ทศนิยมซ้ำ

ทศนิยมซ้ำหรือทศนิยมเวียนเกิดคือตัวเลขในรูปทศนิยมที่หลักต่างๆมีลักษณะเป็นคาบ (กล่าวคือ หลังจากหลักใดหลักหนึ่ง ลำดับของตัวเลขจะซ้ำกันไปเรื่อยๆ) ถ้าหากลำดับของตัวเลขนั้นประกอบด้วยเลขศูนย์ทั้งหมด (กล่าวคือ มีจำนวนหลักที่ไม่ใช่ศูนย์เพียงจำนวนจำกัด) ทศนิยมนั้นจะเรียกว่า ทศนิยมรู้จบและจะไม่ถือว่าเป็นทศนิยมซ้ำ

สามารถแสดงได้ว่าจำนวนใดเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อการแสดงผลในรูปทศนิยมของจำนวนนั้นเป็นทศนิยมซ้ำหรือทศนิยมสิ้นสุด ตัวอย่างเช่น การแสดงผลในรูปทศนิยมของ⁠1/3จะ กลายเป็นตัวเลขคาบหลังจากจุดทศนิยมโดยจะซ้ำเลข "3" ไปเรื่อยๆ เช่น 0.333... ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้คือ3227/555ซึ่งค่าทศนิยมจะกลายเป็นค่าคาบที่ หลัก ที่สองถัดจากจุดทศนิยม แล้วจะวนซ้ำลำดับ "144" ไปเรื่อยๆ เช่น 5.8144144144... ตัวอย่างอื่นๆ ของเรื่องนี้คือ593/53ซึ่งจะกลายเป็นตัวเลขคาบหลังจุดทศนิยม โดยจะวนซ้ำรูปแบบ 13 หลัก "1886792452830" ไปเรื่อยๆ เช่น 11.18867924528301886792452830....

ลำดับตัวเลขจำกัดที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุดเรียกว่าตัวตั้งซ้ำหรือตัวตั้งซ้ำหากตัวตั้งซ้ำเป็นศูนย์ ตัวเลขทศนิยมนี้จะเรียกว่าทศนิยมสิ้นสุดแทนที่จะเป็นทศนิยมซ้ำ เนื่องจากสามารถละเว้นศูนย์ได้และทศนิยมจะสิ้นสุดก่อนศูนย์เหล่านี้^{[ 1 ]}ตัวเลขทศนิยมสิ้นสุดทุกตัวสามารถเขียนได้เป็นเศษส่วนทศนิยมซึ่งเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นกำลังของ 10 (เช่น1.585 = ⁠1585/1000) ; นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็นอัตราส่วนในรูปแบบ ⁠ ได้ อีกด้วยเค/2 ⁿ ·5 ^m(เช่น1.585 = ⁠ )317/2 ³ ·5 ²อย่างไรก็ตามทุก จำนวนที่มีการ แสดงทศนิยมสิ้นสุดก็มีการแสดงทศนิยมซ้ำอีกแบบหนึ่งโดยปริยาย ซึ่งตัวเลขที่ซ้ำกันคือ "9" โดยได้มาจากการลดตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้าย (ขวาสุด) ลงหนึ่ง แล้วต่อท้ายด้วยตัวเลขที่ซ้ำกันคือ 9 ตัวอย่างสองกรณีคือ 1.000... = 0.999...และ 1.585000... = 1.584999... (ทศนิยมซ้ำประเภทนี้สามารถหาได้จากการหารยาว หากใช้รูปแบบที่ดัดแปลงของลกอริทึมการหาร ปกติ ^{[ 2 ]} )

จำนวนใดๆ ที่ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วน ของ จำนวนเต็มสอง จำนวน ได้ เรียกว่าจำนวนอตรรกยะการแสดงผลในรูปทศนิยมจะไม่สิ้นสุดหรือซ้ำกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่จะขยายออกไปตลอดกาลโดยไม่มีการซ้ำ (ดู§ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นทศนิยมที่สิ้นสุดหรือทศนิยมที่ซ้ำกัน⁾ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะดังกล่าวได้แก่√2 และ π [ ^{3 ]}

การแสดงผลด้วยข้อความใดๆ ย่อมมีจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ทศนิยมแบบพิเศษเพื่อแสดงทศนิยมซ้ำ ด้านล่างนี้คือข้อกำหนดในการใช้สัญลักษณ์หลายแบบ แต่ไม่มีแบบใดที่ได้รับการยอมรับอย่างเป็นสากล

• เส้นเชื่อม:ในสหรัฐอเมริกาแคนาดาอินเดียฝรั่งเศสเยอรมนีเดนมาร์กเนเธอร์แลนด์อิตาลีสวิตเซอร์แลนด์สาธารณรัฐเช็กสโลวาเกียสโล^วีเนียชิลีไต้หวันและตุรกีธรรมเนียมปฏิบัติคือการลากเส้นแนวนอน (เส้นเชื่อม) เหนือส่วนที่ซ้ำกัน [ ^{4 ]}
• จุด: ในบางประเทศอิสลาม เช่น บังกลาเทศ มาเลเซีย โมร็อกโก ปากีสถาน ตูนิเซียอิหร่านแอลจีเรียและอียิปต์รวมถึงสหราชอาณาจักรนิวซีแลนด์ออสเตรเลียแอฟริกาใต้ญี่ปุ่นไทยอินเดียเกาหลีใต้สิงคโปร์และสาธารณรัฐประชาชนจีนมีธรรมเนียมที่จะวางจุดไว้เหนือตัวเลขด้านนอกสุดของตัวเลขที่ซ้ำกัน
• วงเล็บ : ในบางส่วนของยุโรปรวมถึงออสเตรียฟินแลนด์นอร์เวย์โปแลนด์รัสเซียและยูเครนตลอดจนเวียดนามและอิสราเอลมี ธรรมเนียมที่จะ ใส่วงเล็บล้อมรอบตัวเลขที่ซ้ำกัน ซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนกับสัญลักษณ์สำหรับ ความไม่แน่นอน หรือการคูณแบบมาตรฐานได้
• ส่วนโค้ง : ในสเปนและบาง ประเทศ ในละตินอเมริกาเช่นอาร์เจนตินาบราซิลและเม็กซิโกการใช้สัญลักษณ์ส่วนโค้งเหนือส่วนที่ซ้ำกันก็เป็นทางเลือกแทนการใช้เส้นเชื่อมและจุดเช่นกัน
• จุดไข่ปลา : โดยทั่วไปแล้ว ทศนิยมซ้ำมักจะแสดงด้วยจุดไข่ปลา (สามจุด เช่น 0.333...) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเริ่มเรียนการเขียนตัวเลขแบบเดิมในโรงเรียน การเขียนแบบนี้ทำให้เกิดความไม่แน่นอนว่าควรจะซ้ำตัวเลขใดบ้าง และแม้กระทั่งว่ามีการซ้ำเกิดขึ้นจริงหรือไม่ เนื่องจากจุดไข่ปลาเหล่านี้ยังใช้กับจำนวนอตรรกยะ ด้วย เช่นπสามารถแสดงได้เป็น 3.14159...

