ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน พีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและการประยุกต์ใช้อื่นๆ ของทฤษฎีหมวดหมู่แบบอาเบเลียน บทพิสูจน์ ห้าประการ (Five Lemma) เป็น บทพิสูจน์ที่สำคัญและใช้กันอย่างแพร่หลายเกี่ยวกับแผนภาพการสลับที่บทพิสูจน์ห้าประการนี้ใช้ได้กับหมวดหมู่แบบอาเบเลียนทั้งหมด รวมถึงหมวดหมู่ของกลุ่มด้วย

บทพิสูจน์ย่อยทั้งห้าข้อสามารถมองได้ว่าเป็นการรวมกันของทฤษฎีบทย่อยอีกสองข้อ คือบทพิสูจน์ย่อยทั้งสี่ข้อซึ่งเป็นบทพิสูจน์ย่อยคู่ขนานกัน

พิจารณาแผนภาพการสลับ ที่ต่อไปนี้ ในหมวดหมู่อาเบเลียน ใดๆ (เช่น หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนหรือหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ ที่กำหนด ) หรือในหมวดหมู่ของกลุ่ม

บทพิสูจน์ย่อยทั้งห้ากล่าวว่า ถ้าแถวเป็น จำนวน ที่แน่นอนmและpเป็นไอโซมอร์ฟิซึม l เป็นเอพิโมร์ฟิซึมและqเป็นโมโนมอร์ฟิซึมแล้วnก็เป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วย

ทฤษฎีบทเสริมสี่ประการทั้งสองระบุว่า:

วิธีการพิสูจน์ที่เราจะใช้โดยทั่วไปเรียกว่า การไล่ ตามแผนภาพ^{[ 1 ]}เราจะพิสูจน์เลมมาทั้งห้าโดยการพิสูจน์เลมมาทั้งสี่สองอันแยกกัน

ในการไล่ตามแผนภาพ เราจะสมมติว่าเราอยู่ในหมวดหมู่ของโมดูลเหนือริงบางวงเพื่อที่เราจะสามารถพูดถึงองค์ประกอบของวัตถุในแผนภาพและคิดถึงมอร์ฟิซึมของแผนภาพว่าเป็นฟังก์ชัน (อันที่จริงคือโฮโมมอร์ฟิซึม ) ที่กระทำต่อองค์ประกอบเหล่านั้น ดังนั้น มอร์ฟิซึมจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง และจะเป็นเอพิมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ในทำนองเดียวกัน เพื่อจัดการกับความแม่นยำ เราสามารถคิดถึงเคอร์เนลและภาพในแง่ของทฤษฎีฟังก์ชันได้ การพิสูจน์จะยังคงใช้ได้กับหมวดหมู่อาเบเลียน (ขนาดเล็ก) ใดๆ เนื่องจากทฤษฎีบทการฝังตัวของมิทเชลซึ่งระบุว่าหมวดหมู่อาเบเลียนขนาดเล็กใดๆ สามารถแสดงได้เป็นหมวดหมู่ของโมดูลเหนือริงบางวง สำหรับหมวดหมู่ของกลุ่ม เพียงแค่เปลี่ยนสัญกรณ์การบวกทั้งหมดด้านล่างเป็นสัญกรณ์การคูณ และโปรดทราบว่าไม่เคยใช้สมบัติการสลับที่ของกลุ่มอาเบเลียน

ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ (1) ให้ถือว่าmและpเป็นฟังก์ชันทั่วถึง และqเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

• ให้c′เป็นสมาชิกของC ′
• เนื่องจากpเป็นฟังก์ชันทั่วถึง จึงมีองค์ประกอบdในDที่p ( d ) = t ( c′ )
• โดยอาศัยคุณสมบัติการสลับที่ของแผนภาพu ( p ( d )) = q ( j ( d ))
• เนื่องจาก im t = ker uโดยความแม่นยำ 0 = u ( t ( c′ )) = u ( p ( d )) = q ( j ( d ))
• เนื่องจากqเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นj ( d ) = 0 ดังนั้นdอยู่ใน ker j = im h
• ดังนั้น จึงมีcในCที่มีh ( c ) = d
• จากนั้นt ( n ( c )) = p ( h ( c )) = t ( c′ ) เนื่องจากtเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม จึงสรุปได้ว่าt ( c′ − n ( c )) = 0
• โดยความแม่นยำc′ − n ( c ) อยู่ในภาพของsดังนั้นจึงมีb′ในB′ที่s ( b′ ) = c′ − n ( c )
• เนื่องจากmเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เราจึงสามารถหาbในB ได้ โดยที่b′ = m ( b )
• โดยสมบัติการสลับที่n ( g ( b )) = s ( m ( b )) = c′ − n ( c )
• เนื่องจากnเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ดังนั้นn ( g ( b ) + c ) = n ( g ( b )) + n ( c ) = c′ − n ( c ) + n ( c ) = c ′
• ดังนั้นn จึง เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)

