ในสาขาพีชคณิตนามธรรมที่เรียกว่าทฤษฎีวงแหวนทฤษฎีบทตัวกลางคู่สามารถอ้างถึงผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันหลายประการ ผลลัพธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวกลางของวงแหวนย่อยSของวงแหวนRซึ่งในบทความนี้จะใช้สัญลักษณ์C _R ( S ) โดยที่ C _R ( C _R ( S )) จะประกอบด้วยS เสมอ และทฤษฎีบทตัวกลางคู่จะให้เงื่อนไขเกี่ยวกับRและSที่รับประกันว่าC R ₍ C R ₍ S ) ) เท่ากับ S

ตัวกลางของวงแหวนย่อยSของRกำหนดโดย

${\displaystyle \mathrm {C} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=sr{\text{ สำหรับทุก }}s\in S\}.\,}$

เห็นได้ชัดว่าC _R ( C _R ( S )) ⊇  Sแต่ไม่ใช่ว่าเราสามารถกล่าวได้เสมอไปว่าเซตทั้งสองเท่ากัน ทฤษฎีบทตัวกลางคู่ให้เงื่อนไขที่เราสามารถสรุปได้ว่าความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น

มีกรณีพิเศษที่น่าสนใจอีกกรณีหนึ่ง ให้Mเป็นโมดูลขวาRและให้Mมีโครงสร้างโมดูลซ้ายE ตามธรรมชาติ โดยที่ Eคือ End( M ) ซึ่งเป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนMทุกแผนที่m → _rที่กำหนดโดยm _{→ r} ( x ) =  xrจะสร้างเอนโดมอร์ฟิซึมแบบบวกของMนั่นคือ สมาชิกของEแผนที่r  →  m → _rเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของ วงแหวนจาก RไปยังวงแหวนE และเราใช้สัญลักษณ์ R → _MแทนภาพของRภายในEสามารถตรวจสอบได้ว่าเคอร์เนลของแผนที่แคนอนิกนี้คือตัวทำลาย Ann( M → _R ) ดังนั้น โดยทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับวงแหวนR → _Mจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับวงแหวนผลหารR /Ann( M → _R ) เห็นได้ชัดว่าเมื่อMเป็นโมดูลที่ซื่อสัตย์RและR → M _เป็นวงแหวนไอโซมอร์ฟิก กัน

ดังนั้น ตอนนี้Eเป็นวงแหวนที่มีR _Mเป็นวงแหวนย่อย และสามารถสร้างC _E ( R _M ) ได้ ตามคำนิยาม เราสามารถตรวจสอบได้ว่า C _E ( R _M ) = End( M _R ) ซึ่งเป็นวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมโมดูลR ของ Mดังนั้น หากเกิดขึ้นว่าC _E ( C _E ( R _M )) =  R _Mนั่นหมายความว่าC _E ( End( M _R )) =  R _{M เช่นเดียวกัน}

บางทีเวอร์ชันที่พบได้บ่อยที่สุดคือเวอร์ชันสำหรับพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางดังที่ปรากฏใน ( Knapp 2007 , หน้า 115):

ทฤษฎีบท : ถ้าAเป็นพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางที่มีมิติจำกัดเหนือฟิลด์FและBเป็นพีชคณิตย่อยเชิงเดี่ยวของAแล้วC _A ( C _A ( B )) =  Bและยิ่งไปกว่านั้น มิติทั้งสองเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \mathrm {dim} _{F}(B)\cdot \mathrm {dim} _{F}(\mathrm {C} _{A}(B))=\mathrm {dim} _{F}(A).\,}$

รูปแบบทั่วไปต่อไปนี้สำหรับวงแหวนอาร์ทิเนียน (ซึ่งรวมถึงพีชคณิตมิติจำกัด) ปรากฏใน ( Isaacs 2009 , หน้า 187) เมื่อกำหนดโมดูลR ที่เรียบง่ายU _Rเราจะยืมสัญลักษณ์จากส่วนแรงจูงใจข้างต้น ซึ่งรวมถึงR _UและE = End( U ) นอกจากนี้ เราจะเขียนD = End( U _R ) สำหรับวงแหวนย่อยของEที่ประกอบด้วย โฮโมมอร์ฟิซึม Rตามทฤษฎีบทของ Schurแล้วDเป็นวงแหวน หาร