ในภาษาอังกฤษ มีหลายวิธีในการอ่านทศนิยมซ้ำออกเสียง ตัวอย่างเช่น 1.2 34อาจอ่านว่า "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองเกิดซ้ำสามสี่", "หนึ่งจุดสองเกิดซ้ำสามสี่" หรือ "หนึ่งจุดสองเข้าสู่อนันต์สามสี่" เช่นเดียวกัน 11. 1886792452830อาจอ่านว่า "สิบเอ็ดจุดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์", "สิบเอ็ดจุดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์", "สิบเอ็ดจุดเกิดซ้ำหนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์" หรือ "สิบเอ็ดจุดเข้าสู่อนันต์หนึ่งดับเบิลแปดหกเจ็ดเก้าสองสี่ห้าสองแปดสามศูนย์"

ในการแปลงจำนวนตรรกยะที่แสดงในรูปเศษส่วนให้เป็นรูปทศนิยม เราสามารถใช้การหารยาวได้ตัวอย่างเช่น พิจารณาจำนวนตรรกยะ⁠5/74:​

 0.0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500 

เป็นต้น สังเกตว่าในแต่ละขั้นตอนเราจะมีเศษเหลือ เศษเหลือที่แสดงไว้ข้างต้นคือ 56, 42, 50 เมื่อเราได้เศษเหลือเป็น 50 และนำ "0" ลงมา เราจะพบว่าเรากำลังหาร 500 ด้วย 74 ซึ่งเป็นปัญหาเดียวกันกับที่เราเริ่มต้น ดังนั้น ทศนิยมจึงซ้ำกัน: 0.0675 675 675 ....

สำหรับเศษส่วนจำนวนเต็มใดๆเอ/บีเศษที่เหลือในขั้นตอน k สำหรับจำนวนเต็มบวกk ใดๆ คือA × 10 ^k (modulo B )

สำหรับตัวหารใดๆ จะมีเศษเหลือที่แตกต่างกันได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ในตัวอย่างข้างต้น เศษเหลือที่เป็นไปได้ 74 แบบ ได้แก่ 0, 1, 2, ..., 73 หากเศษเหลือเป็น 0 ณ จุดใดๆ ในการหาร การขยายจะสิ้นสุดลง ณ จุดนั้น จากนั้นความยาวของส่วนที่ซ้ำกัน หรือที่เรียกว่า "คาบ" จะถูกกำหนดให้เป็น 0

ถ้าเศษเหลือไม่เคยเป็น 0 เลย กระบวนการหารจะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ และในที่สุดก็จะต้องมีเศษเหลือที่เคยเกิดขึ้นมาก่อนเกิดขึ้น ขั้นตอนต่อไปในการหารจะให้ตัวเลขใหม่ในผลหารและเศษเหลือใหม่เหมือนกับครั้งก่อนที่เศษเหลือเหมือนกัน ดังนั้น การหารครั้งต่อไปจะให้ผลลัพธ์ซ้ำเดิม ลำดับของตัวเลขที่ซ้ำกันเรียกว่า "ตัวตั้งซ้ำ" ซึ่งมีความยาวมากกว่า 0 เรียกว่า "คาบ" ^{[ 5 ]}

ในระบบเลขฐาน 10 เศษส่วนจะมีทศนิยมซ้ำก็ต่อเมื่อเมื่อเขียนในรูปอย่างง่ายที่สุดแล้วตัวส่วนมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แตกต่างจาก 2 และ 5 (ตัวส่วนที่เป็นจำนวนเฉพาะถือว่าเป็นตัวประกอบเฉพาะของตัวมันเอง) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตัวส่วนไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2 ^m 5 ⁿ ได้ โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

จำนวนทศนิยมซ้ำแต่ละจำนวนจะสอดคล้องกับสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และคำตอบเฉพาะของสมการนั้นคือจำนวนตรรกยะ ในตัวอย่างข้างต้นα = 5.8144144144...สอดคล้องกับสมการ

10000 α − 10 α	= 58144.144144... − 58.144144...
9990 α	= 58086
ดังนั้นα	= ⁠58086/9990=​​3227/555⁠

กระบวนการในการหาค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มเหล่านี้มีรายละเอียดดังต่อไปนี้

กำหนดให้เลขทศนิยมซ้ำโดยที่, , และเป็นกลุ่มของตัวเลข ให้เป็นจำนวนหลักของ การคูณด้วย จะแยกกลุ่มที่ซ้ำและกลุ่มที่สิ้นสุดออกจากกัน: ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$${\displaystyle b}$${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

ถ้าทศนิยมสิ้นสุด ( ) การพิสูจน์ก็เสร็จสมบูรณ์^{[ 6 ]}สำหรับตัวเลขให้ โดยที่เป็นกลุ่มตัวเลขสิ้นสุด จากนั้น ${\displaystyle c=0}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

โดยที่แทนหลักที่iและ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

เนื่องจาก[ ^{7 ]​}${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

เนื่องจากเป็นผลรวมของจำนวนเต็ม ( ) และจำนวนตรรกยะ ( ) ดังนั้นจึงเป็นจำนวนตรรกยะด้วย^{[ 8 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y-c}$${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$${\displaystyle x}$

