ในพีชคณิตนามธรรมทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสอธิบายถึงการรวมกันของสมาชิกในกลุ่มย่อยไซโลว์ของกลุ่มจำกัดทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสได้รับการแนะนำใน ( Higman 1953 ) และเป็น "การประยุกต์ใช้หลักครั้งแรกของการถ่ายโอน" ตามที่ ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , หน้า 90) กล่าวไว้ ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสเชื่อมโยงแนวคิดของการถ่ายโอนและการรวมกันดังที่ Otto Grün อธิบายไว้ใน ( Grün 1936 ) การประยุกต์ใช้แนวคิดเหล่านี้มีหลากหลาย รวมถึงเกณฑ์เฉพาะที่สำหรับp -nilpotenceและเกณฑ์ที่ไม่ใช่ความเรียบง่าย ต่างๆ ที่มุ่งเน้นการแสดงให้เห็นว่ากลุ่มจำกัดมีกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีp

ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสเชื่อมโยงแนวทางการวิจัยหลายด้านในทฤษฎีกลุ่มจำกัด ได้แก่ กลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีเป็นกำลังของp , โฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอน และการรวมตัวของสมาชิก

กลุ่มย่อยปกติสามกลุ่มต่อไปนี้ที่มีดัชนีเป็นกำลังของpนั้นถูกกำหนดขึ้นตามธรรมชาติ และเกิดขึ้นเป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดซึ่งผลหารเป็น กลุ่ม p (ชนิดหนึ่ง) ในทางรูปธรรม กลุ่มเหล่านี้เป็นแกนหลักของการสะท้อนไปยังหมวดหมู่ย่อยสะท้อนของ กลุ่ม p (ตามลำดับคือกลุ่มp อา เบเลียนพื้นฐาน กลุ่ม p อา เบเลียน )

• E ^p ( G ) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีp ทั้งหมด ; G / E ^p ( G ) คือกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานและเป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานp ที่ใหญ่ที่สุด ที่Gกระจาย ไปทั่ว
• A ^p ( G ) (สัญลักษณ์จาก ( Isaacs 2008 , 5D, หน้า 164)) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติทั้งหมดKโดยที่G / Kเป็น กลุ่ม p-อา เบเลียน (กล่าวคือKเป็นกลุ่มย่อยปกติดัชนีที่ประกอบด้วยกลุ่มอนุพันธ์): G / A ^p ( G ) คือ กลุ่ม p-อา เบเลียนที่ใหญ่ที่สุด (ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มพื้นฐาน) ที่Gส่งผ่าน ไปยัง${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติK ทั้งหมด ของGโดยที่G / K เป็นกลุ่ม p (อาจจะไม่เป็นกลุ่มสลับที่) (กล่าวคือKเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบดัชนี): G / O ^p ( G ) คือ กลุ่ม p ที่ใหญ่ที่สุด (ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มสลับที่) ที่Gส่งผ่าน ไปยัง O p ( G ) นอกจากนี้ O ^p ( G ) ยังรู้จักกันในชื่อ${\displaystyle p^{k}}$กลุ่มย่อย p - residual

ประการแรก เนื่องจากเงื่อนไขเหล่านี้อ่อนกว่าสำหรับกลุ่มKจึงทำให้ได้การบรรจุซึ่งมีความสัมพันธ์กันดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G)}$

A ^p ( G ) = O ^p ( G )[ G , G ].

O ^p ( G ) มีลักษณะเฉพาะทางเลือกดังต่อไปนี้ คือ กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มย่อย Sylow q ทั้งหมดของ Gเมื่อq ≠ pครอบคลุมตัวหารเฉพาะของอันดับของGที่แตกต่างจากp

O ^p ( G ) ใช้เพื่อกำหนดอนุกรมpล่างของGในลักษณะเดียวกับอนุกรมpตอนบนที่อธิบายไว้ในp- core

โฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอนคือ โฮโมมอร์ฟิซึมที่สามารถกำหนดได้จากกลุ่มใดๆ Gไปยังกลุ่มอาเบเลียนH /[ H , H ] ซึ่งกำหนดโดยกลุ่มย่อยH ≤ Gที่มีดัชนีจำกัดนั่นคือ [ G : H ] < ∞ แผนที่การถ่ายโอนจากกลุ่มจำกัดGไปยังกลุ่มย่อย Sylow p ของมัน มีเคอร์เนลที่อธิบายได้ง่าย:

เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอนจากกลุ่มจำกัดG ไปยัง กลุ่มย่อยSylow p ของมัน PมีA ^p ( G ) เป็นเคอร์เนล ( Isaacs 2008 , ทฤษฎีบท 5.20, หน้า 165)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โฮโมมอร์ฟิซึมที่ "ชัดเจน" บนกลุ่มอาเบเลียนp นั้นแท้จริงแล้วคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่ทั่วไปที่สุด

รูป แบบ การรวมกลุ่มย่อยHในGคือความสัมพันธ์สมมูลบนองค์ประกอบของHโดยที่องค์ประกอบhและkของHจะรวมกันได้ก็ต่อเมื่อพวกมันเป็น คู่ควบ Gกล่าวคือ ถ้ามีg บางตัว ในGที่ทำให้h = k ^gโครงสร้างปกติของGมีผลต่อรูปแบบการรวมกลุ่มย่อย Sylow p ของมัน และในทางกลับกัน รูปแบบการรวมกลุ่มย่อย Sylow pของมันก็มีผลต่อโครงสร้างปกติของG เช่นกัน ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , หน้า 89)

เราสามารถกำหนดกลุ่มย่อยโฟกัสของHที่เกี่ยวข้องกับG ได้ดังเช่นใน ( Isaacs 2008 , หน้า 165) :

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , yในHและxเป็น คู่ควบ Gกับy ⟩

กลุ่มย่อยโฟกัสนี้ใช้วัดขอบเขตที่องค์ประกอบของHหลอมรวมกันในGในขณะที่คำจำกัดความก่อนหน้านี้ใช้วัดภาพโฮโมมอร์ฟิกของกลุ่มอาเบเลียนp บาง กลุ่มของกลุ่มGเนื้อหาของทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสคือ คำจำกัดความทั้งสองของกลุ่มย่อยโฟกัสนี้เข้ากันได้

( Gorenstein 1980 , หน้า 246) แสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อยโฟกัสของPในGคือจุดตัดP ∩[ G , G ] ของกลุ่มย่อย Sylow p -subgroup Pของกลุ่มจำกัดGกับกลุ่มย่อยอนุพันธ์ [ G , G ] ของGกลุ่มย่อยโฟกัสมีความสำคัญเนื่องจากเป็นกลุ่มย่อย Sylow p -subgroup ของกลุ่มย่อยอนุพันธ์ นอกจากนี้ยังได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

มีกลุ่มย่อยปกติKของGโดยที่G / Kเป็นกลุ่มอาเบเลียนpที่สมสัณฐานกับP / P ∩[ G , G ] (ในที่นี้KหมายถึงA ^p ( G )) และ

ถ้าKเป็นกลุ่มย่อยปกติของGโดยที่G / Kเป็นกลุ่มอาเบเลียน p แล้วP ∩[ G , G ] ≤ KและG / Kเป็นภาพโฮโมมอร์ฟิกของP / P ∩[ G , G ] ( Gorenstein 1980 , ทฤษฎีบท 7.3.1, หน้า 90)

กลุ่มย่อยโฟกัสของกลุ่มจำกัดGที่มีกลุ่มย่อย ไซโลว์ pคือ P ดังนี้:

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , yอยู่ในPและxเป็น คู่ควบ Gกับy ⟩

โดยที่vคือโฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอนจากGไปยังP /[ P , P ] ( Isaacs 2008 , ทฤษฎีบท 5.21, หน้า 165)

