การแสดงผลแบบไม่ใช้จำนวนเต็มใช้ตัวเลข ที่ไม่ใช่ จำนวนเต็ม เป็น ฐานหรือรากฐานของระบบตัวเลขแบบตำแหน่งสำหรับฐานที่ไม่ใช่จำนวนเต็มβ > 1 ค่าของ

${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$

เป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}}$

จำนวนd _iคือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่าβสิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าการขยายβซึ่งเป็นแนวคิดที่เสนอโดยRényi (1957)และได้รับการศึกษาอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกโดยParry (1960) จำนวนจริงทุก จำนวนมี การขยายβอย่างน้อยหนึ่งรายการ (อาจเป็นอนันต์) เซต ของการขยาย βทั้งหมดที่มีการแสดงแทนแบบจำกัดคือเซตย่อยของริงZ [ β , β ⁻¹ ]

มีการประยุกต์ใช้ การขยาย βในทฤษฎีการเข้ารหัส^{[ 1 ]}และแบบจำลองของผลึกกึ่งควอนตัม^{[ 2 ]}

การขยาย เบตา (β -expansion) เป็นการขยายทั่วไปของการขยายทศนิยมในขณะที่การขยายทศนิยมอนันต์ไม่เป็นเอกลักษณ์ (ตัวอย่างเช่น 1.000... = 0.999... ) การขยายทศนิยมจำกัดทั้งหมดเป็นเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม แม้แต่ การขยาย เบตา แบบจำกัด ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์เสมอไป ตัวอย่างเช่นφ + 1 = φ ²สำหรับβ = φซึ่งเป็นอัตราส่วนทองคำการเลือกมาตรฐานสำหรับ การขยาย เบตาของจำนวนจริงที่กำหนดสามารถกำหนดได้โดยอั ลกอริทึม แบบโลภ (greedy algorithm) ต่อไปนี้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นผลงานของRényi (1957)และถูกกำหนดสูตรดังที่แสดงไว้ในที่นี้โดยFrougny (1992 )

ให้β > 1เป็นฐาน และxเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ให้⌊ x ⌋ เป็น ฟังก์ชันปัดเศษลงของx (นั่นคือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับx ) และให้{ x } = x − ⌊ x ⌋เป็นส่วนทศนิยมของx มีจำนวนเต็ม k อยู่จริงโดยที่ β k ^≤ x < β k ^{+1กำหนด}ให้

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

และ

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

สำหรับk − 1 ≥ j > −∞ให้ใส่

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การขยาย β แบบแคนอนิก ของxถูกกำหนดโดยการเลือกd _k ที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งβ ^k d _k ≤ xจากนั้นเลือกd _{k −1} ที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งβ ^k d _k + β ^{k −1} d _{k −1} ≤ xและทำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นจึงเลือกสตริง ที่เรียงลำดับตามพจนานุกรมที่ใหญ่ที่สุดซึ่งแทนx

เมื่อใช้ฐานเป็นจำนวนเต็ม วิธีนี้จะกำหนดการขยายฐานตามปกติสำหรับจำนวนx การสร้างนี้จะขยายอัลกอริทึมแบบปกติไปสู่ค่า βที่อาจไม่ใช่จำนวนเต็มได้

เมื่อทำตามขั้นตอนข้างต้น เราสามารถสร้าง การขยาย βสำหรับจำนวนจริงได้(ขั้นตอนเหมือนกันสำหรับ an แม้ว่าnจะต้องถูกคูณด้วยก่อนก็ตาม)${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n<0}$−1เพื่อให้ได้ค่าบวก จากนั้นผลลัพธ์จะต้องถูกคูณด้วย-1เพื่อทำให้ค่าเป็นลบอีกครั้ง)

ขั้นแรก เราต้องกำหนด ค่า k ของเราก่อน (เลขชี้กำลังของกำลังที่ใกล้ที่สุดของβที่มากกว่าnรวมถึงจำนวนหลักในโดยที่คือnที่เขียนในฐานβ ) ค่า kสำหรับnและβสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \lfloor n_{\beta }\rfloor }$${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1}$

หลังจากหาค่าk ได้แล้ว สามารถเขียนได้เป็นdโดยที่ ${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}$

สำหรับk − 1 ≥ j > −∞ ค่า d kค่าแรกจะปรากฏอยู่ทางซ้ายของจุดทศนิยม

สิ่งนี้สามารถเขียนเป็นรหัสเทียม ได้ดังต่อไปนี้ : ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันtoBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1 precision = 8 result = ""สำหรับ( i = k - 1 , i > - precision - 1 , i -- ) { ถ้า( result . length == k ) result += "." digit = floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -= digit * b ^ i result += digit }ส่งคืนผลลัพธ์}