เศษส่วนที่อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดซึ่งมี ตัวส่วนเป็นจำนวน เฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 (เช่นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 10) จะได้ทศนิยมซ้ำเสมอ ความยาวของส่วนที่ซ้ำ (คาบของส่วนทศนิยมซ้ำ) ของ⁠1/พี⁠เท่ากับอันดับของ 10 มอดูล pถ้า 10 เป็นรากปฐมภูมิมอดูล pแล้ว ความยาวส่วนที่ซ้ำกันจะเท่ากับp  − 1 ถ้าไม่ใช่ ความยาวส่วนที่ซ้ำกันจะเป็นตัวประกอบของp  − 1 ผลลัพธ์นี้สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ซึ่งกล่าวว่า10 ^{p −1} ≡ 1 ( mod p )

รากดิจิทัลฐาน 10 ของตัวซ้ำของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะใดๆ ที่มากกว่า 5 คือ 9 ^{[ 9 ]}

ถ้าความยาวซ้ำของ⁠1/พีถ้าจำนวนเฉพาะpเท่ากับp  − 1 แล้ว ตัวเลขที่ซ้ำกันซึ่งแสดงในรูปจำนวนเต็ม จะเรียกว่าจำนวน วัฏจักร

ตัวอย่างของเศษส่วนที่อยู่ในกลุ่มนี้ ได้แก่:

• ⁠1/7= 0.142857 , ตัวเลขซ้ำ 6 ตัว
• ⁠1/17= 0.0588235294117647 , ตัวเลขซ้ำ 16 ตัว
• ⁠1/19= 0.052631578947368421 , ตัวเลขซ้ำ 18 ตัว
• ⁠1/23= 0.0434782608695652173913 , ตัวเลขซ้ำ 22 ตัว
• ⁠1/29= 0.0344827586206896551724137931 , ตัวเลขซ้ำ 28 ตัว
• ⁠1/47= 0.0212765957446808510638297872340425531914893617 , ตัวเลขซ้ำ 46 ตัว
• ⁠1/59= 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , ตัวเลขซ้ำ 58 ตัว
• ⁠1/61= 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , ตัวเลขซ้ำ 60 ตัว
• ⁠1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , ตัวเลขซ้ำ 96 ตัว

รายการนี้สามารถขยายต่อไปได้อีกเพื่อรวมถึงเศษส่วนด้วย1/109, ⁠​1/113, ⁠​1/131, ⁠​1/149, ⁠​1/167, ⁠​1/179, ⁠​1/181, ⁠​1/193, ⁠​1/223, ⁠​1/229เป็นต้น (ลำดับA001913ในOEIS )

ทุก จำนวนทวีคูณ แท้ของจำนวนวัฏจักร (กล่าวคือ จำนวนทวีคูณที่มีจำนวนหลักเท่ากัน) ล้วนเป็นการหมุน:

• ⁠1/7= 1 × 0.142857 = 0.142857
• ⁠2/7= 2 × 0.142857 = 0.285714
• ⁠3/7= 3 × 0.142857 = 0.428571
• ⁠4/7= 4 × 0.142857 = 0.571428
• ⁠5/7= 5 × 0.142857 = 0.714285
• ⁠6/7= 6 × 0.142857 = 0.857142

สาเหตุของพฤติกรรมที่เป็นวัฏจักรนั้นเห็นได้ชัดจากแบบฝึกหัดทางคณิตศาสตร์เรื่องการหารยาวของ⁠1/7:เศษที่เหลือจากการเรียงลำดับคือลำดับวัฏจักร{1, 3, 2, 6, 4, 5}ดูบทความ142,857สำหรับคุณสมบัติเพิ่มเติมของจำนวนวัฏจักรนี้

เศษส่วนที่เป็นวัฏจักรจะมีทศนิยมซ้ำที่มีความยาวเป็นเลขคู่ซึ่งหารลงตัวเป็นสองลำดับใน รูปแบบ ส่วนเติมเต็มเก้าตัวอย่างเช่น⁠1/7เริ่ม ต้นด้วย '142' และตามด้วย '857' ในขณะที่6/7(โดยการหมุน) เริ่มต้นด้วย '857' ตามด้วย เลขเสริมเก้า ของมัน '142'

การหมุนเวียนของตัวเลขที่ซ้ำกันในจำนวนวัฏจักรจะเกิดขึ้นในลักษณะที่ตัวเลขที่ซ้ำกันแต่ละตัวถัดไปจะมีค่ามากกว่าตัวก่อนหน้าเสมอ ตัวอย่างเช่น ในลำดับข้างต้น เราจะเห็นว่า 0.142857... < 0.285714... < 0.428571... < 0.571428... < 0.714285... < 0.857142.... สำหรับเศษส่วนวัฏจักรที่มีตัวเลขที่ซ้ำกันยาวๆ วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถคาดเดาผลลัพธ์ของการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ n ใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ตราบใดที่เรารู้ตัวเลขที่ซ้ำกัน

จำนวนเฉพาะแท้คือ จำนวนเฉพาะpที่ลงท้ายด้วยเลข 1 ในฐาน 10 และส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ p ในฐาน 10 นั้นมีส่วนที่ซ้ำกันยาวเท่ากับp  − 1 ในจำนวนเฉพาะดังกล่าว เลข 0, 1, ..., 9 จะปรากฏในลำดับที่ซ้ำกันเป็นจำนวนครั้งเท่ากันกับเลขอื่นๆ (กล่าวคือ⁠พี  − 1/10ครั้ง ) ได้แก่: ^{[ 10 ] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (ลำดับA073761ในOEIS )

จำนวนเฉพาะจะเป็นจำนวนเฉพาะแท้ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนเฉพาะสมบูรณ์และสมมูลกับ 1 mod 10 เท่านั้น

ถ้าจำนวนเฉพาะpเป็นทั้งจำนวนเฉพาะที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์และจำนวนเฉพาะที่ปลอดภัยแล้ว⁠1/พีจะสร้างกระแสตัวเลขสุ่มเทียมp  − 1 ตัว ตัวเลขเฉพาะเหล่านั้นคือ

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (ลำดับA000353ในOEIS )

