ในทางคณิตศาสตร์หมวดหมู่ (บางครั้งเรียกว่าหมวดหมู่เชิงนามธรรมเพื่อแยกแยะออกจากหมวดหมู่เชิงรูปธรรม ) คือกลุ่มของ "วัตถุ" ที่เชื่อมโยงกันด้วย "ลูกศร" หมวดหมู่มีคุณสมบัติพื้นฐานสองประการ ได้แก่ ความสามารถในการประกอบลูกศรแบบ สัมพันธ์กันและการมีลูกศรเอกลักษณ์สำหรับแต่ละวัตถุ ตัวอย่างง่ายๆ คือหมวดหมู่ของเซตซึ่งวัตถุคือเซตและลูกศรคือฟังก์ชัน

ทฤษฎีหมวดหมู่เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่พยายามวางนัยทั่วไปของคณิตศาสตร์ทั้งหมดในแง่ของหมวดหมู่ โดยไม่ขึ้นอยู่กับว่าวัตถุและลูกศรในหมวดหมู่นั้นแทนอะไร แทบทุกสาขาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่สามารถอธิบายได้ในแง่ของหมวดหมู่ และการทำเช่นนั้นมักจะเผยให้เห็นความเข้าใจที่ลึกซึ้งและความคล้ายคลึงกันระหว่างสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ที่ดูเหมือนแตกต่างกัน ดังนั้น ทฤษฎีหมวดหมู่จึงเป็นรากฐานทางเลือกสำหรับคณิตศาสตร์ นอกเหนือจากทฤษฎีเซตและรากฐานเชิงสัจพจน์อื่นๆ ที่เสนอไว้ โดยทั่วไปแล้ว วัตถุและลูกศรอาจเป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมชนิดใดก็ได้ และแนวคิดของหมวดหมู่เป็นวิธีการพื้นฐานและนามธรรมในการอธิบายสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ของสิ่งเหล่านั้น

นอกจากจะใช้ในการกำหนดรูปแบบทางคณิตศาสตร์แล้ว ทฤษฎีหมวดหมู่ยังถูกนำไปใช้ในการกำหนดรูปแบบระบบอื่นๆ ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ อีกมากมาย เช่นความหมายของภาษาโปรแกรม

สองหมวดหมู่จะเหมือนกันก็ต่อเมื่อมีกลุ่มวัตถุเดียวกัน กลุ่มลูกศรเดียวกัน และวิธีการเชื่อมโยงแบบเดียวกันในการสร้างลูกศรแต่ละคู่ นอกจากนี้ สอง หมวดหมู่ ที่แตกต่างกันอาจถือว่า " เทียบเท่ากัน " ในแง่ของทฤษฎีหมวดหมู่ แม้ว่าจะมีโครงสร้างที่ไม่เหมือนกันทุกประการก็ตาม การจับคู่ระหว่างสองหมวดหมู่ที่เข้ากันได้กับโครงสร้างของแต่ละหมวดหมู่เรียกว่าฟังก์ชัน (functor )

หมวดหมู่ที่เป็นที่รู้จักกันดีจะถูกระบุด้วยคำสั้นๆ ที่ขึ้นต้นด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ หรือตัวย่อที่เป็นตัวหนาหรือตัวเอียง ตัวอย่างเช่นSetซึ่งเป็นหมวดหมู่ของเซตและฟังก์ชันเซตRingซึ่งเป็นหมวดหมู่ของริงและโฮโมมอร์ฟิซึมของริงและTopซึ่งเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอ พอโลยี และแผนที่ต่อเนื่องหมวดหมู่ทั้งหมดข้างต้นมีแผนที่เอกลักษณ์เป็นลูกศรเอกลักษณ์ และการประกอบเป็นโอเปอเรชันการเชื่อมโยงบนลูกศร โมโนอิดใดๆก็ สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นหมวดหมู่ชนิดพิเศษ (ที่มีวัตถุเดียวซึ่งมอร์ฟิซึมของตัวเองแสดงด้วยองค์ประกอบของโมโนอิด) และ พรีออร์เดอร์ใด ๆ ก็สามารถเข้าใจได้เช่นกัน

