บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

ในทฤษฎีจำนวนฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์นับจำนวนเต็มบวกจนถึงจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งเป็น จำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กับโดยเขียนด้วยอักษรกรีกฟีเป็นหรือและอาจเรียกว่าฟังก์ชันฟีของออยเลอร์ ก็ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนเต็มในช่วงที่ตัวหารร่วมมากที่สุดเท่ากับ 1 ^{[ 2 ] [ 3 ]}จำนวนเต็มในรูปแบบนี้บางครั้งเรียกว่าโทเทียนต์ ของ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \phi (n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle \gcd(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์รวมของคือจำนวนหกจำนวน ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 7 และ 8 จำนวนเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 9 แต่จำนวนอีกสามจำนวนในช่วงนี้ คือ 3, 6 และ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เนื่องจากและดังนั้นอีกตัวอย่างหนึ่งเนื่องจาก สำหรับจำนวนเต็มเพียงจำนวนเดียวในช่วงตั้งแต่ 1 ถึงคือ 1 เองและ ${\displaystyle n=9}$${\displaystyle \gcd(9,3)=\gcd(9,6)=3}$${\displaystyle \gcd(9,9)=9}$${\displaystyle \varphi (9)=6}$${\displaystyle \varphi (1)=1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \gcd(1,1)=1}$

ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์เป็นฟังก์ชันการคูณหมายความว่า ถ้าจำนวนสองจำนวนและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว[ ^{4 ] [ 5 ] ฟังก์ชัน} นี้ให้ลำดับของกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มโมดูลัสn ( กลุ่มของหน่วยของริง ) ^{[ 6 ]}นอกจากนี้ยังใช้สำหรับการกำหนดระบบการเข้ารหัส RSAด้วย ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แนะนำฟังก์ชันนี้ในปี 1763 ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}อย่างไรก็ตาม ในเวลานั้นเขาไม่ได้เลือกสัญลักษณ์เฉพาะใดๆ เพื่อใช้แทนฟังก์ชันนี้ ในสิ่งพิมพ์ปี 1784 ออยเลอร์ได้ศึกษาฟังก์ชันนี้เพิ่มเติม โดยเลือกใช้อักษรกรีกเพื่อใช้แทน: เขาเขียนว่า สำหรับ "กลุ่มของจำนวนที่น้อยกว่าและไม่มีตัวหารร่วมกับมัน" ^{[ 10 ]}คำจำกัดความนี้แตกต่างจากคำจำกัดความปัจจุบันของฟังก์ชันโทเทียนต์ที่แต่โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน สัญกรณ์มาตรฐานในปัจจุบัน^{[ 8 ] [ 11 ]}มาจาก ตำรา Disquisitiones Arithmeticaeของเกาส์ ในปี 1801 [ ^{12 ] [ 13 ]}แม้ว่าเกาส์จะไม่ได้ใช้วงเล็บรอบอาร์กิวเมนต์และเขียนว่า ดังนั้นจึงมักเรียกว่าฟังก์ชันฟีของออยเลอร์หรือเรียกง่ายๆ^ว่าฟังก์ชัน ฟี${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D=1}$${\displaystyle \varphi (A)}$${\displaystyle \varphi A}$

ในปี พ.ศ. 2422 JJ Sylvesterได้บัญญัติศัพท์totientสำหรับฟังก์ชันนี้^{[ 14 ] [ 15 ]}ดังนั้นจึงเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชัน totient ของออยเลอร์ , Euler totientหรือEuler's totient [ ^{16 ] Jordan} 's totientเป็นการวางนัยทั่วไปของ Euler

โคโทเชียนต์ของถูกกำหนดให้เป็น โดยจะนับจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ ซึ่งมี ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่ง ตัว ที่เหมือนกับ. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-\varphi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

มี สูตร คำนวณอยู่หลายสูตร${\displaystyle \varphi (n)}$

ระบุว่า

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

โดยที่ผลคูณนั้นมาจากจำนวนเฉพาะที่หาร nลงตัว

สูตรที่เทียบเท่ากันคือ

${\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}{-}1)\,p_{2}^{k_{2}-1}(p_{2}{-}1)\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}{-}1),}$