ส่วนกลับของจำนวนเฉพาะบางจำนวนที่ไม่ก่อให้เกิดจำนวนวัฏจักร ได้แก่:

• ⁠1/3= 0.3 ซึ่งมีคาบ (ความยาวของการซ้ำ) เท่ากับ1
• ⁠1/11= 0.09 ซึ่งมีคาบเวลาเท่ากับสอง
• ⁠1/13= 0.076923 ซึ่งมีคาบ เวลาหก
• ⁠1/31= 0.032258064516129 ซึ่งมีคาบ เวลา 15
• ⁠1/37= 0.027 ซึ่งมีคาบเท่ากับสาม
• ⁠1/41= 0.02439 ซึ่งมีคาบเวลาเท่ากับห้า
• ⁠1/43= 0.023255813953488372093 ซึ่งมีคาบ เวลา 21
• ⁠1/53= 0.0188679245283 ซึ่งมีคาบเท่ากับ13
• ⁠1/67= 0.014925373134328358208955223880597 ซึ่งมีคาบ เวลา 33
• ⁠1/71= 0. 01408450704225352112676058338028169ซึ่งมีคาบเวลา 35
• ⁠1/73= 0.01369863 ซึ่งมีคาบแปด
• ⁠1/79= 0.0126582278481 ซึ่งมีคาบเท่ากับ13
• ⁠1/83= 0. 01204819277108433734939759036144578313253ซึ่งมีคาบเวลา 41
• ⁠1/89= 0. 01123595505617977528089887640449438202247191ซึ่งมีคาบเวลา 44

(ลำดับA006559ในOEIS )

เหตุผลก็คือ 3 เป็นตัวหารของ 9, 11 เป็นตัวหารของ 99, 41 เป็นตัวหารของ 99999 เป็นต้น เพื่อหาคาบของ⁠1/พีเราสามารถตรวจสอบได้ว่าจำนวนเฉพาะp หารจำนวน 999... 999บางจำนวนที่จำนวนหลักของมันหารp  − 1 ลงตัวหรือไม่ เนื่องจากคาบของจำนวนหลักไม่เคยมากกว่าp  − 1 เราจึงสามารถหาค่านี้ได้โดยการคำนวณ10 ^{p −1} − 1/พีตัวอย่างเช่น สำหรับ 11 เราจะได้

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

จากนั้นตรวจสอบพบตัวเลขที่ซ้ำกัน 09 และช่วงเวลา 2

ส่วนกลับของจำนวนเฉพาะเหล่านั้นสามารถเชื่อมโยงกับลำดับทศนิยมซ้ำหลายลำดับได้ ตัวอย่างเช่น ตัวคูณของ⁠1/13สามารถแบ่งออกเป็นสองชุด โดยมีจำนวนครั้งที่ซ้ำกันต่างกัน ชุดแรกคือ:

• ⁠1/13= 0.076923​
• ⁠10/13= 0.769230​
• ⁠9/13= 0.692307​
• ⁠12/13= 0.923076​
• ⁠3/13= 0.230769​
• ⁠4/13= 0.307692​

โดยส่วนที่ซ้ำกันของแต่ละเศษส่วนเป็นการจัดเรียงแบบวนซ้ำของ 076923 ชุดที่สองคือ:

• ⁠2/13= 0.153846​
• ⁠7/13= 0.538461​
• ⁠5/13= 0.384615​
• ⁠11/13= 0.846153​
• ⁠6/13= 0.461538​
• ⁠8/13= 0.615384​

โดยส่วนที่ซ้ำกันของแต่ละเศษส่วนเป็นการจัดเรียงใหม่แบบวนรอบของ 153846

โดยทั่วไป เซตของผลคูณแท้ของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะpประกอบด้วย เซตย่อย nเซต แต่ละเซตย่อยมีความยาวส่วนที่ซ้ำกัน  kโดยที่nk  =  p  − 1

สำหรับจำนวนเต็มn ใดๆ ความยาวL ( n ) ของส่วนทศนิยมซ้ำของ⁠1/nหารφ ( n ) โดยที่φคือฟังก์ชันโทเทียนต์ ความ ยาวเท่ากับφ ( n )ก็ต่อเมื่อ 10 เป็นรากปฐมภูมิโมดูลัส n ^{[ 11 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะได้ว่าL ( p ) = p − 1 ก็ต่อเมื่อpเป็นจำนวนเฉพาะและ 10 เป็นรากปฐมภูมิมอดูโลpจากนั้น การขยายทศนิยมของ⁠n/พีสำหรับn = 1, 2, ..., p  − 1 จำนวนเหล่านี้ทั้งหมดมีคาบp  − 1 และแตกต่างกันเพียงแค่การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร จำนวนp ดัง กล่าวเรียกว่า จำนวนเฉพาะที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์ ( full repetend primes )

ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 การแสดงผลในรูปทศนิยมของเศษส่วน⁠1/หน้า²ซ้ำ :

⁠1/49⁠ = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

ช่วงเวลา (ความยาวซ้ำ) L (49) จะต้องเป็นตัวประกอบของλ (49) = 42 โดยที่λ ( n ) เรียกว่าฟังก์ชันคาร์ไมเคิลซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของคาร์ไมเคิลที่ระบุว่า ถ้าnเป็นจำนวนเต็มบวกλ ( n ) จะเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดmเช่นนั้น

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

สำหรับจำนวนเต็มa ทุกตัว ที่เป็น จำนวน เฉพาะ สัมพัทธ์กับn

ช่วงเวลาของ⁠1/หน้า²โดยปกติจะเป็นpT _pโดยที่T _pคือคาบของ1/พีมีจำนวนเฉพาะที่ทราบกันอยู่ 3 จำนวนที่ไม่เป็นเช่นนั้น และสำหรับจำนวนเฉพาะเหล่านั้นคาบของ1/หน้า²เท่ากับคาบเวลาของ1/พีเนื่องจากp ²หาร 10 ^{p −1} −1 ลงตัว จำนวนเฉพาะทั้งสามนี้คือ 3, 487 และ 56598313 ( ลำดับA045616ในOEIS ) ^{[ 12 ]}

ในทำนองเดียวกัน ระยะเวลาของ⁠1/พี^เคโดยปกติจะเป็นp ^{k –1} T _p

ถ้าpและqเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 การแสดงผลในรูปทศนิยมของเศษส่วน⁠1/พีคิวซ้ำ กันตัวอย่างเช่น1/119:​

119 = 7 × 17

แล (7 × 17) = ค.ร. ( แล (7), แล (17)) = ค.ค.(6, 16) = 48,

โดยที่ LCM หมายถึงตัวคูณร่วมน้อย ที่สุด

ช่วงเวลาTของ⁠1/พีคิว⁠เป็นตัวประกอบของλ ( pq ) และในกรณีนี้คือ 48:

⁠1/119⁠ = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

ช่วงเวลาTของ⁠1/พีคิวคือ LCM( T _p ,  T _q ) โดยที่T _pคือคาบของ⁠1/พีและTqคือ_คาบของ​1/q⁠ .