ทฤษฎีบท : ให้Rเป็นวงแหวนอาร์ทีเนียนขวาที่มีโมดูลขวาแบบง่ายU _Rและให้R _U , DและEเป็นไปตามที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า แล้ว

${\displaystyle R_{U}=\คณิตศาสตร์ {C} _{E}(\คณิตศาสตร์ {C} _{E}(R_{U}))\,}$.

หมายเหตุ

• ในเวอร์ชันนี้ วงแหวนถูกเลือกโดยมีจุดประสงค์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทความหนาแน่นของเจคอบสันโปรดสังเกตว่ามันสรุปได้เพียงว่าวงแหวนย่อยเฉพาะมีคุณสมบัติตัวทำให้เป็นศูนย์กลางเท่านั้น ซึ่งแตกต่างจากเวอร์ชันพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลาง
• เนื่องจากพีชคณิตโดยทั่วไปถูกนิยามบนวงแหวนสลับที่ และวงแหวนทั้งหมดที่เกี่ยวข้องข้างต้นอาจเป็นวงแหวนไม่สลับที่ จึงเห็นได้ชัดว่าพีชคณิตไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องเสมอไป
• ถ้าUเป็นโมดูลที่ซื่อสัตย์ เพิ่มเติมด้วย ดังนั้นR จึง เป็นวงแหวนดั้งเดิม ทางขวา แล้วR _Uจะเป็นวงแหวนที่สม isomorphic กับR

ใน ( Rowen 1980 , หน้า 154) มีการให้เวอร์ชันสำหรับวงแหวนเอกลักษณ์พหุนามจะใช้สัญลักษณ์ Z( R ) เพื่อแสดงถึง ศูนย์กลางของวงแหวนR

ทฤษฎีบท : ถ้าRเป็น วงแหวนเอกลักษณ์พหุนาม แบบง่ายและAเป็นพีชคณิตย่อย Z( R ) แบบง่ายของRแล้วC _R ( C _R ( A )) =  A .

หมายเหตุ

• เวอร์ชันนี้สามารถถือได้ว่าอยู่ "ระหว่าง" เวอร์ชันพีชคณิตแบบง่ายส่วนกลางและเวอร์ชันวงแหวนอาร์ทิเนียน เนื่องจากวงแหวนเอกลักษณ์พหุนามแบบง่ายเป็นอาร์ทิเนียน^{[ 1 ]}แต่ต่างจากเวอร์ชันอาร์ทิเนียน ข้อสรุปยังคงอ้างอิงถึงวงแหวนย่อยแบบง่ายส่วนกลางทั้งหมดของR

ทฤษฎีบทไบคอมมิวแทนต์ของฟอน นอยมันน์กล่าวว่า *-ซับอัลเจบราAของอัลเจบราของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตB ( H ) บนปริภูมิฮิลเบิร์ตHเป็นอัลเจบราของฟอน นอยมันน์ (กล่าวคือปิดอย่างอ่อน ) ก็ต่อเมื่อA = C _{B ( H )} C _{B ( H )} (A)

กล่าวได้ว่าโมดูลM มี คุณสมบัติตัวกลางคู่หรือเป็นโมดูลสมดุลถ้าC _E ( C _E ( R _M )) =  R _Mโดยที่E  = End( M ) และR _Mเป็นไปตามที่ระบุไว้ในส่วนแรงจูงใจ ในศัพท์เฉพาะนี้ ทฤษฎีบทตัวกลางคู่ในวงแหวนอาร์ทิเนียนระบุว่า โมดูลขวาแบบง่ายสำหรับวงแหวนอาร์ทิเนียนขวาเป็นโมดูลสมดุล