ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิต (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าฟิลด์จำนวน ) คือฟิลด์ส่วนขยาย ของฟิลด์จำนวนตรรกยะโดยที่ส่วนขยายฟิลด์นั้นมีดีกรีจำกัด (และดังนั้นจึงเป็น ส่วนขยายฟิลด์ เชิงพีชคณิต ) ดังนั้น จึงเป็นฟิลด์ที่ประกอบด้วยและมีมิติ จำกัด เมื่อพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

การศึกษาเกี่ยวกับฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งก็คือส่วนขยายเชิงพีชคณิตของฟิลด์จำนวนตรรกยะ เป็นหัวข้อหลักของทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตการศึกษานี้เผยให้เห็นโครงสร้างที่ซ่อนเร้นอยู่เบื้องหลังจำนวนตรรกยะ โดยใช้วิธีการทางพีชคณิต

แนวคิดของฟิลด์จำนวนพีชคณิตอาศัยแนวคิดของฟิลด์ฟิลด์ประกอบด้วยเซตของสมาชิกพร้อมกับการดำเนินการสองอย่าง ได้แก่การบวกและการคูณและ ข้อสมมติเกี่ยวกับ การกระจาย บาง ประการ การดำเนินการเหล่านี้ทำให้ฟิลด์กลายเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวก และทำให้สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของฟิลด์กลายเป็นกลุ่มอาเบเลียนอีกกลุ่มหนึ่งภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่โดดเด่นของฟิลด์คือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะซึ่งโดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์พร้อมกับการดำเนินการปกติของการบวกและการคูณ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

แนวคิดอีกประการหนึ่งที่จำเป็นในการกำหนดฟิลด์จำนวนพีชคณิตคือปริภูมิเวกเตอร์ในขอบเขตที่จำเป็นในที่นี้ ปริภูมิเวกเตอร์สามารถคิดได้ว่าประกอบด้วยลำดับ (หรือทูเปิล )

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

ซึ่งสมาชิกในลำดับนั้นเป็นองค์ประกอบของฟิลด์คงที่ เช่น ฟิลด์ลำดับสองลำดับใดๆ สามารถบวกกันได้โดยการบวกสมาชิกที่สอดคล้องกัน นอกจากนี้ สมาชิกทั้งหมดของลำดับใดๆ ก็สามารถคูณด้วยสมาชิกc ตัวเดียว ของฟิลด์คงที่ได้ การดำเนินการสองอย่างนี้ ซึ่งเรียกว่าการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติหลายประการที่ใช้ในการกำหนดปริภูมิเวกเตอร์ในเชิงนามธรรม ปริภูมิเวกเตอร์สามารถเป็น " มิติอนันต์ " ได้ กล่าวคือ ลำดับที่ประกอบเป็นปริภูมิเวกเตอร์อาจมีความยาวอนันต์ อย่างไรก็ตาม หากปริภูมิเวกเตอร์ประกอบด้วยลำดับ จำกัด${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$,

กล่าวกันว่าปริภูมิเวกเตอร์มี มิติจำกัด${\displaystyle n}$

ฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิต (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าฟิลด์จำนวน ) คือส่วนขยายฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ที่มี ดีกรี จำกัด โดย ดีกรี ในที่นี้ หมายถึงมิติของฟิลด์ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• ฟิลด์จำนวนที่เล็กที่สุดและพื้นฐานที่สุดคือฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ คุณสมบัติหลายอย่างของฟิลด์จำนวนทั่วไปนั้นจำลองมาจากคุณสมบัติของจำนวนตรรกยะในขณะเดียวกัน คุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมายของฟิลด์จำนวนพีชคณิตก็แตกต่างจากคุณสมบัติของจำนวนตรรกยะอย่างมาก ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดอย่างหนึ่งคือวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตของฟิลด์จำนวนนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นโดเมนอุดมคติหลักและไม่จำเป็นต้องเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ด้วย ซ้ำ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• จำนวนตรรกยะเกาส์เซียน ( Gaussian rationals ) ซึ่งเขียนแทนด้วย(อ่านว่า " adjoin ") เป็นตัวอย่างแรก (ในเชิงประวัติศาสตร์) ของฟิลด์จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนธรรมดา องค์ประกอบของมันคือองค์ประกอบในรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนตรรกยะ และคือหน่วยจินตภาพนิพจน์ดังกล่าวสามารถบวก ลบ และคูณกันได้ตามกฎเลขคณิตทั่วไป แล้วจึงทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้เอกลักษณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจำนวนจริง:${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\&(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}}}$$

จำนวนตรรกยะเกาส์เซียนที่ไม่เป็นศูนย์สามารถหาตัวผกผันได้ซึ่งสามารถเห็นได้จากเอกลักษณ์ดังกล่าว

$${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$

ดังนั้น จำนวนตรรกยะเกาส์เซียนจึงก่อให้เกิดฟิลด์จำนวนที่มีมิติสองมิติในฐานะปริภูมิเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ใดๆ ฟิลด์กำลังสองคือฟิลด์จำนวนที่ได้จากการเพิ่มรากที่สองของเข้าไปในฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในฟิลด์นี้ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับกรณีของจำนวนตรรกยะแบบเกาส์เซียน${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=-1}$
• ฟิลด์ไซโคลโทมิก โดยที่เป็นฟิลด์จำนวนที่ได้จาก โดยการเพิ่มรากที่ nดั้งเดิมของเอกภาพฟิลด์นี้ประกอบด้วยรากที่ n เชิงซ้อนทั้งหมดของเอกภาพ และมิติของมันเหนือมีค่าเท่ากับโดยที่คือฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {(2\pi i/n)}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \varphi }$

• จำนวนจริง , ,และจำนวนเชิงซ้อน , ,เป็นฟิลด์ที่มีมิติอนันต์ในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ ; ดังนั้นจึงไม่ใช่ฟิลด์จำนวน ข้อสรุปนี้เป็นผลมาจากความไม่สามารถนับได้ของและในฐานะเซต ในขณะที่ฟิลด์จำนวนทุกฟิลด์จำเป็นต้องนับได้เนื่องจากเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• เซตของคู่ลำดับของจำนวนตรรกยะ ซึ่งมีคุณสมบัติการบวกและการคูณแบบสมาชิกต่อสมาชิก เป็นพีชคณิตสลับที่แบบ สองมิติ เหนืออย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ฟิลด์ เนื่องจากมีตัวหารเป็นศูนย์ : .${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

โดยทั่วไป ในพีชคณิตนามธรรมส่วนขยายของฟิลด์จะเป็นพีชคณิตก็ต่อเมื่อทุกองค์ประกอบของฟิลด์ที่ใหญ่กว่านั้นเป็นศูนย์ของพหุนาม (ที่ไม่ใช่ศูนย์) ที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ใน:${\displaystyle K/L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