ถ้าp , q , rฯลฯ เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 และk , ℓ , mฯลฯ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

เป็นทศนิยมซ้ำที่มีคาบเท่ากับ

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

โดยที่T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... คือคาบของทศนิยมซ้ำตามลำดับ1/พี^เค, ⁠​1/q ^ℓ, ⁠​1/อาร์^เอ็ม... ตามที่ได้นิยามไว้ข้าง ต้น

จำนวนเต็มที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 10 แต่มีตัวประกอบเฉพาะอื่นที่ไม่ใช่ 2 หรือ 5 จะมีส่วนกลับที่เป็นจำนวนคาบในที่สุด แต่จะมีลำดับตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันนำหน้าส่วนที่ซ้ำกัน ส่วนกลับสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

โดยที่aและbไม่เป็นศูนย์ทั้งคู่

เศษส่วนนี้สามารถแสดงได้ในรูปแบบอื่นดังนี้:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

ถ้าa > bหรือเป็น

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

ถ้าb > aหรือเป็น

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

ถ้าa = b​

เลขฐานสิบมี:

• ค่า เริ่มต้นชั่วคราวที่มีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมสูงสุด ( a ,  b ) หลัก โดยบางหลักหรือทั้งหมดในค่าเริ่มต้นชั่วคราวนี้อาจเป็นศูนย์ก็ได้
• ส่วนที่ซ้ำกันในภายหลังนั้นเหมือนกับส่วนที่ซ้ำกันสำหรับเศษส่วน1/พี^เคคิว^ℓ ⋯⁠ .

ตัวอย่างเช่น1/28= 0.03 571428 :

• a = 2, b = 0 และปัจจัยอื่นๆp ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• มีตัวเลขเริ่มต้นที่ไม่ซ้ำกัน 2 หลัก คือ 03 และ
• มีตัวเลขซ้ำกัน 6 ตัว คือ 571428 ซึ่งเท่ากับจำนวน⁠1/7มี .

เมื่อกำหนดทศนิยมซ้ำมาให้ เราสามารถคำนวณเศษส่วนที่ทำให้เกิดทศนิยมซ้ำนั้นได้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle =0.333333\ldots }$
${\displaystyle 10x}$	${\displaystyle =3.333333\ldots }$	(คูณทั้งสองข้างของเส้นตรงด้านบนด้วย 10)
${\displaystyle 9x}$	${\displaystyle =3}$	(ลบบรรทัดแรกออกจากบรรทัดที่สอง)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle ={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}}$	(ลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด)

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle =\ \ \ \ 0.836363636\ldots }$
${\displaystyle 10x}$	${\displaystyle =\ \ \ \ 8.36363636\ldots }$	(เลื่อนจุดทศนิยมไปที่ต้นการทำซ้ำ = เลื่อนไป 1 ตำแหน่ง = คูณด้วย 10)
${\displaystyle 1000x}$	${\displaystyle =836.36363636\ldots }$	(นำส่วนที่ซ้ำกันครั้งที่ 2 มาเทียบกับส่วนที่ซ้ำกันครั้งแรกด้านบน = เลื่อนไป 2 ตำแหน่ง = คูณด้วย 100)
${\displaystyle 990x}$	${\displaystyle =828}$	(ลบเพื่อกำจัดทศนิยม)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle ={\frac {828}{990}}={\frac {18\cdot 46}{18\cdot 55}}={\frac {46}{55}}}$	(ลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด)

ขั้นตอนด้านล่างนี้สามารถนำไปใช้ได้โดยเฉพาะในกรณีที่ตัวเลขที่ซ้ำกันมีnหลัก ซึ่งทุกหลักเป็น 0 ยกเว้นหลักสุดท้ายที่เป็น 1 ตัวอย่างเช่น สำหรับn  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

ดังนั้น ทศนิยมซ้ำตัวนี้จึงสอดคล้องกับเศษส่วน⁠1/10 ⁿ  − 1โดย ที่ตัวส่วนคือจำนวนที่เขียนว่าn 9s เมื่อรู้เพียงเท่านี้ ก็สามารถแสดงทศนิยมซ้ำทั่วไปในรูปเศษส่วนได้โดยไม่ต้องแก้สมการ ตัวอย่างเช่น อาจใช้เหตุผลว่า:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

หรือ

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

สามารถหาได้สูตรทั่วไปที่แสดงทศนิยมซ้ำที่มี ช่วง (ความยาวส่วนที่ซ้ำ) nหลัก โดยเริ่มหลังจุดทศนิยมทันที ในรูปของเศษส่วน:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

กล่าวโดยละเอียดแล้ว จะได้กรณีดังต่อไปนี้:

ถ้าทศนิยมซ้ำอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และบล็อกทศนิยมซ้ำมี ความยาว nหลัก โดยหลักแรกปรากฏอยู่หลังจุดทศนิยมทันที เศษส่วน (ไม่จำเป็นต้องลดทอน) จะเท่ากับจำนวนเต็มที่แสดงด้วย บล็อก nหลัก หารด้วยจำนวนเต็มที่แสดงด้วยเลข 9 จำนวน nตัว ตัวอย่างเช่น