ตำราคลาสสิกและยังคงใช้กันอย่างแพร่หลายเกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่คือCategories for the Working MathematicianโดยSaunders Mac Laneเอกสารอ้างอิงอื่นๆ อยู่ในส่วนอ้างอิงด้านล่าง คำจำกัดความพื้นฐานในบทความนี้มีอยู่ในบทแรกๆ ของหนังสือเหล่านี้

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันมากมายสำหรับหมวดหมู่^{[ 1 ]}คำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปข้อหนึ่งมีดังนี้หมวดหมู่ ประกอบด้วย ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• กลุ่มของวัตถุ​ ​${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$
• กลุ่มของมอร์ฟิซึมหรือลูกศร${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$
• ฟังก์ชันโดเมนหรือคลาสต้นทาง​${\displaystyle \operatorname {dom} :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$
• ฟังก์ชันโคโดเมนหรือคลาสเป้าหมาย${\displaystyle \operatorname {cod} :\operatorname {mor} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$
• สำหรับวัตถุสามชิ้นทุก ๆ สามชิ้นจะมีการดำเนินการแบบไบนารีที่เรียกว่าการประกอบมอร์ฟิซึมโดยที่หมายถึงคลาสย่อยของมอร์ฟิซึมในซึ่งและมอร์ฟิซึมในคลาสย่อยนี้เขียน ว่า และการประกอบของและมักเขียนเป็นหรือ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)\times \operatorname {hom} (b,c)\to \operatorname {hom} (a,c)}$${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle \operatorname {dom} (f)=a}$${\displaystyle \operatorname {cod} (f)=b}$${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle g:b\to c}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$

โดยที่สัจพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

• กฎการสลับที่ : ถ้าและแล้วและ${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle g:b\to c}$${\displaystyle h:c\to d}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• กฎหน่วยซ้ายและขวา : สำหรับทุกวัตถุจะมีมอร์ฟิซึม(บางผู้เขียนเขียนว่า) ที่เรียกว่ามอร์ฟิซึมเอกลักษณ์สำหรับซึ่งมอร์ฟิซึมทุกตัวจะสอดคล้องกับและมอร์ฟิซึมทุกตัวจะสอดคล้องกับ${\displaystyle x}$${\displaystyle 1_{x}:x\to x}$${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:a\to x}$${\displaystyle 1_{x}\circ f=f}$${\displaystyle g:x\to b}$${\displaystyle g\circ 1_{x}=g}$

เราเขียนและเราพูดว่า " เป็นมอร์ฟิซึมจากไปยัง" เราเขียน(หรือเมื่ออาจมีความสับสนเกี่ยวกับหมวดหมู่ที่อ้างถึง) เพื่อแสดงถึงคลาสโฮมของมอร์ฟิซึมทั้งหมดจากไปยัง^{[ 2 ]}${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$${\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(a,b)}$${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ผู้เขียนบางคนเขียนส่วนประกอบของมอร์ฟิซึมใน "ลำดับแผนภาพ" โดยเขียน( บางครั้งด้วย ⨟ ^{[ 3 ]} ) หรือแทนที่${\displaystyle f\,;g}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle g\circ f}$

จากสัจพจน์เหล่านี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เพียงหนึ่งเดียวสำหรับทุกวัตถุ บ่อยครั้งที่แผนที่ซึ่งกำหนดมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ให้กับแต่ละวัตถุนั้นถูกมองว่าเป็นส่วนเพิ่มเติมของโครงสร้างของหมวดหมู่ กล่าวคือ ฟังก์ชันของคลาส ${\displaystyle i:\operatorname {ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$

นักเขียนบางคนใช้นิยามที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย โดยที่แต่ละวัตถุจะถูกระบุด้วยมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ที่สอดคล้องกัน แนวคิดนี้มาจากความคิดที่ว่าข้อมูลพื้นฐานของหมวดหมู่คือมอร์ฟิซึม ไม่ใช่วัตถุ อันที่จริง หมวดหมู่สามารถนิยามได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงวัตถุเลย โดยใช้การดำเนินการทวิภาคบางส่วนที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม

หมวดหมู่จะเรียกว่าเล็กถ้าทั้งและเป็นเซต จริงๆ ไม่ใช่คลาสที่แท้จริงและจะเรียกว่าใหญ่ถ้าเป็นอย่างอื่นหมวดหมู่เล็กในระดับท้องถิ่นคือหมวดหมู่ที่สำหรับวัตถุทั้งหมดและคลาสโฮมเป็นเซต เรียกว่าโฮมเซตหมวดหมู่ที่สำคัญหลายอย่างในคณิตศาสตร์ (เช่น หมวดหมู่ของเซต) ถึงแม้จะไม่ใช่หมวดหมู่เล็ก แต่ก็เป็นอย่างน้อยก็เล็กในระดับท้องถิ่น เนื่องจากในหมวดหมู่เล็ก วัตถุต่างๆ ประกอบกันเป็นเซต ดังนั้นหมวดหมู่เล็กจึงสามารถมองได้ว่าเป็นโครงสร้างพีชคณิตที่คล้ายกับโมโนอิดแต่ไม่จำเป็นต้อง มีคุณสมบัติ การปิดในทางกลับกัน หมวดหมู่ใหญ่สามารถใช้สร้าง "โครงสร้าง" ของโครงสร้างพีชคณิตได้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle \operatorname {mor} ({\mathcal {C}})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$

กลุ่มของเซตทั้งหมด (ในฐานะวัตถุ) พร้อมกับฟังก์ชัน ทั้งหมด ระหว่างเซตเหล่านั้น (ในฐานะมอร์ฟิซึม) โดยที่การประกอบมอร์ฟิซึมเป็นการประกอบฟังก์ชัน ตามปกติ ก่อให้เกิดหมวดหมู่ขนาดใหญ่ที่เรียกว่าเซต(Set ) ซึ่งเป็นหมวดหมู่พื้นฐานที่สุดและใช้กันมากที่สุดในคณิตศาสตร์ หมวดหมู่เรล (Rel) ประกอบด้วยเซต ทั้งหมด (ในฐานะวัตถุ) พร้อมกับความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างเซตเหล่านั้น (ในฐานะมอร์ฟิซึม) การแยกย่อยจากความสัมพันธ์แทนที่จะเป็นฟังก์ชัน จะได้ อัล เลโกรี (allegories ) ซึ่งเป็นหมวดหมู่พิเศษประเภทหนึ่ง

คลาสใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีเพียงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้น หมวดหมู่ดังกล่าวเรียกว่าหมวดหมู่แบบไม่ต่อเนื่องสำหรับเซต ใดๆ ที่กำหนดให้ หมวดหมู่แบบไม่ต่อเนื่องบน Iคือหมวดหมู่ขนาดเล็กที่มีสมาชิกของเซตนั้นเป็นวัตถุ และมีเพียงมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้นที่เป็นมอร์ฟิซึม ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

เซตที่มีลำดับก่อนหน้า ใดๆจะก่อตัวเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก โดยที่วัตถุคือสมาชิกของเซตนั้น และ มอร์ฟิซึมคือลูกศรที่ชี้ จากเซตหนึ่ง ไป ยังอีกเซตหนึ่ง เมื่อ เซตนั้นเป็นจริง การมีอยู่ของมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์และความสามารถในการประกอบกันของมอร์ฟิซึมได้รับการรับประกันโดยสมบัติ การ สะท้อนและการถ่ายทอดของลำดับก่อนหน้า สำหรับวัตถุสองชิ้นใดๆ จะมีมอร์ฟิซึมจากวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้มากที่สุดหนึ่งตัว (หมวดหมู่ดังกล่าวเรียกว่าหมวดหมู่บาง ) และถ้า เซตนั้นเป็น หมวดหมู่ปฏิสมมาตรด้วยก็จะมีมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ ได้มากที่สุดหนึ่งตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซตที่มีลำดับบางส่วน ใดๆ และความสัมพันธ์สมมูล ใดๆ สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็ก จำนวนเชิงอันดับใดๆก็สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่เมื่อมองในฐานะเซตที่มีลำดับ ${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \leq }$