ส่วนขยายฟิลด์ทุกตัวที่มีดีกรีจำกัดเป็นฟิลด์พีชคณิต (พิสูจน์: สำหรับในให้พิจารณา– เราจะได้ความสัมพันธ์เชิงเส้น กล่าวคือ พหุนามที่เป็นรากของ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้ได้กับฟิลด์จำนวนพีชคณิต ดังนั้น สมาชิกใด ๆของฟิลด์จำนวนพีชคณิตสามารถเขียนได้เป็นศูนย์ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น สมาชิกของจึงถูกเรียกว่าจำนวนพีชคณิต ด้วยเช่นกัน เมื่อกำหนดพหุนามเช่นเราสามารถจัดเรียงพหุนามนั้นให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นหนึ่งได้ โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยหนึ่ง ถ้าจำเป็น พหุนามที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าพหุนามเอกลักษณ์โดยทั่วไปจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(f)=0}$${\displaystyle e_{m}}$

อย่างไรก็ตาม หากสัมประสิทธิ์ของพหุนามเอกลักษณ์เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด พหุนามนั้น จะเรียกว่าจำนวนเต็มพีชคณิต${\displaystyle f}$

จำนวนเต็มใดๆ (ตามปกติ) ถือเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต เนื่องจากเป็นค่าศูนย์ของพหุนามเอกลักษณ์เชิงเส้น: ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$.

สามารถแสดงได้ว่าจำนวนเต็มพีชคณิตใดๆ ที่เป็นจำนวนตรรกยะจะต้องเป็นจำนวนเต็มจริงๆ ด้วย ดังนั้นจึงเรียกว่า "จำนวนเต็มพีชคณิต" โดยใช้พีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดสามารถแสดงได้ว่าผลรวมและผลคูณของจำนวนเต็มพีชคณิตสองจำนวนใดๆ ก็ยังคงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ดังนั้น จำนวนเต็มพีชคณิตจึงก่อตัวเป็นวงแหวน ที่ เรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็มของซึ่งเป็นวงแหวนย่อย ของ (นั่นคือ วงแหวนที่บรรจุอยู่ใน) ฟิลด์ไม่มีตัวหารศูนย์และคุณสมบัตินี้สืบทอดไปยังวงแหวนย่อยใดๆ ดังนั้นวงแหวนของจำนวนเต็มของ จึงเป็นโดเมนจำนวนเต็ม ฟิลด์ คือฟิลด์ของเศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็ม ด้วยวิธีนี้ เราสามารถไปมาระหว่างฟิลด์จำนวนพีชคณิตและวงแหวนของจำนวนเต็มได้วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตมีคุณสมบัติที่โดดเด่นสามประการ ประการแรก คือ เป็นโดเมนเชิงอินทิกรั ลที่ปิดสนิทในฟิลด์เศษส่วนประการที่สองคือ เป็นวงแหวนโนเธอร์เรียน และประการสุดท้าย ไอเดียลเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ทุก ตัว ของจะเป็น ไอเดียล สูงสุดหรือเทียบเท่ากับมิติครูลล์ของวงแหวนนี้คือหนึ่ง วงแหวนสลับที่นามธรรมที่มีคุณสมบัติทั้งสามนี้เรียกว่า วงแหวนเดเดคินด์ (หรือโดเมนเดเดคินด์ ) เพื่อเป็นเกียรติแก่ริชาร์ด เดเดคินด์ผู้ซึ่งศึกษาวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตอย่างลึกซึ้ง ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

สำหรับวงแหวนเดเดคินด์ ทั่วไป โดยเฉพาะวงแหวนของจำนวนเต็ม จะมีการแยกตัวประกอบของไอเดียลออกเป็นผลคูณของไอเดียล เฉพาะเพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ไอเดียลในวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองจะแยกตัวประกอบเป็นไอเดียลเฉพาะได้ดังนี้ ${\displaystyle (6)}$${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

อย่างไรก็ตาม ต่างจากวงแหวนจำนวนเต็มของวงแหวนจำนวนเต็มของส่วนขยายที่เหมาะสมของไม่จำเป็นต้องยอมรับการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของจำนวนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือสมาชิกเฉพาะสิ่งนี้เกิดขึ้นแล้วสำหรับจำนวนเต็มกำลังสองตัวอย่างเช่น ในความไม่ซ้ำกันของการแยกตัวประกอบล้มเหลว: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

โดยใช้บรรทัดฐานสามารถแสดงได้ว่าการแยกตัวประกอบทั้งสองนี้ไม่เท่ากันในแง่ที่ว่าตัวประกอบไม่ได้แตกต่างกันเพียงหน่วยเดียวในโดเมนยุคลิดเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่นวงแหวนของจำนวนเต็มเกาส์เซียนและวงแหวนของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์โดยที่เป็นรากที่สามของเอกภาพ (ไม่เท่ากับ 1) มีคุณสมบัตินี้^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \omega }$

ความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนั้นวัดได้จากจำนวนชั้น ซึ่งโดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์hซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกของกลุ่มชั้นอุดมคติกลุ่มนี้เป็นกลุ่มจำกัดเสมอ วงแหวนของจำนวนเต็มมีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อเป็นวงแหวนหลัก หรือเทียบเท่ากับว่ามีจำนวนชั้นเท่ากับ 1เมื่อกำหนดฟิลด์จำนวนแล้ว การคำนวณจำนวนชั้นมักทำได้ยากปัญหาจำนวนชั้นซึ่งย้อนกลับไปถึงสมัยของเกาส์เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของฟิลด์จำนวนกำลังสองเชิงจินตนาการ (เช่น) ที่มีจำนวนชั้นที่กำหนดไว้สูตรจำนวนชั้นเชื่อมโยงhกับค่าคงที่พื้นฐานอื่นๆ ของ โดยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของเดเดคิน ด์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันในตัวแปรเชิงซ้อนที่กำหนดโดย ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(ผลคูณนี้ครอบคลุมอุดมคติเฉพาะทั้งหมดของ โดยหมายถึงค่ามาตรฐานของอุดมคติเฉพาะ หรือเทียบเท่ากับจำนวนองค์ประกอบ (จำกัด) ในฟิลด์เศษเหลือ ผลคูณอนันต์จะลู่เข้าเฉพาะเมื่อRe ( s ) > 1 เท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว จำเป็นต้อง มีการต่อยอดเชิงวิเคราะห์และสมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันซีตาเพื่อกำหนดฟังก์ชันสำหรับs ทั้งหมด ) ฟังก์ชันซีตาของเดเดคินด์เป็นการขยายฟังก์ชันซีตาของรีมันน์โดยที่ ζ ( s ) = ζ( s ) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

