ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobiเป็นเซตของฟังก์ชันเชิงวงรี พื้นฐาน พบได้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มรวมถึงในการออกแบบตัวกรองเชิงวงรี อิเล็กทรอนิกส์ ในขณะที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดโดยอ้างอิงถึงวงกลม ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi เป็นการวางนัยทั่วไปที่อ้างอิงถึงภาคตัดกรวย อื่นๆ โดยเฉพาะวงรี ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันตรีโกณมิติมีอยู่ในสัญลักษณ์ เช่น โดยสัญลักษณ์ที่ตรงกันสำหรับฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi ถูกใช้บ่อยกว่าในปัญหาเชิงปฏิบัติมากกว่าฟังก์ชันเชิงวงรีของ Weierstrassเนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้แนวคิดของการวิเคราะห์เชิงซ้อนในการกำหนดและ/หรือทำความเข้าใจ ฟังก์ชันเหล่านี้ได้รับการแนะนำโดยCarl Gustav Jakob Jacobi  ( 1829 ) Carl Friedrich Gaussได้ศึกษาฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi พิเศษในปี 1797 โดยเฉพาะฟังก์ชันเชิงวงรีเลมนิสเคต^{[ 1 ]}แต่งานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในภายหลังมาก ${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \sin }$

มีฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi สิบสองฟังก์ชันซึ่งแสดงด้วย โดยที่และเป็นตัวอักษรใดๆ ก็ได้, , , และ(ฟังก์ชันในรูปแบบถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งอย่างง่ายๆ เพื่อความสมบูรณ์ของสัญลักษณ์) คืออาร์กิวเมนต์ และคือพารามิเตอร์ ซึ่งทั้งสองอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน อันที่จริง ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi เป็นฟังก์ชัน เมโรเมอร์ ฟิกทั้งในและ^{[ 2} ] การกระจายของศูนย์และขั้วใน ระนาบ ^นั้นเป็นที่รู้จักกันดี อย่างไรก็ตาม คำถามเกี่ยวกับการกระจายของศูนย์และขั้วในระนาบ ยังคงต้องได้รับการตรวจสอบ^{[ 2 ]}${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

ในระนาบเชิงซ้อนของอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันทั้งสิบสองฟังก์ชันสร้างโครงข่ายซ้ำของขั้วและศูนย์แบบง่าย^{[ 3 ]}ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ที่ซ้ำกันหนึ่งรูป หรือเซลล์หน่วย จะมีด้านยาวหรือบนแกนจริง และหรือบนแกนจินตนาการ โดยที่และเรียกว่าช่วงเวลาหนึ่งในสี่โดยที่เป็นปริพันธ์เชิงวงรีชนิดแรก ลักษณะของเซลล์หน่วยสามารถกำหนดได้โดยการตรวจสอบ "สี่เหลี่ยมผืนผ้าเสริม" (โดยทั่วไปคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดจากจุดกำเนิดที่มุมหนึ่ง และ เป็นมุมตรงข้ามในแนวทแยง ดังในแผนภาพ มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสริมมีชื่อว่า, , , และตามลำดับทวนเข็มนาฬิกาจากจุดกำเนิด ฟังก์ชันจะมีศูนย์ที่มุม และขั้วที่มุม ฟังก์ชันทั้งสิบสองฟังก์ชันสอดคล้องกับวิธีการจัดเรียงขั้วและศูนย์เหล่านี้ในมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสิบสองวิธี ${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 2K'}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle K(\cdot )}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (K,K')}$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$

เมื่ออาร์กิวเมนต์และพารามิเตอร์เป็นจำนวนจริง โดยที่และ จะเป็นจำนวนจริง และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสริมจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีทั้งหมดจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบนเส้นจำนวนจริง ${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$

เนื่องจากฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีเป็นฟังก์ชันคาบสองเท่าใน จึงสามารถแยกตัวประกอบผ่านทอรัสได้ กล่าวคือ โดเมนของฟังก์ชันสามารถถือได้ว่าเป็นทอรัส เช่นเดียวกับที่ฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ถูกกำหนดไว้บนวงกลม แทนที่จะมีวงกลมเพียงวงเดียว ตอนนี้เรามีผลคูณของวงกลมสองวง วงหนึ่งเป็นวงกลมจริงและอีกวงเป็นวงกลมจินตนาการ ระนาบเชิงซ้อนสามารถแทนที่ด้วยทอรัสเชิงซ้อนได้เส้นรอบวงของวงกลมวงแรกคือและวงที่สองคือ โดยที่และคือคาบหนึ่งในสี่แต่ละฟังก์ชันมีศูนย์สองตัวและขั้วสองตัวที่ตำแหน่งตรงข้ามกันบนทอรัส ในบรรดาจุด, ,มีศูนย์หนึ่งตัวและขั้วหนึ่ง ตัว${\displaystyle u}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K+iK'}$${\displaystyle iK'}$

ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกแบบคาบสองเท่าซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มีจุดศูนย์อย่างง่ายอยู่ที่มุมและมีจุดขั้วอย่างง่ายอยู่ที่  มุม${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$
• จำนวนเชิงซ้อนเท่ากับครึ่งหนึ่งของคาบของฟังก์ชันนั่นคือ ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคาบในทิศทางโดยมีคาบเท่ากับฟังก์ชันนี้ยังเป็นฟังก์ชันคาบในอีกสองทิศทางคือ และโดยมีคาบที่ทำให้และเป็นคาบหนึ่งในสี่${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} }$${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \mathrm {pp} '}$${\displaystyle \mathrm {pq} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

ฟังก์ชันวงรีจาโคบี${\displaystyle \operatorname {sn} }$

ฟังก์ชันวงรีจาโคบี${\displaystyle \operatorname {cn} }$

ฟังก์ชันวงรีจาโคบี${\displaystyle \operatorname {dn} }$

ฟังก์ชันวงรีจาโคบี${\displaystyle \operatorname {sc} }$

พล็อต ของฟังก์ชัน Jacobi Elliptic สี่ฟังก์ชันในระนาบเชิงซ้อนของ ซึ่งแสดงพฤติกรรมแบบคาบสองเท่า รูปภาพสร้างขึ้นโดยใช้เวอร์ชันของวิธีการระบายสีโดเมน^{[ 4 ]}ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ${\displaystyle u}$${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$${\displaystyle 0.8}$

ฟังก์ชันเชิงวงรีสามารถแสดงได้ในหลายรูปแบบ ซึ่งอาจทำให้เรื่องนี้ซับซ้อนโดยไม่จำเป็น ฟังก์ชันเชิงวงรีเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว ตัวแปรตัวแรกอาจแสดงในรูปของแอมพลิจูด หรือที่พบได้บ่อยกว่าคือในรูปของค่าที่แสดงด้านล่าง ตัวแปรตัวที่สองอาจแสดงในรูปของพารามิเตอร์หรือในรูปของโมดูลัสเชิงวงรีโดยที่หรือในรูปของมุมโมดูลัสโดยที่ส่วนเติมเต็มของและถูกกำหนดให้เป็นและคำศัพท์ทั้งสี่นี้จะถูกนำมาใช้ด้านล่างโดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม เพื่อทำให้การแสดงออกต่างๆ ง่ายขึ้น ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=m}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'=1-m}$${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีทั้งสิบสองฟังก์ชันโดยทั่วไปเขียนได้เป็น โดยที่และคือตัวอักษรใดๆ ก็ได้ใน, , , และฟังก์ชันในรูปแบบจะกำหนดให้มีค่าเท่ากับหนึ่งโดยอัตโนมัติเพื่อความสมบูรณ์ของสัญลักษณ์ ฟังก์ชัน "หลัก" โดยทั่วไปคือ, และซึ่งสามารถอนุมานฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้จากฟังก์ชันเหล่านี้ และนิพจน์มักจะเขียนโดยใช้ฟังก์ชันทั้งสามนี้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ความสมมาตรและการสรุปทั่วไปต่างๆ มักจะแสดงได้สะดวกที่สุดโดยใช้ชุดฟังก์ชันทั้งหมด (สัญลักษณ์นี้เป็นผลงานของกูเดอร์มันน์และเกลเชอร์ไม่ใช่สัญลักษณ์ดั้งเดิมของจาโคบี) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

ตลอดทั้งบทความนี้... ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

ฟังก์ชันเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันในเชิงสัญลักษณ์โดยใช้กฎการคูณ: (ละเว้นอาร์กิวเมนต์)

$${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$$

จากนั้นจึงสามารถอนุมานความสัมพันธ์อื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปได้:

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$$$${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$$$${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$$

กฎการคูณเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากการระบุฟังก์ชันวงรีกับฟังก์ชันเนวิลล์ทีตา^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$$ โปรดทราบด้วยว่า:

$${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$$

มีนิยามที่เชื่อมโยงฟังก์ชันเชิงวงรีกับอินเวอร์สของปริพันธ์เชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดแรก ฟังก์ชันเหล่านี้รับพารามิเตอร์และเป็นอินพุตซึ่งสอดคล้องกับ ${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle u=F(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$$

