ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน ทฤษฎีการแทนค่า (representation theory ) ควี เวอร์ ( quiver ) เป็นอีกชื่อหนึ่งของมัลติไดกราฟ (multidigraph) ซึ่งก็คือกราฟทิศทางที่ อนุญาตให้ มีวงวน และลูกศรหลายลูกระหว่าง จุดยอดสอง จุด ควี เวอร์มักใช้ในทฤษฎีการแทนค่า: การแทนค่า  Vของควีเวอร์จะกำหนดปริมาณเวกเตอร์ V ( x )ให้กับจุดยอด  x แต่ละจุด ของควีเวอร์ และกำหนดแผนที่เชิงเส้น V ( a ) ให้กับลูกศร aแต่ละ  ลูก

ในทฤษฎีหมวดหมู่ควีเวอร์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นโครงสร้างพื้นฐานของหมวดหมู่ ขนาดเล็ก แต่ไม่มีการประกอบหรือการกำหนดมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ กล่าวคือ มีฟังก์ชันลืมจากCat ( หมวดหมู่ของหมวดหมู่ขนาดเล็ก ) ไปยังQuiv (หมวดหมู่ของมัลติไดกราฟ) ตัวผกผันซ้าย ของมัน คือฟังก์ชันอิสระ ซึ่งจากควีเวอร์ จะสร้าง หมวดหมู่อิสระที่สอดคล้องกัน

ซองใส่ลูกธนูΓประกอบด้วย:

• เซตVของจุดยอดของΓ
• เซตEของขอบของΓ
• ฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: ฟังก์ชันแรกกำหนด${\displaystyle s:E\to V}$จุดเริ่มต้นหรือแหล่งที่มาของเส้นเชื่อม และฟังก์ชันที่สองกำหนดจุด${\displaystyle t:E\to V}$ปลายทางของเส้นเชื่อม

นิยามนี้เหมือนกับนิยามของมัลติไดกราฟที่มีขอบซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

มอร์ฟิซึมของควีเวอร์ คือการแมปจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดยอดหนึ่ง ซึ่งแปลงขอบที่มีทิศทางไปยังขอบที่มีทิศทาง ในทางรูปธรรม ถ้าและเป็นควีเวอร์สองตัว มอร์ฟิซึมของควีเวอร์จะประกอบด้วยฟังก์ชันสองฟังก์ชันและที่ทำให้แผนภาพต่อไปนี้สลับกันได้ : ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$

นั่นคือ

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

และ

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

นิยามข้างต้นมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีเซตส่วนนิยามเชิงหมวดหมู่จะขยายนิยามนี้ไปสู่ฟังก์ชันจากควีเวอร์อิสระ ไปยังหมวดหมู่ของเซต

ควีเวอร์อิสระ (เรียกอีกอย่างว่าควีเวอร์เดินควีเวอร์โครเนกเกอร์ ควี เวอร์2-โครเนกเกอร์หรือหมวดหมู่โครเนกเกอร์ ) Qเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุสองชิ้น และมอร์ฟิซึมสี่ตัว: วัตถุคือVและEมอร์ฟิซึมทั้งสี่ตัวคือ⁠ ⁠ ${\displaystyle s:E\to V,}$⁠ ⁠${\displaystyle t:E\to V,}$และ มอ ร์ฟิซึมเอกลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$ นั่นคือ ควีเวอร์อิสระคือหมวดหมู่

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

ดังนั้น ควีเวอร์จึงเป็นฟังก์ชัน( กล่าว คือระบุเซตสองเซตและและฟังก์ชันสองฟังก์ชันนี่คือขอบเขตทั้งหมดของความหมายของการเป็นฟังก์ชันจากไปยัง) ${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (V)}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbf {Set} }$

โดยทั่วไปแล้ว ควีเวอร์ในหมวดหมู่Cคือฟังก์ชันเตอร์หมวด${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$ หมู่Quiv ( C )ของควีเวอร์ในCคือหมวดหมู่ฟังก์ชันเตอร์โดยที่:

• วัตถุเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$
• มอร์ฟิซึมคือการแปลงแบบธรรมชาติระหว่างฟังก์ชัน

โปรดทราบว่าQuivคือหมวดหมู่ของพรีชีฟบน หมวดหมู่ตรงข้ามQ ^op

ถ้าΓเป็นกระบอกลูกศรเส้นทางในΓ ก็ คือลำดับของลูกศร

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

โดยที่หัวของa _{i +1}คือหางของa _iสำหรับi = 1, …, n −1โดยใช้หลักการต่อเส้นทางจากขวาไปซ้าย โปรดทราบว่าเส้นทางในทฤษฎีกราฟมีนิยามที่เข้มงวดกว่า และแนวคิดนี้สอดคล้องกับสิ่งที่ในทฤษฎีกราฟเรียกว่าการเดิน (walk )

ถ้าKเป็นฟิลด์พีชคณิตควีเวอร์หรือพีชคณิต เส้นทางK Γจะถูกนิยามว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีเส้นทางทั้งหมด (ที่มีความยาว ≥ 0) ในควีเวอร์เป็นฐาน (รวมถึงสำหรับแต่ละจุดยอดiของควีเวอร์Γเส้นทางที่ไม่สำคัญe _iที่มีความยาว 0; เส้นทางเหล่านี้ไม่ถือว่าเท่ากันสำหรับi ที่แตกต่างกัน ) และการคูณกำหนดโดยการต่อเส้นทางเข้าด้วยกัน ถ้าเส้นทางสองเส้นไม่สามารถต่อกันได้เนื่องจากจุดยอดสุดท้ายของเส้นแรกไม่เท่ากับจุดเริ่มต้นของเส้นที่สอง ผลคูณของเส้นทางทั้งสองจะถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ นี่เป็นการนิยามพีชคณิตแบบสมาคมเหนือKพีชคณิตนี้มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ก็ต่อเมื่อควีเวอร์มีจุดยอดเพียงจำนวนจำกัด ในกรณีนี้โมดูลเหนือK Γจะถูกระบุอย่างเป็นธรรมชาติด้วยการแสดงแทนของΓถ้าลูกศรมีจุดยอดเป็นจำนวนอนันต์K Γจะมีเอกลักษณ์โดยประมาณที่กำหนดโดย โดยที่Fครอบคลุมเซตย่อยจำกัดของเซตจุดยอดของ Γ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

ถ้าซองลูกศรมีจุดยอดและลูกศรจำนวนจำกัด และจุดยอดสุดท้ายและจุดเริ่มต้นของเส้นทางใดๆ แตกต่างกันเสมอ (กล่าวคือQไม่มีวัฏจักรแบบมีทิศทาง) แล้วK Γจะเป็นพีชคณิตสืบทอดมิติ จำกัด เหนือK ใน ทางกลับกัน ถ้าKเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิต พีชคณิตสืบทอดแบบเชื่อมโยงมิติจำกัดใดๆ เหนือKจะเทียบเท่าแบบโมริตะกับพีชคณิตเส้นทางของซองลูกศร Ext ของมัน (กล่าวคือ พวกมันมีหมวดหมู่โมดูลที่เทียบเท่ากัน)

การแทนกลุ่มลูกศรQคือการเชื่อมโยง โมดูล Rกับแต่ละจุดยอดของQและมอร์ฟิซึมระหว่างแต่ละโมดูลสำหรับลูกศรแต่ละลูก

เรียกว่าการแทนVของควีเวอร์Q เป็นการ แทน แบบไม่สำคัญถ้าสำหรับทุกจุดยอดxใน  Q${\displaystyle V(x)=0}$

