ในทางเลขคณิตระบบฐานเชิงซ้อนคือระบบตัวเลขตำแหน่งที่มีฐานเป็นจำนวนจินตนาการ (เสนอโดยDonald Knuthในปี 1955 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) หรือจำนวนเชิงซ้อน (เสนอโดย S. Khmelnik ในปี 1964 ^{[ 3 ]}และ Walter F. Penney ในปี 1965 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} )

ให้เป็นโดเมนจำนวนเต็มและเป็นค่าสัมบูรณ์ (อาร์คิมีเดียน)บนโดเมนนั้น ${\displaystyle D}$${\displaystyle \subset \mathbb {C} }$${\displaystyle |\cdot |}$

ในระบบเลขฐาน ตัวเลข จะถูกแทนด้วยการกระจาย${\displaystyle X\in D}$

${\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}$

ที่ไหน

${\displaystyle \rho \in D}$		คือราก (หรือฐาน ) ที่มี, ${\displaystyle |\rho |>1}$
${\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }$		คือเลขชี้กำลัง (ตำแหน่งหรือลำดับ)
${\displaystyle x_{\nu }}$		เป็นตัวเลขจากเซตของตัวเลขจำนวนจำกัดโดยปกติจะมี${\displaystyle Z\subset D}$${\displaystyle |x_{\nu }|<|\rho |.}$

จำนวนสมาชิก เรียกว่าระดับการแบ่งย่อย ${\displaystyle R:=|Z|}$

ระบบตัวเลขตำแหน่งหรือระบบการเข้ารหัสคือคู่หนึ่ง

${\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }$

โดยใช้ฐานและชุดตัวเลขและเราเขียนชุดตัวเลขมาตรฐานด้วยตัวเลขดังนี้ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}$

ระบบการเข้ารหัสที่พึงประสงค์คือระบบที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ทุกจำนวนในเช่น จำนวนเต็ม จำนวนเต็ม เกาส์เซียนหรือจำนวนเต็มสามารถ แทน ได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วย รหัส จำกัดซึ่งอาจมีเครื่องหมาย ± กำกับอยู่ด้วย${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]}$
• ทุกจำนวนในฟิลด์เศษส่วน ซึ่งอาจสมบูรณ์สำหรับเมตริกที่กำหนดโดยการให้ผลลัพธ์เป็นหรือสามารถแทนได้ในรูปอนุกรมอนันต์ซึ่งลู่เข้าภายใต้สำหรับและขนาดของเซตของจำนวนที่มีการแสดงแทนมากกว่าหนึ่งแบบคือ 0 เงื่อนไขหลังนี้ต้องการให้เซตนั้นเป็นเซตขั้นต่ำ กล่าวคือสำหรับจำนวนจริงและสำหรับจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle K:=\mathbb {R} }$${\displaystyle K:=\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \nu \to -\infty }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R=|\rho |}$${\displaystyle R=|\rho |^{2}}$

ในสัญลักษณ์นี้ รูปแบบการเข้ารหัสเลขฐานสิบมาตรฐานของเราจะถูกแสดงด้วย

${\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}$

ระบบเลขฐานสองมาตรฐานคือ

${\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}$

ระบบเนกาไบนารีคือ

${\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}$

และระบบไตรภาคที่สมดุล^{[ 2 ]}คือ

${\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}$

ระบบการเข้ารหัสทั้งหมดนี้มีคุณสมบัติที่กล่าวถึงสำหรับและและสองระบบหลังไม่จำเป็นต้องมีเครื่องหมาย ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ระบบเลขตำแหน่งที่เป็นที่รู้จักกันดีสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ได้แก่ ระบบต่อไปนี้ ( โดยที่ คือหน่วยจินตนาการ ): ${\displaystyle \mathrm {i} }$

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$เช่น^{[ 1 ]}และ${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }$[ ^{2 ]}ฐานจินตนาการหนึ่งในสี่^ซึ่งเสนอโดยDonald Knuthในปี พ.ศ. 2498

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$และ

${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }$^{[ 3 ] [ 5 ]} (ดูส่วนฐาน −1 ± iด้านล่างด้วย)

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }$โดยที่และเป็นจำนวนเต็มบวกที่สามารถรับค่าได้หลายค่า ณ เวลาที่กำหนด[ ^{7 ] สำหรับ}และนี่คือระบบ${\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}$${\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}$${\displaystyle \beta _{}^{}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle R=2}$

${\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }$[ ^{8 ]​}
• ${\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }$โดยที่เซตประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนเช่น${\displaystyle A_{R}^{2}}$${\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }$${\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}$

${\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .}$^{[ 8 ]}

• ${\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }$โดยที่^{[ 9 ]}${\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}$ 

ระบบการเข้ารหัสเลข ฐานสองของจำนวนเชิงซ้อน เช่น ระบบที่มีตัวเลขเป็นสิ่งที่น่าสนใจในทางปฏิบัติ^{[ 9 ]} ด้านล่างนี้คือระบบการเข้ารหัสบางระบบ(ทั้งหมดเป็นกรณีพิเศษของระบบข้างต้น) และรหัสสำหรับจำนวน (ทศนิยม) −1, 2, −2, iตามลำดับ ระบบเลขฐานสองมาตรฐาน (ซึ่งต้องมีเครื่องหมาย บรรทัดแรก) และระบบ "เลขฐานสองลบ" (บรรทัดที่สอง) ก็แสดงไว้เพื่อเปรียบเทียบด้วย ระบบเหล่านี้ไม่มีการขยายที่แท้จริงสำหรับ i${\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}$${\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }$

