ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวที่มีจีนัสg (หรือที่รู้จักกันในชื่อg -torusหรือg -holed torus ) คือพื้นผิวที่เกิดจากการรวมกันของtorusที่แตกต่างกันg อัน โดย การนำส่วนภายในของดิสก์ออกจาก torus ที่แตกต่างกัน g อัน แล้วนำขอบของ ดิสก์ gอันนั้นมาเชื่อมต่อกัน (ติดกาวเข้าด้วยกัน) จนเกิดเป็นg -torus จีนัสของพื้นผิวดังกล่าวคือ g

พื้นผิว ที่มีจีนัสgคือแมนิโฟลด์สองมิติ ทฤษฎีบท การจำแนกประเภทของพื้นผิวระบุว่าแมนิโฟลด์สองมิติ แบบ เชื่อมต่อและกระชับ ทุกอัน จะสมมูลกับทรงกลม ผลรวมแบบเชื่อมต่อของทอรัส หรือผลรวมแบบเชื่อมต่อของ ระนาบเชิงโปรเจกที ฟ จริง

เจนัสของพื้นผิวที่เชื่อมต่อและกำหนดทิศทางได้คือจำนวนเต็มที่แสดงถึงจำนวนการตัดสูงสุดตามเส้นโค้งปิดแบบง่าย ที่ไม่ตัดกัน โดยไม่ทำให้แมนิโฟลด์ ที่ได้ ขาดการเชื่อมต่อ^{[ 1 ]}เท่ากับจำนวนแฮนด์เดิลบน พื้น ผิวนั้น หรืออีกทางหนึ่ง สามารถกำหนดได้ในแง่ของลักษณะเฉพาะของออยเลอร์χผ่านความสัมพันธ์χ  = 2 − 2 gสำหรับพื้นผิวปิดโดยที่gคือเจนัส

จีนัส (บางครั้งเรียกว่า เดมิจีนัส หรือ จีนัสของออยเลอร์) ของพื้นผิวปิดที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ซึ่งเชื่อมต่อกันนั้น เป็นจำนวนเต็มบวกที่แสดงถึงจำนวนครอสแคปที่ติดอยู่กับทรงกลม หรืออีกทางหนึ่ง สามารถกำหนดได้สำหรับพื้นผิวปิดในแง่ของลักษณะเฉพาะของออยเลอร์χผ่านความสัมพันธ์χ = 2 − gโดยที่gคือ จีนัสที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้

พื้น ผิว ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ซึ่งมีจีนัสเป็นศูนย์คือทรงกลมS₂พื้นผิวอีกแบบหนึ่งที่มีจีนัสเป็น^{ศูนย์} คือ แผ่น ดิสก์

• ภาพแทนของพื้นผิวจีนัส 0
• 
  ทรงกลม${\displaystyle S^{2}}$
• 
  แผ่นดิสก์ปิด (ที่มีขอบเขต)
• 
  ตาม สมมติฐานของ ฮีวูด พื้นที่นี้สามารถระบายสีได้ด้วยบริเวณที่อยู่ติดกันได้มากถึง 4 บริเวณ

พื้นผิวที่กำหนดทิศทางได้ของจีนัสหนึ่งคือทอรัสธรรมดา พื้นผิวที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ของจีนัสหนึ่งคือระนาบเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​2 ]}

เส้นโค้งวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อนสามารถระบุได้ด้วยพื้นผิวจีนัส 1 การกำหนดเส้นโค้งวงรีเป็นการฝังทอรัสในระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจค ทีฟ เป็นไปตามธรรมชาติจากคุณสมบัติของฟังก์ชันวงรีของไวเออร์สตรัสที่ช่วยให้ได้เส้นโค้งวงรีจากผลหารของระนาบเชิงซ้อนด้วยแลตทิซ^{[ 3 ]}

• ภาพแสดงพื้นผิวของสกุลที่ 1
• 
  ทอรัสชนิดที่ 1
• 
  สามารถระบายสีได้โดยใช้พื้นที่ที่อยู่ติดกันได้มากถึง 7 ส่วน
• 
  จุดจริงของเส้นโค้งวงรี

บางครั้งมีการใช้ คำว่าdouble torusเพื่อหมายถึงพื้นผิวจีนัส 2 ^{[ 4 ] [ 5 ]} พื้นผิวจีนัส 2 ที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้คือขวดไคลน์

พื้นผิว Bolza เป็น พื้นผิว Riemannที่สมมาตรที่สุดที่มีจีนัส  2 ในแง่ที่ว่ามีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมคอนฟอร์มอล ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไป ได้^{[ 6 ]}

• ภาพแสดงพื้นผิวประเภทที่ 2
• 
  ทอรัสชนิดที่ 2
• 
  สามารถระบายสีได้โดยใช้พื้นที่ที่อยู่ติดกันได้มากถึง 8 ส่วน

คำว่าtriple torusบางครั้งก็ใช้เพื่อระบุพื้นผิวจีนัส 3 ^{[ 7 ] [ 5 ]}

พื้นผิว รี มัน น์ควอติก ของไคลน์ เป็นพื้นผิวรีมันน์ ขนาดกะทัดรัด ที่มีจีนัส3 และมี กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมลำดับสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับพื้นผิวรีมันน์ขนาดกะทัดรัดที่มีจีนัส 3 ประกอบด้วย ออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาทิศทาง 168 ตัวและออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมด 336 ตัว

• พื้นผิวสกุลที่ 3 หลายแห่ง
• 
  ทรงกลมที่มีหูจับ สามอัน
• 
  ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของทอรัส สามอัน
• 
  ทอรัสสามชั้น
• 
  สามารถระบายสีได้โดยใช้พื้นที่ที่อยู่ติดกันได้มากถึง 9 บริเวณ
• 
  รูปทรงสิบสองเหลี่ยมที่มีขอบตรงข้ามระบุ^{[ 8 ]}
• 
  รูปสิบสี่เหลี่ยมที่มีขอบตรงข้ามระบุ^{[ 8 ]}

• สามทอรัส
• ปม g-torus

• เจมส์ อาร์. มันเครส , โทโพโลยี, ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง , เพรนติส-ฮอลล์, 2000, ISBN 0-13-181629-2.
• William S. Massey , โทโพโลยีเชิงพีชคณิต: บทนำ , Harbrace, 1967