ในทางคณิตศาสตร์ลักษณะเฉพาะของวงแหวนRซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยchar( R )ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนบวกที่น้อยที่สุดของสำเนาของเอกลักษณ์การคูณ ของวงแหวน ( 1 ) ที่จะรวมกันได้เอกลักษณ์การบวก ( 0 ) หากไม่มีจำนวนดังกล่าว วงแหวนนั้นจะมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

นั่นคือchar( R )เป็นจำนวนบวกที่เล็กที่สุดnเช่นนั้น: ^{[ 1 ] (หน้า 198, ทฤษฎีบท 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

ถ้าจำนวนn ดังกล่าว มีอยู่จริง และ0หากไม่มีอยู่จริง

นิยามพิเศษของค่าศูนย์ลักษณะเฉพาะนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากนิยามที่เทียบเท่ากันซึ่งอธิบายไว้ในส่วนถัดไป โดยที่ค่าศูนย์ลักษณะเฉพาะไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกต่างหาก

ลักษณะเฉพาะอาจถือได้ว่าเป็นเลขชี้กำลัง ของ กลุ่มบวกของวงแหวนนั่นคือ จำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดnเช่นนั้น: ^{[ 1 ] (หน้า 198, นิยาม 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

สำหรับทุกองค์ประกอบaของริง (อีกครั้ง ถ้าnมีอยู่ มิฉะนั้นจะเป็นศูนย์) นิยามนี้เทียบเท่ากับริง เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายตัวสำหรับ ริงที่ไม่มีเอกลักษณ์ ( rngs ) นิยามแรกนั้นไม่มีความหมาย และโดยทั่วไปจะใช้นิยามหลังแทน

จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะและจำนวนจริงมีลักษณะเฉพาะคือ 0

จำนวนเต็มมอดูล nมีลักษณะเฉพาะคือ n

วงแหวนบูลีนทุกวงมีลักษณะเฉพาะข้อที่ 2

คุณลักษณะของฟิลด์คือ 0 หรือจำนวน เฉพาะ

• ลักษณะเฉพาะของวงแหวนRคือจำนวนธรรมชาติ โดยที่เป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมวงแหวน ที่ไม่ซ้ำกัน จากไปยังR ^{[ a ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ลักษณะเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติ ที่ทำให้Rประกอบด้วยวงแหวนย่อยที่สมมาตรกับวงแหวนแฟกเตอร์ซึ่งเป็นภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมข้างต้น${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• เมื่อ เรียงลำดับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ{0, 1, 2, 3, ...}ตามการหารลงตัวบางส่วน แล้ว 1จะเป็นค่าที่เล็กที่สุดและ0จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด ดังนั้นลักษณะเฉพาะของริงคือค่าn ที่เล็กที่สุด ซึ่งn ⋅ 1 = 0หากไม่มีค่าใดที่ "เล็กกว่า" (ในการเรียงลำดับนี้) กว่า0ที่เหมาะสม ลักษณะเฉพาะก็จะเป็น  0นี่คือการเรียงลำดับบางส่วนที่เหมาะสมเนื่องจากข้อเท็จจริงต่างๆ เช่นchar( A × B )เป็นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของchar Aและchar Bและไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมของริงf  : A → Bเว้นแต่ว่าchar Bจะหารchar Aลงตัว
• ลักษณะเฉพาะของริงR คือ n ก็ต่อเมื่อข้อความka = 0สำหรับทุกa ∈ Rบ่งชี้ว่าkเป็นพหุคูณของn

ถ้าRและSเป็นริงและมีโฮโมมอร์ฟิซึมของริงR → Sอยู่ แล้วลักษณะเฉพาะของSจะหารลักษณะเฉพาะของR ลงตัว บางครั้งอาจใช้หลักการนี้เพื่อตัดความเป็นไปได้ของโฮโมมอร์ฟิซึมของริงบางอย่างออกไปได้ ริงเดียวที่มีลักษณะเฉพาะเท่ากับ1คือริงศูนย์ซึ่งมีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ 0ถ้าริงR ที่ไม่ใช่ริงศูนย์ ไม่มีตัวหาร ศูนย์ที่ ไม่ใช่ริงศูนย์ แล้วลักษณะเฉพาะของริงนั้นจะเป็น0หรือจำนวนเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หลักการนี้ใช้ได้กับฟิลด์ ทั้งหมด โดเมนจำนวนเต็มทั้งหมดและริงการหาร ทั้งหมด ริงใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์จะเป็นอนันต์

วงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลnมีลักษณะเฉพาะคือnถ้าRเป็นวงแหวนย่อยของSแล้วRและSจะมีลักษณะเฉพาะเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะและq ( X )เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ที่มี สมาชิก pตัว แล้ววงแหวนผลหารจะเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะคือp อีกตัวอย่างหนึ่ง: ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยดังนั้นลักษณะเฉพาะของคือ0${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

พีชคณิต A เทียบเท่ากับวงแหวนที่มีลักษณะเฉพาะหารnลงตัว เนื่องจากสำหรับทุกวงแหวนRจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนและฟังก์ชันนี้จะแยกตัวประกอบได้ก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของRหารn ลงตัว ในกรณีนี้ สำหรับ rใดๆในวงแหวน การบวกrกับตัวเองnครั้งจะได้nr = 0 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \ถึง R}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

ถ้า Rเป็นริงสลับที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะpแล้ว เราจะได้( x + y ) ^p = xp + ypสำหรับทุกสมาชิกxและyในR – ซึ่งโดยปกติแล้ว “ ความฝันของนักศึกษาปีหนึ่ง^{” ที่ไม่ถูกต้องนั้นเป็น จริง}สำหรับกำลังpแผนที่x ↦ xpจะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึม ของริง R → Rซึ่งเรียกว่า โฮโมมอร์ฟิซึม ^ของโฟรเบนิอุสถ้าRเป็นโดเมนจำนวนเต็ม ด้วย โฮโมมอร์ฟิซึมนี้จะเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ลักษณะเฉพาะของฟิลด์ ใดๆ จะเป็น0หรือจำนวนเฉพาะ ฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เป็นศูนย์เรียกว่าฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะจำกัดหรือลักษณะเฉพาะบวกหรือลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะเลขชี้กำลังลักษณะเฉพาะถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ยกเว้นว่าจะมีค่าเท่ากับ1เมื่อลักษณะเฉพาะเป็น0มิฉะนั้นจะมีค่าเท่ากับลักษณะเฉพาะ^{[ 2 ]}

ฟิลด์F ใดๆ ก็ มีฟิลด์ย่อย ขั้นต่ำสุดที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าฟิลด์เฉพาะ (prime field ) ฟิลด์ย่อยนี้สมสัณฐานกับฟิลด์จำนวนตรรกยะหรือฟิลด์จำกัดที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะ ฟิลด์เฉพาะสองฟิลด์ที่มีลักษณะเดียวกันจะสมสัณฐานกัน และการสมสัณฐานนี้มีเพียงหนึ่งเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โดยพื้นฐานแล้วจะมีฟิลด์เฉพาะที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวในแต่ละลักษณะ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

ฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์คือฟิลด์ย่อยที่สมมูลกับฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ฟิลด์ที่พบได้บ่อยที่สุดคือฟิลด์ย่อยของฟิลด์ของ${\displaystyle \mathbb {C} }$จำนวนเชิงซ้อนซึ่งรวมถึงจำนวนจริงและฟิลด์จำนวนพีชคณิตทั้งหมด ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ฟิลด์ลักษณะเฉพาะอื่นๆ ที่มีลักษณะเป็นศูนย์ ได้แก่ฟิลด์ p-adicซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีจำนวน

ฟิลด์ของเศษส่วนตรรกยะเหนือจำนวนเต็ม หรือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ เป็นตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปอีกประการหนึ่ง

ฟิลด์ที่มีลำดับจะมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์เสมอ ซึ่งรวมถึงและ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ฟิลด์จำกัดGF( p ⁿ )มีลักษณะเฉพาะคือ p

มีฟิลด์อนันต์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะอยู่มากมาย ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ทั้งหมด เหนือ, การปิดเชิงพีชคณิตของหรือฟิลด์ของอนุกรมลอเรนต์แบบเป็นทางการ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

ขนาดของวงแหวนจำกัด ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น จำนวนเฉพาะ p นั้นเป็นกำลังของpเนื่องจากในกรณีนั้นวงแหวนนั้นบรรจุ p ไว้มันจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์นั้นด้วย และจากพีชคณิตเชิงเส้นเรารู้ว่าขนาดของปริภูมิเวกเตอร์จำกัดเหนือฟิลด์จำกัดเป็นกำลังของขนาดของฟิลด์ สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่าขนาดของปริภูมิเวกเตอร์จำกัดใดๆ ก็เป็นกำลังของจำนวนเฉพาะเช่นกัน^{[ b ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

• แหวนที่มีลักษณะผสมผสาน

เว็บไซต์ Wikibook เรื่องคณิตศาสตร์เชิงดิสครีตมีหน้าเว็บที่กล่าวถึงหัวข้อ: ฟิลด์จำกัด