โปรดทราบว่าโค้ดข้างต้นใช้ได้เฉพาะกับและเท่านั้น เนื่องจากไม่ได้แปลงตัวเลขแต่ละหลักให้เป็นสัญลักษณ์ที่ถูกต้องหรือตัวเลขติดลบที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น หากค่าของตัวเลขหลักหนึ่งคือ${\displaystyle 1<\beta \leq 10}$${\displaystyle n\geq 0}$10จะถูกแสดงเป็น10แทนที่จะเป็น A

• JavaScript : ^{[ 3 ]}

  ฟังก์ชันtoBasePI ( num , precision = 8 ) { let k = Math . floor ( Math . log ( num ) / Math . log ( Math . PI )) + 1 ; if ( k < 0 ) k = 0 ;let digits = [];สำหรับ( let i = k - 1 ; i > ( -1 * precision ) - 1 ; i-- ) { let digit = Math.floor ( ( num / Math.pow ( Math.PI , i ) ) % Math.PI ) ; num - = digit * Math.pow ( Math.PI , i ) ; digits.push ( digit ) ; }​​​​​​​​​ถ้า( num < 0.1 ** ( precision + 1 ) && i <= 0 ) break ; }ถ้า( digits.length > k ) digits.splice ( k , 0 , " . " ) ;​ส่งคืนตัวเลข. join ( "" ); }

• JavaScript: ^{[ 3 ]}

  ฟังก์ชันfromBasePI ( num ) { let numberSplit = num . split ( /\./g ); let numberLength = numberSplit [ 0 ]. length ;let output = 0 ; let digits = numberSplit . join ( "" );สำหรับ( let i = 0 ; i < digits.length ; i ++ ) { output + = digits [ i ] * Math.pow ( Math.PI , numberLength - i - 1 ) ; }​​​​ส่งคืนผลลัพธ์; }

ฐาน√2ทำงานในลักษณะที่คล้ายคลึงกับฐาน 2 มาก เพราะสิ่งเดียวที่ต้องทำในการแปลงเลขฐานสองเป็นฐาน√2คือการใส่เลขศูนย์คั่นระหว่างเลขฐานสองทุกตัว ตัวอย่างเช่น 1911 ₁₀ = 11101110111 ₂จะกลายเป็น 101010001010100010101 _√2และ 5118 ₁₀ = 1001111111110 _{2 จะ} กลายเป็น 100000101010101010101010100 _√2ซึ่งหมายความว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถแสดงในฐาน√2 _ได้โดย _{ไม่ต้อง ใช้}จุดทศนิยม ฐาน √2 ยังสามารถใช้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับเส้นทแยงมุม_ได้เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 1/2 _จะมีเส้นทแยงมุมยาว 10/2 _และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 10/2 _จะมีเส้นทแยงมุมยาว 100/2 _{อีก ประโยชน์หนึ่งของฐาน √2}คือการแสดงอัตราส่วนของเงินเนื่องจากค่าที่แสดงในฐาน√2 _คือ 11/2 _{นอกจาก}นี้ พื้นที่ของรูปแปดเหลี่ยมด้าน_{เท่าที่}มีความยาวด้าน_1/2คือ 1100/2 _{พื้นที่ ของรูปแปดเหลี่ยมด้าน เท่า ที่มีความ ยาว}ด้าน 10/2 _คือ 110000/2 _{พื้นที่}ของรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่าที่_มีความ_{ยาวด้าน100/2}คือ_{11000000/2 เป็นต้น} ...

ในระบบเลขฐานทอง ตัวเลขบางตัวมีค่าเทียบเท่าในระบบเลขฐานสิบมากกว่าหนึ่งค่า ทำให้เกิดความกำกวมตัวอย่างเช่น 11 _φ = 100 _φเนื่องจาก φ² = φ + 1

มีตัวเลขบางตัวในฐานψ ซึ่งเป็นอัตราส่วนทองคำพิเศษที่มีความกำกวมเช่นกัน ตัวอย่างเช่น 101 _ψ = 1000 _ψเนื่องจาก ψ³ = ψ² + 1