โมโนอิดใดๆ( โครงสร้างพีชคณิต ใดๆ ที่มี ตัวดำเนินการทวิภาคแบบสมาคม เพียงตัวเดียวและองค์ประกอบเอกลักษณ์ ) ก่อให้เกิดหมวดหมู่ขนาดเล็กที่มีวัตถุเดียว(ในที่นี้คือเซตคงที่ใดๆ) มอร์ฟิซึมจากไปคือองค์ประกอบของโมโนอิดอย่างแม่นยำ มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของคือเอกลักษณ์ของโมโนอิด และการประกอบเชิงหมวดหมู่ของมอร์ฟิซึมกำหนดโดยตัวดำเนินการของโมโนอิด นิยามและทฤษฎีบทหลายอย่างเกี่ยวกับโมโนอิดสามารถสรุปทั่วไปสำหรับหมวดหมู่ได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ในทำนองเดียวกัน กลุ่มใดๆก็สามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียวซึ่งมอร์ฟิซึมทุกตัวสามารถผกผันได้กล่าวคือ สำหรับมอร์ฟิซึมทุกตัวจะมีมอร์ฟิซึมที่ผกผันทั้งซ้ายและขวาภายใต้การประกอบ มอร์ฟิซึมที่สามารถผกผันได้ในความหมายนี้เรียกว่า ไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

กรุปอยด์ (Groupoid)คือหมวดหมู่ (Category) ที่มอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึม กรุปอยด์เป็นการวางนัยทั่วไปของกลุ่มการกระทำของกลุ่มและความสัมพันธ์สมมูลจากมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่ กลุ่มก็คือกรุปอยด์ที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียว พิจารณาปริภูมิเชิงทอพอโลยี (Topological Space) และกำหนดจุดฐานของแล้วคือกลุ่มพื้นฐานของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและจุดฐานและในฐานะเซต มันมีโครงสร้างของกลุ่ม ถ้าเราให้จุดฐานวิ่งผ่านจุดทั้งหมดของและรวมจุดทั้งหมดแล้วเซตที่ได้จะมีโครงสร้างของกรุปอยด์เท่านั้น (เรียกว่ากรุปอยด์พื้นฐานของ) วงวนสองวง (ภายใต้ความสัมพันธ์สมมูลของโฮโมโทปี ) อาจมีจุดฐานไม่เหมือนกัน ดังนั้นจึงไม่สามารถคูณกันได้ ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ นี่หมายความว่ามอร์ฟิซึมสองตัวอาจมีวัตถุต้นทางไม่เหมือนกัน (หรือวัตถุปลายทาง เพราะในกรณีนี้สำหรับมอร์ฟิซึมใดๆ วัตถุต้นทางและวัตถุปลายทางจะเหมือนกัน คือจุดฐาน) ดังนั้นจึงไม่สามารถประกอบกันได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle X}$

กราฟแบบมี ทิศทาง ใดๆ(หรือโดยทั่วไปคือควีเวอร์ ) จะสร้างหมวดหมู่ขนาดเล็กขึ้นมา โดยวัตถุคือจุดยอดของกราฟ และมอร์ฟิซึมคือเส้นทางในกราฟ (เสริมด้วยลูปตามความจำเป็น) ซึ่งการประกอบมอร์ฟิซึมคือการต่อกันของเส้นทาง หมวดหมู่ดังกล่าวเรียกว่าหมวดหมู่อิสระที่สร้างโดยกราฟ

กลุ่มของเซตที่มีการเรียงลำดับล่วงหน้าทั้งหมดซึ่งมีฟังก์ชันรักษาลำดับ (เช่น ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน) เป็นมอร์ฟิซึมนั้น ก่อให้เกิดหมวดหมู่Ordมันเป็นหมวดหมู่รูปธรรม กล่าวคือ หมวดหมู่ที่วัตถุของมันสามารถระบุได้ว่าเป็นเซตที่มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางประเภท ในขณะที่มอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันที่เคารพโครงสร้างนี้

