ในทฤษฎีหมวดหมู่ฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ (faithful functor)คือฟังก์ชันที่ส่งผ่านไป ยัง เซต hom ได้หนึ่งต่อหนึ่ง (injective ) และฟังก์ชันที่สมบูรณ์ (full functor ) คือ ฟังก์ชันที่ส่งผ่านไปยังเซต hom ได้ทั่วถึง (surjective)ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติทั้งสองนี้เรียกว่าฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์ (fully faithful functor )

กล่าวโดยชัดเจน ให้CและDเป็นหมวดหมู่ ( ที่มีขนาดเล็กในระดับท้องถิ่น ) และให้F  : C → Dเป็นฟังก์ชันจากCไปยังDฟังก์ชันFเหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชัน

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

สำหรับวัตถุXและY ทุกคู่ ในCฟังก์ชันFกล่าวได้ว่าคือ

• ซื่อสัตย์หากF _{X , Y}เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 1 ] [ 2 ]}
• เต็มถ้าF _{X , Y}เป็นฟังก์ชันทั่วถึง^{[ 2 ] [ 3 ]}
• ซื่อสัตย์อย่างเต็มที่ (= สมบูรณ์และซื่อสัตย์ ) ถ้าF _{X , Y}เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

สำหรับ แต่ละXและYในC

ฟังก์ชันที่ซื่อสัตย์ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อวัตถุหรือมอร์ฟิซึม^{[ 4 ]}กล่าวคือ วัตถุสองชิ้นXและX ′ อาจแมปไปยังวัตถุเดียวกันในD (ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมช่วงของฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์จึงไม่จำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิกกับC ) และมอร์ฟิซึมสองอย่างf  : X → Yและf ′ : X ′ → Y ′ (ที่มีโดเมน/โคโดเมนต่างกัน) อาจแมปไปยังมอร์ฟิซึมเดียวกันในD ในทำนอง เดียวกัน ฟังก์ชันที่สมบูรณ์ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึงต่อวัตถุหรือมอร์ฟิซึม อาจมีวัตถุในDที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบFXสำหรับX บางตัว ในCมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุดังกล่าวไม่สามารถมาจากมอร์ฟิซึมในC ได้ อย่างชัดเจน

ฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์นั้นจำเป็นต้องมีคุณสมบัติหนึ่งต่อหนึ่งบนวัตถุโดยขึ้นอยู่กับความเหมือนกัน กล่าวคือ ถ้าF  : C → Dเป็นฟังก์ชันที่สมบูรณ์และซื่อสัตย์แล้ว... ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$${\displaystyle X\cong Y}$

• ฟังก์ชันลืมU  : Grp → Setทำหน้าที่แมปกลุ่มไปยังเซตพื้นฐาน โดย "ลืม" การดำเนินการของกลุ่ม ฟังก์ชันU นี้มีความซื่อสัตย์ เพราะโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม สอง ตัวที่มีโดเมนและโคโดเมนเดียวกันจะเท่ากัน หากกำหนดโดยฟังก์ชันเดียวกันบนเซตพื้นฐาน ฟังก์ชันนี้ไม่เต็ม เนื่องจากมีฟังก์ชันระหว่างเซตพื้นฐานของกลุ่มที่ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม หมวดหมู่ที่มีฟังก์ชันซื่อสัตย์ไปยังSetคือ (ตามคำนิยาม) หมวดหมู่รูปธรรมโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันลืมนั้นไม่เต็ม
• ฟังก์ชันการรวมAb → Grpนั้นมีความซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์ เนื่องจากAb ( หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ) ตามคำนิยามแล้วคือหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของGrpที่เกิดจากกลุ่มอาเบเลียน

แนวคิดที่ว่าฟังก์ชันเตอร์นั้น "สมบูรณ์" หรือ "ซื่อสัตย์" ไม่ได้แปลไปสู่แนวคิดของ(∞, 1)-หมวดหมู่ใน (∞, 1)-หมวดหมู่ แผนที่ระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ จะถูกกำหนดโดยปริภูมิเพียงแค่ถึงระดับโฮโมโทปีเท่านั้น เนื่องจากแนวคิดของการฉีดและการทั่วถึงไม่ใช่แนวคิดที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้โฮโมโทปี (ลองพิจารณาการฝังช่วงลงในจำนวนจริงเทียบกับการแมปช่วงไปยังจุด) เราจึงไม่มีแนวคิดที่ว่าฟังก์ชันเตอร์นั้น "สมบูรณ์" หรือ "ซื่อสัตย์" อย่างไรก็ตาม เราสามารถกำหนดฟังก์ชันเตอร์ของควาซีหมวดหมู่ให้ซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์ได้ถ้าสำหรับทุกXและYในCแผนที่นั้นเป็นการสมมูลอย่างอ่อน ${\displaystyle F_{X,Y}}$

• หมวดหมู่ย่อยทั้งหมด
• ความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่