สูตรเลขชั้นระบุว่า ζ ( s ) มีขั้วเดี่ยวที่s = 1 และ ณ จุดนี้ค่าตกค้างจะกำหนดโดย _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

ในที่นี้r ₁และr ₂หมายถึงจำนวนการฝังตัวจริงและคู่ของการฝังตัวเชิงซ้อนของตามลำดับ ยิ่งไปกว่านั้น Reg คือตัวควบคุมของ, w คือจำนวนรากของเอกภาพในและDคือตัวแยกแยะของ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ฟังก์ชัน L ของ Dirichlet เป็นรูปแบบที่ละเอียดกว่าของฟังก์ชัน L ทั้งสองประเภทนี้เข้ารหัสพฤติกรรมทางเลขคณิตของ L และL ตามลำดับ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Dirichletกล่าวว่าในลำดับเลขคณิต ใดๆ L = ...${\displaystyle L(\chi ,s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

โดยที่และ เป็นจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กัน จะมีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน ทฤษฎีบทนี้อนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชัน Dirichlet ไม่เป็นศูนย์ที่โดยใช้เทคนิคขั้นสูงกว่ามาก รวมถึงทฤษฎี K ทางพีชคณิตและการวัด Tamagawaทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่จะอธิบายค่าของฟังก์ชัน L ทั่วไปมากขึ้น แม้ว่าส่วนใหญ่จะเป็นเพียงการคาดเดา (ดู การคาดเดาจำนวน Tamagawa ) ก็ตาม^{[ 2 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s=1}$

ฐานจำนวนเต็มสำหรับฟิลด์จำนวนที่มีดีกรีคือเซต ${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$

B = { b ₁ , …, b _n }

ของจำนวนเต็มพีชคณิตn ตัวใน โดยที่สมาชิกทุกตัวในวงแหวนของจำนวนเต็มของสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปของ การรวมเชิงเส้น ZของสมาชิกของBกล่าวคือ สำหรับx ใดๆ ในเรามี ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

x = m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

โดยที่m และ _iเป็นจำนวนเต็ม (ธรรมดา) ดังนั้นจึงเป็นไปได้เช่นกันว่าองค์ประกอบใดๆ ของสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันดังนี้ ${\displaystyle K}$

m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

โดยที่m และ _i ในที่นี้ เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจำนวนเต็มพีชคณิตของจึงเป็นสมาชิกของที่m และ _iทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

การทำงานในระดับท้องถิ่นและการใช้เครื่องมือต่างๆ เช่นแผนที่ฟรอเบนิอุสทำให้สามารถคำนวณฐานดังกล่าวได้อย่างชัดเจนเสมอ และปัจจุบันระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ส่วน ใหญ่ มีโปรแกรมในตัวเพื่อทำเช่นนี้

ให้เป็นฟิลด์จำนวนที่มีดีกรี n ในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ(ซึ่งมองว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ n) จะมีฐานเฉพาะที่เรียกว่าฐานกำลัง ซึ่งเป็นฐานในรูปแบบ ${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

สำหรับองค์ประกอบบางอย่างตามทฤษฎีบทองค์ประกอบดั้งเดิมจะมีองค์ประกอบ ดั้งเดิมอยู่ เรียกว่าองค์ประกอบดั้งเดิมถ้าสามารถเลือก ในและ โดยที่เป็นฐานของ ใน ฐานะโมดูล Zอิสระแล้วจะเรียกว่าฐานปริพันธ์กำลังและฟิลด์เรียกว่าฟิลด์โมโนจีนิก ตัวอย่างของฟิลด์จำนวนที่ไม่ใช่โมโนจีนิกนั้น Dedekind เป็นผู้ให้ตัวอย่างแรก ตัวอย่างของเขาคือฟิลด์ที่ได้จากการต่อรากของพหุนาม^{[ 3 ]}${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle B_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle B_{x}}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

โปรดจำไว้ว่าส่วนขยายของฟิลด์ใดๆ ก็มีโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ n ที่ไม่ซ้ำกัน การใช้การคูณใน n สมาชิกของฟิลด์เหนือฟิลด์ฐานอาจถูกแทนด้วยเมทริกซ์ โดยกำหนดให้ n = n โดยที่ n คือฐานคงที่สำหรับ n ซึ่งมองว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ n จำนวนตรรกยะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดย n และการเลือกฐาน เนื่องจากสมาชิกใดๆ ของ n สามารถแทนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลรวมเชิงเส้นของสมาชิกฐาน วิธีการเชื่อมโยงเมทริกซ์กับสมาชิกใดๆ ของฟิลด์นี้เรียกว่าการแทนแบบปกติเมทริกซ์จัตุรัส n แสดงถึงผลของการคูณด้วย n ในฐานที่กำหนด ดังนั้น ถ้าสมาชิกของ n ถูกแทนด้วยเมทริกซ์ n ผล คูณ n จะถูกแทนด้วยผลคูณเมทริกซ์n ค่าคงที่ของเมทริกซ์ เช่นร่องรอยดีเทอร์มิแนนต์และพหุนามลักษณะเฉพาะ ขึ้นอยู่กับสมาชิกฟิลด์เท่านั้นไม่ขึ้นอยู่กับฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ร่องรอยของเมทริกซ์ n เรียกว่าร่องรอยของสมาชิกฟิลด์และเขียนแทนด้วย n และดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่านอร์มของxและเขียนแทนด้วยx ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$$${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle BA}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$${\displaystyle N(x)}$

ตอนนี้เราสามารถขยายแนวคิดนี้ให้กว้างขึ้นได้เล็กน้อยโดยพิจารณาการขยายฟิลด์แทนและให้ฐาน-basis สำหรับจากนั้นจะมีเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องซึ่งมีค่าร่องรอยและค่าบรรทัดฐานที่กำหนดเป็นค่าร่องรอยและค่ากำหนดของเมทริกซ์ ${\displaystyle K/L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{K/L}(x)}$${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

พิจารณาการขยายฟิลด์ด้วยโดยที่หมายถึงรากที่สามของเอกภาพจากนั้น เราจะมีฐาน -basis ที่กำหนดโดยเนื่องจากสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้น -linear บางอย่าง: เราจะดำเนินการคำนวณร่องรอยและนอร์มของจำนวนนี้ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราเลือก โดยที่และคำนวณผลคูณ เขียนออกมาจะได้ เราสามารถหาเมทริกซ์เช่นนั้นโดยเขียนสมการเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องออกมา ซึ่งแสดงว่า คือเมทริกซ์ที่ควบคุมการคูณ ด้วย จำนวน${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \exp(2\pi i/3).}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}\}}$$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle x=a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}=a+b\theta +c\theta ^{2}.}$$${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$${\displaystyle xy}$$${\displaystyle {\begin{aligned}xy=a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2}).\end{aligned}}}$$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle xy=A(x)y}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle x}$