กลุ่มทั้งหมดที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเป็นมอร์ฟิซึมและการประกอบฟังก์ชันเป็นตัวดำเนินการประกอบนั้น ก่อให้เกิดหมวดหมู่ขนาดใหญ่Grpเช่นเดียวกับเป็นหมวดหมู่รูปธรรม หมวดหมู่Ab ซึ่งประกอบด้วย กลุ่มอาเบเลียนทั้งหมดและโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มเหล่านั้น เป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของและเป็นต้นแบบของหมวดหมู่อาเบเลียน ${\displaystyle \mathbf {Ord} }$${\displaystyle \mathbf {Grp} }$${\displaystyle \mathbf {Grp} }$

กลุ่มของกราฟ ทั้งหมด ก่อให้เกิดหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมอีกหมวดหมู่หนึ่ง ซึ่งมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกราฟ (กล่าวคือ การแมปส์ระหว่างกราฟที่ส่งจุดยอดไปยังจุดยอดและขอบไปยังขอบในลักษณะที่รักษาความสัมพันธ์ของการอยู่ติดกันและการเกิดร่วมกันทั้งหมด)

ตัวอย่างของหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้

หมวดหมู่	วัตถุ	มอร์ฟิซึม
ชุด	ชุด	ฟังก์ชัน
ออร์ด	ชุดที่สั่งจองล่วงหน้า	ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน
จันทร์	โมโนอิด	โฮโมมอร์ฟิซึมโมโนอิด
กลุ่ม	กลุ่ม	โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม
กราฟ	กราฟ	โฮโมมอร์ฟิซึมกราฟ
แหวน	แหวน	โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวน
สนาม	ทุ่งนา	โฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์
อาร์ -ม็อด	R-โมดูลโดยที่เป็นวงแหวน ${\displaystyle R}$	โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลR
เวคท์เค	ปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์${\displaystyle K}$	แผนที่เชิงเส้นK
ตัวแทนK ( G )	การแทนกลุ่มGบนฟิลด์K	แผนที่สมมาตร
พบกัน	ปริภูมิเมตริก	แผนที่สั้น
มาตรวัด	วัดพื้นที่	ฟังก์ชันที่วัดได้
สโตช	วัดพื้นที่	เคอร์เนลของมาร์คอฟ
สูงสุด	ปริภูมิเชิงทอพอโลยี	ฟังก์ชันต่อเนื่อง
แมนพี	ท่อร่วมเรียบ	${\displaystyle p}$แผนที่ ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง - ครั้ง
โรงเรียน	โครงการ	มอร์ฟิซึมของแผนผัง

กลุ่มใยแก้วที่มีแผนผังเชื่อมโยงระหว่างกันนั้น ก่อให้เกิดหมวดหมู่ที่ชัดเจน

หมวดหมู่Catประกอบด้วยหมวดหมู่ย่อยทั้งหมด โดยมีฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่ย่อยเหล่านั้นเป็นมอร์ฟิซึม ในทางกลับกันหมวดหมู่ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันระหว่างสองหมวดหมู่คงที่เป็นวัตถุ และมีการแปลงธรรมชาติระหว่างสองหมวดหมู่เหล่านั้น เป็นมอร์ฟิซึม

หมวดหมู่ใดๆก็สามารถถือได้ว่าเป็นหมวดหมู่ใหม่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไปได้เช่นกัน กล่าวคือ วัตถุต่างๆ ยังคงเหมือนกับในหมวดหมู่เดิม แต่ลูกศรจะกลับทิศทางเหมือนกับในหมวดหมู่เดิม นี่เรียกว่า หมวดหมู่ คู่ขนานหรือหมวดหมู่ตรงข้ามและใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$