เมื่อใช้ฐานeค่าลอการิทึมธรรมชาติจะมีลักษณะเหมือนกับลอการิทึมฐาน 10 กล่าวคือ ln(1 _e ) = 0, ln(10 _e ) = 1, ln(100 _e ) = 2 และ ln(1000 _e ) = 3 (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ค่าที่แสดงในฐานeของ 3 ซึ่งเป็นจำนวนไม่รู้จบ) นั่นหมายความว่า ส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนในฐานeจะนับจำนวนหลักก่อนจุดคั่นของจำนวนนั้น ลบด้วยหนึ่ง

ฐานeเป็นตัวเลือกฐานที่ประหยัดที่สุดβ > 1 ^{[ 4 ]}โดยที่ความประหยัดของฐานจะวัดจากผลคูณของฐานและความยาวของสตริงสัญลักษณ์ที่จำเป็นในการแสดงช่วงค่าที่กำหนด เลขฐานสองใช้เพียงสองหลักที่แตกต่างกัน แต่ต้องใช้หลักจำนวนมากในการแสดงตัวเลข ฐาน 10 เขียนตัวเลขที่สั้นกว่า แต่ต้องใช้หลักที่แตกต่างกัน 10 หลักในการเขียน ฐานe จึงเป็นฐานที่สมดุลระหว่างสองฐานนี้ จึงสามารถจัดเก็บตัวเลขได้อย่างเหมาะสมที่สุด

ฐานπสามารถใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมกับเส้นรอบวง ได้ง่ายขึ้น ซึ่งสอดคล้องกับเส้นรอบรูปเนื่องจากเส้นรอบวง = เส้นผ่านศูนย์กลาง × π ดังนั้นวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง_1πจะมีเส้นรอบวง 10π _{วงกลม}ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10π _จะมีเส้นรอบวง 100π _{เป็นต้น}นอกจากนี้ เนื่องจากพื้นที่ = π × รัศมี²ดังนั้นวงกลมที่มีรัศมี 1π _จะมีพื้นที่ 10π _{วงกลม ที่} ^มีรัศมี 10π _จะมีพื้นที่ 1000π _และวงกลมที่มีรัศมี 100π _จะมีพื้นที่_100000π ^[ 5 ^]

ในระบบเลขตำแหน่งทุกระบบ ไม่ใช่ว่าทุกจำนวนจะถูกแสดงออกมาอย่างเฉพาะเจาะจงเสมอไป ตัวอย่างเช่น ในฐาน 10 จำนวน 1 มีสองรูปแบบ คือ 1.000... และ0.999...เซตของจำนวนที่มีสองรูปแบบที่แตกต่างกันนั้นมีความหนาแน่นในจำนวนจริง^{[ 6 ]}แต่คำถามเกี่ยวกับการจำแนกจำนวนจริงที่มี การขยาย β ที่ไม่ซ้ำกัน นั้นมีความซับซ้อนมากกว่าฐานจำนวนเต็มมาก^{[ 7 ]}

ปัญหาอีกประการหนึ่งคือการจำแนกจำนวนจริงที่มีการขยายβ เป็นคาบ ให้ β > 1 และQ ( β ) เป็นส่วนขยายฟิลด์ ที่เล็กที่สุด ของจำนวนตรรกยะที่มีβ อยู่ ดังนั้นจำนวนจริงใดๆ ใน [0,1) ที่มีการ ขยาย β เป็นคาบ จะต้องอยู่ในQ ( β ) ในทางกลับกันข้อความ กลับกัน ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง ข้อความกลับกันเป็นจริงหากβเป็นจำนวน Pisot [ ^{8 ] แม้ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ จะ}ยังไม่เป็นที่ทราบ

• ตัวเข้ารหัสเบต้า
• ระบบตัวเลขตำแหน่งที่ไม่เป็นมาตรฐาน
• การขยายทศนิยม
• ซีรี่ส์พาวเวอร์
• ระบบการนับของออสโตรฟสกี

• Sidorov, Nikita (2003), "พลวัตเชิงเลขคณิต", ใน Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (บรรณาธิการ), หัวข้อในพลวัตและทฤษฎีเออร์โกดิก บทความสำรวจและหลักสูตรย่อยที่นำเสนอในการประชุมนานาชาติและการประชุมเชิงปฏิบัติการร่วมระหว่างสหรัฐอเมริกาและยูเครนเกี่ยวกับระบบพลวัตและทฤษฎีเออร์โกดิก, Katsiveli, ยูเครน, 21–30 สิงหาคม 2000 , Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., เล่มที่ 310, Cambridge: Cambridge University Press , หน้า  145–189 , ISBN 978-0-521-53365-2, Zbl  1051.37007

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฐาน" . แมธเวิลด์ .