ตอนนี้เราสามารถคำนวณร่องรอยและดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างง่ายดาย: , และ. ${\displaystyle T(x)=3a}$${\displaystyle N(x)=a^{3}+2b^{3}+4c^{3}-6abc}$

ตามนิยามแล้ว คุณสมบัติมาตรฐานของร่องรอยและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะถ่ายทอดไปยัง Tr และ N: Tr( x ) เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของxดังที่แสดงโดยTr( x + y ) = Tr( x ) + Tr ( y ) , Tr( λx ) = λ Tr( x )และนอร์มเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์เชิงคูณดีกรีn : N( xy ) = N( x )N( y ) , N( λx ) = λnN ( x )โดยที่λ เป็น ^{จำนวนตรรกยะ}และx , yเป็นสององค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์${\displaystyle K}$

รูปแบบร่องรอยที่ได้มานั้นเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นที่กำหนดโดยใช้ร่องรอย เช่น เดียวกับการขยาย เชิงเส้น รูปแบบร่องรอยเชิงปริพันธ์ ซึ่งเป็น เมทริกซ์สมมาตรที่มีค่าเป็นจำนวนเต็มถูกกำหนดเป็น โดยที่b ₁ , ..., b _nเป็นฐานเชิงปริพันธ์สำหรับตัวแยกแยะของถูกกำหนดเป็น det( t ) ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม และเป็นคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงของฟิลด์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานเชิงปริพันธ์ $${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

เมทริกซ์ที่เชื่อมโยงกับองค์ประกอบxของสามารถใช้เพื่อให้คำอธิบายอื่นที่เทียบเท่ากันของจำนวนเต็มพีชคณิตได้ องค์ประกอบxของเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตก็ต่อเมื่อพหุนามลักษณะเฉพาะp _Aของเมทริกซ์Aที่เชื่อมโยงกับxเป็นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม สมมติว่าเมทริกซ์A ที่แทนองค์ประกอบ x มีสมาชิกเป็นจำนวนเต็มในฐาน e บางฐาน ตามทฤษฎีบท Cayley–Hamilton p A ( A ) = 0 และเป็นผลให้p _A ( x ) ₌ 0 ดังนั้น x จึงเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ในทางกลับกัน ถ้าxเป็นองค์ประกอบของที่เป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม คุณสมบัติเดียวกันนี้จะใช้ได้กับเมทริกซ์A ที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าAเป็นเมทริกซ์จำนวนเต็มในฐานที่เหมาะสมของคุณสมบัติของการเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตถูกกำหนดในลักษณะที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานใน${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

พิจารณาโดยที่xสอดคล้องกับ^x³ − 11 ^x² + x + 1 = 0แล้วฐานอินทิกรัลคือ [1, x , 1/2( x² + 1 ⁾  ] และรูปแบบร่องรอยอินทิกรัลที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

เลข "3" ที่มุมบนซ้ายของเมทริกซ์นี้คือร่องรอยของเมทริกซ์ของแผนที่ที่กำหนดโดยองค์ประกอบฐานแรก (1) ในการแสดงปกติของบนองค์ประกอบฐานนี้เหนี่ยวนำแผนที่เอกลักษณ์บนปริภูมิเวกเตอร์ 3 มิติร่องรอยของเมทริกซ์ของแผนที่เอกลักษณ์บนปริภูมิเวกเตอร์ 3 มิติคือ 3 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของพหุนามนี้คือ1304 = 2 ³ ·163ซึ่งเป็นค่าดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์ ในขณะที่ค่าดิสคริมิแนนต์ของรากหรือดิสคริมิแนนต์ของพหุนาม คือ5216 = 2 ⁵ · 163

นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเก้าสันนิษฐานว่าจำนวนพีชคณิตเป็นประเภทหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อน^{[ 4 ] [ 5 ]} สถานการณ์นี้เปลี่ยนไปเมื่อ เฮนเซลค้นพบจำนวน p-adicในปี 1897 และตอนนี้ถือเป็นมาตรฐานที่จะพิจารณาการฝังที่เป็นไปได้ทั้งหมดของฟิลด์จำนวนลงในส่วนเติมเต็มทาง โทโพโลยีต่างๆ พร้อมกัน ${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

ตำแหน่งของฟิลด์จำนวนคือชั้นสมมูลของค่าสัมบูรณ์บน^{[ 6 ]หน้า 9} โดยพื้นฐานแล้ว ค่าสัมบูรณ์เป็นแนวคิดในการวัดขนาดขององค์ประกอบของสอง ค่าสัมบูรณ์ดังกล่าวถือว่าสมมูลกันหากก่อให้เกิดแนวคิดเรื่องความเล็ก (หรือความใกล้เคียง) เดียวกัน ความสัมพันธ์สมมูลระหว่างค่าสัมบูรณ์กำหนดโดยบางอย่างที่หมายความว่าเราใช้ค่าของนอร์มยกกำลังที่ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$$${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$${\displaystyle |\cdot |_{1}}$${\displaystyle \lambda }$

โดยทั่วไป ประเภทของสถานที่แบ่งออกเป็นสามประเภท ประเภทแรก (และส่วนใหญ่ไม่สำคัญ) คือ ค่าสัมบูรณ์ที่ไม่สำคัญ | | ₀ซึ่งมีค่า เท่ากับ 0 เมื่อ x มีค่า ไม่เป็นศูนย์ประเภทที่สองและสามคือสถานที่แบบอาร์คิมีเดียนและสถานที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน (หรือแบบอัลตราเมตริก)การทำให้สมบูรณ์ของเมื่อเทียบกับสถานที่ในทั้งสองกรณีนั้น ทำได้โดยการหาลำดับโคชีในและหารด้วยลำดับศูนย์นั่นคือ ลำดับที่มีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์เมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่อินฟินิตี้ ซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเป็นฟิลด์อีกครั้ง เรียกว่า การทำให้สมบูรณ์ของที่สถานที่ที่กำหนดซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle 1}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