• 0.444444... = ⁠4/9เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 4 (บล็อกเลข 1 หลัก)
• 0.565656... = ⁠56/99เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 56 (บล็อก 2 หลัก)
• 0.012012... = ⁠12/999เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 012 (บล็อก 3 หลัก) จึงลดรูปต่อไปเป็น⁠4/333⁠ .
• 0.999999... = ⁠9/9= 1 เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 9 (ซึ่งเป็นบล็อกหลักเดียวเช่นกัน)

ถ้าทศนิยมซ้ำเป็นดังข้างต้น ยกเว้นว่ามี เลข 0 เพิ่มอีก kตัวอยู่ระหว่างจุดทศนิยมกับ กลุ่มตัวเลข n หลักที่ซ้ำกัน ก็สามารถเพิ่มเลข 0 อีก k ตัวต่อท้าย เลข 9 หลักที่เป็นตัวส่วนได้ (และเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เศษส่วนนั้นก็สามารถลดรูปได้ในภายหลัง) ตัวอย่างเช่น

• 0.000444... = ⁠4/9000เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันมี 4 บล็อก และบล็อกนี้มีเลขศูนย์นำหน้า 3 ตัว
• 0.005656... = ⁠56/9900เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 56 และมีเลขศูนย์ 2 ตัวนำหน้า
• 0.00012012... = ⁠12/99900=​​1/8325เนื่องจากบล็อกที่ซ้ำกันคือ 012 และมีเลขศูนย์ 2 ตัวนำหน้า

ทศนิยมซ้ำใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่อธิบายไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้เป็นผลรวมของทศนิยมรู้จบและทศนิยมซ้ำประเภทใดประเภทหนึ่งในสองประเภทข้างต้น (จริงๆ แล้วประเภทแรกก็เพียงพอแล้ว แต่ทศนิยมรู้จบอาจต้องเป็นจำนวนลบ) ตัวอย่างเช่น

• 1.23444... = 1.23 + 0.00444... = ⁠123/100+​​4/900=​​1107/900+​​4/900=​​1111/900⁠
  • หรืออีกวิธีหนึ่ง 1.23444... = 0.79 + 0.44444... = ⁠79/100+​​4/9=​​711/900+​​400/900=​​1111/900⁠
• 0.3789789... = 0.3 + 0.0789789... = ⁠3/10+​​789/9990=​​2997/9990+​​789/9990=​​3786/9990=​​631/1665⁠
  • หรืออีกวิธีหนึ่ง 0.3789789... = −0.6 + 0.9789789... = − ⁠6/10⁠ + 978/999 = − ⁠5994/9990+​​9780/9990=​​3786/9990=​​631/1665⁠

วิธีที่เร็วกว่านั้นคือการละเลยจุดทศนิยมไปเลย แล้วเขียนแบบนี้

• 1.23444... = ⁠1234 − 123/900=​​1111/900(ตัวส่วนมีเลข 9 หนึ่งตัวและเลข 0 สองตัว เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำกันหนึ่งตัว และมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันสองตัวหลังจุดทศนิยม)
• 0.3789789... = ⁠3789 − 3/9990=​​3786/9990(ตัวส่วนมีเลข 9 สามตัวและเลข 0 หนึ่งตัว เนื่องจากมีตัวเลขซ้ำกันสามตัว และมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตัวหลังจุดทศนิยม)

ดังนั้น จำนวนทศนิยมซ้ำใดๆ ที่มีคาบnและ มี kหลักหลังจุดทศนิยมที่ไม่ใช่ส่วนที่ซ้ำกัน สามารถเขียนได้เป็นเศษส่วน (ไม่จำเป็นต้องลดรูป) ที่มีตัวส่วนเป็น (10 ⁿ  − 1) 10 ^k

ในทางกลับ กันคาบของทศนิยมซ้ำของเศษส่วนค/งจะเป็น (อย่างมากที่สุด) จำนวนnที่ เล็กที่สุด ที่ทำให้ 10 ⁿ − 1 หารด้วย d  ลงตัว

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน⁠2/7⁠มีd = 7 และค่าk ที่เล็กที่สุด ที่ทำให้ 10 ^k  − 1 หารด้วย 7 ลงตัวคือk = 6 เนื่องจาก 999999 = 7 × 142857 คาบของเศษส่วน⁠2/7ดังนั้น ⁠จึงเท่ากับ 6.

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการบีอัดรูปแบบหนึ่งของทางลัดข้างต้น โดยที่แทนตัวเลขส่วนจำนวนเต็มของเลขทศนิยม (ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยม) ประกอบเป็นสตริงของตัวเลขช่วงก่อนและความยาวของมัน และเป็นสตริงของตัวเลขที่ซ้ำกัน (ช่วง) ที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \#\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \#\mathbf {P} }$

ในเศษส่วนที่สร้างขึ้น ตัวเลขหลักหนึ่งจะซ้ำกันหลายครั้ง และตัวเลขหลักหนึ่งจะซ้ำกันหลายครั้ง ${\displaystyle 9}$${\displaystyle \#\mathbf {P} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

โปรดทราบว่า หากไม่มี ส่วนที่ เป็นจำนวนเต็มในทศนิยม ตัวเลขดังกล่าวจะถูกแทนด้วยศูนย์ ซึ่งอยู่ทางซ้ายของตัวเลขอื่นๆ จึงจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย และสามารถละเว้นได้ในการคำนวณฟังก์ชัน ก่อกำเนิด${\displaystyle \mathbf {I} }$

ตัวอย่าง:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

สัญลักษณ์ในตัวอย่างข้างต้นแสดงถึงการไม่มีตัวเลขบางส่วนในทศนิยม และด้วยเหตุนี้จึงหมายถึงการไม่มีตัวเลขบางส่วนในเศษส่วนที่สร้างขึ้นด้วย ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

ทศนิยมซ้ำสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมอนันต์ กล่าวคือ ทศนิยมซ้ำสามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมของจำนวนตรรกยะจำนวนอนันต์ ยกตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

อนุกรมข้างต้นเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีพจน์แรกเป็น⁠1/10และตัวประกอบร่วม1/10เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของตัวประกอบร่วมมีค่าน้อยกว่า 1 เราจึงกล่าวได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าและสามารถหาค่าที่แน่นอนในรูปเศษส่วนได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ โดยที่a คือพจน์แรกของอนุกรม และrคือตัวประกอบร่วม

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

พฤติกรรมแบบวัฏจักรของทศนิยมซ้ำในการคูณยังนำไปสู่การสร้างจำนวนเต็มที่สลับตำแหน่งกันแบบวัฏจักรเมื่อคูณด้วยจำนวนบางจำนวน ตัวอย่างเช่น102564 × 4 = 410256 102564 คือส่วนที่ซ้ำกันของ⁠4/39และ 410256 ส่วนที่ซ้ำกันของ16/39⁠ .

