ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบพลวัตวิธีการหาค่าเฉลี่ย (หรือเรียกว่าทฤษฎีการหาค่าเฉลี่ย) ใช้ประโยชน์จากระบบที่มีการแยกช่วงเวลา: การแกว่งอย่างรวดเร็วเทียบกับการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆวิธีการนี้เสนอแนะว่าเราควรทำการหาค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาที่กำหนด เพื่อลดการแกว่งอย่างรวดเร็วและสังเกตพฤติกรรมเชิงคุณภาพจากพลวัตที่เกิดขึ้น คำตอบโดยประมาณจะมีค่าคงที่ในช่วงเวลาจำกัด โดยแปรผกผันกับพารามิเตอร์ที่แสดงถึงช่วงเวลาที่ช้า ปรากฏว่านี่เป็นปัญหาทั่วไปที่มีความสมดุลระหว่างความแม่นยำของคำตอบโดยประมาณกับระยะเวลาที่คำตอบนั้นมีค่าใกล้เคียงกับคำตอบดั้งเดิม

กล่าวโดยละเอียด ระบบมีรูปแบบ ของตัวแปรปริภูมิเฟส ดังต่อไปนี้ การแกว่ง อย่างรวดเร็วเกิดขึ้นจากในขณะที่การเคลื่อนตัวช้าๆเกิดขึ้นจาก วิธีการหาค่าเฉลี่ยทำให้ได้ระบบพลวัตแบบอิสระ ซึ่งประมาณเส้นโค้งคำตอบของภายใน บริเวณที่เชื่อมต่อกันและกะทัดรัดของปริภูมิเฟส และตลอดช่วงเวลาของ $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f(x,t,\varepsilon ),\quad 0\leq \varepsilon \ll 1}$$${\displaystyle x.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\dot {x}}}$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(y,s,0)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}(y)}$$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle 1/\varepsilon }$

ภายใต้ความถูกต้องของเทคนิคการหาค่าเฉลี่ยนี้ พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของระบบดั้งเดิมจะถูกแสดงด้วยสมการพลวัตสำหรับด้วยวิธีนี้ วิธีการเชิงคุณภาพสำหรับระบบพลวัตแบบอิสระสามารถนำมาใช้ในการวิเคราะห์จุดสมดุลและโครงสร้างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่นแมนิโฟลด์ช้าและแมนิโฟลด์ไม่แปรเปลี่ยนตลอดจนเสถียรภาพ ของโครงสร้างเหล่านั้น ในปริภูมิเฟสของระบบเฉลี่ยได้ ${\displaystyle y}$

นอกจากนี้ ในการประยุกต์ใช้ทางกายภาพ อาจเป็นเรื่องสมเหตุสมผลหรือเป็นธรรมชาติที่จะแทนที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งกำหนดในรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับด้วยระบบเฉลี่ยที่สอดคล้องกันเพื่อใช้ระบบเฉลี่ยในการทำนาย จากนั้นทดสอบการทำนายกับผลลัพธ์ของการทดลองทางกายภาพ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$

วิธีการหาค่าเฉลี่ยมีประวัติยาวนาน ซึ่งมีรากฐานมาจาก ปัญหา การรบกวนที่เกิดขึ้นในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ (ดูตัวอย่างเช่นใน^{[ 2 ]} )

พิจารณาการเติบโตแบบโลจิสติก ที่ถูกรบกวน และสมการเฉลี่ย จุดประสงค์ของวิธีการหาค่าเฉลี่ยคือการบอกเราถึงพฤติกรรมเชิงคุณภาพของสนามเวกเตอร์เมื่อเราหาค่าเฉลี่ยในช่วงเวลาหนึ่ง วิธีนี้รับประกันว่าคำตอบจะประมาณค่าได้ในช่วง เวลา หนึ่ง ยกเว้นในตัวอย่างนี้ การประมาณค่าดียิ่งขึ้นไปอีก กล่าวคือใช้ได้กับทุกช่วงเวลา เราจะนำเสนอในส่วนถัดไป $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon (x(1-x)+\sin {t})\quad \quad x\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon y(1-y)\qquad y\in \mathbb {R} .}$$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t={\คณิตศาสตร์ {O}}(1/\varepsilon )}$