เรียกว่าแอมพลิจูดจาโคบี :

$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)=\varphi .}$$

ในกรอบนี้ ฟังก์ชันไซน์เชิงวงรี sn  u (ภาษาละติน: sinus amplitudinis ) กำหนดโดย

$${\displaystyle \operatorname {sn} (u|m)=\sin \operatorname {am} (u|m)}$$

และค่าโคไซน์เชิงวงรี cn  u (ภาษาละติน: cosinus amplitudinis ) กำหนดโดย

$${\displaystyle \operatorname {cn} (u|m)=\cos \operatorname {am} (u|m)}$$

และเดลต้าแอมพลิจูด dn  u (ละติน: delta amplitudinis ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}

$${\displaystyle \operatorname {dn} (u|m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u|m).}$$ ในข้างต้น ค่าเป็นพารามิเตอร์อิสระ ซึ่งโดยปกติจะถือว่าเป็นจำนวนจริง(แต่โดยทั่วไปอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อน) ดังนั้นฟังก์ชันเชิงวงรีจึงสามารถคิดได้ว่ากำหนดโดยตัวแปรสองตัว คือและพารามิเตอร์ ฟังก์ชัน  เชิงวงรีอีกเก้าฟังก์ชันที่เหลือสร้างขึ้นได้ง่ายจากสามฟังก์ชันข้างต้น ( , , ) และจะแสดงในส่วนถัดไป โปรดทราบว่าเมื่อนั่นจะเท่ากับช่วงเวลาหนึ่งในสี่ ${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \operatorname {cn} }$${\displaystyle \operatorname {dn} }$${\displaystyle \varphi =\pi /2}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

ในการตั้งค่าทั่วไปที่สุดฟังก์ชันหลายค่า (ใน ) ที่มี จุดแยกสาขาแบบลอการิทึมจำนวนอนันต์(สาขาต่างกันด้วยผลคูณจำนวนเต็มของ) คือจุดและโดยที่^{[ 6 ]}ฟังก์ชันหลายค่านี้สามารถทำให้เป็นฟังก์ชันค่าเดียวได้โดยการตัดระนาบเชิงซ้อนตามส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดแยกสาขาเหล่านี้ (การตัดสามารถทำได้ในวิธีที่ไม่เท่ากัน ทำให้ได้ฟังก์ชันค่าเดียวที่ไม่เท่ากัน) ดังนั้นจึงทำให้เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ได้ทุกที่ยกเว้นบนรอยตัดสาขาในทางตรงกันข้ามและฟังก์ชันเชิงวงรีอื่นๆ ไม่มีจุดแยกสาขา ให้ค่าที่สอดคล้องกันสำหรับทุกสาขาของและเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด เนื่องจากทุกฟังก์ชันเชิงวงรีเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด (ตามคำนิยาม) (เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียว) จึงไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงวงรี ${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle \operatorname {am} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$

อย่างไรก็ตามสามารถสร้างการตัดเฉพาะสำหรับ ในระนาบ โดยใช้ส่วนของเส้นตรงจากไปยังโดย ที่ ; จากนั้นเหลือเพียงการกำหนดที่จุดตัดสาขาโดยใช้ความต่อเนื่องจากทิศทางใดทิศทางหนึ่ง จากนั้นจะกลายเป็นค่าเดียวและเป็นคาบเดียวในโดยมีคาบต่ำสุดและมีจุดเอกฐานที่จุดสาขาแบบลอการิทึมที่กล่าวถึงข้างต้น ถ้าและจะต่อเนื่องในบนเส้นจำนวนจริง เมื่อจุดตัดสาขาของในระนาบ จะตัดเส้นจำนวนจริงที่สำหรับ; ดังนั้น สำหรับจะไม่ต่อเนื่องในบนเส้นจำนวนจริงและกระโดดโดยที่จุดไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 4iK(1-m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$${\displaystyle m\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$

แต่การกำหนดลักษณะเช่นนี้ทำให้เกิดการตัดกิ่งที่ซับซ้อนมากในระนาบ -plane ( ไม่ใช่ ระนาบ -plane ) ซึ่งยังไม่มีการอธิบายอย่างครบถ้วนในขณะนี้ ${\displaystyle \operatorname {am} (u|m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$

ให้ เป็นปริพันธ์เชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดที่สองที่ มีพารามิเตอร์$${\displaystyle E(\varphi |m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$$${\displaystyle m}$

