ในทางคณิตศาสตร์เชนคอมเพล็กซ์คือโครงสร้างพีชคณิตที่ประกอบด้วยลำดับของกลุ่มอาเบเลียน (หรือโมดูล ) และลำดับของโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มที่อยู่ติดกัน โดยที่ภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมแต่ละตัวจะอยู่ในเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมถัดไป สิ่งที่เกี่ยวข้องกับเชนคอมเพล็กซ์คือโฮโมโลยีซึ่ง (โดยคร่าวๆ) คือการวัดความล้มเหลวของเชนคอมเพล็กซ์ในการเป็น จำนวน ที่ แม่นยำ

คอมเพล็กซ์โคเชนนั้นคล้ายกับคอมเพล็กซ์เชน ยกเว้นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของมันมีทิศทางตรงกันข้าม โฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์โคเชนเรียกว่าโคโฮโมโลยี

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต คอมเพล็กซ์ลูกโซ่เอกฐานของปริภูมิโทโพโลยี X ถูกสร้างขึ้นโดยใช้แผนที่ต่อเนื่องจากซิมเพล็กซ์ไปยัง X และโฮโมมอร์ฟิซึมของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่จะแสดงให้เห็นว่าแผนที่เหล่านี้จำกัดอยู่บนขอบเขตของซิมเพล็กซ์อย่างไร โฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่นี้เรียกว่าโฮโมโลยีเอกฐานของ X และเป็นค่าคงที่ ที่ใช้กันทั่วไป ของปริภูมิโทโพโลยี

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ได้รับการศึกษาในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีแต่ก็ถูกนำไปใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงพีชคณิตนามธรรม ทฤษฎี กา ลั วเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนอกจากนี้ยังสามารถนิยามได้ทั่วไปในหมวดหมู่แบบอาเบเลียนด้วย

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ คือลำดับของกลุ่มอาเบเลียนหรือโมดูลที่เชื่อมต่อกันด้วยโฮโมมอร์ฟิซึม (เรียกว่าตัวดำเนินการขอบเขตหรืออนุพันธ์ ) โดยที่การประกอบกันของแผนที่สองแผนที่ที่อยู่ติดกันใดๆ คือแผนที่ศูนย์ โดยชัดเจน อนุพันธ์จะสอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุกหรือโดยย่อคือคอมเพล็กซ์นี้สามารถเขียนออกมาได้ดังนี้: ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle \cdots ,A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots \xleftarrow {d_{0}} A_{0}\xleftarrow {d_{1}} A_{1}\xleftarrow {d_{2}} A_{2}\xleftarrow {d_{3}} A_{3}\xleftarrow {d_{4}} A_{4}\xleftarrow {d_{5}} \cdots }$

โคเชนคอมเพล็กซ์ เป็น แนวคิด คู่ขนานของเชนคอมเพล็กซ์ ประกอบด้วยลำดับของกลุ่มอาเบเลียนหรือโมดูล ที่เชื่อมต่อกันด้วยโฮโมมอร์ฟิ ซึม( ตัวดำเนินการโคบาวน์ดารี ) ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข โคเชนคอมเพล็กซ์สามารถเขียนออกมาในลักษณะเดียวกับเชนคอมเพล็กซ์ได้: ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$${\displaystyle \cdots ,A^{0},A^{1},A^{2},\dots }$${\displaystyle d^{n}:A^{n}\to A^{n+1}}$${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {d^{-1}} A^{0}\xrightarrow {d^{0}} A^{1}\xrightarrow {d^{1}} A^{2}\xrightarrow {d^{2}} A^{3}\xrightarrow {d^{3}} A^{4}\xrightarrow {d^{4}} \cdots }$

ในทั้งสองกรณี ดัชนีจะถูกเรียกว่าระดับ (หรือมิติ ) ความแตกต่างระหว่างคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่และคอมเพล็กซ์แบบโคเชนคือ ในคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่ ค่าอนุพันธ์จะลดมิติ ในขณะที่ในคอมเพล็กซ์แบบโคเชน ค่าอนุพันธ์จะเพิ่มมิติ แนวคิดและคำจำกัดความทั้งหมดสำหรับคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่สามารถนำไปใช้กับคอมเพล็กซ์แบบโคเชนได้ ยกเว้นว่าจะใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกันสำหรับมิติ และมักจะใช้คำนำหน้าว่าco-ในบทความนี้ จะให้คำจำกัดความสำหรับคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่เมื่อไม่จำเป็นต้องแยกความแตกต่าง ${\displaystyle n}$

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่มีขอบเขตคือ คอมเพล็กซ์ที่เกือบทุกโมดูลมีค่าเป็น 0 กล่าวคือ เป็นคอมเพล็กซ์จำกัดที่ขยายออกไปทางซ้ายและขวาด้วยค่า 0 ตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่กำหนดโฮโมโลยีเชิงซิมพลิ เชียล ของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล จำกัด คอมเพล็กซ์ลูกโซ่จะมีขอบเขตบนหากโมดูลทั้งหมดที่อยู่เหนือระดับคงที่บางค่า มีค่า เป็น 0 และจะมีขอบเขตล่างหากโมดูลทั้งหมดที่อยู่ต่ำกว่าระดับคงที่บางค่ามีค่าเป็น 0 เห็นได้ชัดว่า คอมเพล็กซ์จะมีขอบเขตทั้งบนและล่างก็ต่อเมื่อคอมเพล็กซ์นั้นมีขอบเขต ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle N}$