โดยที่คือการแยกตัวประกอบเฉพาะของ(นั่นคือเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน) ${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$

การพิสูจน์สูตรเหล่านี้ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงสำคัญสองประการ

นี่หมายความว่า ถ้าแล้วโครงร่างการพิสูจน์:ให้เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ และน้อยกว่าm , n , mnตามลำดับ ดังนั้น เป็นต้น จากนั้นจะมีการจับคู่แบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง ทั่วถึงระหว่างและCโดยทฤษฎีบท เศษเหลือของจีน${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$${\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)=\varphi (mn)}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle |A|=\varphi (m)}$${\displaystyle A\times B}$

ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะและแล้ว ${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle \varphi \left(p^{k}\right)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\tfrac {1}{p}}\right).}$

บทพิสูจน์ : เนื่องจากpเป็นจำนวนเฉพาะ ค่าที่เป็นไปได้ของ จึงมีเพียง และวิธีเดียวที่จะมี ได้ก็ต่อเมื่อmเป็นพหุคูณของpนั่นคือและมีพหุคูณดังกล่าวที่ไม่มากกว่าดังนั้นจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดจึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ ${\displaystyle \gcd(p^{k},m)}$${\displaystyle 1,p,p^{2},\dots ,p^{k}}$${\displaystyle \gcd(p^{k},m)>1}$${\displaystyle m\in \{p,2p,3p,\ldots ,p^{k-1}p=p^{k}\}}$${\displaystyle p^{k-1}}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p^{k}-p^{k-1}}$${\displaystyle p^{k}}$

ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตกล่าวว่า ถ้าn > 1จะมีนิพจน์ที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวโดยที่p ₁ < p ₂ < ... < p _rเป็นจำนวนเฉพาะและk _i ≥ 1 แต่ละตัว (กรณีn = 1สอดคล้องกับผลคูณว่าง ) การใช้คุณสมบัติการคูณของφและสูตรสำหรับφ ( p ^k ) ซ้ำๆ จะได้ ${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}},}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (n)&=&\varphi (p_{1}^{k_{1}})\,\varphi (p_{2}^{k_{2}})\cdots \varphi (p_{r}^{k_{r}})\\[.1em]&=&p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)p_{2}^{k_{2}}\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\[.1em]&=&p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\[.1em]&=&n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).\end{array}}}$

ซึ่งทำให้ได้สูตรผลคูณของออยเลอร์ทั้งสองแบบ

การพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งที่ไม่ต้องใช้สมบัติการคูณนั้น ใช้หลักการรวมและการแยกออกที่นำมาใช้กับเซตโดยไม่รวมเซตของจำนวนเต็มที่หารด้วยตัวหารเฉพาะลงตัว ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle \varphi (20)=\varphi (2^{2}5)=20\,(1-{\tfrac {1}{2}})\,(1-{\tfrac {1}{5}})=20\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{5}}=8.}$

กล่าวคือ ตัวประกอบเฉพาะที่ต่างกันของ 20 คือ 2 และ 5; ครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มยี่สิบจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 20 หารด้วย 2 ลงตัว เหลืออยู่สิบจำนวน; หนึ่งในห้าของจำนวนเหล่านั้นหารด้วย 5 ลงตัว เหลืออยู่แปดจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 20 ได้แก่ 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19

สูตรทางเลือกนี้ใช้เฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น:$${\displaystyle \varphi (20)=\varphi (2^{2}5^{1})=2^{2-1}(2{-}1)\,5^{1-1}(5{-}1)=2\cdot 1\cdot 1\cdot 4=8.}$$

โทเทียนต์คือการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของgcdซึ่งประเมินที่ 1 ^{[ 17 ]}ให้

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}[m]=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\cdot e^{{-2\pi i}{\frac {mk}{n}}}}$

โดยที่x _k = gcd( k , n )สำหรับk ∈ {1, ..., n }แล้ว

${\displaystyle \varphi (n)={\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}[1]=\sum \limits _{k=1}^{n}\gcd(k,n)e^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}.}$

ส่วนที่แท้จริงของสูตรนี้คือ

${\displaystyle \varphi (n)=\sum \limits _{k=1}^{n}\gcd(k,n)\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}.}$