ฐานบางส่วนและการแสดงบางส่วน^{[ 10 ]}

ราก	–1 ←	2 ←	–2 ←	ฉัน ←	แฝดและแฝดสาม
2	–1	10	-10	ฉัน	1 ←	0.1 = 1.0​
–2	11	110	10	ฉัน	⁠1/3←​	0.01 = 1.10​
${\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}$	101	10100	100	10.101010100... [ 11 ]	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}}$←	0.0011 = 11.1100​
${\displaystyle {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}$	111	1010	110	11.110001100... [ 11 ]	${\displaystyle {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}}$←	1. 011 = 11. 101 = 11100. 110
${\displaystyle \rho _{2}}$	101	10100	100	10	⁠1/3+​​1/3ฉัน ←​	0.0011 = 11.1100​
–1+ i	11101	1100	11100	11	⁠1/5+​​3/5ฉัน ←​	0.010 = 11.001 = 1110.100​
2 ฉัน	103	2	102	10.2	⁠1/5+​​2/5ฉัน ←​	0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300​

เช่นเดียวกับระบบจำนวนเชิงตำแหน่งทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์แบบอาร์คิมีเดียนจะมีจำนวนบางจำนวนที่มีรูปแบบการแสดงผลหลายแบบตัวอย่างของจำนวนดังกล่าวแสดงอยู่ในคอลัมน์ด้านขวาของตาราง จำนวนเหล่านั้นทั้งหมดเป็นเศษส่วนซ้ำโดยส่วนที่ซ้ำกันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นแนวนอนอยู่เหนือตัวเลขนั้น

ถ้าชุดตัวเลขนั้นมีจำนวนน้อยที่สุด เซตของตัวเลขเหล่านั้นจะมีค่าเท่ากับ 0 ซึ่งเป็นเช่นนี้ในระบบการเข้ารหัสทั้งหมดที่กล่าวถึง

ระบบเลขฐานสองเกือบสมบูรณ์ที่มีส่วนจินตนาการสี่ส่วนนั้นแสดงไว้ในบรรทัดล่างสุดเพื่อใช้ในการเปรียบเทียบ โดยส่วนจริงและส่วนจินตนาการจะสลับกันไปมา

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือระบบฐานจินตภาพควอเตอร์ (ฐาน2 i ) และระบบฐาน−1 ± iที่จะกล่าวถึงต่อไป ซึ่งทั้งสองระบบนี้สามารถใช้เพื่อแทนจำนวนเต็มเกาส์เซียนโดยไม่ระบุเครื่องหมายได้ อย่างจำกัด

ฐาน−1 ± iโดยใช้ตัวเลข0และ1ได้รับการเสนอโดย S. Khmelnik ในปี พ.ศ. 2507 ^{[ 3 ]}และ Walter F. Penney ในปี พ.ศ. 2508 ^{[ 4 ] [ 6 ]}

บริเวณการปัดเศษของจำนวนเต็ม – กล่าวคือ เซตของจำนวนเชิงซ้อน (ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม) ที่มีส่วนจำนวนเต็มร่วมกันในการแสดงในระบบนี้ – มีรูปร่างแบบแฟรกทัลในระนาบเชิงซ้อน: ทวินดรากอน (ดูรูป) เซตนี้ตามคำนิยาม คือ จุดทั้งหมดที่สามารถเขียนได้เป็น โดยที่สามารถแยกออกเป็น 16 ส่วนที่สมมาตรกับสังเกตว่าถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา 135° เราจะได้เซตที่อยู่ติดกันสองเซตที่สมมาตรกับเนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรงกลางตัดแกนพิกัดทวนเข็มนาฬิกาที่จุดต่อไปนี้: , , และ, และดังนั้น จึงประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์ ≤ ⁠${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}$${\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}$${\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}$${\displaystyle R\subset S}$${\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}$${\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}$${\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}$${\displaystyle S}$1/15. ^{[ 12 ]}​

ผลที่ตามมาคือมีการฉีดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเชิงซ้อน เข้าไป

${\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }$

แปลงให้อยู่ในช่วง ของจำนวนจริงโดยการแมป ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}$

ด้วย. ^{[ 13 ]}${\displaystyle b>2}$

นอกจากนี้ ยังมีแผนที่สองแบบ

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}$

ทั้งสองเป็นฟังก์ชันทั่วถึงซึ่งทำให้เกิดการแมปแบบทั่วถึง (ดังนั้นจึงครอบคลุมพื้นที่)

${\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}$

อย่างไรก็ตาม เส้นโค้งนี้ไม่ต่อเนื่องและจึงไม่ใช่เส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่แต่เส้นโค้งที่ใกล้เคียงกันมากอย่างมังกรเดวิส-นูธนั้นต่อเนื่องและเติมเต็มพื้นที่ได้

• เส้นโค้งมังกร

• " ระบบจำนวนโดยใช้ฐานเชิงซ้อน " โดย Jarek Duda จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• " ขอบเขตของระบบฟังก์ชันวนซ้ำแบบเป็นคาบ " โดย Jarek Duda จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• " ระบบตัวเลขใน 3 มิติ " โดย Jarek Duda จากโครงการ Wolfram Demonstrations Project
• " บทนำขนาดใหญ่เกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานซ้อน " พร้อมแหล่งข้อมูล Mathematica โดย Jarek Duda