มอร์ฟิซึม${\displaystyle f:V\to V',}$ระหว่างตัวแทนของควีเวอร์Qคือชุดของแผนที่เชิงเส้นโดยที่${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$สำหรับลูกศรa ทุกตัว ในQจากxไปยังy กล่าว คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่fสร้างขึ้นกับลูกศรของVและV' ทั้งหมด จะสลับที่ได้ มอร์ฟิซึมfเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ถ้าf ( x ) สามารถผกผันได้สำหรับจุดยอด xทุกจุดในควีเวอร์ ด้วยคำจำกัดความเหล่านี้ ตัวแทนของควีเวอร์จึงก่อให้เกิดหมวด หมู่${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$

ถ้าVและWเป็นตัวแทนของควีเวอร์Qแล้ว ผลรวมโดยตรงของตัวแทนเหล่านี้จะถูกกำหนดโดย สำหรับจุดยอด xทั้งหมดในQและเป็นผลรวมโดยตรงของการแมปเชิงเส้น V ( a )และ  W ( a )${\displaystyle V\oplus W,}$${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$

กล่าวได้ว่าการแทนค่าสามารถแยกส่วนได้หากการแทนค่านั้นมีโครงสร้างเหมือนกับผลรวมโดยตรงของการแทนค่าที่ไม่เป็นศูนย์

นอกจากนี้ยังสามารถให้คำจำกัดความเชิงหมวดหมู่ของการแสดงแทนด้วยควีเวอร์ได้อีกด้วย ควีเวอร์เองสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นหมวดหมู่ โดยที่จุดยอดเป็นวัตถุ และเส้นทางเป็นมอร์ฟิซึม ดังนั้น การแสดงแทนของQ จึงเป็นเพียงฟังก์ชัน ร่วมแปร จากหมวดหมู่นี้ไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัด มอร์ฟิซึมของการแสดงแทนของQก็คือการแปลงตามธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน นั่นเอง

สำหรับควีเวอร์จำกัดΓ (ควีเวอร์ที่มีจุดยอดและขอบจำนวนจำกัด) ให้K Γเป็นพีชคณิตเส้นทางของมัน ให้e _iแทนเส้นทางที่ไม่สำคัญที่จุดยอด  iจากนั้นเราสามารถเชื่อมโยงจุดยอด  i กับ โมดูลเชิงโปรเจ กทีฟK Γ e iซึ่งประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นของเส้นทางที่มีจุดยอดเริ่มต้น  ที่ iซึ่งสอดคล้องกับการแสดงแทนของΓ _ที่ได้จากการวางสำเนาของKไว้ที่แต่ละจุดยอดที่อยู่บนเส้นทางที่เริ่มต้นที่iและวาง 0 ไว้ที่จุดยอดอื่นๆ ส่วนขอบแต่ละเส้นที่เชื่อมสำเนาสองชุดของKเราจะเชื่อมโยงแผนที่เอกลักษณ์เข้าด้วยกัน

ทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องกับพีชคณิตคลัสเตอร์โดย Derksen, Weyman และ Zelevinsky ^{[ 1 ]}

เพื่อบังคับใช้สมบัติการสลับที่ของบางช่องสี่เหลี่ยมภายในควีเวอร์ จึงมีการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องควีเวอร์ที่มีความสัมพันธ์ (เรียกอีกอย่างว่าควีเวอร์แบบผูกพัน) ความสัมพันธ์บนควีเวอร์Qคือ การรวมเชิงเส้น Kของเส้นทางจากQ ค วีเวอร์ที่มีความสัมพันธ์คือคู่( Q , I )โดยที่Qเป็นควีเวอร์ และI เป็นไอเดียลของพีชคณิตเส้นทาง ผลหารK Γ/ Iคือพีชคณิตเส้นทางของ( Q , I )${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$

เมื่อกำหนดมิติของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดให้กับจุดยอดแต่ละจุดแล้ว เราสามารถสร้างวาไรตี้ที่บ่งบอกลักษณะของการแสดงแทนทั้งหมดของควีเวอร์นั้นด้วยมิติที่ระบุ และพิจารณาเงื่อนไขความเสถียร สิ่งเหล่านี้ทำให้เกิดวาไรตี้ควีเวอร์ ดังที่King (1994) ได้สร้าง ขึ้น

