ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่เอกพันธุ์หลัก [ ^{1 ]}หรือทอร์เซอร์สำหรับกลุ่มGคือพื้นที่เอกพันธุ์XสำหรับGซึ่งกลุ่มย่อยเสถียร ของทุกจุดเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่มีนัยสำคัญ หรือกล่าวอีกนัย ^{หนึ่ง}พื้นที่เอกพันธุ์หลักสำหรับกลุ่มGคือเซตX ที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งG กระทำการอย่างอิสระและถ่ายทอดได้ (หมายความว่า สำหรับx , y ใดๆ ในXจะมีg ที่ไม่ซ้ำกัน ในGซึ่งx · g = yโดยที่ · หมายถึงการกระทำ (ทางขวา) ของGบนX ) นิยามที่คล้ายกันนี้ใช้ได้ในหมวดหมู่ อื่นๆ เช่น

• Gเป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยี , Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและการกระทำนั้นต่อเนื่อง
• Gคือกลุ่มลี (Lie group) , Xคือแมนิโฟลด์เรียบ (smooth manifold)และแอคชั่น (action) ก็เรียบเช่นกัน
• Gเป็นกลุ่มพีชคณิตXเป็นวาไรตี้พีชคณิตและการกระทำเป็นแบบปกติ

ถ้าGเป็นกลุ่มที่ไม่สลับที่ (nonabelian)จะต้องแยกแยะระหว่างทอร์เซอร์ซ้ายและขวาตามว่าการกระทำนั้นอยู่ทางซ้ายหรือทางขวา ในบทความนี้ เราจะใช้การกระทำทางขวาเป็นตัวอย่าง

เพื่อให้คำจำกัดความชัดเจนยิ่งขึ้นXเป็น ปริภูมิเอกพันธุ์ G -torsor หรือG -principal ถ้าXไม่ว่างเปล่าและมีแผนที่ (ในหมวดหมู่ที่เหมาะสม) X × G → Xเช่นนั้น

x ·1 = x

x ·( gh ) = ( x · g )· h

สำหรับทุกx ∈ Xและทุกg , h ∈ Gและโดยที่แผนที่X × G → X × Xกำหนดโดย

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึม (ของเซต หรือปริภูมิเชิงทอพอโลยี หรือ... ตามความเหมาะสม กล่าวคือ ในหมวดหมู่ที่กล่าวถึง)

โปรดทราบว่านี่หมายความว่าXและGเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน (ในหมวดหมู่ที่กล่าวถึง ไม่ใช่ในฐานะกลุ่ม ดูต่อไปนี้) อย่างไรก็ตาม—และนี่คือประเด็นสำคัญ—ไม่มีจุด 'เอกลักษณ์' ที่เป็นที่ต้องการในXนั่นคือXมีลักษณะเหมือนกับG ทุกประการ ยกเว้นว่าจุดใดคือจุดเอกลักษณ์นั้นถูกลืมไปแล้ว (แนวคิดนี้มักใช้ในคณิตศาสตร์เป็นวิธีในการเปลี่ยนไปสู่มุมมองที่แท้จริงมากขึ้น ภายใต้หัวข้อ 'ละทิ้งจุดกำเนิด')

เนื่องจากXไม่ใช่กลุ่ม เราจึงไม่สามารถคูณสมาชิกได้ แต่เราสามารถหา "ผลหาร" ของสมาชิกเหล่านั้นได้ กล่าวคือ มีฟังก์ชันX × X → Gที่ส่ง( x , y )ไปยังสมาชิกg = x \ y ∈ G เพียงหนึ่งเดียว โดยที่y = x · g

อย่างไรก็ตาม การประกอบการดำเนินการหลังกับการกระทำของกลุ่มที่ถูกต้อง จะให้ผลลัพธ์เป็นการดำเนินการสามตัวแปรX × ( X × X ) → Xซึ่งทำหน้าที่เป็นการวางนัยทั่วไปเชิงเส้นตรงของการคูณกลุ่ม และเพียงพอที่จะกำหนดลักษณะของปริภูมิเอกพันธุ์หลักในเชิงพีชคณิตและกำหนดลักษณะเฉพาะของกลุ่มที่เกี่ยวข้องได้อย่างแท้จริง หากเรากำหนดผลลัพธ์ของการดำเนินการสามตัวแปรนี้แล้ว จะได้เอกลักษณ์ ต่อไปนี้${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

แค่นี้ก็เพียงพอที่จะกำหนดพื้นที่เอกพันธุ์หลักได้แล้ว ในขณะที่คุณสมบัติเพิ่มเติม

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

ระบุพื้นที่เหล่านั้นที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มอาเบเลียน กลุ่มดังกล่าวอาจนิยามได้ว่าเป็นผลหารเชิงรูปธรรมที่อยู่ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle x\backslash y}$