ความเชื่อมโยงระหว่างการถ่ายโอนและการหลอมรวมนี้ได้รับการยกย่องให้แก่ ( Higman 1953 ) ^{[ 1 ]}ซึ่งในภาษาที่แตกต่างกัน ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสได้รับการพิสูจน์พร้อมกับการวางนัยทั่วไปต่างๆ ข้อกำหนดที่ว่าG / Kต้องเป็นอาเบลถูกยกเลิก ดังนั้น Higman จึงศึกษาO ^p ( G ) และเศษเหลือนิล โพเทนต์ γ _∞ ( G ) ในฐานะกลุ่มย่อยไฮเปอร์โฟกัส Higman ยังไม่ได้จำกัดเฉพาะจำนวนเฉพาะp เพียงตัวเดียว แต่ยังอนุญาตให้ มีกลุ่ม πสำหรับเซตของจำนวนเฉพาะπและใช้ทฤษฎีบทของกลุ่มย่อยฮอลล์ ของ Philip Hallเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่คล้ายกันเกี่ยวกับการถ่ายโอนไปยังกลุ่มย่อยฮอลล์πโดยกำหนดให้π = { p } กลุ่มย่อยฮอลล์πเป็นกลุ่มย่อยไซโลว์pและผลลัพธ์ของ Higman เป็นไปตามที่นำเสนอข้างต้น

ความสนใจในกลุ่มย่อยไฮเปอร์โฟกัสได้รับการจุดประกายขึ้นอีกครั้งโดยงานของ ( Puig 2000 ) ในการทำความเข้าใจทฤษฎีการแสดงแทนแบบโมดูลาร์ของบล็อกที่มีพฤติกรรมดีบางประเภท กลุ่มย่อยไฮเปอร์โฟกัสของPในGสามารถนิยามได้เป็นP ∩γ _∞ ( G ) นั่นคือ เป็นกลุ่มย่อย Sylow pของส่วนที่เหลือแบบนิลโพเทนต์ของGถ้าPเป็นกลุ่มย่อย Sylow pของกลุ่มจำกัดGแล้วจะได้ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสมาตรฐาน:

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y in P and y = x ^g for some g in G of order coprime to p ⟩

และลักษณะเฉพาะของพื้นที่:

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y in Q ≤ Pและy = x ^gสำหรับg บางตัว ใน N _G ( Q ) ที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับp ⟩

เมื่อเปรียบเทียบกับลักษณะเฉพาะของกลุ่มย่อยเป้าหมายในระดับท้องถิ่นแล้ว จะได้ดังนี้:

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y in Q ≤ Pและy = x ^gสำหรับg บางตัว ใน N _G ( Q ) ⟩

ปุยจ์สนใจในการขยายสถานการณ์นี้ไปสู่ระบบฟิวชั่นซึ่ง เป็นแบบ จำลองเชิงหมวดหมู่ของรูปแบบฟิวชั่นของกลุ่มย่อยไซโลว์pที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มจำกัด ซึ่งยังจำลองรูปแบบฟิวชั่นของกลุ่มข้อบกพร่องของ บล็อก pในทฤษฎีการแสดงแทนแบบโมดูลาร์ด้วย อันที่จริง ระบบฟิวชั่นได้พบการประยุกต์ใช้และแรงบันดาลใจที่น่าประหลาดใจมากมายในสาขาโทโพโลยีเชิงพีชคณิตที่เรียกว่าทฤษฎีโฮ โมโทปีแบบ สมมาตร ทฤษฎีบทเชิงพีชคณิตที่สำคัญบางข้อในสาขานี้มีเพียงการพิสูจน์เชิงโทโพโลยีในขณะนี้เท่านั้น

นักคณิตศาสตร์หลายท่านได้นำเสนอวิธีการคำนวณกลุ่มย่อยเป้าหมายจากกลุ่มย่อยที่มีขนาดเล็กกว่า ตัวอย่างเช่น งานวิจัยที่มีอิทธิพล ( Alperin 1967 ) ได้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับการควบคุมการหลอมรวมในระดับท้องถิ่น และตัวอย่างการประยุกต์ใช้แสดงให้เห็นว่า:

P  ∩  A ^p ( G ) ถูกสร้างขึ้นโดยกลุ่มย่อยคอมมิวเทเตอร์ [ Q , N _G ( Q )] โดยที่QแปรผันไปตามตระกูลCของกลุ่มย่อยของ  P

การเลือกตระกูลCสามารถทำได้หลายวิธี ( Cคือสิ่งที่เรียกว่า "ตระกูลการผันแปรแบบอ่อน" ใน ( Alperin 1967 )) และมีตัวอย่างหลายประการ: สามารถเลือกให้Cเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ทั้งหมดของPหรือเลือกแบบที่เล็กกว่าคือจุดตัดQ  =  P  ∩  P ^gสำหรับgในGซึ่ง N _P ( Q ) และ N _{P ^g} ( Q ) เป็นกลุ่มย่อย Sylow pของ N _G ( Q ) ทั้งคู่ การเลือกแบบหลังนี้ทำใน ( Gorenstein 1980 , ทฤษฎีบท 7.4.1, หน้า 251) งานของ ( Grün 1936 ) ศึกษาแง่มุมของการถ่ายโอนและการหลอมรวมเช่นกัน ส่งผลให้เกิดทฤษฎีบทแรกของ Grün :

P  ∩  A ^p ( G ) ถูกสร้างขึ้นโดยP  ∩ [ N ,  N ] และP  ∩ [ Q ,  Q ] โดยที่N  = N _G ( P ) และQครอบคลุมเซตของกลุ่มย่อย Sylow p Q = P ^gของG ( Gorenstein 1980 , ทฤษฎีบท 7.4.2, หน้า 252)

เนื้อหาในตำราเรียน ( Rose 1978 , หน้า 254–264), ( Isaacs 2008 , บทที่ 5), ( Hall 1959 , บทที่ 14), ( Suzuki 1986 , §5.2, หน้า 138–165) ล้วนมีการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัสในรูปแบบต่างๆ ที่เชื่อมโยงการหลอมรวม การถ่ายโอน และ การแยกประเภทหนึ่งที่เรียกว่าp - nilpotence

ในระหว่างการศึกษาทฤษฎีบท Alperin–Brauer–Gorenstein เกี่ยวกับ การจำแนกกลุ่มง่าย จำกัด ที่มีกลุ่มย่อย Sylow 2 แบบกึ่งไดเฮดรัล จำเป็นต้องแยกแยะกลุ่มที่มีกลุ่มย่อย Sylow 2 แบบกึ่งไดเฮดรัลออกเป็นสี่ประเภท ได้แก่ กลุ่ม 2-นิลโพเทนต์ กลุ่มประเภท Qที่มีกลุ่มย่อยโฟกัสเป็นกลุ่มควอเทอร์เนียนทั่วไปที่มีดัชนี 2 กลุ่มประเภท Dที่มีกลุ่มย่อยโฟกัสเป็นกลุ่มไดเฮดรัลที่มีดัชนี 2 และ กลุ่มประเภท QDที่มีกลุ่มย่อยโฟกัสเป็นกลุ่มกึ่งไดเฮดรัลทั้งหมด ในแง่ของการหลอมรวม กลุ่ม 2-นิลโพเทนต์มีอินโวลูชัน 2 คลาส และกลุ่มย่อยวัฏจักร 2 คลาส ที่มีอันดับ 4 กลุ่ม ประเภท Qมีอินโวลูชัน 2 คลาส และกลุ่มย่อยวัฏจักร 1 คลาส ที่มีอันดับ 4 กลุ่ม ประเภท QDมีคลาสหนึ่งของกลุ่มผกผันและกลุ่มย่อยวัฏจักรอันดับ 4 อย่างละหนึ่งคลาส กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มจำกัดที่มีกลุ่มย่อย Sylow 2 แบบกึ่งไดเฮดรัลสามารถจำแนกได้ตามกลุ่มย่อยโฟกัส หรือเทียบเท่ากับตามรูปแบบการหลอมรวม รายการกลุ่มที่มีรูปแบบการหลอมรวมแต่ละแบบมีอยู่ใน ( Alperin, Brauer & Gorenstein 1970 )