จากนั้น ฟังก์ชัน เอปซิลอนของจาโคบีสามารถกำหนดได้ดังนี้ สำหรับและและโดยการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ในแต่ละตัวแปร มิฉะนั้น: ฟังก์ชันเอปซิลอนของจาโคบีเป็นเมโรเมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด (ทั้งในและ) หรืออีกทางหนึ่ง ตลอดทั้งระนาบ และระนาบ^{[ 7 ]}ถูกกำหนดไว้อย่างดีในลักษณะนี้เนื่องจากเศษ ทั้งหมด ของเป็นศูนย์ ดังนั้นปริพันธ์จึงไม่ขึ้นกับเส้นทาง ดังนั้นเอปซิลอนของจาโคบีจึงเชื่อมโยงปริพันธ์เชิงวงรีที่ไม่สมบูรณ์ชนิดแรกกับปริพันธ์เชิงวงรีที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่สอง: ฟังก์ชันเอปซิลอนของจาโคบีไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงวงรี แต่ปรากฏขึ้นเมื่อทำการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีเทียบกับพารามิเตอร์ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=E(\operatorname {am} (u|m)|m)}$$${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u|m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t|m)\,\mathrm {d} t;}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t|m)^{2}}$$${\displaystyle E(\varphi |m)={\mathcal {E}}(F(\varphi |m)|m).}$$

ฟังก์ชันJacobi znนิยามโดย เป็นฟังก์ชันที่มี คาบเดียว ซึ่งเป็นเมโรเมอร์ฟิกในแต่ไม่ใช่ใน(เนื่องจากการตัดสาขาของและ) คาบต่ำสุดในคือมีความสัมพันธ์กับฟังก์ชัน Jacobi zetaโดย$${\displaystyle \operatorname {zn} (u|m)={\mathcal {E}}(u|m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K(m)}$${\displaystyle Z(\varphi |m)=\operatorname {zn} (F(\varphi |m)|m).}$

ในอดีต ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีถูกนิยามโดยใช้ค่าแอมพลิจูดเป็นหลัก แต่ในตำราสมัยใหม่เกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรี ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีถูกนิยามด้วยวิธีการอื่น เช่น อัตราส่วนของฟังก์ชันทีตา (ดูด้านล่าง) และค่าแอมพลิจูดถูกละเลยไป

ในแง่สมัยใหม่ ความสัมพันธ์กับอินทิกรัลเชิงวงรีจะแสดงด้วย(หรือ) แทนที่จะเป็น ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi |m)|m)=\sin \varphi }$${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi |m)|m)=\cos \varphi }$${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi |m)|m)=\varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ,\,\sin \varphi }$ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบี ถูกกำหนดบนวงกลมหน่วยที่มีรัศมีและมุม ซึ่งเป็นความยาวส่วนโค้งของวงกลมหน่วยที่วัดจากแกนxบวก ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีถูกกำหนดบนวงรีหน่วยที่มีและให้ ${\displaystyle r=1}$${\displaystyle \varphi =}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle b\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

แล้วและ ${\displaystyle 0\leq m<1}$

$${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$$

สำหรับแต่ละมุมพารามิเตอร์ (อินทิกรัลเชิงวงรีไม่สมบูรณ์ชนิดแรก) จะถูกคำนวณ บนวงกลมหน่วย ( ) จะเป็นความยาวส่วนโค้ง อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ของกับความยาวส่วนโค้งของวงรีนั้นซับซ้อนกว่า^{[ 8 ]}${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

ให้เป็นจุดบนวงรี และให้เป็นจุดที่วงกลมหนึ่งหน่วยตัดกับเส้นตรงระหว่างและจุดกำเนิดจากนั้นความสัมพันธ์ที่คุ้นเคยจากวงกลมหนึ่งหน่วย ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$

$${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$$

อ่านหาจุดไข่ปลา

$${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$$

ดังนั้น การฉายจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมหน่วยบนแกนxและ แกน yจึงเป็นเพียงและการฉายเหล่านี้อาจตีความได้ว่าเป็น 'นิยามของตรีโกณมิติ' กล่าวโดยย่อ ${\displaystyle P'}$${\displaystyle OP}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$$

สำหรับค่าของจุดที่มี พารามิเตอร์ และเราจะได้โดยการแทรกความสัมพันธ์ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

$${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$$

เข้าไปและเราพบว่า ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos \varphi }$${\displaystyle y=r(\varphi ,m)\sin \varphi }$

$${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$$

ความสัมพันธ์ดังกล่าวสำหรับ พิกัด xและyของจุดบนวงรีหน่วย อาจถือได้ว่าเป็นการขยายความสัมพันธ์สำหรับพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วย ${\displaystyle x=\cos \varphi }$${\displaystyle y=\sin \varphi }$

