ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้น ธง ( flag)คือลำดับ ที่เพิ่มขึ้น ของปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVในที่นี้ "เพิ่มขึ้น" หมายความว่าแต่ละลำดับย่อยเป็นปริภูมิย่อยแท้ของลำดับย่อยถัดไป (ดูการกรอง )

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

คำว่าflagมาจากตัวอย่างเฉพาะที่คล้ายกับธง : จุดศูนย์ เส้น และระนาบ สอดคล้องกับตะปู ไม้เท้า และผืนผ้า^{[ 1 ]}

ถ้าเราเขียนว่า dim V = d แล้วเราจะได้ว่า

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

โดยที่nคือมิติของV (ซึ่งถือว่ามีค่าจำกัด) ดังนั้น เราต้องมีk ≤ nธงจะเรียกว่าธงสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อd = iสำหรับทุกiมิฉะนั้นจะเรียกว่าธงไม่สมบูรณ์

สามารถสร้างธงบางส่วนได้จากธงที่สมบูรณ์โดยการลบส่วนย่อยบางส่วนออก ในทางกลับกัน ธงบางส่วนใดๆ ก็สามารถทำให้สมบูรณ์ได้ (ในหลายวิธี) โดยการแทรกส่วนย่อยที่เหมาะสมเข้าไป

ลายเซ็นของธงคือลำดับ ( d , ..., d )

กล่าวกันว่าฐานเรียงลำดับสำหรับV นั้น ปรับให้เข้ากับแฟล็กV ⊂ V ⊂ ... ⊂ V ถ้า เวกเตอร์ฐาน d ตัวแรก ก่อให้เกิดฐานสำหรับV สำหรับแต่ละ 0 ≤ i ≤ kการใช้เหตุผลมาตรฐานจากพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงให้เห็นว่าแฟล็กใดๆ ก็มีฐานที่ปรับให้เข้ากันได้

ฐานลำดับใดๆ ก็ตามจะทำให้เกิดธงที่สมบูรณ์ได้ โดยให้V เป็นปริภูมิที่เกิด จากเวกเตอร์ฐาน iตัวแรกตัวอย่างเช่นธงมาตรฐานในR ⁿถูกสร้างขึ้นจากฐานมาตรฐาน(e, ...,e ) โดยที่eหมายถึงเวกเตอร์ที่มีเลข 1 ในiและเลข 0 ในตำแหน่งอื่นๆ กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ธงมาตรฐานคือลำดับของปริภูมิย่อย:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

ฐานที่ปรับเปลี่ยนแล้วนั้นแทบจะไม่เป็นเอกลักษณ์เลย (ตัวอย่างค้านนั้นเล็กน้อยมาก) ดูรายละเอียดด้านล่าง

แฟล็กที่สมบูรณ์บนปริภูมิผลคูณภายในมีฐานออร์โทนอร์มอล ที่ไม่ซ้ำกันอย่างแท้จริง : มันมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการคูณเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยหน่วย (สเกลาร์ที่มีความยาวหน่วย เช่น 1, −1, i ) ฐานดังกล่าวสามารถสร้างได้โดยใช้กระบวนการแกรม-ชมิดต์เอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงหน่วยนั้นได้มาจากการอุปนัยโดยสังเกตว่า${\displaystyle v_{i}}$อยู่ในพื้นที่หนึ่งมิติ${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$.

^{โดยนามธรรมมากขึ้น มันมี เอกลักษณ์}เฉพาะตัวจนถึงการกระทำของทอรัสสูงสุด : ธงสอดคล้องกับกลุ่มโบเรลและผลคูณภายในสอดคล้องกับกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด [ ^{2 ]}

กลุ่มย่อยรักษาเสถียรภาพของธงมาตรฐานคือกลุ่มของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ผกผัน ได้

โดยทั่วไปแล้ว ตัวรักษาเสถียรภาพของแฟล็ก ( ตัวดำเนินการเชิงเส้น)${\displaystyle T}$บนVเช่นนั้น${\displaystyle T(V_{i})=V_{i}}$สำหรับทุกi ) ในแง่ของเมทริกซ์ คือพีชคณิตของ เมทริกซ์ สามเหลี่ยมบนแบบ บล็อก (โดยสัมพันธ์กับฐานที่ปรับให้เหมาะสม) โดยที่ขนาดของบล็อกคือ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$[ ^{3 ] : 7}กลุ่มย่อยเสถียรของธงที่สมบูรณ์คือเซตของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่ผกผันได้เมื่อเทียบกับฐานใดๆ ที่ปรับให้เข้ากับธง กลุ่มย่อยของ^เมท ริกซ์ สามเหลี่ยมล่างเมื่อเทียบกับฐานดังกล่าวขึ้นอยู่กับฐานนั้น และด้วยเหตุนี้จึงไม่ สามารถ ระบุลักษณะเฉพาะได้โดยใช้เพียงธงเท่านั้น

กลุ่มย่อยรักษาเสถียรภาพของแฟลกที่สมบูรณ์ใดๆ คือกลุ่มย่อยบอเรล (ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ) และกลุ่มย่อยรักษาเสถียรภาพของแฟลกบางส่วนใดๆ คือกลุ่มย่อยพาราโบลิก

กลุ่มย่อยรักษาเสถียรภาพของธงจะกระทำการถ่ายทอดอย่างง่ายบนฐานที่ปรับให้เข้ากับธง ดังนั้นฐานเหล่านี้จึงไม่เป็นเอกลักษณ์ เว้นแต่ว่ากลุ่มรักษาเสถียรภาพจะเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่มีนัยสำคัญ ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่พิเศษมาก: มันเกิดขึ้นเฉพาะกับปริมาณเวกเตอร์ที่มีมิติเป็น 0 หรือกับปริมาณเวกเตอร์เหนือ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$มีมิติ 1 (โดยเฉพาะกรณีที่มีฐานเพียงฐานเดียว โดยไม่ขึ้นอยู่กับแฟล็กใดๆ)

ในปริภูมิอนันต์มิติVที่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแนวคิดเรื่องธงจะขยายไปสู่กลุ่มของปริภูมิย่อย (snest)ซึ่งก็คือกลุ่มของปริภูมิย่อยของVที่มีลำดับสมบูรณ์สำหรับการรวมและยังปิดภายใต้การตัดกัน โดยพลการ และการแผ่ขยายเชิงเส้นแบบปิด ดูพีชคณิตกลุ่มย่อย (nest algebra )

จากมุมมองของฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัว เซตสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีสมาชิกหนึ่งตัว ซึ่งเป็นการกำหนดรูปแบบความคล้ายคลึงกันต่างๆ ระหว่างกลุ่มค็อกเซเตอร์และกลุ่มพีชคณิต

ภายใต้ความสัมพันธ์นี้ การเรียงลำดับบนเซตจะสอดคล้องกับแฟล็กสูงสุด: การเรียงลำดับเทียบเท่ากับการกรองสูงสุดของเซต ตัวอย่างเช่น การกรอง (แฟล็ก)${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$สอดคล้องกับลำดับ${\displaystyle (0,1,2)}$.

• การกรอง (คณิตศาสตร์)
• ธง (เรขาคณิต)
• แฟล็กแมนิโฟลด์
• กราสส์มันเนียน
• แมทรอยด์