เราถือว่าสนามเวกเตอร์เป็นคลาสของความสามารถในการหาอนุพันธ์ด้วย(หรือเราจะเรียกมันว่าเรียบก็ได้) ซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์เราขยายสนามเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลานี้ในอนุกรมเทย์เลอร์ (ในรูปกำลังของ) โดยมีเศษเหลือเราแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 2 ]} โดยที่คืออนุพันธ์อันดับที่ โดยที่เนื่องจากเราสนใจปัญหาการหาค่าเฉลี่ย โดยทั่วไปแล้วจะเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงปรากฏว่าเราจะสนใจสนามเวกเตอร์ที่กำหนดโดย นอกจากนี้ เรากำหนด ปัญหาค่าเริ่มต้น ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน : ^{[ 2 ]}${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f^{[k+1]}(x,t,\varepsilon )}$$${\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=f^{0}(x,t)+\varepsilon f^{1}(x,t)+\dots +\varepsilon ^{k}f^{k}(x,t)+\varepsilon ^{k+1}f^{[k+1]}(x,t,\varepsilon ),}$$${\displaystyle f^{j}={\frac {f^{(j)}(x,t,0)}{j!}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 0\leq j\leq k}$${\displaystyle f^{0}(x,t)}$$${\displaystyle f(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{[1]}(x,t,\varepsilon )=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ).}$$$${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x(0,\varepsilon )=:x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}$$

พิจารณาสำหรับทุกเซตที่เชื่อมต่อกันและมีขอบเขต และทุกเซตที่มีขอบเขต จะมีอยู่และที่ทำให้ระบบดั้งเดิม (ระบบพลวัตที่ไม่เป็นอิสระ) ที่กำหนดโดย มีคำตอบ โดย ที่เป็น ฟังก์ชัน คาบที่มีคาบและทั้ง มีขอบเขตบนเซตที่มีขอบเขต แล้วจะมีค่าคงที่ อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้คำตอบของระบบเฉลี่ย (ระบบพลวัต ที่ เป็นอิสระ) คือ สำหรับและ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$${\displaystyle L>0}$${\displaystyle \varepsilon \leq \varepsilon _{0}}$$${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon ),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1,}$$${\displaystyle x(t,\varepsilon )}$${\displaystyle f^{1}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f^{[2]}\in C^{r}(D\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+};\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle y(t,\varepsilon )}$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}$$$${\displaystyle \|x(t,\varepsilon )-y(t,\varepsilon )\|<c\varepsilon }$$${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq \varepsilon _{0}}$${\displaystyle 0\leq t\leq L/\varepsilon }$

• ในการประมาณค่าแบบ ประมาณค่าเบื้องต้นนี้ มีการประมาณค่าอยู่สองแบบคือ การลดรูปไปสู่ค่าเฉลี่ยของสนามเวกเตอร์ และการละเลยพจน์บางพจน์${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$
• ความสม่ำเสมอเกี่ยวกับเงื่อนไขเริ่มต้น: หากเราเปลี่ยนแปลงสิ่งนี้จะส่งผลต่อการประมาณค่าของและหลักฐานและการอภิปรายเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหนังสือของ J. Murdock ^{[ 3 ]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$
• การลดความสม่ำเสมอ: มีรูปแบบทั่วไปของทฤษฎีบทนี้ซึ่งต้องการเพียงแค่เป็นLipschitzและต่อเนื่องเท่านั้น เป็นการพิสูจน์ที่ใหม่กว่าและสามารถดูได้ใน Sanders et al. [ ^{2 ] ข้อความ}ทฤษฎีบทที่นำเสนอในที่นี้เกิดจากกรอบการพิสูจน์ที่เสนอโดยKrylov-Bogoliubovซึ่งอิงจากการแนะนำการแปลงใกล้เคียงเอกลักษณ์ ข้อดีของวิธีนี้คือการขยายไปสู่การตั้งค่าทั่วไปมากขึ้น เช่น ระบบมิติอนันต์ - สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือสมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลา${\displaystyle f^{1}}$${\displaystyle f^{[2]}}$
• J. Hale นำเสนอการวางนัยทั่วไปสำหรับสนามเวกเตอร์เกือบเป็นคาบ^{[ 4 ]}

Krylov-Bogoliubovตระหนักว่าพลวัตที่ช้าของระบบเป็นตัวกำหนดลำดับนำของคำตอบเชิงอะซิมโทติก

เพื่อพิสูจน์ข้อนี้ พวกเขาจึงเสนอการแปลงที่ใกล้เคียงกับเอกลักษณ์ซึ่งปรากฏว่าเป็นการเปลี่ยนพิกัดที่มีมาตราส่วนเวลาของตัวเอง โดยแปลงระบบดั้งเดิมไปสู่ระบบเฉลี่ย