จากนั้น เพื่อพิสูจน์ (2) ให้ถือว่าmและpเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และlเป็นฟังก์ชันทั่วถึง

• ให้cในCเป็นเช่นนั้นn ( c ) = 0
• ดังนั้น t ( n ( c )) จึงเป็น 0
• โดยสมบัติการสลับที่p ( h ( c )) = 0
• เนื่องจากpเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นh ( c ) = 0
• โดยหลักความแม่นยำ จะมีองค์ประกอบbของBที่ทำให้g ( b ) = c
• โดยสมบัติการสลับที่s ( m ( b )) = n ( g ( b )) = n ( c ) = 0
• โดยความแม่นยำแล้ว จะมีองค์ประกอบa′ของA′ที่ทำให้r ( a′ ) = m ( b )
• เนื่องจากlเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ดังนั้นจึงมีaในAที่ทำให้l ( a ) = a ′
• โดยสมบัติการสลับที่m ( f ( a )) = r ( l ( a )) = m ( b ) .
• เนื่องจากmเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นf ( a ) = b
• ดังนั้นc = g ( f ( a ))
• เนื่องจากการประกอบกันของgและfเป็นสิ่งที่ไม่สำคัญ ดังนั้นc = 0
• ดังนั้นn จึง เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)

การรวมบทพิสูจน์ย่อยทั้งสี่ข้อเข้าด้วยกันในขณะนี้พิสูจน์บทพิสูจน์ย่อยทั้งห้าข้อได้อย่างสมบูรณ์

บทพิสูจน์ห้าประการมักถูกนำไปใช้กับลำดับที่แน่นอนยาวๆ : เมื่อคำนวณโฮโมโลยีหรือโคโฮโมโลยีของวัตถุที่กำหนด โดยทั่วไปแล้วจะใช้ซับออบเจกต์ที่ง่ายกว่าซึ่งทราบโฮโมโลยี/โคโฮโมโลยี และได้ลำดับที่แน่นอนยาวๆ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลุ่มโฮโมโลยีที่ไม่ทราบของออบเจกต์ดั้งเดิม วิธีนี้เพียงอย่างเดียวมักไม่เพียงพอที่จะกำหนดกลุ่มโฮโมโลยีที่ไม่ทราบ แต่ถ้าเราสามารถเปรียบเทียบออบเจกต์ดั้งเดิมและซับออบเจกต์กับออบเจกต์ที่เข้าใจได้ดีผ่านทางมอร์ฟิซึม ก็จะสามารถเหนี่ยวนำมอร์ฟิซึมระหว่างลำดับที่แน่นอนยาวๆ ที่เกี่ยวข้องได้ และสามารถใช้บทพิสูจน์ห้าประการเพื่อกำหนดกลุ่มโฮโมโลยีที่ไม่ทราบได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันมีประโยชน์อย่างมากในการพิสูจน์ว่าทฤษฎี (โค)โฮโมโลยีสองทฤษฎีของวัตถุเดียวกันนั้นตรงกัน เช่น ซิมพลิเชียลโฮโมโลยีเทียบกับซิงกูลาร์โฮโมโลยี โคโฮโมโลยีของเดอแรมเทียบกับซิงกูลาร์โคโฮโมโลยี

• บทพิสูจน์ย่อยห้าข้อแบบสั้นกรณีพิเศษของบทพิสูจน์ย่อยห้าข้อสำหรับลำดับที่แน่นอนแบบสั้น
• บทพิสูจน์งู (Snake lemma ) บทพิสูจน์อีกบทหนึ่งที่พิสูจน์ได้โดยการไล่ตามแผนภาพ (diagram chasing)
• เลมมาเก้า