สำหรับค่าจะเกิดบรรทัดฐานที่ไม่ธรรมดาต่อไปนี้ ( ทฤษฎีบทของออสโตรฟสกี ): ค่าสัมบูรณ์ (ปกติ) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ซึ่งก่อให้เกิดฟิลด์โทโพโลยีที่ สมบูรณ์ ของจำนวนจริงในทางกลับกัน สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆค่าสัมบูรณ์p -adicจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$

| q | _p = p ^{− n}โดยที่q = p ⁿ a / bและaกับbเป็นจำนวนเต็มที่หารด้วยp ไม่ ลงตัว

ใช้ในการสร้างจำนวน p-adic ซึ่งแตกต่างจากค่าสัมบูรณ์ทั่วไปค่าสัมบูรณ์p -adic จะมี ค่าน้อยลงเมื่อqถูกคูณด้วยpทำให้มีพฤติกรรมที่แตกต่างไปจากค่าสัมบูรณ์ทั่วไปอย่างสิ้นเชิง${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

โดยทั่วไปแล้ว สถานการณ์ที่มักพิจารณาคือ การนำฟิลด์จำนวนมาพิจารณาและพิจารณาอุดมคติเฉพาะสำหรับวงแหวนของจำนวนพีชคณิต ที่เกี่ยวข้อง จากนั้น จะมีตำแหน่งที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน นอกจากนี้ สำหรับการฝังตัวทุกแบบจะมีตำแหน่งที่เรียกว่าตำแหน่งแบบอาร์คิมีเดียน ซึ่งเขียนแทนด้วยข้อความนี้เป็นทฤษฎีบท หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบทของออสโทรว์สกี ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

ฟิลด์สำหรับที่ซึ่งมีรากที่ 6 ของเอกภาพคงที่ เป็นตัวอย่างที่หลากหลายสำหรับการสร้างการฝังอาร์คิมีเดียนจริงและเชิงซ้อนที่ชัดเจน รวมถึงการฝังที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนด้วย^{[ 6 ]หน้า} 15-16 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$${\displaystyle \zeta }$

ในที่นี้เราใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับจำนวนการฝังข้อมูลจริงและเชิงซ้อนที่ใช้ ตามลำดับ (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

การคำนวณตำแหน่งอาร์คิมีเดียนของฟิลด์จำนวนทำได้ดังนี้: ให้เป็นสมาชิกดั้งเดิมของ โดยมีพหุนามขั้นต่ำ(เหนือ) เหนือโดยทั่วไปแล้ว จะไม่สามารถแยกตัวประกอบไม่ได้อีกต่อไป แต่ตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (จำนวนจริง) จะมีดีกรีหนึ่งหรือสอง เนื่องจากไม่มีรากซ้ำกัน จึงไม่มีตัวประกอบซ้ำกัน รากของตัวประกอบดีกรีหนึ่งจำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง และการแทนที่ด้วยจะให้การฝังตัวของลงในจำนวนการฝังตัวดังกล่าวเท่ากับจำนวนรากจริงของการจำกัดค่าสัมบูรณ์มาตรฐานบนให้เป็น จะให้ค่าสัมบูรณ์อาร์คิมีเดียนบน ค่าสัมบูรณ์ดังกล่าวเรียกว่าตำแหน่งจริงของ ในทางกลับกัน รากของตัวประกอบดีกรีสองเป็นคู่ของจำนวนเชิงซ้อนสังยุค ซึ่งทำให้สามารถฝังตัวสั ง ยุคสองแบบลงใน ได้การฝังตัวแบบใดแบบหนึ่งในคู่นี้สามารถใช้กำหนดค่าสัมบูรณ์บนซึ่งเหมือนกันสำหรับการฝังตัวทั้งสองเนื่องจากเป็นสังยุคกัน ค่าสัมบูรณ์นี้เรียกว่าตำแหน่งเชิงซ้อนของ^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ถ้ารากทั้งหมดของข้างต้นเป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) หรือเทียบเท่ากับการฝังตัวที่เป็นไปได้ใดๆถูกบังคับให้อยู่ภายใน(หรือไม่อยู่ภายใน)จะเรียกว่าเป็นจำนวนจริงทั้งหมด (หรือจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ) ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$

ในการหาตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ให้กำหนดและเป็นดังข้างต้น ใน นั้นจะแยกออกเป็นตัวประกอบที่มีดีกรีต่าง ๆ ซึ่งไม่มีตัวประกอบใดซ้ำกัน และดีกรีของตัวประกอบเหล่านั้นรวมกันได้เท่ากับดีกรีของสำหรับแต่ละตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้แบบ -adic เหล่า นี้ เราอาจสมมติว่าสอดคล้องกับและได้การฝังตัวของ ลงในส่วนขยายพีชคณิตที่มีดีกรีจำกัดเหนือฟิลด์เฉพาะที่ดังกล่าวมีพฤติกรรมในหลาย ๆ ด้านคล้ายกับฟิลด์จำนวน และจำนวน -adic อาจมีบทบาทคล้ายกับจำนวนตรรกยะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถกำหนดนอร์มและร่องรอยในลักษณะเดียวกันได้ ซึ่งตอนนี้ให้ฟังก์ชันที่แมปไปยังโดยใช้แผนที่นอร์ม -adic นี้ สำหรับตำแหน่งเราอาจกำหนดค่าสัมบูรณ์ที่สอดคล้องกับตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้แบบ -adic ที่กำหนดที่มี ดีกรีโดยค่าสัมบูรณ์ดังกล่าวเรียกว่า ตำแหน่ง อัลตราเมตริกที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนหรือตำแหน่ง -adic ของ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N_{f_{i}}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$

สำหรับตำแหน่งอัลตราเมตริกใดๆvเรามีว่า | x | _v ≤ 1 สำหรับ x ใดๆในเนื่องจากพหุนามขั้นต่ำสำหรับxมีตัวประกอบเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น การแยกตัวประกอบ p -adic ของมันจึงมีตัวประกอบในZ _pด้วยเหตุนี้ พจน์บรรทัดฐาน (พจน์คงที่) สำหรับแต่ละตัวประกอบจึงเป็น จำนวนเต็ม p -adic และหนึ่งในจำนวนเต็มเหล่านี้คือจำนวนเต็มที่ใช้ในการกำหนดค่าสัมบูรณ์สำหรับ v${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

สำหรับตำแหน่งอัลตราเมตริกvเซตย่อยของที่กำหนดโดย | x | _v < 1 เป็นไอเดียลของซึ่งอาศัยคุณสมบัติอัลตราเมตริกของv กล่าว คือ เมื่อกำหนดxและyในแล้ว${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