ตัวอย่างเช่น การใช้และ: ต่างจากผลคูณของออยเลอร์และสูตรผลรวมตัวหาร สูตรนี้ไม่จำเป็นต้องทราบตัวประกอบของnอย่างไรก็ตาม มันเกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวหารร่วมมากที่สุดของnและจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่น้อยกว่าnซึ่งเพียงพอที่จะให้การแยกตัวประกอบได้อยู่แล้ว ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$${\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (10)&=&\gcd(1,10)\cos {\tfrac {2\pi }{10}}+\gcd(2,10)\cos {\tfrac {4\pi }{10}}+\gcd(3,10)\cos {\tfrac {6\pi }{10}}+\cdots +\gcd(10,10)\cos {\tfrac {20\pi }{10}}\\&=&1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+5\cdot (-1)\\&&+\ 2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+10\cdot (1)\\&=&4.\end{array}}}$$

คุณสมบัติที่กำหนดโดยเกาส์^{[ 18 ]}ที่ว่า

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n,}$

โดยที่ผลรวมนั้นครอบคลุมตัวหารบวกทั้งหมดdของnสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี (ดูฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สำหรับข้อกำหนดในการใช้สัญลักษณ์)

หลักฐานหนึ่งคือสังเกตว่าφ ( d )ยังเท่ากับจำนวนตัวสร้างที่เป็นไปได้ของกลุ่มวัฏจักรCd _ด้วย^โดย  เฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าCd = ⟨g⟩โดยที่gd = 1แล้วgkเป็นตัวสร้างสำหรับทุกk ที่เป็นจำนวน ^{เฉพาะ}สัมพัทธ์กับdเนื่องจากทุกองค์ประกอบของCnสร้างกลุ่ม ย่อยวัฏจักร และแต่ละกลุ่มย่อย_Cd ⊆ _Cnถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของ Cn เพียงφ(d)ตัวเท่านั้นสูตรจึงเป็น_ไปตามนั้น_[ ^{19 ] ใน} ทำนองเดียวกัน สูตร นี้ สามารถหาได้จาก _การใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันกับกลุ่มการคูณของ รากที่ nของเอกภาพและ รากที่ dดั้งเดิมของเอกภาพ

สูตรนี้สามารถหาได้จากเลขคณิตพื้นฐานเช่น กัน ^{[ 20 ]}ตัวอย่างเช่น ให้n = 20และพิจารณาเศษส่วนบวกถึง 1 ที่มีตัวส่วนเป็น 20:

${\displaystyle {\tfrac {1}{20}},\,{\tfrac {2}{20}},\,{\tfrac {3}{20}},\,{\tfrac {4}{20}},\,{\tfrac {5}{20}},\,{\tfrac {6}{20}},\,{\tfrac {7}{20}},\,{\tfrac {8}{20}},\,{\tfrac {9}{20}},\,{\tfrac {10}{20}},\,{\tfrac {11}{20}},\,{\tfrac {12}{20}},\,{\tfrac {13}{20}},\,{\tfrac {14}{20}},\,{\tfrac {15}{20}},\,{\tfrac {16}{20}},\,{\tfrac {17}{20}},\,{\tfrac {18}{20}},\,{\tfrac {19}{20}},\,{\tfrac {20}{20}}.}$

สรุปให้เข้าใจง่ายที่สุด:

${\displaystyle {\tfrac {1}{20}},\,{\tfrac {1}{10}},\,{\tfrac {3}{20}},\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {1}{4}},\,{\tfrac {3}{10}},\,{\tfrac {7}{20}},\,{\tfrac {2}{5}},\,{\tfrac {9}{20}},\,{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {11}{20}},\,{\tfrac {3}{5}},\,{\tfrac {13}{20}},\,{\tfrac {7}{10}},\,{\tfrac {3}{4}},\,{\tfrac {4}{5}},\,{\tfrac {17}{20}},\,{\tfrac {9}{10}},\,{\tfrac {19}{20}},\,{\tfrac {1}{1}}}$

