ในทฤษฎีจำนวนอนุพันธ์เลขคณิตของลากาเรียสหรืออนุพันธ์ของจำนวนคือฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นสำหรับจำนวนเต็มโดยอาศัยการแยกตัวประกอบเฉพาะโดยเปรียบเทียบกับกฎผลคูณสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

มีอนุพันธ์เชิงเลขคณิตหลายรูปแบบ รวมถึงรูปแบบที่กล่าวถึงในบทความนี้ (อนุพันธ์เชิงเลขคณิตของลากาเรียส) เช่น อนุพันธ์เชิงเลขคณิตของอิฮาระ และอนุพันธ์เชิงเลขคณิตของบูอิอุม

อนุพันธ์เลขคณิตได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสเปน Josè Mingot Shelly ในปี 1911 ^{[ 1 ] [ 2 ]}อนุพันธ์เลขคณิตยังปรากฏในการแข่งขัน Putnamใน ปี 1950 อีกด้วย ^{[ 3 ]}

สำหรับจำนวนธรรมชาติnอนุพันธ์เลขคณิตD ( n ) ^{[หมายเหตุ 1 ]}ถูกกำหนดดังนี้:

• D ( p ) = 1สำหรับจำนวนเฉพาะp ใด ๆ
• D ( mn ) = D ( m ) n + mD ( n )สำหรับทุก(กฎของไลบ์นิซ )${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

เอ็ดเวิร์ด เจ. บาร์โบขยายโดเมนไปสู่จำนวนเต็มทั้งหมดโดยแสดงให้เห็นว่าตัวเลือกD (− n ) = − D ( n )ขยายโดเมนไปสู่จำนวนเต็มได้อย่างไม่ซ้ำกันและสอดคล้องกับสูตรผลคูณ บาร์โบยังขยายโดเมนไปสู่จำนวนตรรกยะ อีกด้วย โดยแสดงให้เห็นว่ากฎการหาร ที่คุ้นเคย ให้ค่าอนุพันธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีบน: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.}$$^{[ 4 ] [ 5 ]}

Victor UfnarovskiและBo Åhlanderได้ขยายไปสู่จำนวนอตรรกยะที่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะที่ยกกำลังด้วยเลขตรรกยะใดๆ ทำให้สามารถคำนวณ นิพจน์ได้ ^{[ 6 ]}${\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)}$

อนุพันธ์เลขคณิตยังสามารถขยายไปยังโดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ (UFD) ใดๆ ก็ได้ ^{[ 6 ]}เช่นจำนวนเต็มเกาส์เซียนและจำนวนเต็มไอเซนสไตน์และฟิลด์เศษส่วน ที่เกี่ยวข้อง หาก UFD เป็นวงแหวนพหุนามอนุพันธ์เลขคณิตจะเหมือนกับอนุพันธ์เหนือวงแหวนพหุนามดังกล่าว ตัวอย่างเช่นอนุพันธ์ ปกติ คืออนุพันธ์เลขคณิตสำหรับวงแหวนของฟังก์ชันพหุนาม และฟังก์ชันตรรกยะจริงและเชิงซ้อนแบบ ตัวแปรเดียว ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

อนุพันธ์เลขคณิตยังขยายไปถึงวงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลnด้วย^{[ 7 ]}

กฎของไลบ์นิซบ่งชี้ว่าD (0) = 0 (กำหนดให้m = n = 0 ) และD (1) = 0 (กำหนดให้m = n = 1 )

กฎกำลังยังใช้ได้กับอนุพันธ์เลขคณิตด้วย สำหรับจำนวนเต็มkและn ≥ 0 ใดๆ :

$${\displaystyle D(k^{n})=nk^{n-1}D(k)}$$

วิธีนี้ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์จากการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็มได้(โดยที่คือค่าp -adic ของx ) : ${\textstyle x=\prod \limits _{p\in \mathbb {P} }p^{n_{p}}}$${\textstyle n_{p}=\nu _{p}(x)}$

$${\displaystyle D(x)=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {x}{p^{n_{p}}}}n_{p}\,p^{n_{p}-1}D(p)=\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}n_{p}{\frac {x}{p}}D(p)=x\sum _{\stackrel {p\vert x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {n_{p}}{p}}D(p).}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า หากเรารู้ค่าอนุพันธ์สำหรับจำนวนเฉพาะทุกจำนวนแล้ว ค่าอนุพันธ์นั้นก็จะเป็นที่รู้จักอย่างสมบูรณ์ อันที่จริง ตระกูลของอนุพันธ์ย่อยทางเลขคณิตเทียบกับจำนวนเฉพาะซึ่งกำหนดโดยสำหรับจำนวนเฉพาะทุกจำนวนยกเว้นซึ่งทำให้สามารถเขียนอนุพันธ์ใดๆ ก็ได้ในรูปผลรวมอนันต์ (ไม่เหมาะสม) (ดูตัวอย่างด้านล่าง) โปรดสังเกตว่า สำหรับอนุพันธ์นี้ เรามี ${\textstyle {\frac {\บางส่วน }{\p บางส่วน}}}$${\textstyle p}$${\textstyle {\frac {\บางส่วน }{\p บางส่วน}}(q)=0}$${\textstyle q}$${\textstyle q=p}$${\textstyle {\frac {\บางส่วน }{\บางส่วน p}}(p)=1}$${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial p}}=n_{p}{\frac {x}{p}}}$

