ในสาขาคณิตศาสตร์ เชิง การจัดเรียง (combinatorics ) สัญลักษณ์q -Pochhammerหรือที่เรียกว่าแฟกทอเรียลแบบเลื่อนqคือผลคูณ กับ มันเป็นอนาล็อกqของสัญลักษณ์ Pochhammerในแง่ที่ว่า สัญลักษณ์q -Pochhammer เป็นองค์ประกอบสำคัญในการสร้าง อนาล็อก qตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานมันมีบทบาทเช่นเดียวกับที่สัญลักษณ์ Pochhammer ทั่วไปมีในทฤษฎีอนุกรม ไฮเปอร์จีโอ เมตริก ทั่วไป$${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),}$$${\displaystyle (a;q)_{0}=1.}$${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)\dots (x+n-1)}$$${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=x^{(n)}.}$$

แตกต่างจากสัญลักษณ์ Pochhammer ทั่วไป สัญลักษณ์ q -Pochhammer สามารถขยายไปสู่ผลคูณอนันต์ได้ กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ของqภายในวงกลมหน่วยและยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมในqกรณีพิเศษนี้ เรียกว่าฟังก์ชันของออยเลอร์และมีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีรูปแบบมอดูลาร์ $${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$$$${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$$

ผลคูณจำกัดสามารถแสดงได้ในรูปของผลคูณอนันต์ ซึ่งขยายนิยามไปสู่จำนวนเต็มลบnดังนั้น สำหรับn ที่ไม่เป็นลบ จะได้ และ หรืออีกทาง หนึ่ง ซึ่งมีประโยชน์สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดบางส่วนของฟังก์ชันแบ่งส่วน $${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$$$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$$$${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$$$${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$$

สัญลักษณ์q -Pochhammer เป็นหัวข้อของ เอกลักษณ์อนุกรม qหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการขยายอนุกรมอนันต์ ซึ่ง ทั้งสองอย่างเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบททวินามq : Fridrikh Karpelevichพบเอกลักษณ์ต่อไปนี้ (ดู Olshanetsky และ Rogov ( 1995 ) สำหรับการพิสูจน์): $${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},}$$$${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$$$${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$$

สัญลักษณ์q -Pochhammer เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์เชิงการนับของการแบ่งส่วน สัมประสิทธิ์ของin คือจำนวนการแบ่งส่วนของmออกเป็นส่วนไม่เกินnส่วน เนื่องจากโดยการผันแปรของการแบ่งส่วน ค่านี้จะเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนของmออกเป็นส่วนที่มีขนาดไม่เกินnดังนั้นโดยการระบุอนุกรมก่อกำเนิด เราจึงได้เอกลักษณ์ ดังที่กล่าวไว้ในส่วนด้านบน ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}}$$$${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$$

นอกจากนี้ เรายังมีสัมประสิทธิ์ของin ซึ่งเป็นจำนวนการแบ่งmออกเป็นnหรือn -1 ส่วนที่แตกต่างกัน ${\displaystyle q^{m}a^{n}}$$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}$$

โดยการลบพาร์ทิชันรูปสามเหลี่ยมที่มีn − 1 ส่วนออกจากพาร์ทิชันดังกล่าว เราจะเหลือพาร์ทิชันแบบสุ่มที่มีส่วนไม่เกินn ส่วน ซึ่งจะทำให้ เกิดการจับ คู่แบบหนึ่งต่อ หนึ่งที่รักษาน้ำหนักระหว่างเซตของพาร์ทิชันเป็นnหรือn − 1 ส่วนที่แตกต่างกัน และเซตของคู่ที่ประกอบด้วยพาร์ทิชันรูปสามเหลี่ยมที่มีn − 1 ส่วนและพาร์ทิชันที่มีส่วนไม่เกินnส่วน โดยการระบุอนุกรมก่อกำเนิด สิ่งนี้นำไปสู่เอกลักษณ์ ที่อธิบายไว้ในส่วนด้านบนเช่นกัน ส่วนกลับของฟังก์ชันก็เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับฟังก์ชันพาร์ทิชัน , , ซึ่งขยายโดย การขยายอนุกรม q สองชุด ที่สอง ที่ระบุไว้ด้านล่าง: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$$${\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }}$${\displaystyle p(n)}$$${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$$

ทฤษฎีบทq -binomialเองก็สามารถอธิบายได้ด้วยการใช้เหตุผลเชิงการจัดเรียงที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยในลักษณะเดียวกัน (ดูการขยายความที่ให้ไว้ในหัวข้อถัดไป ด้วย )

ในทำนองเดียวกัน $${\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$$

เนื่องจากเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ สัญลักษณ์ q -Pochhammer มักเกี่ยวข้องกับผลคูณของสัญลักษณ์หลายตัว ดังนั้นธรรมเนียมปฏิบัติมาตรฐานคือการเขียนผลคูณเป็นสัญลักษณ์เดียวที่มีอาร์กิวเมนต์หลายตัว: $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$$

