรับk < ⁠1/2การเก็บเฉพาะสองพจน์แรกนั้นถูกต้องด้วยความแม่นยำ 0.01สำหรับk < ⁠1/2⁠ .

สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับปริพันธ์เชิงวงรีชนิดแรกคือ $${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=k\,K(k)}$$

คำตอบที่สองของสมการนี้คือ. คำตอบนี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ ${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dk}}K(k)={\frac {E(k)}{k\left(1-k^{2}\right)}}-{\frac {K(k)}{k}}.}$$

การ ขยาย เศษส่วนต่อเนื่องคือ: ^{[ 7 ]} โดยที่นามอยู่ในคำจำกัดความ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {K(k)}{2\pi }}&=-{\frac {1}{4}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\\&=-{\frac {1}{4}}+{\cfrac {1}{1-q+{\cfrac {\left(1-q\right)^{2}}{1-q^{3}+{\cfrac {q\left(1-q^{2}\right)^{2}}{1-q^{5}+{\cfrac {q^{2}\left(1-q^{3}\right)^{2}}{1-q^{7}+{\cfrac {q^{3}\left(1-q^{4}\right)^{2}}{1-q^{9}+\cdots }}}}}}}}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle q=q(k)=\exp[-\pi K'(k)/K(k)]}$

ในที่นี้ เราใช้ปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรกที่มีพารามิเตอร์ แทน เนื่องจากฟังก์ชันยกกำลังสองก่อให้เกิดปัญหาเมื่อทำการผกผันในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น ให้ และ ให้ เป็นฟังก์ชันทีตา ${\displaystyle m}$$${\displaystyle K[m]=\int _{0}^{\pi /2}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$$$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=2e^{\pi i\tau /4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0,}$$$${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}},\quad q=e^{\pi i\tau },\,\operatorname {Im} \tau >0}$$

จากนั้น สมการ สามารถหาคำตอบได้ (หากมีคำตอบอยู่) โดยใช้ ซึ่งก็คือฟังก์ชันแลมบ์ดาแบบโมดูลาร์นั่นเอง $${\displaystyle \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle m={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$$

เพื่อวัตถุประสงค์ในการคำนวณ การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดจะกำหนดโดย[ ^{8 ] โดย} ที่และ$${\displaystyle \left|{e}^{-\pi i\tau /4}\theta _{2}\!\left(\tau \right)-2\sum _{n=0}^{N-1}{q}^{n\left(n+1\right)}\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N\left(N+1\right)}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$$$${\displaystyle \left|\theta _{3}\!\left(\tau \right)-\left(1+2\sum _{n=1}^{N-1}{q}^{n^{2}}\right)\right|\leq {\begin{cases}{\frac {2{\left|q\right|}^{N^{2}}}{1-\left|q\right|^{2N+1}}},&\left|q\right|^{2N+1}<1\\\infty ,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\;}$$${\displaystyle N\in \mathbb {Z} _{\geq 1}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

และ ที่ไหนด้วย $${\displaystyle K[m]={\frac {\pi }{2}}\theta _{3}(\tau )^{2},\quad \tau =i{\frac {K[1-m]}{K[m]}}}$$${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

อินทิกรัลเชิงวงรี สมบูรณ์ชนิดที่สองEถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

หรือเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นโดยใช้ปริพันธ์ไม่สมบูรณ์ชนิดที่สองE ( φ , k )ดังนี้

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

สำหรับวงรีที่มีแกนกึ่งเอกaและแกนกึ่งรองbและความเยื้องศูนย์e = √ 1 − b ² / a ²ปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองE ( e )จะเท่ากับหนึ่งในสี่ของเส้นรอบวงCของวงรีที่วัดในหน่วยของแกนกึ่งเอกaกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองสามารถแสดงเป็นอนุกรมกำลังได้^{[ 9 ]}

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของเกาส์ อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

ค่าสัมบูรณ์สามารถแปลงได้ด้วยวิธีนั้น: $${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

เช่นเดียวกับอินทิกรัลชนิดแรก อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต^{[ 1 ]}

