ในทางคณิตศาสตร์อันดับของกลุ่มจำกัดคือจำนวนสมาชิกของกลุ่มนั้น ถ้ากลุ่มไม่จำกัด เราจะกล่าวว่าอันดับของกลุ่มนั้นเป็นอนันต์อันดับของสมาชิกในกลุ่ม (เรียกอีกอย่างว่าความยาวคาบหรือคาบ ) คืออันดับของกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกนั้น ถ้าการดำเนินการของกลุ่มถูกแทนด้วยการคูณอันดับของสมาชิกa ในกลุ่มจึงเป็น จำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดmที่ทำให้a ^m = eโดยที่eแทนสมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่ม และa ^mแทนผลคูณของaจำนวนm ตัว ถ้าไม่มีm ดังกล่าว อันดับของaจะเป็นอนันต์

อันดับของกลุ่มGจะแสดงด้วยord( G )หรือ| G |และอันดับของสมาชิกaจะแสดงด้วยord( a )หรือ| a |แทนที่จะเป็น โดยวงเล็บหมายถึงกลุ่มที่สร้างขึ้น ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {ord} (\langle a\rangle ),}$

ทฤษฎีบทของลากรองจ์กล่าวว่า สำหรับกลุ่มย่อยH ใดๆ ของกลุ่มจำกัดGอันดับของกลุ่มย่อยนั้นจะหารอันดับของกลุ่มได้ นั่นคือ| H |เป็นตัวหารของ| G |โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อันดับ| a |ของสมาชิกใดๆ ก็เป็นตัวหารของ| G |ด้วย

กลุ่มสมมาตร S ₃มีตารางการคูณ ดังต่อ ไป นี้

•	อี	ส	ที	คุณ	วี	ว
อี	อี	ส	ที	คุณ	วี	ว
ส	ส	อี	วี	ว	ที	คุณ
ที	ที	คุณ	อี	ส	ว	วี
คุณ	คุณ	ที	ว	วี	อี	ส
วี	วี	ว	ส	อี	คุณ	ที
ว	ว	วี	คุณ	ที	ส	อี

กลุ่มนี้มีสมาชิก 6 ตัว ดังนั้นord(S ₃ ) = 6ตามนิยาม อันดับของเอกลักษณ์eคือหนึ่ง เนื่องจากe ¹ = e s , tและwแต่ละตัวยกกำลังสองได้เท่ากับeดังนั้นสมาชิกของกลุ่มนี้จึงมีอันดับสอง: | s | = | t | = | w | = 2สุดท้ายuและvมีอันดับ 3 เนื่องจากu ³  = vu  = eและv ³  = uv  = e

อันดับของกลุ่มGและอันดับของสมาชิกในกลุ่มนั้นให้ข้อมูลมากมายเกี่ยวกับโครงสร้างของกลุ่ม โดยคร่าวๆ แล้ว ยิ่งการแยกตัวประกอบของ | G | ซับซ้อนมากเท่าใด โครงสร้างของGก็ ยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น

สำหรับ | G | = 1 กลุ่มจะเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่นในกลุ่มใดๆ ก็ตาม มีเพียงสมาชิกเอกลักษณ์a = e เท่านั้น ที่มี ord( a) = 1 ถ้าสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทุกตัวในGเท่ากับตัวผกผันของมัน (ดังนั้นa ² = e ) แล้ว ord( a ) = 2 ซึ่งหมายความว่าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนเนื่องจาก แต่ บทกลับไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นกลุ่มวัฏจักร (แบบบวก) Z ₆ของจำนวนเต็มมอดูล 6 เป็นกลุ่มอาเบเลียน แต่จำนวน 2 มีอันดับ 3 ${\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba}$

${\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}}$.

ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดเรื่องลำดับทั้งสองมีดังนี้: ถ้าเราเขียน

${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}}$

สำหรับกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยaแล้ว

${\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle )}$

สำหรับจำนวนเต็มk ใดๆ เราจะได้ว่า

a ^k = e   ก็ต่อเมื่อ ord( a ) หารk ลงตัว

โดยทั่วไป อันดับของกลุ่มย่อยใดๆ ของGจะหารอันดับของG ลงตัว กล่าว ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นคือ ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว

ord( G ) / ord( H ) = [ G  : H ] โดยที่ [ G  : H ] เรียกว่าดัชนีของHในGซึ่งเป็นจำนวนเต็ม นี่คือทฤษฎีบทของลากรองจ์ (อย่างไรก็ตาม ข้อนี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อ G มีอันดับจำกัดเท่านั้น ถ้า ord( G ) = ∞ ผลหาร ord( G ) / ord( H ) จะไม่มีความหมาย)

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราจะเห็นว่าลำดับของสมาชิกทุกตัวในกลุ่มหารลงตัวกับลำดับของกลุ่ม ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มสมมาตรที่แสดงไว้ข้างต้น ซึ่ง ord(S ₃ ) = 6 ลำดับที่เป็นไปได้ของสมาชิกคือ 1, 2, 3 หรือ 6