อนุกรมqคืออนุกรมที่สัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันของqโดยทั่วไปจะเป็นนิพจน์ของq ^{[ 2 ]}ผลลัพธ์ในช่วงแรกมาจากออยเลอร์เกาส์และโคชีการศึกษาอย่างเป็นระบบเริ่มต้นด้วยเอ็ดเวิร์ด ไฮน์ (1843) ^{[ 3 ]}${\displaystyle (a;q)_{n}}$

q- อนาล็อกของnหรือที่รู้จักกันในชื่อq-วงเล็บหรือq-จำนวนของnถูกนิยามไว้ดังนี้ จากนี้เราสามารถนิยามq-อนาล็อกของแฟกทอเรียลหรือ q- แฟกทอเรียลได้ดังนี้ $${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}$$

ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่คล้ายคลึงกันในแง่ที่ว่า และเช่นเดียวกันด้วย $${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}$$$${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}$$

ค่าลิมิตn ! นับการเรียงสับเปลี่ยนของเซตS ที่มีสมาชิก n ตัว หรือเทียบเท่ากันคือ นับจำนวนลำดับของเซตซ้อนกันที่มีสมาชิกi ตัวพอดี ^{[ 4 ]} เมื่อเปรียบเทียบกัน เมื่อqเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะและVเป็นปริภูมิเวกเตอร์nมิติเหนือฟิลด์ที่มีสมาชิกq ตัว อนาล็อกqคือจำนวนแฟล็กที่สมบูรณ์ในVนั่นคือ จำนวนลำดับของปริภูมิย่อยที่มีมิติi ^{[ 4 ]} ข้อพิจารณาข้างต้นชี้ให้เห็นว่าเราสามารถมองลำดับของเซตซ้อนกันเป็นแฟล็กเหนือฟิลด์สมมติที่ มีสมาชิกหนึ่งตัวได้${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle [n]!_{q}}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle V_{i}}$

ผลคูณของจำนวนเต็มลบq-วงเล็บ สามารถแสดงในรูปของ แฟกทอเรียล qได้ดังนี้ $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}$$

จาก ค่า q-แฟกทอเรียล เราสามารถกำหนด สัมประสิทธิ์ q-ไบโนเมียล หรือที่รู้จักกันในชื่อสัมประสิทธิ์ไบโนเมียลแบบเกาส์เซียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$$

ซึ่งเห็นได้ง่ายว่าสามเหลี่ยมของสัมประสิทธิ์เหล่านี้มีความสมมาตรในแง่ที่ว่า

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$

สำหรับทุกคนสามารถตรวจสอบได้ว่า ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}$$

จากความสัมพันธ์เวียนเกิดก่อนหน้านี้ จะเห็นได้ว่าทฤษฎีบททวินามรูปแบบถัดไปจะขยายตามสัมประสิทธิ์เหล่านี้ดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle q}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดสัมประสิทธิ์พหุนาม q ได้อีกด้วย โดยที่อาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขสัมประสิทธิ์ข้างต้นนับจำนวนแฟล็ก ของปริภูมิย่อยใน ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติเหนือฟิลด์ที่มี สมาชิก qตัว โดยที่ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$$${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$

ขีดจำกัดจะให้ค่าสัมประสิทธิ์พหุนามตามปกติซึ่งนับจำนวนคำในสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันn ตัวโดยที่แต่ละคำปรากฏขึ้นครั้ง ${\displaystyle q\to 1}$${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$

นอกจากนี้ยังได้ฟังก์ชันแกมมาในรูปแบบq- อนาล็อก ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชัน q-แกมมาและกำหนดโดย ฟังก์ชัน นี้จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันแกมมาปกติเมื่อqเข้าใกล้ 1 จากภายในวงกลมหน่วย โปรดสังเกตว่า สำหรับx ใดๆ และ สำหรับค่าจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของnหรืออีกทางหนึ่ง อาจถือได้ว่าเป็นส่วนขยายของ ฟังก์ชัน q-แฟกทอเรียลไปยังระบบ จำนวนจริง$${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$$${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$$${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}$$

• รายชื่อสารอนาล็อกของคิว
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐาน
• ฟังก์ชันแกมมาวงรี
• ฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี
• ซีรีส์แลมเบิร์ต
• ทฤษฎีบทจำนวนห้าเหลี่ยม
• อนุพันธ์q
• ฟังก์ชันq -theta
• q -เอกลักษณ์ของแวนเดอร์มอนด์
• เอกลักษณ์ของโรเจอร์ส-รามานุจัน
• โรเจอร์ส-รามานูจัน ยังคงเศษส่วนต่อไป

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. " q-อนาล็อก" . แมธเวิลด์ .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. " q -Bracket" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. " q -แฟกทอเรียล" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. " q -Series" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. " สัมประสิทธิ์ทวินามq " . MathWorld .