องค์ประกอบของกลุ่มแต่ละกลุ่มของคอมเพล็กซ์ (โค)เชน เรียกว่า(โค)เชนองค์ประกอบในเคอร์เนลของเรียกว่า(โค)ไซเคิล (หรือ องค์ประกอบ ปิด ) และองค์ประกอบในภาพของdเรียกว่า(โค)บาวน์ดารี (หรือ องค์ประกอบ ที่แน่นอน ) จากนิยามของอนุพันธ์ บาวน์ดารีทั้งหมดเป็นไซเคิลกลุ่ม (โค)โฮโมโลจีลำดับ ที่ n H _n ( H ⁿ ) คือกลุ่มของ (โค)ไซเคิล มอดูโล(โค)บาวน์ดารี ในระดับnนั่นคือ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

ลำดับที่แน่นอน (หรือ คอมเพล็กซ์ ที่แน่นอน ) คือ คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่มีกลุ่มโฮโมโลจีเป็นศูนย์ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบปิดทั้งหมดในคอมเพล็กซ์นั้นเป็นจำนวนที่แน่นอนลำดับที่แน่นอนแบบสั้นคือ ลำดับที่แน่นอนแบบมีขอบเขต ซึ่งมีเพียงกลุ่มA _k , A _{k +1} , A _{k +2} เท่านั้น ที่อาจไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ต่อไปนี้เป็นลำดับที่แน่นอนแบบสั้น

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

ในกลุ่มตรงกลาง สมาชิกปิดคือสมาชิก p Zซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นสมาชิกที่แน่นอนในกลุ่มนี้

แผนที่ลูกโซ่fระหว่างคอมเพล็กซ์ลูกโซ่สองตัวและคือลำดับของโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับแต่ละnที่สลับตำแหน่งกับตัวดำเนินการขอบเขตบนคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ทั้งสอง ดังนั้นสิ่งนี้เขียนออกมาในแผนภาพการสลับตำแหน่ง ต่อไป นี้ ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

แผนที่แบบลูกโซ่จะส่งวงจรไปยังวงจรและขอบเขตไปยังขอบเขต ดังนั้นจึงเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่บนโฮโมโลจี ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

แผนที่ต่อเนื่องfระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีXและYเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ลูกโซ่ระหว่างคอมเพล็กซ์ลูกโซ่เอกฐานของXและYและด้วยเหตุนี้จึงเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่f _*ระหว่างโฮโมโลยีเอกฐานของXและYเช่นกัน เมื่อXและYเท่ากับทรงกลมn มิติ แผนที่ที่เหนี่ยวนำบนโฮโมโลยีจะกำหนดดีกรี ของแผนที่f

แนวคิดของแผนที่แบบลูกโซ่จะลดทอนลงเหลือแนวคิดของขอบเขตผ่านการสร้างกรวยของแผนที่แบบลูกโซ่

โฮโมโทปีแบบลูกโซ่เสนอวิธีการเชื่อมโยงแผนที่ลูกโซ่สองแผนที่ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่เดียวกันบนกลุ่มโฮโมโลจี แม้ว่าแผนที่เหล่านั้นอาจแตกต่างกันก็ตาม กำหนดให้คอมเพล็กซ์ลูกโซ่AและB สองคอมเพล็กซ์ และแผนที่ลูกโซ่f , g  : A → Bสองแผนที่ โฮโมโทปี แบบลูกโซ่ คือลำดับของโฮโมมอร์ฟิ ซึม h _n  : A _n → B _{n +1}โดยที่hd _A + d _B h = f − gแผนที่เหล่านี้สามารถเขียนออกมาเป็นแผนภาพได้ดังนี้ แต่แผนภาพนี้ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่

แผนที่hd _A + d _B hสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเหนี่ยวนำแผนที่ศูนย์บนโฮโมโลยี สำหรับh ใดๆ และเป็นผลสืบเนื่องโดยทันทีว่าfและgเหนี่ยวนำแผนที่เดียวกันบนโฮโมโลยี เรากล่าวว่าfและgเป็นโฮโมโทปิกแบบลูกโซ่ (หรือเรียกสั้นๆ ว่าโฮโมโทปิก ) และคุณสมบัตินี้กำหนดความสัมพันธ์สมมูลระหว่างแผนที่แบบลูกโซ่

ให้XและYเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี ในกรณีของโฮโมโลยีเอกฐานโฮโมโทปีระหว่างแผนที่ต่อเนื่องf , g  : X → Yจะเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมโทปีแบบลูกโซ่ระหว่างแผนที่แบบลูกโซ่ที่สอดคล้องกับfและgสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าแผนที่โฮโมโทปีสองแผนที่เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่เดียวกันบนโฮโมโลยีเอกฐาน ชื่อ "โฮโมโทปีแบบลูกโซ่" มาจากตัวอย่างนี้