ถ้าและเป็นหมวดหมู่ เราสามารถสร้างหมวดหมู่ผลิตภัณฑ์ได้ โดยที่วัตถุจะเป็นคู่ที่ประกอบด้วยวัตถุหนึ่งจากและอีกหนึ่งจากและมอร์ฟิซึมก็จะเป็นคู่เช่นกัน โดยประกอบด้วยมอร์ฟิซึมหนึ่งในและอีกหนึ่งในคู่ดังกล่าวสามารถประกอบกันได้แบบทีละส่วน ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

โดยการระบุชุดของมอร์ฟิซึม ผ่าน ความสัมพันธ์สมมูลที่เหมาะสมเราสามารถสร้างหมวดหมู่ผลหารได้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle {\mathcal {C}}/\sim }$

สำหรับวัตถุคงที่ของหมวดหมู่ย่อยหรือหมวดหมู่ชิ้นส่วนประกอบด้วยคู่ของวัตถุของและมอร์ฟิซึมโดยมอร์ฟิซึมระหว่างและกำหนดโดยมอร์ฟิซึมในที่เข้ากันได้กับมอร์ฟิซึมไปยังกล่าว คือ แนวคิด คู่ขนานคือหมวดหมู่ย่อยหรือหมวดหมู่ชิ้นส่วนร่วมและทั้งสองเป็นกรณีพิเศษของโครงสร้างที่เรียกว่าหมวดหมู่คอมมา ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$${\displaystyle (A,f)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f:A\to X}$${\displaystyle (A,f)}$${\displaystyle (A',f')}$${\displaystyle g:A\to B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f'\circ g=f}$

เมื่อกำหนดคลาสของมอร์ฟิซึมใน แล้วการทำให้เป็นโลคัลไลเซชันจะเปลี่ยนมอร์ฟิซึมจากไปเป็นไอโซมอร์ฟิซึม (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$${\displaystyle W}$

มอร์ฟิ ซึมเรียกว่าอะไร? ${\displaystyle f:a\to b}$

• โมโนมอร์ฟิซึม (หรือโมนิก ) ถ้ามันสามารถตัดทอนทางซ้ายได้ กล่าวคือหมายความว่า สำหรับมอร์ฟิ ซึมทั้งหมด${\displaystyle fg_{1}=fg_{2}}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}:x\to a}$
• เอพิโมร์ฟิซึม (หรือเอปิก ) ถ้ามันสามารถยกเลิกได้ทางขวา กล่าวคือหมายความว่า สำหรับมอร์ฟิ ซึมทั้งหมด${\displaystyle g_{1}f=g_{2}f}$${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$${\displaystyle g_{1},g_{2}:b\to x}$
• ไบมอร์ฟิซึมก็คือกรณีที่มันเป็นทั้งโมโนมอร์ฟิซึมและเอพิมอร์ฟิซึม
• การถอนตัวหากมีตัวผกผันทางขวา กล่าวคือ หากมีมอร์ฟิซึมที่ มี${\displaystyle g:b\to a}$${\displaystyle fg=1_{b}}$
• ส่วนนั้นจะต้องมีอินเวอร์สซ้าย กล่าวคือ จะต้องมีมอร์ฟิซึมที่ มี${\displaystyle g:b\to a}$${\displaystyle gf=1_{a}}$
• ไอ โซมอร์ฟิซึมก็คือไอ โซมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์ส กล่าวคือ ถ้ามีมอร์ฟิซึมที่ มี และ${\displaystyle g:b\to a}$${\displaystyle fg=1_{b}}$${\displaystyle gf=1_{a}}$
• เอนโดมอร์ฟิซึมถ้า. คลาสของเอนโดมอร์ฟิซึมของจะใช้สัญลักษณ์. สำหรับหมวดหมู่ขนาดเล็กเฉพาะที่คือเซตและก่อให้เกิดโมโนอิดภายใต้การประกอบมอร์ฟิซึม${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$${\displaystyle \mathrm {end} (a)}$
• ออโตมอร์ฟิซึม คือออโตมอร์ฟิซึม ก็ต่อเมื่อเป็นทั้งเอนโดมอร์ฟิซึมและไอโซมอร์ฟิซึม คลาสของออโตมอร์ฟิซึมของจะใช้สัญลักษณ์ แทนสำหรับหมวดหมู่ขนาดเล็กเฉพาะที่ มันจะก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบมอร์ฟิซึมที่เรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {aut} (a)}$${\displaystyle a}$