เศษส่วนทั้งยี่สิบนี้ล้วนเป็นจำนวนบวกเค/ง⁠ ≤ 1 ซึ่งตัวส่วนคือตัวหารd = 1, 2, 4, 5, 10, 20เศษส่วนที่มี 20 เป็นตัวส่วนคือเศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 20 กล่าวคือ⁠1/20, ⁠​3/20, ⁠​7/20, ⁠​9/20, ⁠​11/20, ⁠​13/20, ⁠​17/20, ⁠​19/20ตามนิยามแล้วนี่คือเศษส่วนφ (20)เศษส่วน ในทำนองเดียวกัน มี เศษส่วน φ (10)เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10 และ เศษส่วน φ (5)เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 5 เป็นต้น ดังนั้นเซตของเศษส่วนยี่สิบเศษส่วนจึงถูกแบ่งออกเป็นเซตย่อยที่มีขนาดφ ( d )สำหรับแต่ละdที่หาร 20 ลงตัว การให้เหตุผลที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับn ใดๆ

การผกผันโมเบียสที่นำมาใช้กับสูตรผลรวมตัวหารให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\cdot {\frac {n}{d}}=n\sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}},}$

โดยที่μคือฟังก์ชันโมเบียสซึ่ง เป็น ฟังก์ชันการคูณที่กำหนดโดยและสำหรับจำนวนเฉพาะp แต่ละตัว และk ≥ 2สูตรนี้อาจได้มาจากสูตรผลคูณโดยการคูณออกมาเป็น${\displaystyle \mu (p)=-1}$${\displaystyle \mu (p^{k})=0}$${\textstyle \prod _{p\mid n}(1-{\frac {1}{p}})}$${\textstyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}.}$

ตัวอย่างเช่น:$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (20)&=\mu (1)\cdot 20+\mu (2)\cdot 10+\mu (4)\cdot 5+\mu (5)\cdot 4+\mu (10)\cdot 2+\mu (20)\cdot 1\\[.5em]&=1\cdot 20-1\cdot 10+0\cdot 5-1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=8.\end{aligned}}}$$

ค่า 100 ค่าแรก (ลำดับA000010ในOEIS ) แสดงอยู่ในตารางและกราฟด้านล่าง:

φ ( n )สำหรับ 1 ≤ n ≤ 100

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4
10	10	4	12	6	8	8	16	6	18	8
20	12	10	22	8	20	12	18	12	28	8
30	30	16	20	16	24	12	36	18	24	16
40	40	12	42	20	24	22	46	16	42	20
50	32	24	52	18	40	24	36	28	58	16
60	60	30	36	32	48	20	66	32	44	24
70	70	24	72	36	40	36	60	24	78	32
80	54	40	82	24	64	42	56	40	88	24
90	72	44	60	46	72	32	96	42	60	40

ในกราฟด้านขวา เส้นบนสุดy = n − 1เป็นขอบเขตบนที่ใช้ได้สำหรับทุกค่าnยกเว้น 1 และจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อnเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ขอบเขตล่างอย่างง่ายคือซึ่งค่อนข้างหลวม: อันที่จริงขีดจำกัดล่างของกราฟเป็นสัดส่วนกับ${\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n/2}}}$n/บันทึก บันทึกn. ^{[ 21 ]}​

ข้อความนี้ระบุว่า ถ้าaและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว

${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}$

กรณีพิเศษที่nเป็นจำนวนเฉพาะ เรียกว่าทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์

สิ่งนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของลากรองจ์และข้อเท็จจริงที่ว่าφ ( n )คืออันดับของกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล n

ระบบการเข้ารหัส RSAอิงตามทฤษฎีบทนี้: มันบ่งชี้ว่าฟังก์ชันผกผัน ของ a ↦ a ^e mod nโดยที่eคือเลขชี้กำลังการเข้ารหัส (สาธารณะ) คือฟังก์ชันb ↦ b ^d mod nโดยที่dคือเลขชี้กำลังการถอดรหัส (ส่วนตัว) ซึ่งเป็นตัวผกผันการคูณของe modulo φ ( n )ความยากในการคำนวณφ ( n )โดยไม่ทราบการแยกตัวประกอบของnจึงเท่ากับความยากในการคำนวณd : นี่คือปัญหา RSAซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการแยกตัวประกอบ ของ nเจ้าของกุญแจส่วนตัวทราบการแยกตัวประกอบ เนื่องจากกุญแจส่วนตัว RSA สร้างขึ้นโดยการเลือกnเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัว (ที่เลือกแบบสุ่ม) pและq มี เพียงn เท่านั้น ที่เปิดเผยต่อสาธารณะ และเนื่องจากความยากลำบากในการแยกตัวประกอบของจำนวนขนาดใหญ่เราจึงมั่นใจได้ว่าไม่มีใครอื่นรู้การแยกตัวประกอบ