คุณสมบัติต่างๆ ของความยาวที่ซ้ำกัน (คาบ) ได้รับการกำหนดโดย Mitchell ^{[ 13 ]}และ Dickson ^{[ 14 ]}

• ช่วงเวลาของ⁠1/เคสำหรับจำนวนเต็มk ค่าจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ  k  − 1 เสมอ
• ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะ คาบของ⁠1/พีหารp  − 1 ลงตัว
• ถ้าkเป็นจำนวนประกอบ คาบของ⁠1/เค⁠น้อยกว่าk  − 1 อย่างแน่นอน
• ช่วงเวลาของ⁠ค/เคสำหรับc ที่ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับkจะเท่ากับคาบของ1/เค⁠ .
• ถ้าk  = 2 ^a ·5 ^b nโดยที่n  > 1 และnไม่หารลงตัวด้วย 2 หรือ 5 แล้ว ความยาวของการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวของ⁠1/เคคือค่าสูงสุดของ ( a , b )  และคาบเท่ากับrโดยที่rคือลำดับการคูณของ 10 mod n ซึ่งก็คือจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่ทำให้10 ^r ≡ 1 (mod n )
• ถ้าp , p′ , p″ ,... เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน แล้วคาบของ⁠1/พีพี' พี″ ⋯เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของคาบเวลาของ1/พี, ⁠​1/พี', ⁠​1/พี″⁠ ,....
• ถ้าkและk′ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วมกันอื่นนอกจาก 2 หรือ 5 แล้วคาบของ⁠1/kk′เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของคาบเวลาของ1/เคและ​​1/k′⁠ .
• สำหรับจำนวนเฉพาะpถ้า

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

สำหรับบางค่าmแต่

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

ดังนั้นสำหรับc  ≥ 0 เราจะได้ว่า

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะแท้ที่ลงท้ายด้วย 1 นั่นคือ ถ้าส่วนที่ซ้ำกันของ⁠1/พีถ้าเป็นจำนวนวัฏจักรที่มีความยาวp  − 1 และp = 10 h  + 1 สำหรับค่าh บางค่า แล้วตัวเลข 0, 1, ..., 9 จะปรากฏในส่วนที่ซ้ำกันพอดีh =  ⁠พี  − 1/10ครั้ง​

สำหรับคุณสมบัติอื่นๆ ของส่วนที่ซ้ำกัน โปรดดูที่^{[ 15 ]}

ลักษณะต่างๆ ของทศนิยมซ้ำนั้นสามารถนำไปใช้กับการแสดงตัวเลขในฐานจำนวนเต็มอื่นๆ ได้เช่นกัน ไม่ใช่แค่ฐาน 10 เท่านั้น:

• จำนวนจริงทุก จำนวน สามารถแสดงได้โดยใช้ส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม ตามด้วยจุดทศนิยม (ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของจุดทศนิยมไปยังระบบที่ไม่ใช่ทศนิยม) ตามด้วยตัวเลขจำนวนจำกัดหรืออนันต์
• ถ้าฐานเป็นจำนวนเต็ม ลำดับ สิ้นสุดย่อมแสดงถึงจำนวนตรรกยะอย่างชัดเจน
• จำนวนตรรกยะจะมีลำดับสิ้นสุดก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวส่วนของรูปเศษส่วนที่ลดรูปอย่างสมบูรณ์แล้วนั้น เป็นตัวประกอบของฐานด้วย จำนวนเหล่านี้ประกอบกันเป็นเซตหนาแน่นในQและR
• ถ้าหากระบบตัวเลขตำแหน่งเป็นระบบมาตรฐาน นั่นหมายความว่ามันมีฐาน

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

รวมกับชุดตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

โดยที่r  := | b | , d _r  := d ₁ + r − 1และ0 ∈ Dแล้ว ลำดับที่สิ้นสุดจะเทียบเท่ากับลำดับเดียวกันที่มี ส่วนที่ซ้ำกันแบบ ไม่สิ้นสุดซึ่งประกอบด้วยเลข 0 อย่างเห็นได้ชัด ถ้าฐานเป็นบวก จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมลำดับจากลำดับพจนานุกรมของสตริงอนันต์ด้านขวาเหนือตัวอักษรDไปยังช่วงปิดบางช่วงของจำนวนจริง ซึ่งแมปสตริง0. A ₁ A ₂ ... A _n d _bและ0. A ₁ A ₂ ...( A _n +1) d ₁โดยที่A _i ∈ DและA _n ≠ d _bไปยังจำนวนจริงเดียวกัน – และไม่มีภาพซ้ำกันอื่น ๆ ในระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น มี 0. 9  = 1. 0  = 1; ใน ระบบ เลขฐานสามที่สมดุลมี 0. 1  = 1. T  =  ⁠1/2⁠ .