อัน ที่ จริงแล้วมันยังเป็นอุดมคติขั้นพื้นฐาน อีกด้วย${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดไอเดียลเฉพาะของเราสามารถกำหนดค่าแบบไม่ต่อเนื่อง ได้โดยการตั้งค่า โดยที่nคือจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่ง เป็นกำลังnเท่าของไอเดียล ค่านี้สามารถเปลี่ยนเป็นตำแหน่งอัลตราเมตริกได้ ภายใต้การจับคู่แบบนี้ (ชั้นสมมูล) ของตำแหน่งอัลตราเมตริกของสอดคล้อง กับไอเดีย ลเฉพาะของสำหรับสิ่งนี้จะให้ทฤษฎีบทของ Ostrowski กลับมา: ไอเดียลเฉพาะใด ๆ ในZ (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียว) สอดคล้องกับตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน และในทางกลับกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับฟิลด์จำนวนทั่วไป สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น ดังที่จะอธิบายต่อไป ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการอธิบายตำแหน่งอัลตราเมตริกคือการใช้โลคัลไลเซชันของโดยกำหนดตำแหน่งอัลตราเมตริกบนฟิลด์จำนวน โลคัลไลเซชันที่สอดคล้องกันคือซับริงของ ที่ ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่ | x | _v ≤ 1 โดยคุณสมบัติอัลตราเมตริกเป็นริง ยิ่งไปกว่านั้น มันประกอบด้วยสำหรับทุกสมาชิกxของอย่างน้อยหนึ่งในxหรือx ⁻¹จะอยู่ใน อันที่ จริง เนื่องจาก สามารถแสดงได้ว่า K ^× / T ^×สม isomorphic กับจำนวนเต็ม จึงเป็นริงการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็น ริงโลคัลอันที่จริงเป็นเพียงโลคัลไลเซชันของที่อุดมคติเฉพาะดังนั้นในทางกลับกันคืออุดมคติสูงสุดของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle T}$

โดยรวมแล้ว มีความสมดุลสามทางระหว่างค่าสัมบูรณ์อัลตราเมตริก อุดมคติเฉพาะ และการกำหนดตำแหน่งบนฟิลด์จำนวน

ทฤษฎีบทพื้นฐานบางส่วนในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตคือทฤษฎีบทการขึ้นและการลงซึ่งอธิบายพฤติกรรมของอุดมคติเฉพาะบางอย่างเมื่อมันถูกขยายเป็นอุดมคติใน สำหรับ การขยายฟิลด์บางอย่างเรากล่าวว่าอุดมคติอยู่บนถ้า จาก นั้นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทกล่าวว่าอุดมคติเฉพาะในอยู่บนดังนั้นจึงมีแผนที่ทั่วถึงที่เหนี่ยวนำจากการรวม เสมอ เนื่องจากมีการจับคู่ระหว่างสถานที่และอุดมคติเฉพาะ นี่หมายความว่าเราสามารถหาสถานที่ที่หารสถานที่ที่เหนี่ยวนำจากการขยายฟิลด์ได้ นั่นคือ ถ้าเป็นสถานที่ของแล้วจะมีสถานที่ของที่หาร ในแง่ที่ว่าอุดมคติเฉพาะ ที่เหนี่ยวนำ ของพวกมันหารอุดมคติเฉพาะที่เหนี่ยวนำของในอัน ที่จริง ข้อสังเกตนี้มีประโยชน์^{[ 6 ]หน้า 13}ในขณะที่ดูการเปลี่ยนฐานของการขยายฟิลด์พีชคณิตของไปยังการเติมเต็มหนึ่งของมันถ้าเราเขียนและเขียนสำหรับองค์ประกอบที่เหนี่ยวนำของเราจะได้การแยกส่วนของโดยชัดเจน การแยกส่วนนี้ ยัง แยกส่วนพหุนามที่เหนี่ยวนำได้เนื่องจากเลมมาของเฮนเซล^{[ 11 ]หน้า 129-131}ดังนั้นยิ่งไปกว่านั้น ยังมีการฝังตัวที่เป็นรากของที่ให้ดังนั้นเราสามารถเขียนเป็นเซตย่อยของ(ซึ่งเป็นการเติมเต็มการปิดเชิงพีชคณิตของ)${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X\in K}$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$$${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta _{v}}$${\displaystyle Q_{v}}$${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$$${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

โดยทั่วไปแล้ว การแตกแขนง (Ramification ) อธิบายถึงปรากฏการณ์ทางเรขาคณิตที่สามารถเกิดขึ้นได้กับแผนที่แบบจำกัดไปยังหนึ่ง (กล่าวคือ แผนที่ที่ภาพผกผัน ของจุด yทุกจุดในYประกอบด้วยจุดจำนวนจำกัดเท่านั้น) โดยทั่วไปแล้ว จำนวนสมาชิกของไฟเบอร์f ⁻¹ ( y ) จะมีจำนวนจุดเท่ากัน แต่ในจุดy บางจุด จำนวนนี้จะลดลง ตัวอย่างเช่น แผนที่ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

มี จุด nจุดในแต่ละไฟเบอร์เหนือtกล่าวคือราก (เชิงซ้อน) n รากของ tยกเว้นใน t = 0ซึ่งไฟเบอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียวz = 0 กล่าวได้ว่าแผนที่นี้ "แตกแขนง" ในศูนย์ นี่เป็นตัวอย่างของการปกคลุมแบบแตกแขนงของพื้นผิวรีมันน์ สัญชาตญาณนี้ยังใช้ในการกำหนดการแตกแขนงในทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเมื่อกำหนดส่วนขยาย (จำเป็นต้องจำกัด) ของฟิลด์จำนวนอุดมคติเฉพาะpของจะสร้างอุดมคติpO _Kของอุดมคตินี้อาจเป็นหรือไม่เป็นอุดมคติเฉพาะก็ได้ แต่ตามทฤษฎีบท Lasker–Noether (ดูด้านบน) จะกำหนดโดยเสมอ ${\displaystyle K/L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO = q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m${\displaystyle K}$

โดยมีอุดมคติเฉพาะq _i ที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์ ของและตัวเลข (เรียกว่าดัชนีการแตกแขนง) e _iเมื่อใดก็ตามที่ดัชนีการแตกแขนงหนึ่งมีค่ามากกว่าหนึ่งจะกล่าวได้ว่า จำนวนเฉพาะ p แตกแขนง ใน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

ความเชื่อมโยงระหว่างคำจำกัดความนี้กับสถานการณ์ทางเรขาคณิต นั้นได้มาจากแผนที่สเปกตรัมของวงแหวนที่จริงแล้วมอร์ฟิซึมที่ไม่แตกแขนงของสกีมในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นการวางนัยทั่วไปโดยตรงของส่วนขยายที่ไม่แตกแขนงของฟิลด์จำนวน ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

