ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาการจัดเรียงและแคลคูลัสควอนตัมอนุพันธ์ q หรืออนุพันธ์แจ็คสันเป็นอนาล็อกqของอนุพันธ์ธรรมดาซึ่งแนะนำโดยแฟรงค์ ฮิลตัน แจ็คสันมันเป็นส่วนกลับของการอินทิเกรตqของแจ็คสันสำหรับรูปแบบอื่นๆ ของอนุพันธ์ q โปรดดูChung et al. (1994 )

อนุพันธ์qของฟังก์ชันf ( x ) ถูกกำหนดดังนี้^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

นอกจากนี้ยังมักเขียนในรูปแบบว่า${\displaystyle D_{q}f(x)}$อนุพันธ์qยังรู้จักกันในชื่ออนุพันธ์แจ็คสัน

ในทางทฤษฎี ในแง่ของตัวดำเนินการเลื่อน ของลากรางจ์ ในตัวแปรลอการิทึม มันจะเทียบเท่ากับตัวดำเนินการ

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

ซึ่งนำไปสู่อนุพันธ์ธรรมดา${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$เช่น${\displaystyle q\to 1}$.

มันเป็นไปในเชิงเส้นอย่างชัดเจน

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

มีกฎการคูณที่คล้ายคลึงกับกฎการคูณอนุพันธ์ทั่วไป โดยมีสองรูปแบบที่เทียบเท่ากัน

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

ในทำนองเดียวกัน มันก็สอดคล้องกับกฎการหารด้วย

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

นอกจากนี้ยังมีกฎที่คล้ายกับกฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์ทั่วไปอีกด้วย ให้${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$. แล้ว

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ อนุพันธ์ qคือเลขชี้กำลังq e ( x )

การหาอนุพันธ์ Qคล้ายกับการหาอนุพันธ์ทั่วไป แต่มีความแตกต่างที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ qของเอกนามคือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

ที่ไหน${\displaystyle [n]_{q}}$คือวงเล็บqของnโปรดทราบว่า${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$ดังนั้นอนุพันธ์แบบปกติจึงกลับคืนมาในขีดจำกัดนี้

อนุพันธ์q ลำดับ ที่nของฟังก์ชันอาจกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

โดยมีเงื่อนไขว่าอนุพันธ์อันดับ nปกติของfมีอยู่ ณx = 0 ในที่นี้${\displaystyle (q;q)_{n}}$คือ สัญลักษณ์ q -Pochhammerและ${\displaystyle [n]!_{q}}$คือค่าq-แฟกทอเรียลถ้า${\displaystyle f(x)}$เนื่องจากเป็นเชิงวิเคราะห์เราจึงสามารถใช้สูตรของเทย์เลอร์กับนิยามของ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$เพื่อให้ได้

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

อนาล็อกqของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเกี่ยวกับศูนย์มีดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

การแสดงผลต่อไปนี้สำหรับลำดับที่สูงกว่า${\displaystyle q}$-อนุพันธ์เป็นที่ทราบกันดีว่า: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}__{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}__{q}}$คือ${\displaystyle q}$สัมประสิทธิ์ทวินาม โดยการเปลี่ยนลำดับการบวกดังนี้${\displaystyle r=nk}$เราจึงได้สูตรต่อไปนี้: ^{[ 4 ] [ 6 ]}

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

ลำดับที่สูงกว่า${\displaystyle q}$อนุพันธ์ใช้เพื่อ${\displaystyle q}$สูตรเทย์เลอร์และ${\displaystyle q}$- สูตรของโรดริเกส (สูตรที่ใช้ในการสร้าง)${\displaystyle q}$- พหุนามเชิงตั้งฉาก^{[ 4 ]} )

q-calculus ถูกนำมาใช้ในการเรียนรู้ของเครื่องเพื่อออกแบบฟังก์ชันการกระตุ้นแบบสุ่ม^{[ 16 ]}

• อนุพันธ์ (การสรุปทั่วไป)
• แจ็กสัน อินทิกรัล
• Q-เอกซ์โพเนนเชียล
• พหุนามผลต่าง Q
• แคลคูลัสควอนตัม
• เอนโทรปีของ Tsallis