โดยปกติแล้ว เราจะหาอนุพันธ์โดยที่สำหรับจำนวนเฉพาะp ทุกตัว จะได้ว่า ${\textstyle D(p)=1}$$${\displaystyle D=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\partial }{\partial p}}{\text{, และ }}D(x)=x\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\frac {n_{p}}{p}}.}$$

ด้วยอนุพันธ์นี้ เราจะได้ตัวอย่างเช่น: หรือ $${\displaystyle D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=60\cdot \left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)=92,}$$$${\displaystyle D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.}$$

และลำดับของอนุพันธ์เชิงตัวเลขสำหรับx = 0, 1, 2, …เริ่มต้นขึ้น (ลำดับA003415ในOEIS ):

$${\displaystyle 0,0,1,1,4,1,5,1,12,6,7,1,16,1,9,\ldots }$$

อนุพันธ์ลอการิทึม เป็นฟังก์ชันบวกโดยสมบูรณ์ :$${\displaystyle \operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x}}=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}}$$$${\displaystyle \operatorname {ld} (x\cdot y)=\operatorname {ld} (x)+\operatorname {ld} (y).}$$

ให้เป็นจำนวนเฉพาะ อนุพันธ์ย่อยเชิงเลขคณิตของเทียบกับ นิยามได้ดังนี้ดังนั้น อนุพันธ์เชิงเลขคณิตของจึงกำหนดได้ดังนี้${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\textstyle D_{p}(x)={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.}$${\displaystyle x}$${\textstyle D(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in \mathbb {P} }}D_{p}(x).}$

ให้เป็นเซตของจำนวนเฉพาะที่ไม่ว่างเปล่าอนุพันธ์ย่อยเชิงเลขคณิตของเทียบกับถูกกำหนดให้เป็น ถ้าเป็นเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดอนุพันธ์เชิงเลขคณิตปกติจะเป็น ถ้าเป็น เซตของจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด อนุพันธ์ย่อยเชิงเลขคณิตจะเป็น ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\textstyle D_{S}(x)=\sum _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p\in S}}D_{p}(x).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle D_{S}(x)=D(x),}$${\displaystyle S=\{p\}}$${\displaystyle D_{S}(x)=D_{p}(x),}$

ฟังก์ชันทางเลขคณิตเรียกว่าฟังก์ชันบวกแบบไลบ์นิซถ้ามีฟังก์ชันคูณโดยสมบูรณ์เช่นนั้นสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดและแรงจูงใจเบื้องหลังแนวคิดนี้คือข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันบวกแบบไลบ์นิซเป็นการขยายความของอนุพันธ์ทางเลขคณิตกล่าวคือเป็นฟังก์ชันบวกแบบไลบ์นิซ โดยที่ ${\displaystyle f}$${\displaystyle h_{f}}$${\displaystyle f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle h_{D}(n)=n}$

ฟังก์ชันที่กล่าวถึงในส่วนที่ 3.5 ของหนังสือโดย Sandor และ Atanassov นั้น แท้จริงแล้วเหมือนกับอนุพันธ์เลขคณิตทั่วไปทุกประการ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle D}$

EJ Barbeau ตรวจสอบขอบเขตของอนุพันธ์เลขคณิต^{[ 8 ]}และพบว่า และ โดยที่Ω( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันโอเมก้าเฉพาะคือจำนวนตัวประกอบเฉพาะในnในขอบเขตทั้งสองข้างต้น ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเสมอเมื่อnเป็นกำลังของ 2 $${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}}$$$${\displaystyle D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1}{\Omega (n)}}}$$

Dahl, Olsson และ Loiko พบว่าอนุพันธ์เลขคณิตของจำนวนธรรมชาติมีขอบเขตโดย^{[ 9 ]} โดยที่p เป็น จำนวน เฉพาะที่น้อยที่สุดในnและความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่อnเป็นกำลังของp$${\displaystyle D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}}$$

อเล็กซานเดอร์ โลอิโก , โจนาส ออลส์สันและนิคลาส ดาห์ลพบว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะหาขอบเขตที่คล้ายกันสำหรับอนุพันธ์เลขคณิตที่ขยายไปยังจำนวนตรรกยะ โดยการพิสูจน์ว่าระหว่างจำนวนตรรกยะสองจำนวนใดๆ จะมีจำนวนตรรกยะอื่นๆ ที่มีอนุพันธ์มากหรือน้อยตามอำเภอใจ (โปรดทราบว่านี่หมายความว่าอนุพันธ์เลขคณิตไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องจากไปยัง) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เรามี และ $${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}=T_{0}x+O(\log x\log \log x)}$$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1}{2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })}$$

สำหรับδ  > 0 ใดๆ โดยที่

$${\displaystyle T_{0}=\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$$

Victor UfnarovskiและBo Åhlanderได้อธิบายรายละเอียดความเชื่อมโยงของฟังก์ชันกับสมมติฐาน ทางทฤษฎีจำนวนที่มีชื่อเสียง เช่นสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด สมมติฐานสามเท่าของจำนวนเฉพาะ และสมมติฐานของ Goldbachตัวอย่างเช่น สมมติฐานของ Goldbach จะบ่งชี้ว่า สำหรับแต่ละk > 1จะมีn อยู่หนึ่งตัว ที่ทำให้D ( n ) = 2 kสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝดจะบ่งชี้ว่ามีk อยู่เป็นอนันต์ตัว ที่ทำให้D ² ( k ) = 1 ^{[ 6 ]}

• ฟังก์ชันเลขคณิต
• การหาอนุพันธ์ (พีชคณิตเชิงอนุพันธ์)
• อนุพันธ์p