ข้อความผกผันบางส่วนต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับกลุ่มจำกัด : ถ้าdหารอันดับของกลุ่มG ลงตัว และdเป็นจำนวนเฉพาะแล้วจะมีสมาชิกที่มีอันดับd อยู่ ในG (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบทของโคชี ) ข้อความนี้ไม่เป็นจริงสำหรับ อันดับ ประกอบเช่นกลุ่มไคลน์สี่ไม่มีสมาชิกที่มีอันดับสี่ สามารถแสดงได้โดย การพิสูจน์ แบบอุปนัย^{[ 1 ]}ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทนี้ได้แก่: อันดับของกลุ่มGเป็นกำลังของจำนวน เฉพาะ pก็ต่อเมื่อ ord( ^a )เป็นกำลังของpสำหรับทุกaในG [ ^{2 ]}

ถ้าaมีอันดับอนันต์ กำลังที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดของa ก็ จะมีอันดับอนันต์เช่นกัน ถ้าaมีอันดับจำกัด เราจะมีสูตรต่อไปนี้สำหรับอันดับของกำลังของa :

ord( a ^k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k ) ^{[ 3 ]}

สำหรับจำนวนเต็มk ทุกตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่งaและตัวผกผันของมันคือa ⁻¹จะมีลำดับเดียวกัน

ในกลุ่มใดก็ตาม

${\displaystyle \operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)}$

ไม่มีสูตรทั่วไปที่เชื่อมโยงอันดับของผลคูณabกับอันดับของaและbอันที่จริง เป็นไปได้ที่ทั้งaและbจะมีอันดับจำกัด ในขณะที่abมีอันดับอนันต์ หรือทั้งaและbจะมีอันดับอนันต์ ในขณะที่abมีอันดับจำกัด ตัวอย่างของกรณีแรกคือa ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− xโดยที่ab ( x ) = x −1 ในกลุ่มตัวอย่างของกรณีหลังคือa ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 โดยที่ab ( x ) = xถ้าab = baอย่างน้อยที่สุดเราก็สามารถกล่าวได้ว่า ord( ab ) หารlcm (ord( a ), ord( b )) ลงตัว ดังนั้น จึงสามารถพิสูจน์ได้ว่าในกลุ่มอาเบเลียนจำกัด ถ้าmแทนค่าสูงสุดของอันดับทั้งหมดของสมาชิกในกลุ่มแล้ว อันดับของสมาชิกทุกตัวจะหารmลงตัว ${\displaystyle Sym(\mathbb {Z} )}$

สมมติว่าGเป็นกลุ่มจำกัดที่มีอันดับnและdเป็นตัวหารของnจำนวนสมาชิกที่มีอันดับdในGเป็นผลคูณของ φ( d ) (อาจเป็นศูนย์) โดยที่ φ คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ซึ่งให้จำนวนเต็มบวกที่ไม่เกินdและ เป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กับ d ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ S³ _φ (3) = 2 และเรามีสมาชิกที่มีอันดับ 3 สองตัวพอดี ทฤษฎีบทนี้ไม่ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับสมาชิกที่มีอันดับ 2 เพราะ φ(2) = 1 และมีประโยชน์จำกัดสำหรับจำนวนประกอบdเช่นd = 6 เนื่องจาก φ(6) = 2 และไม่มีสมาชิกที่มีอันดับ 6 ใน_S³เลย

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มมักจะลดอันดับของสมาชิก: ถ้าf :  G  →  Hเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม และaเป็นสมาชิกของGที่มีอันดับจำกัด แล้ว ord( f ( a )) จะหาร ord( a ) ลงตัว ถ้าfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว ord( f ( a )) = ord( a ) สิ่งนี้มักใช้พิสูจน์ได้ว่าไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมหรือไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสองกลุ่มที่กำหนดให้อย่างชัดเจน (ตัวอย่างเช่น ไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่แบบศูนย์h : S ₃  →  Z ₅เพราะทุกจำนวนยกเว้นศูนย์ในZ _{5 มีอันดับ 5 ซึ่งหารอันดับ 1, 2 และ 3 ของสมาชิกใน S 3}ไม่ลงตัว) ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งคือสมาชิกสังยุคมีอันดับเดียวกัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับลำดับคือสมการชั้นซึ่งเชื่อมโยงลำดับของกลุ่มจำกัดGกับลำดับของศูนย์กลาง Z( G ) และขนาดของชั้นสมมูล ที่ไม่เป็นศูนย์ :

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;}$

โดยที่d _iคือขนาดของชั้นสมมูลที่ไม่ใช่กลุ่มย่อย ซึ่งเป็นตัวหารแท้ของ | G | ที่มากกว่าหนึ่ง และยังเท่ากับดัชนีของตัวรวมศูนย์ในGของตัวแทนของชั้นสมมูลที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยด้วย ตัวอย่างเช่น ศูนย์กลางของ S ₃คือกลุ่มย่อยที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือeและสมการคือ |S ₃ | = 1+2+3

• กลุ่มย่อยการบิด