• ${\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)}$
• ${\displaystyle m\mid \varphi (a^{m}-1)}$
• ${\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}}\quad {\text{where }}d=\operatorname {gcd} (m,n)}$
  • โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
• ${\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ is even}}\\\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ is odd}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}$
• ${\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m,n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}$

เปรียบเทียบกับสูตร (ดูที่ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด )${\textstyle \operatorname {lcm} (m,n)\cdot \operatorname {gcd} (m,n)=m\cdot n}$

• φ ( n )เป็นจำนวนคู่สำหรับ n ≥ 3ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า nมีตัวประกอบเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน r ตัว 2 ^r | φ ( n )
• สำหรับa > 1และn > 6 ใดๆ ที่4 ∤ nจะมีl ≥ 2 n อยู่ ซึ่งl | φ ( a ⁿ − 1) .
• ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}}$

โดยที่rad( n )คือรากที่สองของn (ผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันทั้งหมดที่หารn ลงตัว )

• ${\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ^{[ 22 ]}
• ${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n-1 \atop gcd(k,n)=1}\!\!k={\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)\quad {\text{for }}n>1}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}$ ( ^{[ 23 ]}อ้างอิงใน^{[ 24 ]} )
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)}$[หลิว (2016)]
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}$ ^{[ 23 ]}
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)}$ ^{[ 25 ]}
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)}$ ^{[ 25 ]} (โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี)

ในปี 1965 พี. เกศวา เมนอน ได้พิสูจน์ว่า

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\!\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n),}$

โดยที่d ( n ) = σ0 ( n )คือ จำนวนตัวหาร_ของ n

คุณสมบัติต่อไปนี้ซึ่งไม่ได้เผยแพร่เป็นผลลัพธ์เฉพาะ แต่เป็นที่รู้จักกันมานานแล้ว^{[ 26 ]}มีผลสำคัญ ตัวอย่างเช่น การตัดความเป็นไปได้ของการกระจายค่าอย่างสม่ำเสมอในลำดับเลขคณิตโมดูลัสสำหรับจำนวนเต็มใดๆ ${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q>1}$

• สำหรับจำนวนเต็มบวกคงที่ทุกตัวความสัมพันธ์นี้จะเป็นจริงสำหรับเกือบทุกค่าของ ซึ่งหมายความว่าสำหรับค่ายกเว้น ค่า เมื่อ เป็นจริง${\displaystyle q}$${\displaystyle q|\varphi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle o(x)}$${\displaystyle n\leq x}$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐานจากข้อเท็จจริงที่ว่า ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับ 1 มอดูลโลนั้นลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทของดิริชเลต์เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต ${\displaystyle q}$

อนุกรมDirichletสำหรับφ ( n )สามารถเขียนได้ในรูปของฟังก์ชันซีตาของ Riemannดังนี้: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$

โดยที่ด้านซ้ายมือจะลู่เข้าสำหรับ. ${\displaystyle \Re (s)>2}$

ฟังก์ชันสร้างอนุกรมแลมเบิร์ต คือ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}$

ซึ่งลู่เข้าเมื่อ| q | < 1

ทั้งสองอย่างนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการ จัดการ อนุกรมเบื้องต้นและสูตรสำหรับφ ( n )

ตามคำกล่าวของ Hardy & Wright ลำดับของφ ( n )คือ "เกือบจะเป็นnเสมอ" ^{[ 29 ]}

แรก^{[ 30 ]}

${\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1,}$

แต่เมื่อnเข้าสู่ค่าอนันต์^{[ 31 ]} สำหรับ δ > 0ทั้งหมด

${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n^{1-\delta }}}\rightarrow \infty .}$

