ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตฮอปฟ์Hเรียกว่ากึ่งสามเหลี่ยม^{[ 1 ]}ถ้ามีองค์ประกอบที่ผกผันได้Rของเช่นนั้น ${\displaystyle H\otimes H}$

• ${\displaystyle R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)}$สำหรับทุกค่าโดยที่คือผลคูณร่วมบนHและแผนที่เชิงเส้นกำหนดโดย${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}$${\displaystyle T(x\oคูณ y)=y\oคูณx}$

• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}}$,

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$,

โดยที่, , และ, โดยที่, , และ, คือมอร์ฟิซึมพีชคณิตที่กำหนดโดย ${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

Rเรียกว่าเมทริกซ์ R

เนื่องจากคุณสมบัติของควาซิไทรแองกูลาริตี เมทริกซ์ R, R , จึงเป็นคำตอบของสมการ Yang–Baxter (และดังนั้นโมดูลVของHสามารถใช้เพื่อกำหนดควาซิอินวาเรียนต์ของถักเปียปมและการเชื่อมโยงได้ ) นอกจากนี้ เนื่องจากคุณสมบัติของควาซิไทรแองกูลาริตี; ยิ่งไปกว่านั้น , , และ. อาจแสดงเพิ่มเติมได้ว่าแอนติโพดSต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น และดังนั้นS ²จึงเป็นออโตมอร์ฟิซึมในความเป็นจริงS ²กำหนดโดยการผันกลับด้วยองค์ประกอบที่ผกผันได้: โดยที่(ดูพีชคณิต Ribbon Hopf ) ${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$${\displaystyle u:=m((S\otimes 1)\circ T)R}$

เป็นไปได้ที่จะสร้างพีชคณิตฮอปฟ์กึ่งสามเหลี่ยมจากพีชคณิตฮอปฟ์และพีชคณิตคู่ของมัน โดยใช้การสร้างควอนตัมคู่แบบ ดรินเฟลด์

ถ้าพีชคณิตฮอปฟ์Hเป็นแบบกึ่งสามเหลี่ยม (quasitriangular) แล้วหมวดหมู่ของโมดูลเหนือHจะถูกถักทอด้วยการถักทอ (braiding)

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$.

คุณสมบัติของการเป็นพีชคณิตฮอปฟ์กึ่งสามเหลี่ยมยังคงอยู่โดยการบิดผ่านองค์ประกอบที่ผกผันได้ โดยที่และสอดคล้องกับเงื่อนไขโคไซเคิล ${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$

${\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}$

นอกจากนี้ยังสามารถผกผันได้ และแอนติโพดแบบบิดเบี้ยวจะกำหนดโดยโดยที่การคูณร่วมแบบบิดเบี้ยว เมทริกซ์ R และหน่วยร่วมจะเปลี่ยนแปลงไปตามที่กำหนดไว้สำหรับพีชคณิตควาซี-ฮอปฟ์แบบกึ่งสามเหลี่ยมการบิดเบี้ยวแบบนี้เรียกว่าการบิดเบี้ยวที่ยอมรับได้ (หรือการบิดเบี้ยวแบบดรินเฟลด์) ${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$

• พีชคณิตเสมือนสามเหลี่ยมกึ่งฮอพฟ
• พีชคณิตริบบอนฮอปฟ์