1. การกำหนดการแปลงที่ใกล้เคียงกับเอกลักษณ์: การแมปแบบเรียบโดยที่ถือว่ามีความสม่ำเสมอและเป็นคาบเพียงพอ การเปลี่ยนพิกัดที่เสนอจะกำหนดโดย${\displaystyle y\mapsto U(y,t,\varepsilon )=y+\varepsilon u^{[1]}(y,t,\varepsilon )}$${\displaystyle u^{[1]}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x=U(y,t,\varepsilon )}$
2. เลือกวิธีแก้สมการโฮโมโลจิก ที่เหมาะสม ของทฤษฎีการหาค่าเฉลี่ย: .${\displaystyle u^{[1]}}$${\displaystyle {\frac {\partial u^{[1]}}{\partial t}}=f^{1}(y,t)-{\bar {f}}^{1}(y)}$
3. การเปลี่ยนพิกัดจะนำระบบเดิมไปยัง${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)+\varepsilon ^{2}f_{*}^{[2]}(y,t,\varepsilon ).}$
4. การประเมินค่าความคลาดเคลื่อนอันเนื่องมาจากการตัดทอนและการเปรียบเทียบกับตัวแปรดั้งเดิม

ตลอดประวัติศาสตร์ของเทคนิคการหาค่าเฉลี่ย มีระบบประเภทหนึ่งที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ซึ่งให้ตัวอย่างที่มีความหมายที่เราจะกล่าวถึงต่อไป ระบบประเภทนี้กำหนดโดย: โดยที่ นั้นเรียบ ระบบนี้คล้ายกับระบบเชิงเส้นที่มีการรบกวนแบบไม่เชิงเส้นเล็กน้อยที่กำหนดโดย : ซึ่งแตกต่างจากรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทำการแปลงเพื่อให้เป็นรูปแบบมาตรฐานอย่างชัดเจน^{[ 2 ]}เราสามารถเปลี่ยนพิกัดโดยใช้ วิธี การแปรผันของค่าคงที่เราพิจารณาระบบที่ไม่ถูกรบกวน นั่นคือกำหนดโดย $${\displaystyle {\ddot {z}}+z=\varepsilon g(z,{\dot {z}},t),\qquad z\in \mathbb {R} ,\quad z(0)=z_{0}~\mathrm {and} ~{\dot {z}}(0)=v_{0},}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\\varepsilon ~g(z,{\dot {z}},t)\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {z_{1}}}&=z_{2},&z_{1}(0)&=z_{0}\\{\dot {z_{2}}}&=-z_{1}+\varepsilon g(z_{1},z_{2},t),&z_{2}(0)&=v_{0},\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varepsilon =0}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {z_{1}}}\\{\dot {z_{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}}$$

ซึ่งมีคำตอบพื้นฐาน ที่สอดคล้องกับการหมุน จากนั้นการเปลี่ยนแปลงพิกัดที่ขึ้นอยู่กับเวลาคือโดยที่คือพิกัดที่สอดคล้องกับรูปแบบมาตรฐาน ${\displaystyle \Phi (t)=e^{At}}$${\displaystyle z(t)=\Phi (t)x}$${\displaystyle x}$

ถ้าเราหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาทั้งสองข้างและผกผันเมทริกซ์พื้นฐาน เราจะได้ $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon e^{-At}{\begin{bmatrix}0\\~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)\end{bmatrix}}~{\text{ with }}~{\tilde {g}}(x,{\dot {x}},t)=g(\cos(t)x(t)+\sin(t){\dot {x}}(t),-\sin(t)x(t)+\cos(t){\dot {x}}(t),t).}$$

• สามารถทำเช่นเดียวกันกับส่วนเชิงเส้นที่ขึ้นอยู่กับเวลาได้ แม้ว่าวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานอาจเขียนออกมาอย่างชัดเจนได้ยาก แต่ขั้นตอนก็คล้ายคลึงกัน ดู Sanders et al. ^{[ 2 ]}สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
• ถ้าค่าไอเกนของไม่เป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ จะเรียกว่าเงื่อนไขไฮเปอร์โบลิซิตี้ในกรณีนี้ สมการการรบกวนอาจก่อให้เกิดปัญหาร้ายแรงบางอย่าง แม้ว่าจะมีขอบเขตจำกัดก็ตาม เนื่องจากคำตอบเติบโตอย่างรวดเร็วแบบเลขชี้กำลัง^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ในเชิงคุณภาพ เราอาจสามารถทราบคำตอบเชิงอะซิมโทติกได้ เช่น ผลลัพธ์ของ Hartman-Grobmanและอื่นๆ^{[ 1 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle g}$
• บางครั้ง พิกัดเชิงขั้วอาจให้รูปแบบมาตรฐานที่วิเคราะห์ได้ง่ายกว่า พิจารณาซึ่งเป็นตัวกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นและระบบ${\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )}$${\displaystyle (r(0),\phi (0))}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}$$