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$,

โดยที่ผลคูณกลุ่ม เอกลักษณ์ และตัวผกผันถูกกำหนดตามลำดับโดย

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$,

${\displaystyle e=x\backslash x}$,

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

และการกระทำร่วมกันของกลุ่มโดย

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

ทุกกลุ่มGสามารถมองได้ว่าเป็นG -torsor ซ้ายหรือขวา ภายใต้การกระทำตามธรรมชาติของการคูณซ้ายหรือขวา

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ แนวคิดของ ปริภูมิเชิงเส้นตรง (affine space) : แนวคิดของปริภูมิเชิงเส้น ตรง Aที่อยู่เบื้องหลังปริภูมิเวกเตอร์Vสามารถกล่าวได้อย่างกระชับว่าAเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับVซึ่งทำหน้าที่เป็นกลุ่มการบวกของการเลื่อน (additive group of translations)

ธงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติใดๆจะประกอบกันเป็นทอร์เซอร์สำหรับกลุ่มสมมาตรของรูปทรงนั้น

เมื่อกำหนดปริภูมิเวกเตอร์Vเราสามารถกำหนดให้Gเป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( V ) และXเป็นเซตของฐาน ทั้งหมด (เรียงลำดับ) ของVจากนั้นGจะกระทำต่อXในลักษณะเดียวกับที่กระทำต่อเวกเตอร์ของVและมันจะกระทำแบบทราน ซิทีฟ เนื่องจากฐานใดๆ ก็สามารถแปลงผ่านGไปเป็นฐานอื่นๆ ได้ ยิ่งไปกว่านั้นการแปลงเชิงเส้นที่ตรึงเวกเตอร์แต่ละตัวของฐานจะตรึงv ทั้งหมด ในVและด้วยเหตุนี้ v จะเป็นองค์ประกอบกลางของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( V )  ดังนั้นXจึงเป็น ปริภูมิเอกพันธุ์ หลัก อย่างแท้จริง วิธีหนึ่งในการติดตามการพึ่งพาฐานใน ข้อ โต้แย้งพีชคณิตเชิงเส้นคือการติดตามตัวแปรxในXในทำนองเดียวกัน ปริภูมิของฐานเชิงตั้งฉาก ( แมนิโฟลด์ Stiefel ของเฟรมn ) เป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับกลุ่มเชิงตั้งฉาก${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$

ในทฤษฎีหมวดหมู่ถ้าวัตถุสองชิ้นXและYเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุทั้งสอง Iso( X , Y ) จะก่อให้เกิดทอร์เซอร์สำหรับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของX , Aut( X ) และในทำนองเดียวกันสำหรับ Aut( Y ) การเลือกไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุจะก่อให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเหล่านี้และระบุทอร์เซอร์กับกลุ่มทั้งสองนี้ ทำให้ทอร์เซอร์มีโครงสร้างแบบกลุ่ม (เนื่องจากมีจุดฐาน แล้ว )

แนวคิดของปริภูมิเอกพันธุ์หลักเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดของบันเดิลหลักกล่าวคือ บันเดิลหลักที่มีฐานเป็นจุดเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีเฉพาะที่ของบันเดิลหลักคือทฤษฎีของตระกูลปริภูมิเอกพันธุ์หลักที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางอย่างในฐาน 'จุดกำเนิด' สามารถกำหนดได้จากส่วนตัดของบันเดิลซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะถือว่าส่วนตัดดังกล่าวมีอยู่เฉพาะที่บนฐานเนื่องจากบันเดิลนั้นเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญเฉพาะที่ดังนั้นโครงสร้างเฉพาะที่จึงเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนแต่ส่วนตัดมักจะไม่มีอยู่ทั่วโลก ตัวอย่างเช่นแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์Mมีบันเดิลหลักของเฟรมที่เกี่ยวข้องกับบันเดิลสัมผัสส่วนตัดทั่วโลกจะมีอยู่ (ตามคำนิยาม) ก็ต่อเมื่อMสามารถทำให้ขนานได้ซึ่งหมายถึงข้อจำกัดทางโทโพโลยีที่เข้มงวด

ในทฤษฎีจำนวนมีเหตุผล (ที่ดูเหมือนแตกต่างกัน) ในการพิจารณาปริภูมิเอกพันธุ์หลัก สำหรับเส้นโค้งวงรีEที่นิยามบนฟิลด์K (และวาไร ตี้อาเบเลียนทั่วไป) เมื่อเข้าใจสิ่งนี้แล้ว ตัวอย่างอื่นๆ อีกมากมายก็ถูกรวบรวมไว้ภายใต้หัวข้อเดียวกัน สำหรับกลุ่มพีชคณิต อื่นๆ เช่นรูปแบบกำลังสองสำหรับกลุ่มเชิงตั้งฉากและวาไรตี้เซเวรี-บราวเออร์สำหรับกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ เป็นต้น