ตารางต่อไปนี้สรุปนิพจน์สำหรับฟังก์ชันเชิงวงรี Jacobi ทั้งหมด pq(u,m) ในตัวแปร ( x , y , r ) และ ( φ ,dn) โดยมี ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi pq[ u , m ] เป็นฟังก์ชันของ { x , y , r } และ { φ ,dn}

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค	1	${\displaystyle x/y=\cot(\varphi )}$	${\displaystyle x/r=\cos(\varphi )}$	${\displaystyle x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	ส	${\displaystyle y/x=\tan(\varphi )}$	1	${\displaystyle y/r=\sin(\varphi )}$	${\displaystyle y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	n	${\displaystyle r/x=\sec(\varphi )}$	${\displaystyle r/y=\csc(\varphi )}$	1	${\displaystyle r=1/\operatorname {dn} }$
	ง	${\displaystyle 1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} }$	1

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi สามารถกำหนดได้โดยใช้ฟังก์ชัน theta ^{[ 9 ]}โดยที่ให้ ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

$${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$$$${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$$$${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$$$${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$$ และให้, , . จากนั้นด้วย, , และ, ${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$${\displaystyle \tau =iK'/K}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชัน Jacobi zn สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชัน theta เช่นกัน โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรแรก $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle '}$

อันที่จริง นิยามของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีในหนังสือของวิทเทเกอร์และวัตสันนั้นกล่าวไว้ต่างจากที่กล่าวมาข้างต้นเล็กน้อย (แต่ก็เทียบเท่ากัน) และอาศัยการผกผันแบบโมดูลาร์: ฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$$ ถือว่าทุกค่าในครั้งเดียวและเพียงครั้งเดียว^{[ 10 ]}ใน ที่ซึ่งเป็นครึ่งระนาบด้านบนในระนาบเชิงซ้อนเป็นขอบเขตของและ ด้วยวิธีนี้ แต่ละค่าสามารถเชื่อมโยงกับค่าหนึ่งค่าและเพียงค่าเดียวเท่านั้นจากนั้น Whittaker & Watson กำหนดฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi โดย ที่ในหนังสือ พวกเขากำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ(ว่า) แต่ในความเป็นจริงแล้วไม่ใช่ข้อจำกัดที่จำเป็น (ดูการอ้างอิงของ Cox) นอกจากนี้ ถ้าหรือฟังก์ชันเชิงวงรีของ Jacobi จะเสื่อมสภาพเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงวงรี ซึ่งจะอธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$$${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \partial F_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$$${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$$${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=1}$

ฟังก์ชันวงรีของ Jacobi สามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายโดยใช้ฟังก์ชันเธต้าของ Neville : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$$

การลดรูปผลคูณที่ซับซ้อนของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีมักทำได้ง่ายขึ้นโดยใช้เอกลักษณ์เหล่านี้

การแปลงจินตนาการของ Jacobi เชื่อมโยงฟังก์ชันต่างๆ ของตัวแปรจินตนาการiuหรือเทียบเท่ากับความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่างๆ ของ พารามิเตอร์ mในแง่ของฟังก์ชันหลัก: ^{[ 12 ] : 506}

$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$$$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$$$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$$

โดยใช้กฎการคูณ ฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดสามารถแสดงได้ในรูปของสามข้างต้น การแปลงสามารถเขียนได้โดยทั่วไปเป็นตารางต่อไปนี้แสดงค่าสำหรับ pq( u,m ) ที่ระบุ ^{[ 11 ]} (อาร์กิวเมนต์ถูกระงับ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

การแปลงจินตนาการของจาโคบี${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค	1	ใน	nc	และ
	ส	− ฉัน sn	1	− ฉัน sc	− i sd
	n	ซีเอ็น	ไอซีเอส	1	ซีดี
	ง	ดีเอ็น	ไอดีเอส	ดีซี	1

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิกเป็นสัดส่วนกับฟังก์ชันตรีโกณมิติวงกลมที่มีอาร์กิวเมนต์จินตนาการ จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชัน Jacobi จะให้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกสำหรับ m=1 ^{[ 5 ] : 249} ในรูป เส้นโค้ง Jacobi ได้เสื่อมสภาพเป็นเส้นตรงแนวตั้งสองเส้นที่x  = 1 และx  = −1