หากเราสามารถใช้การหาค่าเฉลี่ยได้ ตราบใดที่ไม่รวมบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิด (เนื่องจากพิกัดเชิงขั้วใช้ไม่ได้): โดยที่ระบบค่าเฉลี่ยคือ ${\displaystyle g\in C^{1}}$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\[4pt]{\bar {f}}_{2}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}}).\end{array}}}$$

วิธีการนี้มีข้อสมมติและข้อจำกัดบางประการ ข้อจำกัดเหล่านี้มีบทบาทสำคัญเมื่อเราหาค่าเฉลี่ยของสมการดั้งเดิมซึ่งไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และเราสามารถอภิปรายตัวอย่างคัดค้านได้ ตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อไม่ให้เกิดการหาค่าเฉลี่ยอย่างเร่งรีบ: ^{[ 2 ]} โดยที่เราใส่ตามสัญลักษณ์ก่อนหน้า $${\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\qquad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=-4\cos ^{2}(t){\dot {z}}}$

ระบบนี้สอดคล้องกับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบหน่วงโดยที่พจน์การหน่วงแกว่งไปมาระหว่างและการหาค่าเฉลี่ยของพจน์แรงเสียดทานในช่วงหนึ่งรอบของจะได้สมการ: คำตอบคือ ซึ่งอัตราการลู่เข้าสู่จุดกำเนิดคือระบบเฉลี่ยที่ได้จากรูปแบบมาตรฐานจะได้: ซึ่งในพิกัดสี่เหลี่ยมแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าอัตราการลู่เข้าสู่จุดกำเนิดนั้นแตกต่างจากระบบเฉลี่ยแบบหยาบก่อนหน้านี้: ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 4\varepsilon }$${\displaystyle 2\pi }$$${\displaystyle {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\qquad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.}$$$${\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.}$$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$${\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon }$$${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}}$$

แวน เดอร์ โพล สนใจในการหาคำตอบโดยประมาณสำหรับสมการประเภท ที่ใช้สัญลักษณ์แบบก่อนหน้านี้ ระบบนี้มักเรียกว่าออสซิลเลเตอร์ของแวน เดอร์ โพลการใช้การหาค่าเฉลี่ยแบบเป็นคาบกับออสซิลเลเตอร์แบบไม่เชิงเส้นนี้จะให้ความรู้เชิงคุณภาพเกี่ยวกับปริภูมิเฟสโดยไม่ต้องแก้ระบบอย่างชัดเจน $${\displaystyle {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=(1-z^{2}){\dot {z}}}$

ระบบเฉลี่ยคือ และเราสามารถวิเคราะห์จุดคงที่และความเสถียรของจุดเหล่านั้นได้ มีจุดคงที่ที่ไม่เสถียรอยู่ที่จุดกำเนิด และวงจรจำกัดที่ เสถียรซึ่ง แสดง โดย$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}}$$${\displaystyle {\bar {r}}=2}$

การมีอยู่ของวงจรจำกัดที่มีเสถียรภาพดังกล่าวสามารถกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท (การมีอยู่ของวงโคจรคาบ) ^{[ 5 ]} :ถ้าเป็นจุดคงที่ไฮเปอร์โบลิกของแล้วจะมีอยู่เช่นนั้น สำหรับทุกจะ มีวงโคจรคาบไฮเปอร์โบลิกที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีประเภทความเสถียรเดียวกันกับ ${\displaystyle p_{0}}$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)}$$${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$$${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon )}$$${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal {O}}(\varepsilon )}$${\displaystyle p_{0}}$

หลักฐานสามารถพบได้ที่ Guckenheimer และ Holmes ^{[ 5 ]} Sanders et al. ^{[ 2 ]}และสำหรับกรณีมุมใน Chicone ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยตั้งอยู่บนสมมติฐานของการมีอยู่ของบริเวณที่เชื่อมต่อกันและมีขอบเขตซึ่งส่งผลต่อช่วงเวลาที่ผลลัพธ์มีผลใช้ได้ ตัวอย่างต่อไปนี้ชี้ให้เห็นถึงสมมติฐานดังกล่าว พิจารณากรณี ที่ โดยที่ ระบบค่าเฉลี่ยประกอบด้วย ซึ่งภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นนี้บ่งชี้ว่าคำตอบดั้งเดิมมีพฤติกรรมเหมือน โดยที่ใช้ได้กับบริเวณที่มีขอบเขตบน ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,}$$${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=8{\dot {z}}^{2}\cos(t)}$$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$$${\displaystyle z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$${\displaystyle 0\leq \varepsilon t\leq L<{\frac {1}{3}}}$