เหตุผลที่สมการไดโอแฟนไทน์ น่าสนใจ ในกรณีของเส้นโค้งวงรีก็คือKอาจไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิง พีชคณิต อาจมีเส้นโค้งCที่ไม่มีจุดใด ๆ ที่กำหนดไว้บนKและเส้นโค้งเหล่านั้นจะสม isomorphic กับE บนฟิลด์ที่ใหญ่กว่า ซึ่งตามนิยามแล้ว E มีจุดบนKเพื่อทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับกฎการบวกของมัน กล่าวคือ ในกรณีนี้เราควรแยกแยะCที่มีจีนัส 1 ออกจากเส้นโค้งวงรีEที่มี จุดบน K (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ให้สมการไดโอแฟนไทน์ที่มีคำตอบในK ) เส้นโค้งCกลายเป็นทอร์เซอร์บนEและก่อตัวเป็นเซตที่มีโครงสร้างที่หลากหลายในกรณีที่Kเป็นฟิลด์จำนวน (ทฤษฎีของกลุ่มเซลเมอร์ ) ในความเป็นจริง เส้นโค้งลูกบาศก์ระนาบทั่วไปCบนQไม่มีเหตุผลพิเศษใด ๆ ที่จะต้องมีจุดตรรกยะ แบบจำลองไวเออร์สตรัสมาตรฐานจะมี จุด ตรรก ยะเสมอ นั่นคือจุดที่อนันต์ แต่คุณต้องมีจุดบนKเพื่อให้Cอยู่ในรูปแบบนั้นบนK

ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาโดยให้ความสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์เฉพาะที่ซึ่งนำไปสู่การกำหนดกลุ่ม Tate–Shafarevichโดยทั่วไปแล้ว แนวทางของการใช้ทฤษฎีทอร์เซอร์ ซึ่งง่ายต่อการคำนวณบนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตและพยายามกลับ 'ลง' สู่ฟิลด์ที่เล็กกว่านั้น เป็นแง่มุมหนึ่งของการลดระดับ ซึ่งนำไปสู่คำถามเกี่ยวกับ โคฮอโมโลยีของกาโลอิสในทันทีเนื่องจากทอร์เซอร์แสดงถึงคลาสในโคฮอโมโลยีกลุ่มH ¹

แนวคิดของปริภูมิเอกพันธุ์หลักสามารถขยายความได้ดังนี้ ให้Xเป็น "ปริภูมิ" (เช่นแผนผัง / แมนิโฟลด์ / ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฯลฯ) และให้Gเป็นกลุ่มเหนือXกล่าวคือวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ของปริภูมิเหนือXในกรณีนี้G -torsor EบนX (เช่น ทางขวา) คือปริภูมิE (ประเภทเดียวกัน) เหนือX ที่มี การกระทำG (ทางขวา) เช่นนั้น มอร์ฟิซึม

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

มอบให้โดย

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

เป็นไอโซมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ที่เหมาะสม และE นั้น เป็นแบบไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นบนXโดยที่E → Xได้รับส่วนตัดในระดับท้องถิ่นบนXคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของทอร์เซอร์ในความหมายนี้สอดคล้องกับคลาสในกลุ่มโคฮอโมโลยีH ¹ ( X , G )

เมื่อเราอยู่ในหมวดหมู่ของ แมนิโฟลด์เรียบ แล้วG -torsor (สำหรับGซึ่งเป็นกลุ่ม Lie ) ก็คือ บันเดิล G หลักตามที่นิยามไว้ข้างต้นนั่นเอง

ตัวอย่าง: ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie กระชับ (สมมติ) แล้วจะเป็นG -torsor เหนือปริภูมิจำแนกประเภท${\displaystyle EG}$${\displaystyle BG}$

• พื้นที่เนื้อเดียวกัน
• กอง (คณิตศาสตร์)

• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003). ตัวแปรคงที่เชิงโคฮอโมโลยีในโคฮอโมโลยีของกาลัวส์ชุดบรรยายมหาวิทยาลัย เล่มที่ 28 พรอวิเดน ซ์ รัฐโรดไอแลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 . 
• Skorobogatov, A. (2001). Torsors และจุดตรรกยะ . Cambridge Tracts in Mathematics. เล่มที่ 144. เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-80237-7. Zbl 0972.14015 . 

• Torsors ใช้งานง่ายโดย John Baez