ควีเวอร์จะเป็นแบบจำกัดประเภทก็ต่อเมื่อมีคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของตัวแทนที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น กาเบรียล (1972)ได้จำแนกควีเวอร์แบบจำกัดประเภททั้งหมด รวมถึงตัวแทนที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ของควีเวอร์เหล่านั้นด้วย กล่าวโดยละเอียด ทฤษฎีบทของกาเบรียลระบุว่า:

1. ลูกศร ( ที่เชื่อมต่อกัน) จะเป็นแบบจำกัดประเภทก็ต่อเมื่อกราฟพื้นฐานของมัน (เมื่อไม่พิจารณาทิศทางของลูกศร) เป็นหนึ่งในแผนภาพ Dynkin ADE ได้แก่A _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈
2. การแสดงผลที่ไม่สามารถแยกย่อยได้นั้นมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับรากบวกของระบบรากของแผนภาพไดน์กิน

Dlab & Ringel (1973)ค้นพบการขยายความของทฤษฎีบทของ Gabriel ซึ่งไดอะแกรม Dynkin ทั้งหมดของพีชคณิต Lie กึ่งง่ายมิติจำกัดนั้นปรากฏอยู่ ต่อมาVictor Kac ได้ ขยายความทฤษฎีบทนี้ไปสู่ควีเวอร์ทั้งหมดและ พีชคณิต Kac–Moody ที่สอดคล้องกัน

• การจำแนกประเภท ADE
• ประเภทกาว
• ทฤษฎีการประกอบ
• พีชคณิตกราฟ
• แหวนกลุ่ม
• พีชคณิตเหตุการณ์
• แผนภาพลูกศร
• กึ่งคงที่ของซองธนู
• ความหลากหลายแบบทอริก
• เรขาคณิตพีชคณิตแบบไม่สลับที่ได้มา - ลูกศรช่วยเข้ารหัสข้อมูลของแผนผังแบบไม่สลับที่ได้มา

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับQuivers (ทฤษฎีกราฟ )

• Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (กุมภาพันธ์ 2548), "การแสดงแบบ Quiver" (PDF) , ประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , 52 (2)
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), เกี่ยวกับพีชคณิตประเภทการแสดงแทนแบบจำกัด , Carleton Mathematical Lecture Notes, เล่ม 2, ภาควิชาคณิตศาสตร์, มหาวิทยาลัยคาร์ลตัน, ออตตาวา, ออนแทรีโอ, MR  0347907
• Crawley-Boevey, William (1992), Notes on Quiver Representations (PDF) , มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด , เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2011-07-24 , เรียกดูเมื่อ 2007-02-17
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71– 103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN  0025-2611 , MR  0332887.
• Victor Kac, "ระบบราก, ตัวแทนของควีเวอร์ และทฤษฎีอินแวเรียนต์" ทฤษฎีอินแวเรียนต์ (Montecatini, 1982) , หน้า 74–108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12319-9^{[ 1 ]}
• King, Alastair (1994), "โมดูลัสของการแสดงแทนของพีชคณิตมิติจำกัด", Quart. J. Math. , 45 (180): 515– 530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], "พีชคณิตมิติจำกัดและควีเวอร์" ใน Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (บรรณาธิการ), สารานุกรมฟิสิกส์คณิตศาสตร์เล่ม 2, Elsevier, หน้า  313–320 , arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), องค์ประกอบของทฤษฎีการแทนของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA, "ฟังก์ชันค็อกซ์เตอร์และทฤษฎีบทของกาเบรียล" (ภาษารัสเซีย), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), ฉบับที่ 2(170), 19–33. แปลจากเว็บไซต์ของ Bernstein
• สั่นสะเทือนที่ห้องแล็บn