การแตกแขนงเป็นคุณสมบัติเฉพาะที่ กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับการเติมเต็มรอบ ๆ จำนวนเฉพาะpและqi _{เท่านั้น}กลุ่มความเฉื่อยจะวัดความแตกต่างระหว่างกลุ่มกาโลอิสเฉพาะที่ ณ สถานที่ใดสถานที่หนึ่ง กับกลุ่มกาโลอิสของฟิลด์เศษเหลือจำกัดที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่กล่าวถึงข้างต้น ในการคำนวณดัชนีการแตกแขนงของโดยที่ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

f ( x ) = x ³ − x − 1 = 0,

ที่ 23 เพียงพอที่จะพิจารณาการขยายฟิลด์จนถึง 529 = 23 2 ⁽เช่นโมดูลัส 529) fสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

เมื่อแทนค่าx = y + 10 ลง ในตัวประกอบแรกg modulo 529 จะได้y + 191 ดังนั้นค่า | y | _gสำหรับyที่กำหนดโดยgคือ | −191 | ₂₃ = 1 ในทางกลับกัน การแทนค่าแบบเดียวกันในhจะได้y ² − 161 y − 161 modulo 529เนื่องจาก 161 = 7 × 23

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

เนื่องจากค่าที่เป็นไปได้สำหรับค่าสัมบูรณ์ของตำแหน่งที่กำหนดโดยตัวประกอบhไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะกำลังจำนวนเต็มของ 23 เท่านั้น แต่เป็นกำลังจำนวนเต็มของรากที่สองของ 23 ดังนั้นดัชนีการแตกแขนงของส่วนขยายฟิลด์ที่ 23 จึงเท่ากับสอง

ค่าขององค์ประกอบใดๆ ของสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีนี้โดยใช้^{ผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น ถ้า y = x² − x − 1 การใช้ผลลัพธ์เพื่อกำจัด x ระหว่างความสัมพันธ์นี้กับ f = x³} − x − 1 = 0 จะได้y³ − 5y² + 4y − 1 ⁼ 0 ^ถ้าหากเรากำจัดโดย^{สัมพันธ์}กับตัวประกอบ g และ h ของ f เราจะได้ตัวประกอบที่สอดคล้องกันสำหรับพหุนามของyจากนั้นค่า 23-adic ที่ใช้กับพจน์คงที่ (นอร์ม) จะช่วยให้เราคำนวณค่าของyสำหรับgและh (ซึ่งทั้งคู่เป็น 1 ในกรณีนี้) ${\displaystyle K}$

ความสำคัญส่วนใหญ่ของดิสคริมิแนนต์อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่า ตำแหน่งอัลตราเมตริกแบบแตกแขนงทั้งหมดเป็นตำแหน่งที่ได้มาจากการแยกตัวประกอบในที่ซึ่งpหารดิสคริมิแนนต์ลงตัว แม้แต่ดิสคริมิแนนต์ของพหุนามก็เป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ถ้าจำนวนเฉพาะpหารดิสคริมิแนนต์ลงตัว ก็จะมี ตำแหน่ง pที่แตกแขนง สำหรับข้อความกลับนี้ จำเป็นต้องใช้ดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์ นี่คือ ทฤษฎีบท  ดิสคริมิแนนต์ของเดเด คินด์ ในตัวอย่างข้างต้น ดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์จำนวนที่มีx³ ⁻ x  − 1 = 0 คือ −23 และดังที่เราได้เห็นแล้ว ตำแหน่ง 23-adic แตกแขนง ดิสคริมิแนนต์ของเดเดคินด์บอกเราว่ามันเป็นตำแหน่งอัลตราเมตริกเพียงตำแหน่งเดียวที่แตกแขนง ตำแหน่งแตกแขนงอื่นมาจากค่าสัมบูรณ์บนการฝังเชิงซ้อนของ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle K}$

โดยทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม การขยายฟิลด์K / Lสามารถศึกษาได้โดยการตรวจสอบกลุ่มกาโลอิส Gal( K / L ) ซึ่งประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึม ของฟิลด์โดยที่ แต่ละองค์ประกอบคงที่ ตัวอย่างเช่น กลุ่มกาโลอิสของการขยายฟิลด์ไซโคลโทมิกที่มีดีกรีn (ดูด้านบน) กำหนดโดย ( Z / nZ ) ^{× ซึ่ง} เป็นกลุ่มขององค์ประกอบที่ผกผันได้ในZ / nZนี่คือก้าวแรกสู่ทฤษฎีอิวาซา วะ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

เพื่อให้ครอบคลุมส่วนขยายที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติบางอย่าง แนวคิดของกลุ่มกาโลอิสจึงมักถูกนำไปใช้กับส่วนขยายฟิลด์ (อนันต์) K / Kของการปิดเชิงพีชคณิตซึ่งนำไปสู่กลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์G  := Gal( K / K ) หรือเพียงแค่ Gal( K ) และส่วนขยายทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสเชื่อมโยงฟิลด์ระหว่างและการปิดเชิงพีชคณิตและกลุ่มย่อยปิดของ Gal( K ) ตัวอย่างเช่นการทำให้เป็นอาเบล (ผลหารอาเบลที่ใหญ่ที่สุด) G ^abของGสอดคล้องกับฟิลด์ที่เรียกว่าส่วนขยายอาเบล สูงสุด K ^ab (เรียกเช่นนั้นเพราะส่วนขยายเพิ่มเติมใดๆ ไม่ใช่อาเบล กล่าวคือ ไม่มีกลุ่มกาโลอิสอาเบล) ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-เวเบอร์ส่วนขยายอาเบลสูงสุดของคือส่วนขยายที่สร้างขึ้นโดยรากทั้งหมดของเอกภาพ สำหรับฟิลด์จำนวนทั่วไปทฤษฎีฟิลด์คลาสโดยเฉพาะกฎการแลกเปลี่ยนของ Artinให้คำตอบโดยการอธิบายG ^abในแง่ของกลุ่มคลาสอุดมคตินอกจากนี้ฟิลด์คลาส Hilbertซึ่งเป็นส่วนขยายฟิลด์อาเบเลียนที่ไม่แตกแขนงสูงสุดของ ก็เป็นที่น่าสนใจ เช่นกัน สามารถแสดงได้ว่ามีจำนวนจำกัดเหนือกลุ่ม Galois ของมันเหนือ นั้นสมมาตรกับกลุ่มคลาสของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดีกรีของมันเท่ากับจำนวนคลาสhของ(ดูด้านบน) ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ในบางสถานการณ์ กลุ่มกาโลอิสจะกระทำกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น กลุ่ม กลุ่มดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า โมดูลกาโลอิส สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้โคฮอโมโลยีของกลุ่มสำหรับกลุ่มกาโลอิส Gal( K ) หรือที่รู้จักกันในชื่อโคฮอโมโลยีกาโลอิสซึ่งในเบื้องต้นจะวัดความล้มเหลวของความแม่นยำของการใช้ค่าคงที่ Gal( K ) แต่ยังให้ข้อมูลเชิงลึก (และคำถาม) ที่ลึกซึ้งกว่านั้นด้วย ตัวอย่างเช่น กลุ่มกาโลอิสGของส่วนขยายฟิลด์L / KกระทำกับL ^×ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของLโมดูลกาโลอิสนี้มีบทบาทสำคัญในทวิภาวะ ทางเลขคณิตหลายอย่าง เช่นทวิภาวะปัวตู-เทตกลุ่มบราวเออร์ของซึ่งเดิมทีถูกคิดขึ้นเพื่อจำแนกพีชคณิตการหารเหนือสามารถแปลงเป็นกลุ่มโคฮอโมโลยีได้ นั่นคือ H₂ ⁽ Gal( K , K ^× )) ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