พิจารณาลูกตุ้มที่มีการหน่วงซึ่งจุดแขวนถูกสั่นในแนวดิ่งด้วยสัญญาณที่มีแอมพลิจูดเล็กและความถี่สูง (โดยทั่วไปเรียกว่าการสั่นแบบดิทเทอริ่ง ) สมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มดังกล่าวมีดังนี้ โดย ที่อธิบายการเคลื่อนที่ของจุดแขวนอธิบายการหน่วงของลูกตุ้ม และคือมุมที่ลูกตุ้มทำกับแนวดิ่ง $${\displaystyle m(l{\ddot {\theta }}-ak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta )=-mg\sin \theta -k(l{\dot {\theta }}+a\omega \cos \omega t\sin \theta )}$$${\displaystyle a\sin \omega t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$

รูป แบบ ปริภูมิเฟสของสมการนี้กำหนดโดย โดย ที่เราได้แนะนำตัวแปรและเขียนระบบเป็น ระบบ อิสระอันดับหนึ่งในปริภูมิ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {t}}&=1\\{\dot {\theta }}&=p\\{\dot {p}}&={\frac {1}{ml}}(mak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta -mg\sin \theta -k(lp+a\omega \cos \omega t\sin \theta ))\end{aligned}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle (t,\theta ,p)}$

สมมติว่าความถี่เชิงมุมของการสั่นในแนวดิ่งมีค่ามากกว่าความถี่ธรรมชาติของลูกตุ้ม มากและสมมติอีกว่าแอมพลิจูดของการสั่นในแนวดิ่งมีค่าน้อยกว่าความยาวของลูกตุ้มมาก วิถีการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มในปริภูมิเฟสจะวนเป็นเกลียวรอบเส้นโค้ง โดยเคลื่อนที่ไปตาม เส้นโค้ง ด้วยอัตราที่ช้าแต่เคลื่อนที่รอบเส้นโค้งด้วยอัตราที่เร็วรัศมีของเกลียวรอบเส้นโค้งจะมีขนาดเล็กและเป็นสัดส่วนกับพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของวิถีการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่นานกว่า มากจะเป็นไปตามเส้นโค้ง ${\displaystyle \omega }$${\textstyle {\sqrt {g/l}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle l}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\sqrt {g/l}}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle C}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2\pi /\omega }$${\displaystyle C}$

เทคนิคค่าเฉลี่ยสำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นได้รับการจัดการมาจนถึงปัจจุบันด้วยการประมาณค่าความผิดพลาดที่ถูกต้องในลำดับอย่างไรก็ตาม มีสถานการณ์ที่การประมาณค่าสามารถขยายไปยังช่วงเวลาเพิ่มเติมได้ แม้กระทั่งกรณีสำหรับทุกช่วงเวลา^{[ 2 ]}ด้านล่างนี้ เราจะจัดการกับระบบที่มีจุดคงที่ที่มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก สถานการณ์ดังกล่าวสรุปสิ่งที่แสดงในรูปที่ 1 ${\displaystyle 1/\varepsilon }$

ทฤษฎีบท (Eckhaus ^{[ 6 ]} /Sanchez-Palencia ^{[ 7 ]} )พิจารณาปัญหาค่าเริ่มต้น สมมติว่า มีอยู่และมีจุดคงที่ที่มีเสถียรภาพเชิง อะซิมโทติก ในการประมาณเชิงเส้น ยิ่งไปกว่านั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเทียบกับในและมีโดเมนการดึงดูดสำหรับเซตกระชับใดๆ และสำหรับทุกค่า ที่มีในกรณีทั่วไปและในกรณีคาบ $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t),\qquad x_{0}\in D\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad 0\leq \varepsilon \ll 1.}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f^{1}(y,s)~ds=:\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y),\quad y(0,\varepsilon )=x_{0}}$$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle {\bar {f}}^{1}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{0}\subset D}$${\displaystyle K\subset D^{0}}$${\displaystyle x_{0}\in K}$$${\displaystyle \|x(t)-y(t)\|={\mathcal {O}}(\delta (\varepsilon )),\quad 0\leq t<\infty ,}$$${\displaystyle \delta (\varepsilon )=o(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}$