สูตรทั้งสองนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เพียงแค่สูตรสำหรับφ ( n )และฟังก์ชันผลรวมตัวหารσ ( n )เท่านั้น

อันที่จริง ในระหว่างการพิสูจน์สูตรที่สอง อสมการ

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\varphi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1,}$

พิสูจน์แล้วว่า เป็นจริงสำหรับn > 1

เรายังมี^{[ 21 ]}

${\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n)}{n}}\log \log n=e^{-\gamma }.}$

โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอร์ γ = 0.577215665...ดังนั้นe ^γ = 1.7810724...และe ^{− γ} = 0.56145948 ...

การพิสูจน์สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ [ ^{32 ] [ 33 ] เนื่องจาก} log log nเข้าสู่ค่าอนันต์ สูตรนี้แสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0.}$

ในความเป็นจริงแล้วยังมีความจริงอีกมากมาย^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

${\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}\quad {\text{for }}n>2}$

และ

${\displaystyle \varphi (n)<{\frac {n}{e^{\gamma }\log \log n}}\quad {\text{for infinitely many }}n.}$

อสมการที่สองแสดงโดยJean-Louis Nicolas Ribenboim กล่าวว่า "วิธีการพิสูจน์นั้นน่าสนใจตรงที่อสมการแสดงขึ้นครั้งแรกภายใต้สมมติฐานที่ว่าสมมติฐานของ Riemannเป็นจริง และครั้งที่สองภายใต้สมมติฐานตรงกันข้าม" ^{[ 36 ] : 173}

สำหรับลำดับเฉลี่ย เรามี^{[ 23 ] [ 37 ]}

${\displaystyle \varphi (1)+\varphi (2)+\cdots +\varphi (n)={\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)\quad {\text{as }}n\rightarrow \infty ,}$

เนื่องจากArnold Walfiszการพิสูจน์โดยใช้ประโยชน์จากการประมาณค่าผลรวมเลขชี้กำลังโดยIM VinogradovและNM Korobovโดยการผสมผสานวิธีการของ van der Corput และ Vinogradov ทำให้ H.-Q. Liu (On Euler's function.Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 146 (2016), no. 4, 769–775) ปรับปรุงพจน์ความคลาดเคลื่อนให้ดีขึ้น

${\displaystyle O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)}$

(นี่คือค่าประมาณที่ดีที่สุดที่ทราบในปัจจุบันของประเภทนี้) "บิ๊กโอ "หมายถึงปริมาณที่ถูกจำกัดด้วยค่าคงที่คูณด้วยฟังก์ชันของnภายในวงเล็บ (ซึ่งมีค่าน้อยเมื่อเทียบกับ n² ⁾

ผลลัพธ์นี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์^{[ 38 ]}ว่าความน่าจะเป็นที่จำนวนสองจำนวนที่สุ่มเลือกจะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์คือ⁠6/π ²⁠ .

ในปี พ.ศ. 2493 โซมายาจูลูได้พิสูจน์แล้ว^{[ 39 ] [ 40 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&=0\quad {\text{and}}\\[5px]\lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&=\infty .\end{aligned}}}$

ในปี พ.ศ. 2497 SchinzelและSierpińskiได้เสริมความแข็งแกร่งให้กับสิ่งนี้ โดยพิสูจน์^{[ 39 ] [ 40 ]}ว่าเซต

${\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}$

มีความหนาแน่นในจำนวนจริงบวก พวกเขายังพิสูจน์^{[ 39 ]}ว่าเซต

${\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}$

มีความหนาแน่นในช่วง (0,1)

จำนวนโทเทียนต์คือค่าของฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ กล่าวคือmที่มีอย่างน้อยหนึ่งnที่φ ( n ) = mค่าความเท่าเทียมหรือความหลากหลายของจำนวนโทเทียนต์mคือจำนวนคำตอบของสมการนี้^{[ 41 ]}จำนวนนอนโทเทียนต์คือจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนโทเทียนต์ จำนวนเต็มคี่ทุกจำนวนที่มากกว่า 1 นั้นเป็นจำนวนนอนโทเทียนต์โดยปริยาย นอกจากนี้ยังมีจำนวนนอนโทเทียนต์คู่จำนวนอนันต์^{[ 42 ]}และที่จริงแล้วจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนมีตัวคูณที่เป็นจำนวนนอนโทเทียนต์คู่^{[ 43 ]}