การถอนทุกครั้งเป็นเอพิโมฟิซึม ส่วนทุกส่วนเป็นโมโนโมฟิซึม ข้อความสามข้อต่อไปนี้มีความสมมูลกัน:

• ${\displaystyle f}$เป็นทั้งโมโนมอร์ฟิซึมและรีแทรนต์
• ${\displaystyle f}$เป็นเอพิโมฟิซึมและส่วนตัด
• ${\displaystyle f}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

ความสัมพันธ์ระหว่างมอร์ฟิซึม (เช่น) สามารถแสดงได้อย่างสะดวกที่สุดด้วยแผนภาพการสลับที่ โดยที่วัตถุจะถูกแทนด้วยจุด และมอร์ฟิซึมจะถูกแทนด้วยลูกศร ${\displaystyle fg=h}$

• ในหลายๆ หมวดหมู่ เช่นAbหรือVect _Kเซต hom ไม่ใช่แค่เซตธรรมดา แต่เป็นกลุ่มอาเบเลียนและการประกอบของมอร์ฟิซึมนั้นเข้ากันได้กับโครงสร้างกลุ่มเหล่านี้ กล่าวคือ เป็น แบบทวิเชิง เส้นหมวดหมู่ดังกล่าวเรียกว่า หมวดหมู่พรีแอดดิทีฟยิ่งไปกว่านั้น ถ้าหมวดหมู่นั้นมีผลคูณและผลคูณ ร่วมจำกัดทั้งหมด ก็จะเรียกว่าหมวดหมู่แอดดิทีฟถ้ามอร์ฟิซึมทั้งหมดมีเคอร์เนลและโคเคอร์เนลและเอพิมอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นโคเคอร์เนล และโมโนมอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นเคอร์เนล เราจะเรียกว่าหมวดหมู่อาเบเลียนตัวอย่างทั่วไปของหมวดหมู่อาเบเลียนคือ หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle \operatorname {hom} (a,b)}$
• แนวคิดที่ว่าเซตโฮมมีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่างนอกเหนือจากการเป็นเซต สามารถทำให้เป็นทางการได้ในแนวคิดของหมวดหมู่ที่เสริมคุณค่า (enriched category )
• หมวดหมู่จะเรียกว่าสมบูรณ์ก็ต่อ เมื่อ ลิมิตเล็กทั้งหมดมีอยู่ในหมวดหมู่นั้น หมวดหมู่ของเซต กลุ่มอาเบเลียน และปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป็นหมวดหมู่สมบูรณ์
• หมวดหมู่หนึ่งเรียกว่าปิดแบบคาร์ที เซียน (Cartesian closed ) ถ้ามีผลคูณโดยตรงแบบจำกัด และมอร์ฟิซึมที่กำหนดบนผลคูณแบบจำกัดนั้นสามารถแทนด้วยมอร์ฟิซึมที่กำหนดบนตัวประกอบเพียงตัวเดียวได้เสมอ ตัวอย่างเช่นเซตและหมวดหมู่ของลำดับบางส่วนที่สมบูรณ์พร้อมฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสก็อตต์ (Scott-continuous functions )${\displaystyle \mathbf {CPO} }$
• โทโพส (Topos)คือหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนชนิดหนึ่ง ซึ่งสามารถใช้กำหนดสูตรของคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้ (เช่นเดียวกับที่คณิตศาสตร์คลาสสิกทั้งหมดถูกกำหนดสูตรในหมวดหมู่ของเซต) โทโพสยังสามารถใช้แทนทฤษฎีตรรกศาสตร์ได้อีกด้วย

• ทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง
• ควอนทาลอยด์
• ตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• อวกาศ (คณิตศาสตร์)
• โครงสร้าง (คณิตศาสตร์)