การแปลงจริงของ Jacobi ^{[ 5 ] : 308} ให้ผลลัพธ์เป็นนิพจน์สำหรับฟังก์ชันเชิงวงรีในเงื่อนไขที่มีค่าm สลับกัน การแปลงอาจเขียนได้โดยทั่วไปเป็นตารางต่อไปนี้แสดงค่าสำหรับ pq( u,m ) ที่ระบุ ^{[ 11 ]} (อาร์กิวเมนต์ถูกระงับ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

การเปลี่ยนแปลงที่แท้จริงของจาโคบี${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k\operatorname {ds} }$	${\displaystyle \operatorname {dn} }$	${\displaystyle \operatorname {dc} }$
	ส	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sd} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sn} }$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sc} }$
	n	${\displaystyle \operatorname {nd} }$	${\displaystyle k\operatorname {ns} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {nc} }$
	ง	${\displaystyle \operatorname {cd} }$	${\displaystyle k\operatorname {cs} }$	${\displaystyle \operatorname {cn} }$	${\displaystyle 1}$

การแปลงจริงและจินตนาการของ Jacobi สามารถรวมกันได้หลายวิธีเพื่อให้ได้การแปลงที่ง่ายกว่าอีกสามแบบ^{[ 5 ] : 214} การแปลงจริงและจินตนาการเป็นการแปลงสองแบบในกลุ่ม ( D ₃หรือกลุ่มแอนฮาร์มอนิก ) ของการแปลงหกแบบ ถ้า

$${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$$

คือการแปลงสำหรับ พารามิเตอร์ mในการแปลงจริง และ

$${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$$

หากการแปลงmเป็นการแปลงเชิงจินตนาการ การแปลงอื่นๆ สามารถสร้างขึ้นได้โดยการประยุกต์ใช้การแปลงพื้นฐานสองอย่างนี้อย่างต่อเนื่อง ซึ่งจะให้ความเป็นไปได้เพิ่มเติมอีกเพียงสามแบบเท่านั้น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$$

การแปลงทั้งห้าแบบนี้ ร่วมกับการแปลงเอกลักษณ์ ( μ _U ( m ) =  m ) จะให้กลุ่มที่มีหกองค์ประกอบ ในส่วนของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบี การแปลงทั่วไปสามารถแสดงได้โดยใช้เพียงสามฟังก์ชัน:

$${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$$$${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$$$${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$$

โดยที่i = U, I, IR, R, RI หรือ RIR ระบุการแปลง γ _iคือตัวคูณร่วมกันของฟังก์ชันทั้งสามนี้ และเครื่องหมายไพรม์แสดงถึงฟังก์ชันที่ถูกแปลง ฟังก์ชันที่ถูกแปลงอีกเก้าฟังก์ชันสามารถสร้างขึ้นจากสามฟังก์ชันข้างต้นได้ เหตุผลที่เลือกฟังก์ชัน cs, ns, ds มาใช้แทนการแปลงก็เพราะว่าฟังก์ชันอื่นๆ จะเป็นอัตราส่วนของสามฟังก์ชันนี้ (ยกเว้นฟังก์ชันผกผัน) และตัวคูณจะหักล้างกันไป

ตารางต่อไปนี้แสดงรายการตัวคูณสำหรับฟังก์ชัน ps ทั้งสามฟังก์ชันm ' ที่แปลงแล้ว และชื่อฟังก์ชันที่แปลงแล้วสำหรับการแปลงทั้งหกแบบ^{[ 5 ] : 214} (ตามปกติk ²  =  m , 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ และอาร์กิวเมนต์ ( ) จะถูกระงับ) ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

พารามิเตอร์สำหรับการแปลงทั้งหกแบบ

การเปลี่ยนแปลง	${\displaystyle \gamma _{i}}$	${\displaystyle \mu _{i}(m)}$	ซีส์	ns'	ดีเอส
ยู	1	ม	ซีเอส	ns	ดีเอส
ฉัน	ฉัน	ม'	ns	ซีเอส	ดีเอส
อินฟราเรด	อิก	−ม./ม.	ดีเอส	ซีเอส	ns
อาร์	เค	1/ม.	ดีเอส	ns	ซีเอส
ไออาร์ไอ	อิก1	1/ม.	ns	ดีเอส	ซีเอส
ไรเออร์	k 1	−ม/ม'	ซีเอส	ดีเอส	ns

ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เราอาจสร้างตารางต่อไปนี้สำหรับการแปลง RIR ^{[ 11 ]}การแปลงโดยทั่วไปเขียนว่า(อาร์กิวเมนต์ถูกระงับ) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