หมายเลข โทเทียนต์แรกๆ ได้แก่โปรดดูลำดับ A002202${\displaystyle 1,2,4,6,8,10,12,16,18,20}$

จำนวนของจำนวนโทเทียนต์จนถึงขีดจำกัดที่กำหนดxคือ

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}$

สำหรับค่าคงที่C = 0.8178146 ^... [ ^{44 ]}

หากนับตามความซ้ำซ้อน จำนวนของจำนวนโทเทียนต์จนถึงขีดจำกัดx ที่กำหนด คือ

${\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}$

โดยที่พจน์ความคลาดเคลื่อนRมีขนาดไม่เกิน⁠x/(log x ) ^kสำหรับ kบวกใดๆ ^{[ 45 ]}

เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนmเกินm ^δบ่อยครั้งอย่างไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับδ < 0.55655 ใดๆ ^{[ 46 ] [ 47 ]}

ฟอร์ด (1999)พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็มk ≥ 2 ทุกตัว จะมีจำนวนโทเทียนต์m ที่มีมัลติพลิซิตี้ kนั่นคือ สำหรับสมการφ ( n ) = mจะมี คำตอบ k คำตอบพอดี ผลลัพธ์นี้เคยถูกคาดเดาไว้ก่อนหน้านี้โดยWacław Sierpiński [ ^{48 ]}และได้มาเป็นผลสืบเนื่องมาจาก สมมติฐาน H ของ Schinzel ^{[ 44 ] อันที่จริง มัลติพลิซิตี้แต่ละ แบบ}ที่เกิดขึ้น จะเกิดขึ้นเป็นอนันต์ครั้ง^{[ 44 ] [ 47 ]}

อย่างไรก็ตาม ไม่ทราบ จำนวน m ที่มีมัลติพลิซิตี้ k = 1ข้อสันนิษฐานฟังก์ชันโทเทียนต์ของคาร์ไมเคิลคือข้อความที่ระบุว่าไม่มีm ดัง กล่าว^{[ 49 ]}

จำนวนโทเทียนสมบูรณ์คือจำนวนเต็มที่เท่ากับผลรวมของค่าโทเทียนที่ได้จากการทำซ้ำ กล่าวคือ เราใช้ฟังก์ชันโทเทียนกับจำนวนnแล้วใช้ฟังก์ชันนั้นอีกครั้งกับค่าโทเทียนที่ได้ และทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จนกว่าจะถึงจำนวน 1 จากนั้นนำลำดับของจำนวนที่ได้ทั้งหมดมาบวกกัน ถ้าผลรวมเท่ากับnแล้วnก็เป็นจำนวนโทเทียนสมบูรณ์

ในส่วนสุดท้ายของDisquisitiones ^{[ 50 ] [ 51 ]}เกาส์พิสูจน์^{[ 52 ]} ว่า สามารถสร้างรูปn เหลี่ยม ปกติ ได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน ถ้า φ ( n )เป็นกำลังของ 2 ถ้าnเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะคี่ สูตรสำหรับโทเทียนต์บอกว่าโทเทียนต์จะเป็นกำลังของ 2 ได้ก็ต่อเมื่อnเป็นกำลังแรกและn − 1เป็นกำลังของ 2 จำนวนเฉพาะที่มากกว่ากำลังของ 2 อยู่ 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะของแฟร์มาต์และมีเพียง 5 ตัวเท่านั้นที่ทราบ ได้แก่ 3, 5, 17, 257 และ 65537 แฟร์มาต์และเกาส์รู้จักจำนวนเฉพาะเหล่านี้ ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะมากกว่านี้หรือไม่

ดังนั้น รูป nเหลี่ยมปกติจะมีโครงสร้างแบบไม้บรรทัดและวงเวียนหากn เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์ที่แตกต่างกันและกำลังใดๆ ของ 2 nแรกๆ ดังกล่าวคือ^{[ 53 ]}