โดยทั่วไปแล้ว คำว่า "จากระดับท้องถิ่นสู่ระดับโลก" หมายถึงแนวคิดที่ว่า ปัญหาในระดับโลกจะต้องได้รับการแก้ไขในระดับท้องถิ่นก่อน ซึ่งมักจะช่วยลดความซับซ้อนของคำถาม จากนั้น ข้อมูลที่ได้จากการวิเคราะห์ในระดับท้องถิ่นจะต้องนำมารวมกันเพื่อหาข้อสรุปในระดับโลก ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องชีฟ (sheaves)แสดงให้เห็นถึงแนวคิดนี้ในวิชาโทโพโลยี และเรขาคณิต

ฟิลด์จำนวนมีความคล้ายคลึงกันอย่างมากกับฟิลด์อีกประเภทหนึ่งที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งรู้จักกันในชื่อฟิลด์ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงพีชคณิตบนฟิลด์จำกัดตัวอย่างเช่น ซึ่งการประเมินค่าทั้งหมดถูกกำหนดโดยตำแหน่งที่ส่งไปยัง เนื่องจากเป็นการขยายการประเมินค่าแบบไม่สำคัญ (และเพียงค่าเดียว) บนฟิลด์ทั้งสองประเภทมีความคล้ายคลึงกันในหลายแง่มุม ตัวอย่างเช่น วงแหวนจำนวนเป็นวงแหวนปกติหนึ่งมิติ เช่นเดียวกับวงแหวนพิกัด (ซึ่งฟิลด์ผลหารของวงแหวนเหล่านี้คือฟิลด์ฟังก์ชันที่กล่าวถึง) ของเส้นโค้ง ดังนั้น ฟิลด์ทั้งสองประเภทจึงเรียกว่าฟิลด์ทั่วโลกตามปรัชญาที่กล่าวไว้ข้างต้น ฟิลด์เหล่านี้สามารถศึกษาได้ในระดับท้องถิ่นก่อน กล่าวคือ โดยการพิจารณาฟิลด์ท้องถิ่น ที่สอดคล้องกัน สำหรับฟิลด์จำนวนฟิลด์ท้องถิ่นคือการเติมเต็มของที่ทุกตำแหน่ง รวมถึงตำแหน่งอาร์คิมีเดียน (ดูการวิเคราะห์ท้องถิ่น ) สำหรับฟิลด์ฟังก์ชัน ฟิลด์ท้องถิ่นคือการเติมเต็มของวงแหวนท้องถิ่นที่ทุกจุดของเส้นโค้งสำหรับฟิลด์ฟังก์ชัน ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ผลลัพธ์หลายอย่างที่ใช้ได้กับฟิลด์ฟังก์ชันก็ใช้ได้กับฟิลด์จำนวนเช่นกัน อย่างน้อยก็ถ้าหากมีการปรับเปลี่ยนรูปแบบอย่างเหมาะสม อย่างไรก็ตาม การศึกษาฟิลด์จำนวนมักก่อให้เกิดความยากลำบากและปรากฏการณ์ที่ไม่พบในฟิลด์ฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ในฟิลด์ฟังก์ชันไม่มีการแบ่งแยกแบบทวิภาคระหว่างตำแหน่งที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนและตำแหน่งแบบอาร์คิมีเดียน ถึงกระนั้น ฟิลด์ฟังก์ชันก็มักเป็นแหล่งที่มาของสัญชาตญาณว่าควรคาดหวังอะไรในกรณีของฟิลด์จำนวน

คำถามต้นแบบที่ตั้งขึ้นในระดับโลกคือ สมการพหุนามบางสมการมีคำตอบในหรือไม่ถ้ามี คำตอบนั้นก็จะเป็นคำตอบในการเติมเต็มทั้งหมดด้วยหลักการท้องถิ่น-สากลหรือหลักการของ Hasse ยืนยันว่าสำหรับสมการกำลังสอง ข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้น การตรวจสอบว่าสมการดังกล่าวมีคำตอบหรือไม่ สามารถทำได้ในการเติมเต็มทั้งหมดของซึ่งมักจะง่ายกว่า เนื่องจากสามารถใช้วิธีการวิเคราะห์ (เครื่องมือวิเคราะห์แบบคลาสสิก เช่นทฤษฎีบทค่ากลางที่ตำแหน่งอาร์คิมีเดียน และการวิเคราะห์ p-adicที่ตำแหน่งที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน) ได้ อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปนี้ไม่เป็นจริงสำหรับสมการประเภททั่วไปมากกว่า แต่แนวคิดของการเปลี่ยนจากข้อมูลท้องถิ่นไปสู่ข้อมูลสากลนั้นพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์ในทฤษฎีฟิลด์ชั้น เช่น ในกรณีที่ทฤษฎีฟิลด์ชั้นท้องถิ่นถูกใช้เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกสากลที่กล่าวถึงข้างต้น สิ่งนี้ยังเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มกาโลอิสของการเติมเต็มK _vสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน ในขณะที่กลุ่มกาโลอิสของฟิลด์สากล แม้แต่ของ ก็ยังเข้าใจได้ยากกว่ามาก ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เพื่อรวบรวมข้อมูลท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องกับฟิลด์ท้องถิ่นทั้งหมดที่เชื่อมต่ออยู่ จึงมี การตั้งค่า วงแหวนอะเดลขึ้น ส่วนรูปแบบการคูณเรียกว่าอะเดล ${\displaystyle K}$

• ฟิลด์ฟังก์ชันพีชคณิต

• ทฤษฎีบทหน่วยของ Dirichlet , หน่วย S
• ส่วนขยาย Kummer
• ทฤษฎีบทของมินคอฟสกีเรขาคณิตของจำนวน
• ทฤษฎีความหนาแน่นของเชโบตาเรฟ

• กลุ่มชั้นเรียนเรย์
• กลุ่มการสลายตัว
• สกุลฟิลด์