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี กำหนดให้C _n ( X ) สำหรับจำนวนธรรมชาติnเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นอย่างเป็นทางการโดยซิมเพล็กซ์เอกฐาน nในXและกำหนดแผนที่ขอบเขตเป็น ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

โดยที่หมวกหมายถึงการละเว้นจุดยอดนั่นคือ ขอบเขตของซิมเพล็กซ์เอกฐานคือผลรวมสลับกันของข้อจำกัดบนหน้าของมัน สามารถแสดงได้ว่า ∂ ² = 0 ดังนั้น จึงเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่โฮโมโลยีเอกฐานคือโฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้ ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

โฮโมโลยีเอกฐานเป็นตัวแปรคงที่ที่มีประโยชน์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจนถึงความสมมูลของโฮโมโทปีกลุ่ม โฮโมโลยีดีกรีศูนย์เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระบนส่วนประกอบเส้นทางของX

รูปแบบkเชิงอนุพันธ์บนแมนิโฟลด์เรียบ ใดๆ Mก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์จริง ที่เรียกว่า Ω ^k ( M ) ภายใต้การ บวก อนุพันธ์ภายนอกdแปลง Ω ^k ( M ) ไปยัง Ω ^{k +1} ( M ) และd ² = 0 เป็นผลสืบเนื่องมาจากสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสองดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์ของ รูปแบบ kพร้อมกับอนุพันธ์ภายนอกจึงเป็นคอมเพล็กซ์โคเชน

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

โคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์นี้เรียกว่า โคฮอโมโลยีเดอแรมของM ฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่ถูกกำหนดด้วยไอโซมอร์ฟิซึม โดยที่ c คือจำนวนส่วนประกอบที่ไม่เชื่อมต่อกันของMด้วยวิธีนี้ คอมเพล็กซ์จึงถูกขยายออกไปเพื่อให้คอมเพล็กซ์มีความแม่นยำในระดับรูปแบบศูนย์โดยใช้ตัวดำเนินการเซตย่อย ${\displaystyle \Re ^{c}}$

แผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์ก่อให้เกิดแผนที่ลูกโซ่ และโฮโมโทปีเรียบระหว่างแผนที่ก่อให้เกิดโฮโมโทปีลูกโซ่

กลุ่มโซ่ของโมดูลที่มีแผนที่โซ่เป็นมอร์ฟิซึมก่อให้เกิดหมวดหมู่โดยที่เป็นวงแหวนสลับที่ได้ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$${\displaystyle K}$

ถ้าและเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ผลคูณเทนเซอร์ ของพวกมัน จะเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่มีองค์ประกอบดีกรีที่กำหนดโดย ${\displaystyle V=V_{*}}$${\displaystyle W=W_{*}}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j\mid i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

และอนุพันธ์ที่กำหนดโดย

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

โดยที่และเป็นเวกเตอร์เอกพันธุ์สองตัวใดๆ ในและตามลำดับ และแทนดีกรีของ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \left|a\right|}$${\displaystyle a}$

ผลคูณเทนเซอร์นี้ทำให้หมวดหมู่กลายเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรวัตถุเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับผลคูณโมโนอิดัลนี้คือวงแหวนฐานที่มองว่าเป็นคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ในระดับ การถักเปียจะกำหนดบนเทนเซอร์แบบง่ายขององค์ประกอบเอกพันธุ์โดย ${\displaystyle \mathbf {Ch} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

เครื่องหมายนี้จำเป็นสำหรับการถักเปียเพื่อให้เป็นแผนที่โซ่

นอกจากนี้ หมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของโมดูล - ยังมีHom ภายใน ด้วย กล่าวคือ เมื่อกำหนดคอมเพล็กซ์ลูกโซ่และแล้ว Hom ภายในของและซึ่งแสดงด้วยคือคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่มีองค์ประกอบดีกรีที่กำหนดโดยและอนุพันธ์ที่กำหนดโดย ${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

เรามีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

• อามิตสุระ คอมเพล็กซ์
• กลุ่มโมเลกุลที่ใช้ในการกำหนดกลุ่ม Chow ระดับสูงของ Bloch
• กลุ่ม Buchsbaum–Rim
• คอมเพล็กซ์เช็ก
• ญาติสนิท
• กลุ่มอาคารอีแกน-นอร์ทคอตต์
• คอมเพล็กซ์เกอร์สเตน
• กราฟเชิงซ้อน^{[ 1 ]}
• กลุ่มอาคารโคซูล
• มัวร์คอมเพล็กซ์
• คอมเพล็กซ์ชูร์

• พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ
• พีชคณิตลีแบบแบ่งระดับเชิงอนุพันธ์
• ทฤษฎีการจับคู่แบบดอลด์-คานกล่าวว่ามีความสมมูลกันระหว่างหมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่และหมวดหมู่ของกลุ่มอะเบเลียนเชิงซิมพลิเชียล
• เกณฑ์ความเป็นวัฏจักรของ Buchsbaum–Eisenbud
• โมดูลเกรดต่างระดับ