การเปลี่ยนแปลง RIR${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค	1	เคซีส์	ซีดี	ซีเอ็น
	ส	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$สก	1	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$เอสดี	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$สน
	n	ดีซี	${\displaystyle k'}$ดีเอส	1	ดีเอ็น
	ง	nc	${\displaystyle k'}$ns	และ	1

คุณค่าของการแปลง Jacobi คือชุดฟังก์ชันเชิงวงรี Jacobi ใดๆ ที่มีพารามิเตอร์ค่าจริงm ใดๆ สามารถแปลงเป็นชุดอื่นได้ ซึ่งสำหรับค่าจริงของuค่าของฟังก์ชันจะเป็นค่าจริง^{[ 5 ] : หน้า 215} ${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

ต่อไปนี้ ตัวแปรที่สองจะถูกละเว้นและมีค่าเท่ากับ: ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$$$${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$$ โดยที่อัตลักษณ์ทั้งสองนั้นใช้ได้กับทุกกรณีและทั้งสองฝ่ายมีความชัดเจน ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

กับ

$${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$$

เรามี

$${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$$$${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$$$${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$$

โดยที่เอกลักษณ์ทั้งหมดนั้นใช้ได้กับทุกฝ่ายและทั้งสองฝ่ายมีความชัดเจน ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

เมื่อนำจำนวนเชิงซ้อนมาใช้ วงรีของเราจะมีไฮเปอร์โบลาที่เกี่ยวข้องด้วย:

$${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$$จากการประยุกต์ใช้การ แปลง จินตนาการของ Jacobi ^{[ 11 ]}กับฟังก์ชันวงรีในสมการข้างต้นสำหรับxและ  y

$${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าเราสามารถใส่ได้ดังนั้นวงรีของเราจึงมีวงรีคู่โดยที่ m ถูกแทนที่ด้วย 1-m ซึ่งนำไปสู่ทอรัสเชิงซ้อนที่กล่าวถึงในบทนำ^{[ 13 ]}โดยทั่วไป m อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนแต่เมื่อ m เป็นจำนวนจริงและ m<0 เส้นโค้งจะเป็นวงรีที่มีแกนหลักอยู่ในทิศทาง x ที่ m=0 เส้นโค้งจะเป็นวงกลม และสำหรับ 0<m<1 เส้นโค้งจะเป็นวงรีที่มีแกนหลักอยู่ในทิศทาง y ที่m  = 1 เส้นโค้งจะเสื่อมสภาพเป็นเส้นตรงแนวตั้งสองเส้นที่x  = ±1 สำหรับm  > 1 เส้นโค้งจะเป็นไฮเปอร์โบลา เมื่อmเป็นจำนวนเชิงซ้อนแต่ไม่ใช่จำนวนจริงxหรือyหรือทั้งสองอย่างจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเส้นโค้งไม่สามารถอธิบายได้บนแผนภาพ x - y จริง${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

การสลับลำดับของตัวอักษรสองตัวในชื่อฟังก์ชันจะทำให้ได้ค่าผกผันของฟังก์ชันทั้งสามข้างต้น:

$${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$$

ในทำนองเดียวกัน อัตราส่วนของฟังก์ชันหลักทั้งสามจะสอดคล้องกับอักษรตัวแรกของตัวเศษตามด้วยอักษรตัวแรกของตัวส่วน:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},&\operatorname {sd} (u)&={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},&\operatorname {dc} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\\[1ex]\operatorname {ds} (u)&={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cs} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},&\operatorname {cd} (u)&={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$$ กล่าวโดยย่อ เรามี

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$$

โดยที่ p และ q คือตัวอักษรใดๆ ก็ได้ในกลุ่ม s, c, d

ในระนาบเชิงซ้อนของตัวแปรuฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีจะสร้างรูปแบบการซ้ำกันของขั้ว (และศูนย์) เศษเหลือของขั้วทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น แต่ละฟังก์ชัน pq( u , m ) มี "ฟังก์ชันผกผัน" (ในความหมายของการคูณ) qp( u , m ) ซึ่งตำแหน่งของขั้วและศูนย์จะสลับกัน โดยทั่วไปแล้วคาบของการซ้ำกันจะแตกต่างกันในทิศทางจริงและทิศทางจินตนาการ ดังนั้นจึงใช้คำว่า "คาบสองเท่า" เพื่ออธิบาย

สำหรับแอมพลิจูดของจาโคบีและฟังก์ชันเอปซิลอนของจาโคบี: โดยที่คือปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองที่ มีพารามิเตอร์$${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$$$${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$$${\displaystyle E(m)}$${\displaystyle m}$