กำหนดลำดับa _nและg _nโดยที่a ₀ = 1 , g ₀ = √ 1 − k ² = k ′และความสัมพันธ์เวียนเกิดa _{n + 1} = ⁠แอ_น + เอ็น_​/2⁠ , g _{n + 1} = √ a _n g _n hold. นอกจากนี้ ให้กำหนด $${\displaystyle c_{n}={\sqrt {\left|a_{n}^{2}-g_{n}^{2}\right|}}.}$$

ตามนิยามแล้ว

$${\displaystyle a_{\infty }=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }g_{n}=\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right).}$$

อีกด้วย

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=0.}$$

แล้ว

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2a_{\infty }}}\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right).}$$

ในทางปฏิบัติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตจะคำนวณได้ง่ายๆ จนถึงขีดจำกัดบางอย่าง สูตรนี้ลู่เข้าแบบกำลังสองสำหรับทุก| k | ≤ 1เพื่อเร่งความเร็วในการคำนวณให้มากขึ้น ความสัมพันธ์c _{n + 1} = ⁠ซี_เอ็น ²/4 แอ_{น + 1}สามารถนำไปใช้ได้

นอกจากนี้ ถ้าk ² = λ ( i √ r )และ(โดยที่λคือฟังก์ชันแลมบ์ดาโมดูลาร์ ) แล้วE ( k )สามารถแสดงได้ในรูปแบบปิดในรูปของ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้พจน์ผลรวมอนันต์ ตัวอย่างเช่นr = 1 , r = 3และr = 7จะให้ผลลัพธ์ดังนี้^{[ 10 ]}${\displaystyle r\in \mathbb {Q} ^{+}}$$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}}$$

$${\displaystyle E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}={\frac {1}{2}}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+{\frac {\pi }{4K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}}},}$$

และ

$${\displaystyle E{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12K{\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}},}$$

และ

$${\displaystyle E\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)={\frac {7+2{\sqrt {7}}}{14}}K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)+{\frac {\pi {\sqrt {7}}}{28K\left({\frac {3-{\sqrt {7}}}{4{\sqrt {2}}}}\right)}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {dE(k)}{dk}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}$$$${\displaystyle \left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE(k)}$$

คำตอบที่สองของสมการนี้คือE ( √ 1 − k ² ) − K ( √ 1 − k ² )

อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สามΠสามารถนิยามได้ดังนี้

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

โปรดทราบว่าบางครั้งปริพันธ์เชิงวงรีชนิดที่สามจะถูกกำหนดโดยใช้เครื่องหมายผกผันสำหรับค่าลักษณะ เฉพาะ n$${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

เช่นเดียวกับอินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง อินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สามสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}&={\frac {1}{2\left(k^{2}-n\right)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}\left(k^{2}-n\right)K(k)+{\frac {1}{n}}\left(n^{2}-k^{2}\right)\Pi (n,k)\right)\\[8pt]{\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}&={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)\end{aligned}}}$$

ในปี ค.ศ. 1829 จาโคบีได้นิยามฟังก์ชันซีตาของจาโคบี ไว้ ว่า เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบต่ำสุดและมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน zn ของจาโคบีโดยในเอกสารทางวิชาการ (เช่น Whittaker และ Watson (1927)) บางครั้งหมายถึง ในวิกิพีเดียผู้เขียนบางคน (เช่น King (1924)) ใช้ สำหรับทั้ง ใน วิกิพีเดียและ$${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {zn} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {zn} }$

ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์หรือเอกลักษณ์เลอจองเดอร์แสดงความสัมพันธ์ของอินทิกรัล K และ E ของโมดูลัสวงรีและคู่ตรงข้ามที่เกี่ยวข้อง^{[ 11 ] [ 12 ]}ในสมการอินทิกรัลระดับที่สอง:

สำหรับโมดูลสองโมดูลที่เป็นคู่กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}+E(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}-K(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}={\frac {\pi }{2}}}$$

ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

สำหรับโมดูลสองโมดูลที่เป็นคู่ตรงข้ามกัน ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

$${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

ความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์สำหรับคู่โมดูลาร์สัมผัสเป็นผลโดยตรงจากเอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์สำหรับคู่โมดูลาร์พีทาโกเรียน โดยใช้การแปลงโมดูลาร์ของแลนเดนบนโมดูลัสเคาน์เตอร์พีทาโกเรียน

สำหรับกรณีเลมนิสกาติก ค่าสัมบูรณ์เชิงวงรีหรือค่าความเยื้องศูนย์จำเพาะ ε จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของรากที่สองของสอง เอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์สำหรับกรณีเลมนิสกาติกสามารถพิสูจน์ได้ดังนี้:

ตามกฎลูกโซ่อนุพันธ์เหล่านี้จะเป็นจริง:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(xy);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}$$

โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส เราสามารถสร้างสูตรเหล่านี้ได้:

$${\displaystyle K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$$$${\displaystyle 2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}=\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y}$$

การรวมเชิงเส้นของอินทิกรัลทั้งสองที่กล่าวถึงข้างต้นนำไปสู่สูตรต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-2E\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]+F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}\,+}$$$${\displaystyle +\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$$

โดยการสร้างอนุพันธ์ผกผันดั้งเดิมที่เกี่ยวข้องกับ x จากฟังก์ชันที่แสดงไว้ในปัจจุบันโดยใช้กฎผลคูณจะได้สูตรดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\left[2E{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}-2E{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}+F{\left(\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\right]\\[1ex]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\left[{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}\left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\mathrm {d} y\end{aligned}}}$$

หากแทนค่าลงในเอกลักษณ์เชิงปริพันธ์นี้ จะได้เอกลักษณ์ต่อไปนี้: ${\displaystyle x=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}K{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}\left[2\,E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\right]&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$$

นี่คือลักษณะของข้อความที่ตัดตอนมาจากอัตลักษณ์ของเลอฌองเดร:

$${\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}$$

ตอนนี้กรณีทั่วไปแบบโมดูลาร์^{[ 13 ] [ 14 ]}ได้ถูกดำเนินการแล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้ อนุพันธ์ของอินทิกรัลเชิงวงรีที่สมบูรณ์จะถูกหาได้หลังจากโมดูลัสแล้วจึงนำมารวมกัน จากนั้นจึงกำหนดสมดุลเอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์ ${\displaystyle \varepsilon }$

เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันวงกลมคือผลคูณเชิงลบของฟังก์ชันการแมปที่เหมือนกันและส่วนกลับของฟังก์ชันวงกลม:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}=-\,{\frac {\varepsilon }{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}$$

นี่คือค่าอนุพันธ์ของ K และ E ที่แสดงในบทความนี้ในส่วนด้านบน:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}\left[K(\varepsilon )-E(\varepsilon )\right]}$$

เมื่อนำมารวมกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันวงกลม อนุพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\left[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$

เอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์ครอบคลุมผลคูณของปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์สองตัวใดๆ สำหรับการหาอนุพันธ์ด้านฟังก์ชันจากมาตราส่วนสมการของเอกลักษณ์ของเลอจองเดอร์จะใช้ กฎผลคูณ ดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}\left[E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]}$$

จากสมการทั้งสามนี้ เมื่อนำสมการสองสมการบนมาบวกกันและลบด้วยสมการล่างจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left[K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})\right]=0}$$

เมื่อพิจารณาสมการสมดุลแล้ว ค่าที่ได้จะเป็นศูนย์เสมอ ${\displaystyle \varepsilon }$

ผลลัพธ์ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้จะถูกนำไปรวมกับสมการเลอจองเดอร์เพื่อหาค่าสัมบูรณ์ที่คำนวณได้ในส่วนก่อนหน้า: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle 2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)-K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}$$

การรวมสูตรสองสูตรสุดท้ายเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

เพราะถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อเนื่องมีค่าเป็นศูนย์เสมอ ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันคงที่ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้จะให้ค่าฟังก์ชันเดียวกันสำหรับทุกค่าแกน x และกราฟของฟังก์ชันนั้นจึงเป็นเส้นตรงแนวนอน ${\displaystyle \varepsilon }$