ในทางคณิตศาสตร์แคลคูลัสเชิงเวลาเป็นการรวมทฤษฎีสมการเชิงผลต่างเข้ากับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์โดยรวมแคลคูลัสเชิงปริพันธ์และเชิงอนุพันธ์ เข้า กับแคลคูลัสของผลต่างจำกัดและนำเสนอรูปแบบสำหรับการศึกษาระบบไฮบริดมีแอปพลิเคชันในทุกสาขาที่ต้องการการสร้างแบบจำลอง ข้อมูล แบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง พร้อมกัน แคลคูลัสเชิงเวลา ให้นิยามใหม่ของอนุพันธ์โดยที่ถ้าเราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดบนจำนวนจริงนิยามนั้นจะเทียบเท่ากับการหาอนุพันธ์แบบมาตรฐาน แต่ถ้าเราใช้ฟังก์ชันที่กำหนดบนจำนวนเต็ม นิยามนั้นจะเทียบเท่ากับตัวดำเนินการ ผลต่างไปข้างหน้า

แคลคูลัสมาตราเวลาได้รับการแนะนำในปี 1988 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันStefan Hilger [ ^{1 ] อย่างไรก็ตาม}แนวคิดที่คล้ายกันนี้เคยถูกนำมาใช้ก่อนหน้านี้และย้อนกลับไปอย่างน้อยถึงการแนะนำอินทิกรัล Riemann–Stieltjesซึ่งรวมผลรวมและอินทิกรัลเข้าด้วยกัน

ผลลัพธ์หลายอย่างเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามารถนำไปใช้กับผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับสมการเชิงผลต่างได้อย่างง่ายดาย ในขณะที่ผลลัพธ์อื่นๆ ดูเหมือนจะแตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากผลลัพธ์ต่อเนื่อง^{[ 2 ]} การศึกษาสมการไดนามิกบนมาตราเวลาเผยให้เห็นความคลาดเคลื่อนดังกล่าว และช่วยหลีกเลี่ยงการพิสูจน์ผลลัพธ์สองครั้ง—ครั้งหนึ่งสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์และอีกครั้งสำหรับสมการเชิงผลต่าง แนวคิดทั่วไปคือการพิสูจน์ผลลัพธ์สำหรับสมการไดนามิกที่โดเมนของฟังก์ชัน ที่ไม่ทราบค่า คือสิ่งที่เรียกว่ามาตราเวลา (หรือที่รู้จักกันในชื่อเซตเวลา) ซึ่งอาจเป็นเซตย่อยปิดใดๆ ของจำนวนจริง ด้วยวิธีนี้ ผลลัพธ์ไม่เพียงแต่ใช้กับเซตของจำนวนจริงหรือเซตของจำนวนเต็มเท่านั้นแต่ยังใช้กับมาตราเวลาที่ทั่วไปกว่า เช่นเซตแคนเตอร์

ตัวอย่าง แคลคูลัสบนมาตราเวลาที่นิยมใช้มากที่สุดสามอย่าง ได้แก่ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์แคลคูลัสเชิงผลต่างและแคลคูลัสควอนตัม สมการพลวัตบนมาตราเวลามีศักยภาพในการประยุกต์ใช้ เช่น ในพลวัตของประชากรตัวอย่างเช่น สามารถใช้จำลองประชากรแมลงที่วิวัฒนาการอย่างต่อเนื่องในฤดูกาล ตายไปในฤดูหนาวขณะที่ไข่กำลังฟักหรืออยู่ในสภาวะพักตัว แล้วฟักออกมาในฤดูกาลใหม่ ทำให้เกิดประชากรที่ไม่ทับซ้อนกัน

มาตราเวลา (หรือลำดับการวัด ) คือเซตย่อยปิดของเส้นจำนวนจริง สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับมาตราเวลาทั่วไปคือ. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

ตัวอย่างของมาตราเวลาที่พบได้บ่อยที่สุดสองอย่างคือ จำนวนจริงและมาตราเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle h\mathbb {Z} }$

จุดเดียวบนมาตราเวลาถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }$

ตัว ดำเนินการ กระโดดไปข้างหน้าและกระโดดไปข้างหลังแสดงถึงจุดที่ใกล้ที่สุดในมาตราเวลาทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุดที่กำหนดตามลำดับ กล่าวอย่างเป็นทางการคือ: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$(ตัวดำเนินการเลื่อนไปข้างหน้า/กระโดด)

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$(ตัวดำเนินการเลื่อน/กระโดดถอยหลัง)

ความละเอียดของภาพ คือระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดทางด้านขวา โดยกำหนดจากสูตร: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t.}$

สำหรับความหนาแน่นทางขวาและสำหรับ ความ หนาแน่นทาง ซ้าย${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma (t)=t}$${\displaystyle \mu (t)=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \rho (t)=t.}$

สำหรับทุกกรณีคือ: ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$${\displaystyle t}$

• เหลือหนาแน่นถ้า${\displaystyle \rho (t)=t}$
• หนาแน่นถูกต้องถ้า${\displaystyle \sigma (t)=t}$
• เหลือกระจัดกระจายถ้า${\displaystyle \rho (t)<t}$
• กระจัดกระจายไปทางขวาถ้า${\displaystyle \sigma (t)>t}$
• หนาแน่นหากทั้งด้านซ้ายหนาแน่นและด้านขวาหนาแน่น
• แยกเดี่ยวหากทั้งกระจัดกระจายไปทางซ้ายและทางขวา

ดังแสดงในรูปด้านขวา:

• จุดนั้นมีความหนาแน่น${\displaystyle t_{1}}$
• จุดทางซ้ายหนาแน่นจุดทางขวากระจายตัว${\displaystyle t_{2}}$
• จุดนั้นถูกแยกออก${\displaystyle t_{3}}$
• จุดทางซ้ายกระจัดกระจาย จุด ทางขวาหนาแน่น${\displaystyle t_{4}}$

ความต่อเนื่องของมาตราเวลาถูกนิยามใหม่ให้เทียบเท่ากับความหนาแน่น มาตราเวลาจะกล่าวได้ว่ามีความต่อเนื่องทางขวาที่จุด${\displaystyle t}$ถ้ามีความหนาแน่นทางขวาที่จุดนั้น ในทำนอง เดียวกัน มาตราเวลาจะกล่าวได้ว่ามีความต่อเนื่องทางซ้ายที่จุดถ้ามีความหนาแน่นทางซ้ายที่จุดนั้น ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

ยกตัวอย่างฟังก์ชัน:

${\displaystyle f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

(โดยที่Rอาจเป็นปริมาณเวกเตอร์แบบบานาค ใดๆ ก็ได้ แต่กำหนดให้เป็นเส้นจำนวนจริงเพื่อความง่าย)

นิยาม: อนุพันธ์เดลต้า (หรืออนุพันธ์ฮิลเกอร์) จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$

สำหรับทุกๆจะมีบริเวณใกล้เคียงของอยู่ เช่นนั้น: ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|}$

สำหรับทุกคนใน. ${\displaystyle s}$${\displaystyle U}$

พิจารณา Then , , ; คืออนุพันธ์ที่ใช้ในแคลคูลัส มาตรฐาน ถ้า( จำนวนเต็ม ), , , คือตัวดำเนินการผลต่างไปข้างหน้าที่ใช้ในสมการผลต่าง ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} .}$${\displaystyle \sigma (t)=t}$${\displaystyle \mu (t)=0}$${\displaystyle f^{\Delta }=f'}$${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma (t)=t+1}$${\displaystyle \mu (t)=1}$${\displaystyle f^{\เดลต้า }=\เดลต้า เอฟ}$

อินทิกรัลเดลต้าถูกนิยามว่าเป็นปฏิอนุพันธ์เทียบกับอนุพันธ์เดลต้า ถ้าอนุพันธ์มีความต่อเนื่อง เราจะกำหนดให้ ${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle f(t)=F^{\Delta }(t)}$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).}$

สามารถกำหนดการ แปลงลาปลาสสำหรับฟังก์ชันบนมาตราเวลา ซึ่งใช้ตารางการแปลงเดียวกันสำหรับมาตราเวลาใดๆ ก็ได้ การแปลงนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการไดนามิกบนมาตราเวลาได้ หากมาตราเวลาเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ การแปลงจะเท่ากับ^{[ 2 ]}การแปลง Zที่แก้ไขแล้ว: $${\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}$$

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและสมการเชิงผลต่างย่อยได้รับการรวมเป็นสมการไดนามิกย่อยบนมาตราเวลา^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

การบูรณาการหลายระดับเวลาได้รับการจัดการใน Bohner (2005) ^{[ 6 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและสมการผลต่างสุ่มสามารถขยายไปสู่สมการไดนามิกสุ่มบนมาตราเวลาได้^{[ 7 ]}

เกี่ยวข้องกับมาตราเวลาทุกมาตราคือการวัด ตามธรรมชาติ ^{[ 8 ] [ 9 ]}ที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),}$

โดยที่แทนการวัดแบบเลเบสและคือตัวดำเนินการเลื่อนย้อน กลับ ที่กำหนดบนอินทิกรัลเดลต้ากลายเป็นอินทิกรัลเลเบส-สตีลต์เจส ตามปกติ เมื่อเทียบกับการวัดนี้ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}$

และอนุพันธ์เดลต้ากลายเป็นอนุพันธ์เรดอน-นิโคดิมเมื่อเทียบกับการวัดนี้^{[ 10 ]}

${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).}$

เดลต้าของ Diracและเดลต้าของ Kronecker รวมกันเป็น เดลต้าของ Hilgerบนมาตราเวลา: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}$

แคลคูลัสเศษส่วนบนมาตราเวลาได้รับการจัดการใน Bastos, Mozyrska และ Torres ^{[ 13 ]}

• การวิเคราะห์แฟรกทัลสำหรับสมการไดนามิกบนเซตแคนเตอร์
• การวิเคราะห์หลายระดับ
• วิธีการหาค่าเฉลี่ย
• วิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบ Krylov–Bogoliubov

• Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "สมการไดนามิกบนมาตราเวลา: การสำรวจ"วารสารคณิตศาสตร์เชิงคำนวณและประยุกต์ 141 ( 1– 2 ): 1– 26. Bibcode : 2002JCoAM.141....1A . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
• สมการพลวัตบนช่วงเวลาฉบับพิเศษของวารสารคณิตศาสตร์เชิงคำนวณและประยุกต์ (2002)
• สมการเชิงพลวัตและการประยุกต์ใช้ ฉบับพิเศษของวารสาร Advances in Difference Equations (2006)
• สมการพลวัตบนช่วงเวลา: การวิเคราะห์เชิงคุณภาพและการประยุกต์ใช้ฉบับพิเศษของทฤษฎีพลวัตไม่เชิงเส้นและระบบ (2009)

• กลุ่มมาตราเวลาแห่งมหาวิทยาลัยเบย์เลอร์
• Timescalewiki.org