ในคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีหมวดหมู่แผนภาพการสลับ ที่ คือแผนภาพที่เส้นทางทิศทางทั้งหมดในแผนภาพที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกันนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน^{[ 1 ]}กล่าวกันว่าแผนภาพการสลับที่ทำหน้าที่ในทฤษฎีหมวดหมู่เช่นเดียวกับที่สม การ ทำ หน้าที่ ในพีชคณิต^{[ 2 ]}

แผนภาพการสลับที่มักประกอบด้วยสามส่วน:

• วัตถุ (หรือเรียกอีกอย่างว่าจุดยอด )
• มอร์ฟิซึม (หรือที่รู้จักกันในชื่อลูกศรหรือขอบ )
• เส้นทางหรือองค์ประกอบ

ในตำราพีชคณิต ประเภทของมอร์ฟิซึมสามารถแสดงได้ด้วยการใช้ลูกศรที่แตกต่างกัน:

• โมโนมอร์ฟิซึม อาจถูก ^ระบุด้วย^{[ 3 ]}หรือ[ ^{4 ]}${\displaystyle \hookrightarrow }$${\displaystyle \rightarrowtail }$
• เอพิโมฟิซึมอาจถูกระบุด้วย.${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• ไอโซมอร์ฟิซึมอาจถูกกำกับด้วยสัญลักษณ์.${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• โดยทั่วไปแล้ว ลูกศรเส้นประจะแสดงถึงข้ออ้างที่ว่ามอร์ฟิซึมที่ระบุนั้นมีอยู่จริง (เมื่อส่วนที่เหลือของแผนภาพเป็นจริง) ลูกศรอาจมีป้ายกำกับเพิ่มเติมได้ ${\displaystyle \exists }$
  • หากมอร์ฟิซึมมีลักษณะเฉพาะตัว ลูกศรเส้นประอาจมีป้ายกำกับเป็นหรือก็ได้${\displaystyle !}$${\displaystyle \exists !}$
• หากมอร์ฟิซึมกระทำระหว่างลูกศรสองตัว (เช่นในกรณีของทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง ) จะเรียกว่าการแปลงธรรมชาติและอาจติดป้ายกำกับว่า(ดังที่เห็นด้านล่างในบทความนี้)${\displaystyle \Rightarrow }$

ความหมายของลูกศรต่างๆ ไม่ได้มีการกำหนดมาตรฐานไว้อย่างสมบูรณ์: ลูกศรที่ใช้สำหรับโมโนมอร์ฟิซึม เอพิโมร์ฟิซึม และไอโซมอร์ฟิซึม ยังใช้สำหรับอินเจกชันเซอร์เจกชันและไบเจกชันตลอดจนโคไฟเบรชัน ไฟเบรชัน และความสมมูลแบบอ่อนในหมวดหมู่แบบจำลองด้วย

คุณสมบัติการสลับที่ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านจำกัด (รวมถึงเพียง 1 หรือ 2 ด้าน) และแผนภาพจะมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ก็ต่อเมื่อแผนภาพย่อยรูปหลายเหลี่ยมทุกอันมีคุณสมบัติการสลับที่ได้เช่นกัน

โปรดทราบว่าแผนภาพอาจไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ กล่าวคือ การประกอบเส้นทางที่แตกต่างกันในแผนภาพอาจไม่ได้ให้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอไป

ในแผนภาพด้านซ้าย ซึ่งแสดงทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกการสลับที่กันของรูปสามเหลี่ยมหมายความว่าในแผนภาพด้านขวา การสลับที่กันของรูปสี่เหลี่ยมหมายความว่า ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \pi }$${\displaystyle h\circ f=k\circ g}$

เพื่อให้แผนภาพด้านล่างสามารถสลับตำแหน่งกันได้ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามประการดังนี้:

1. ${\displaystyle r\circ h\circ g=H\circ G\circ l}$
2. ${\displaystyle m\circ g=G\circ l}$
3. ${\displaystyle r\circ h=H\circ m}$

ในที่นี้ เนื่องจากความเท่าเทียมกันข้อแรกเป็นผลมาจากสองข้อสุดท้าย จึงเพียงพอที่จะแสดงว่า (2) และ (3) เป็นจริงเพื่อให้แผนภาพสลับกันได้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความเท่าเทียมกัน (3) โดยทั่วไปไม่ได้เป็นผลมาจากอีกสองข้อ จึงโดยทั่วไปแล้วไม่เพียงพอที่จะมีเพียงความเท่าเทียมกัน (1) และ (2) หากต้องการแสดงว่าแผนภาพสลับกันได้

การไล่ตามแผนภาพ (เรียกอีกอย่างว่าการค้นหาแบบแผนภาพ ) เป็นวิธีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีซึ่งเป็นการสร้างคุณสมบัติของมอร์ฟิซึมบางอย่างโดยการติดตามองค์ประกอบของแผนภาพการสลับเปลี่ยน การพิสูจน์โดยการไล่ตามแผนภาพโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการใช้คุณสมบัติของแผนภาพอย่างเป็นทางการ เช่นแผนที่แบบฉีดหรือ แบบ ทั่วถึง หรือ ลำดับที่แน่นอน [ ^{5 ] มี} การสร้าง ตรรกะแบบอนุมานขึ้นซึ่งการแสดงภาพกราฟิกของแผนภาพเป็นเพียงเครื่องมือช่วยในการมองเห็นเท่านั้น ดังนั้นจึงจบลงด้วยการ "ไล่ตาม" องค์ประกอบต่างๆ รอบแผนภาพ จนกว่าจะสร้างหรือตรวจสอบองค์ประกอบหรือผลลัพธ์ที่ต้องการได้