ความเป็นคาบสองเท่าของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบีสามารถแสดงได้ดังนี้:

$${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$$

โดยที่αและβเป็นจำนวนเต็มคู่ใดๆK (⋅) คือปริพันธ์เชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรก หรือที่รู้จักกันในชื่อช่วงเวลาหนึ่งในสี่กำลังของลบหนึ่ง ( γ ) แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

${\displaystyle \gamma }$

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค	0	เบต้า	α + β	α
	ส	เบต้า	0	α	α + β
	n	α + β	α	0	เบต้า
	ง	α	α + β	เบต้า	0

เมื่อตัวประกอบ (−1) ^γเท่ากับ −1 สมการจะแสดงถึงความเป็นคาบกึ่งคงที่ เมื่อเท่ากับหนึ่ง สมการจะแสดงถึงความเป็นคาบเต็มคงที่ ตัวอย่างเช่น จะเห็นได้ว่าสำหรับค่าที่ประกอบด้วย α เพียงอย่างเดียว เมื่อ α เป็นจำนวนคู่ สมการข้างต้นจะแสดงถึงความเป็นคาบเต็มคงที่ และฟังก์ชันจะมีคาบเต็มคงที่เท่ากับ 4 K ( m ) และ 2 iK (1 −  m ) ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีค่าที่ประกอบด้วยβ เพียงอย่างเดียว จะมีคาบเต็มคงที่เท่ากับ 2K(m) และ 4 iK (1 −  m ) ในขณะที่ฟังก์ชันที่มีค่า α + β จะมีคาบเต็มคงที่เท่ากับ 4 K ( m ) และ 4 iK (1 −  m )

ในแผนภาพด้านขวา ซึ่งแสดงหน่วยซ้ำหนึ่งหน่วยสำหรับแต่ละฟังก์ชัน โดยระบุเฟสพร้อมกับตำแหน่งของขั้วและศูนย์ สามารถสังเกตความสม่ำเสมอได้หลายประการ: ฟังก์ชันผกผันของแต่ละฟังก์ชันอยู่ตรงข้ามกับเส้นทแยงมุม และมีขนาดเซลล์หน่วยเท่ากัน โดยสลับตำแหน่งของขั้วและศูนย์ การจัดเรียงขั้วและศูนย์ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสริมที่เกิดจาก (0,0), ( K ,0), (0, K ′) และ ( K , K ′) เป็นไปตามคำอธิบายการวางตำแหน่งขั้วและศูนย์ที่อธิบายไว้ในบทนำข้างต้น นอกจากนี้ ขนาดของวงรีสีขาวที่ระบุขั้วยังเป็นการวัดค่าสัมบูรณ์โดยประมาณของเศษเหลือสำหรับขั้วนั้น เศษเหลือของขั้วที่ใกล้กับจุดกำเนิดที่สุดในรูป (เช่น ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสริม) แสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้:

เศษเหลือของฟังก์ชันวงรีจาโคบี

		q
		ค	ส	n	ง
พี
	ค		1	${\displaystyle -{\frac {i}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k}}}$
	ส	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}$
	n	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$	1		${\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}$
	ง	-1	1	${\displaystyle -i}$

ในกรณีที่เกี่ยวข้อง ขั้วที่เลื่อนขึ้นไปด้านบน 2 Kหรือเลื่อนไปทางขวา 2 K ′ จะมีค่าเท่ากันแต่เครื่องหมายจะกลับกัน ในขณะที่ขั้วที่อยู่ตรงข้ามในแนวทแยงมุมจะมีค่าเท่ากัน โปรดทราบว่าขั้วและศูนย์ที่ขอบด้านซ้ายและด้านล่างถือเป็นส่วนหนึ่งของเซลล์หน่วย ในขณะที่ขั้วและศูนย์ที่ขอบด้านบนและด้านขวาไม่ถือเป็นส่วนหนึ่งของเซลล์หน่วย

ข้อมูลเกี่ยวกับขั้วสามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดลักษณะของฟังก์ชันวงรีของ Jacobi ได้จริง: ^{[ 14 ]}

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีขั้วเดี่ยวที่( โดยที่) และเศษเหลือมีค่าที่${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีขั้วเดี่ยวที่( โดยที่) และเศษเหลือมีค่าที่${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว โดยมีขั้วเดี่ยวที่( โดยที่) และเศษเหลือมีค่าที่${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

การตั้งค่าจะให้ฟังก์ชันเชิงวงรีเลมนิสเคทและ: ${\displaystyle m=-1}$${\displaystyle \operatorname {sl} }$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

$${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$$