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40,... (ลำดับA003401ในOEIS )

การตั้งค่าระบบ RSA เกี่ยวข้องกับการเลือกจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่pและqการคำนวณn = pqและk = φ ( n )และการหาจำนวนeและd สองจำนวน ที่ทำให้ed ≡ 1 (mod k )จำนวนnและe ("กุญแจเข้ารหัส") จะถูกเปิดเผยต่อสาธารณะ ในขณะที่d ("กุญแจถอดรหัส") จะถูกเก็บไว้เป็นความลับ

ข้อความซึ่งแทนด้วยจำนวนเต็มmโดยที่0 < m < n จะ ถูก เข้ารหัสโดยการคำนวณS = m ^e (mod n )

สามารถถอดรหัสได้โดยการคำนวณt = S ^d (mod n )ทฤษฎีบทของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อแสดงว่า ถ้า0 < t < nแล้วt = m

ความปลอดภัยของระบบ RSA จะลดลงหาก สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนn ได้อย่างมีประสิทธิภาพ หรือหาก สามารถคำนวณφ ( n ) ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยไม่ต้องแยกตัวประกอบ ของ n

ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะφ ( p ) = p − 1ในปี พ.ศ. 2475 DH Lehmerถามว่ามีจำนวนประกอบn ใดบ้าง ที่φ ( n )หารn − 1 ลงตัว ไม่มีจำนวนประกอบ ใดที่ทราบ^{[ 54 ]}

ในปี พ.ศ. 2476 เขาพิสูจน์ว่าหาก nดังกล่าวมีอยู่จริง จะต้องเป็นจำนวนคี่ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะอย่างน้อยเจ็ดตัว (กล่าวคือω ( n ) ≥ 7 ) ในปี พ.ศ. 2523 โคเฮนและฮากิสพิสูจน์ว่าn > ^10²⁰และω ( n ) ≥ 14 [ ^{55 ] นอกจาก}นี้ ฮากิสยังแสดงให้เห็นว่าหาก 3 หารn ลงตัว แล้วn > ^{10¹⁹³⁷⁰⁴²}และω ( n ) ≥ 2⁹⁸⁴⁸ ^{[ 56 ] [ 57 ]}

นี่ระบุว่าไม่มีจำนวนใดที่มีคุณสมบัติว่าสำหรับจำนวนอื่นๆ ทั้งหมด, , ดูทฤษฎีบทของฟอร์ดข้างต้น ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle \varphi (m)\neq \varphi (n)}$

หากมีตัวอย่างค้าน เพียงตัวอย่างเดียว สำหรับข้อสันนิษฐานนี้ ก็จะต้องมีตัวอย่างค้านจำนวนอนันต์ และตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดก็มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งหมื่นล้านหลักในฐาน 10 ^{[ 41 ]}

สมมติฐานของ รีมันน์ เป็นจริงก็ต่อเมื่ออสมการ

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

เป็นจริงสำหรับทุกกรณีที่เป็นค่าคงที่ของออยเลอร์และเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ120569 ตัวแรก ^{[ 58 ]}${\displaystyle n\geq p_{120569}\#}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p_{120569}\#}$

• ฟังก์ชันคาร์ไมเคิล (λ)
• ฟังก์ชันไซของ Dedekind (𝜓)
• ฟังก์ชันตัวหาร (σ)
• สมมติฐานดัฟฟิน-เชฟเฟอร์
• การสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์
• จำนวนประกอบสูง
• กลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล n
• รามานุจัน สุม
• ฟังก์ชันผลรวมโทเทียนต์ (𝛷)

• "ฟังก์ชันโทเทียนต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ฟังก์ชันฟีของออยเลอร์และทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน — การพิสูจน์ว่าφ ( n )เป็นฟังก์ชันทวีคูณเก็บ ถาวร เมื่อ 2021-02-28 ที่Wayback Machine
• เครื่องคำนวณฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ใน JavaScript — สูงสุด 20 หลัก
• Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions Archived 2021-01-16 at the Wayback Machine
• Plytage, Loomis, Polhill สรุปฟังก์ชัน Phi ของออยเลอร์