• จำนวนตรรกยะจะมีลำดับที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุดซึ่งมีความยาวจำกัดlถ้าตัวส่วนของเศษส่วนที่ลดรูปแล้วมีตัวประกอบเฉพาะที่ไม่ใช่ตัวประกอบของฐาน ถ้าqเป็นตัวประกอบสูงสุดของตัวส่วนที่ลดรูปแล้วซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับฐานlคือเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดที่qหารb ^ℓ − 1ลงตัว มันคืออันดับการคูณord _q ( b )ของชั้นเศษเหลือb mod qซึ่งเป็นตัวหารของฟังก์ชันคาร์ไมเคิลλ ( q )ซึ่งมีค่าน้อยกว่าqลำดับที่ซ้ำกันจะนำหน้าด้วยค่าชั่วคราวที่มีความยาวจำกัด ถ้าเศษส่วนที่ลดรูปแล้วยังมีตัวประกอบเฉพาะร่วมกับฐานด้วย ลำดับที่ซ้ำกัน

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

แสดงถึงเศษส่วน

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• จำนวนอตรรกยะมีตัวแทนที่มีความยาวอนันต์ ซึ่งไม่ใช่ลำดับที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุดที่มีความยาวจำกัดจากจุดใดๆ ก็ตาม

ตัวอย่างเช่น ในระบบเลขฐานสิบสอง ⁠1/2= 0.6 ,1/3= 0.4 ,1/4= 0.3 และ1/6= 0.2 ทั้งหมดสิ้นสุด;1/5= 0.2497 ซ้ำ กันโดยมีคาบความยาว 4 ซึ่งแตกต่างจากการขยายทศนิยมที่เทียบเท่ากันคือ 0.2 ;1/7= 0. 186A35มีคาบที่ 6 ในระบบเลขฐานสิบสอง เช่นเดียวกับในระบบเลขฐานสิบ

ถ้าbเป็นฐานจำนวนเต็มและkเป็นจำนวนเต็มแล้ว

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

ตัวอย่างเช่น 1/7 ในระบบเลขฐานสิบสอง: $${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

ซึ่งคือ0.186A35 _ฐาน 12 10 _ฐาน 12 คือ 12 _ฐาน 10 10² _ฐาน¹²คือ 144 _{ฐาน 10} 21 _{ฐาน 12}คือ 25 _ฐาน 10 A5 _{ฐาน 12}คือ 125 _ฐาน 10

สำหรับจำนวนตรรกยะ0 < ⁠พี/qสำหรับกรณี ที่ ⁠ < 1 (และฐาน b ∈ N _{> 1} ) จะมีอัลกอริทึมต่อไปนี้ที่สร้างตัวเลขซ้ำพร้อมกับความยาวของตัวเลขซ้ำนั้น:

ฟังก์ชันb_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // จนถึงหลักที่มีค่า b–1 begin s = "" ; // สตริงของตัวเลขpos = 0 ; // ตำแหน่งทั้งหมดอยู่ทางขวาของจุดทศนิยมwhile not defined ( occurs [ p ]) do occurs [ p ] = pos ; // ตำแหน่งของหลักที่มีเศษเหลือ p bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // ดัชนี z ของตัวเลขภายใน: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s . substring ( digits , z , 1 ) ; // เพิ่มอักขระของตัวเลขpos += 1 ; end while L = pos - occurs [ p ] ; // ความยาวของส่วนที่ซ้ำ (ซึ่งน้อยกว่า q) // ทำเครื่องหมายตัวเลขของส่วนที่ซ้ำด้วยเส้นเชื่อม: for i from occurs [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 )) ; end for return ( s ) ; endการทำงาน

บรรทัดแรกที่ไฮไลต์ไว้จะคำนวณ ค่า ตัวเลขz

บรรทัดถัดไปจะคำนวณเศษเหลือใหม่p′ของการหารมอดูลัสตัวส่วนqซึ่งเป็นผลมาจากฟังก์ชันพื้นfloorเราจึงได้

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

และ

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

เนื่องจากเศษเหลือ pทั้งหมดเหล่านี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่าqดังนั้นจึงมีเศษเหลือได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ซึ่งส่งผลให้เศษเหลือเหล่านี้ต้องปรากฏซ้ำในwhileลูป การเกิดซ้ำดังกล่าวถูกตรวจจับโดยอาร์เรย์แบบเชื่อมโยงoccursตัวเลขใหม่zถูกสร้างขึ้นในแถวสีเหลือง โดยที่pเป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ค่าคงที่เพียงตัวเดียว ความยาวLของตัวเลขที่ซ้ำกันเท่ากับจำนวนของเศษเหลือ (ดูเพิ่มเติมในหัวข้อจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมซ้ำ )

ดังนั้นเศษส่วน จึง เป็นเศษส่วนหน่วย1/nและℓ ₁₀คือความยาวของส่วนที่ซ้ำกัน (ในเลขฐานสิบ )

ความยาวℓ ₁₀ ( n ) ของตัวเลขทศนิยมซ้ำของ⁠1/nโดยที่n = 1, 2, 3, ... คือ:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0... (ลำดับA051626ในOEIS )

เพื่อเปรียบเทียบ ความยาวℓ ₂ ( n ) ของส่วน ที่ซ้ำกัน แบบไบนารีของเศษส่วน⁠1/nโดยที่n = 1, 2, 3, ... คือ:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (= A007733 [ n ], ถ้าnไม่ใช่กำลังของ 2 มิฉะนั้น = 0)

ตัวเลขทศนิยมซ้ำของ⁠1/nโดยที่n = 1, 2, 3, ... คือ:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (ลำดับA036275ในOEIS )

ความยาวซ้ำทศนิยมของ⁠1/พีโดยที่p = 2, 3, 5, ... ( จำนวนเฉพาะลำดับที่ n ) คือ:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (ลำดับA002371ในOEIS )

จำนวนเฉพาะp ที่น้อยที่สุด ซึ่ง⁠1/พีมีความยาวการซ้ำแบบทศนิยมnโดยที่n = 1, 2, 3, ... คือ:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 111111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 1676321, 83, 127, 173... (ลำดับA007138ในOEIS )

จำนวนเฉพาะp ที่น้อยที่สุด ซึ่ง⁠เค/พีมี วัฏจักรที่แตกต่างกัน nวัฏจักร ( 1 ≤ k ≤ p −1 ) โดยที่n = 1, 2, 3, ... คือ:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (ลำดับA054471ในOEIS )

• การแสดงผลแบบทศนิยม
• หลักการคืนดีเต็มรูปแบบ
• ทฤษฎีบทของมิดี้
• จำนวนปรสิต
• ศูนย์ท้าย
• ไพรม์ที่เป็นเอกลักษณ์
• 0.999... , ทศนิยมซ้ำเท่ากับหนึ่ง
• หลักการรังนกพิราบ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทศนิยมซ้ำ" . MathWorld .