ตัวอย่างของการพิสูจน์โดยการไล่ตามแผนภาพ ได้แก่ การพิสูจน์ที่มักใช้กับบทพิสูจน์ย่อยห้าประการบทพิสูจน์ย่อยงู บทพิสูจน์ย่อย ซิกแซกและบทพิสูจน์ย่อยเก้าประการ

ในทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง เราไม่ได้พิจารณาเพียงแค่วัตถุและลูกศรเท่านั้น แต่ยังพิจารณาลูกศรระหว่างลูกศร ลูกศรระหว่างลูกศรระหว่างลูกศร และอื่นๆ อีกมากมายไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดตัวอย่างเช่น หมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็กCatเป็นหมวดหมู่ 2 โดยธรรมชาติ โดยมีฟังก์ชันเป็นลูกศร และการแปลงธรรมชาติเป็นลูกศรระหว่างฟังก์ชัน ในบริบทนี้ แผนภาพการสลับที่อาจรวมถึงลูกศรระดับสูงเหล่านี้ด้วย ซึ่งมักจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้: ตัวอย่างเช่น แผนภาพต่อไปนี้ (ค่อนข้างเรียบง่าย) แสดงหมวดหมู่สองหมวดCและDพร้อมกับฟังก์ชันสองตัวF , G  : C → Dและการแปลงธรรมชาติα  : F ⇒ G : ${\displaystyle \Rightarrow }$

ในการจัดหมวดหมู่แบบ 2 ประเภท จะมีการจัดองค์ประกอบอยู่ 2 แบบ (เรียกว่าการจัดองค์ประกอบแนวตั้งและการจัดองค์ประกอบแนวนอน ) และสามารถแสดงได้โดยการแปะแผนภาพ (ดูตัวอย่างได้ ที่ 2-category#Definitions )

แผนภาพการสลับที่ในหมวดหมู่Cสามารถตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่ดัชนีJไปยังC โดยเราเรียกฟังก์ชันนี้ว่าแผนภาพ

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น แผนภาพสลับที่ได้คือการแสดงภาพของแผนภาพที่จัดทำดัชนีโดยหมวดหมู่โพเซตแผนภาพดังกล่าวโดยทั่วไปประกอบด้วย:

• โหนดสำหรับวัตถุทุกชิ้นในหมวดหมู่ดัชนี
• ลูกศรสำหรับเซตก่อกำเนิดของมอร์ฟิซึม (โดยไม่รวมแผนที่เอกลักษณ์และมอร์ฟิซึมที่สามารถแสดงได้ในรูปของการประกอบ)
• คุณสมบัติการสลับที่ของแผนภาพ (ความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบต่างๆ ของแผนที่ระหว่างวัตถุสองชิ้น) ซึ่งสอดคล้องกับความเป็นเอกลักษณ์ของแผนที่ระหว่างวัตถุสองชิ้นในหมวดหมู่โพเซต

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดแผนภาพการสลับที่ มันจะกำหนดหมวดหมู่โพเซต โดยที่:

• วัตถุเหล่านั้นคือโหนด
• จะมีการแปลงรูป (morphism) ระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ ก็ต่อเมื่อมีเส้นทาง (แบบมีทิศทาง) ระหว่างโหนดทั้งสองเท่านั้น
• โดยมีความสัมพันธ์ที่ว่ามอร์ฟิซึมนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะ (การประกอบกันของแผนที่ใดๆ จะถูกกำหนดโดยโดเมนและเป้าหมาย: นี่คือสัจพจน์การสลับที่)

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกแผนภาพที่จะสลับที่ได้ (แนวคิดของแผนภาพอย่างเคร่งครัดเป็นการขยายความหมายของแผนภาพที่สลับที่ได้) ตัวอย่างง่ายๆ เช่น แผนภาพของวัตถุชิ้นเดียวที่มีเอนโดมอร์ฟิซึม ( ) หรือที่มีลูกศรขนานสองลูก ( นั่นคือบางครั้งเรียกว่าลูกศรอิสระ ) ดังที่ใช้ในนิยามของอีควอไลเซอร์ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้ นอกจากนี้ แผนภาพอาจยุ่งยากหรือวาดไม่ได้เลย เมื่อจำนวนวัตถุหรือมอร์ฟิซึมมีมาก (หรือแม้แต่เป็นอนันต์) ${\displaystyle f\colon X\to X}$${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

• แผนภาพทางคณิตศาสตร์

• การไล่ตามแผนภาพที่MathWorld
• WildCatsเป็นแพ็กเกจทฤษฎีหมวดหมู่สำหรับMathematicaใช้สำหรับจัดการและแสดงภาพของวัตถุมอร์ฟิซึมหมวดหมู่ฟังก์ชันและ การ แปลงธรรมชาติ