ในทางคณิตศาสตร์การประมวลผลสัญญาณและทฤษฎีการควบคุมแผนภาพขั้ว-ศูนย์ (pole–zero plot)คือการแสดงภาพกราฟิกของฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงตรรกะ ในระนาบเชิงซ้อนซึ่งช่วยสื่อถึงคุณสมบัติบางอย่างของระบบ เช่น:

• ความเสถียร
• ระบบเหตุและผล / ระบบต่อต้านเหตุและผล
• บริเวณบรรจบกัน (ROC)
• เฟสขั้นต่ำ / เฟสไม่ขั้นต่ำ

แผนภาพขั้ว-ศูนย์ แสดงตำแหน่งในระนาบเชิงซ้อนของขั้วและศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบไดนามิกเช่น ตัวควบคุม ตัวชดเชย เซ็นเซอร์ ตัวปรับสมดุลตัวกรองหรือช่องทางการสื่อสาร ตามธรรมเนียม ขั้วของระบบจะแสดงด้วยเครื่องหมาย X ในขณะที่ศูนย์จะแสดงด้วยวงกลมหรือ O

แผนภาพขั้ว-ศูนย์ (pole-zero plot) จะถูกวาดลงบนระนาบของโดเมน ความถี่เชิงซ้อน ซึ่งสามารถแทนระบบเวลาต่อเนื่องหรือระบบเวลาไม่ต่อเนื่องก็ได้:

• ระบบเวลาต่อเนื่องใช้การแปลงลาปลาสและแสดงผลในระนาบ s :${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$
  • ส่วนประกอบความถี่จริงจะอยู่ตามแกนตั้ง (เส้นสมมุติที่)${\displaystyle s{=}j\omega }$${\displaystyle \sigma {=}0}$
• ระบบเวลาไม่ต่อเนื่องใช้การแปลง Zและแสดงผลในระนาบ z :${\displaystyle z=Ae^{j\phi }}$
  • ส่วนประกอบความถี่จริงจะอยู่ตามแนววงกลมหน่วย

โดยทั่วไป ฟังก์ชันถ่ายโอน เชิงตรรกะ สำหรับ ระบบ LTIแบบต่อเนื่องจะมีรูปแบบดังนี้:

$${\displaystyle H(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}={\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}s^{m}} \over s^{N}+\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{a_{n}s^{n}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{M}s^{M}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{(N-1)}s^{(N-1)}+s^{N}}}}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle B}$และเป็นพหุนามใน,${\displaystyle A}$${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle M}$คือลำดับของพหุนามตัวเศษ
• ${\displaystyle b_{m}}$คือ สัมประสิทธิ์ลำดับ ^{ที่ n}ของพหุนามตัวเศษ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$คือลำดับของพหุนามตัวส่วน และ
• ${\displaystyle a_{n}}$คือ สัมประสิทธิ์ลำดับ ^{ที่ n}ของพหุนามตัวส่วน${\displaystyle n}$

ค่าใดค่าหนึ่งหรือทั้งสองค่าอาจเป็นศูนย์ แต่ในระบบจริง ค่าควรจะเป็นศูนย์มิฉะนั้น อัตราขยายจะไม่มีขีดจำกัดที่ความถี่สูง ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\leq N}$

• ศูนย์ของระบบคือรากของพหุนามตัวเศษ: โดยที่$${\displaystyle s=\{\beta _{m}\mid m\in 1,\ldots M\}}$$$${\displaystyle B(s)|_{s=\beta _{m}}=0}$$
• ขั้วของระบบคือรากของพหุนามตัวส่วน: โดยที่$${\displaystyle s=\{\alpha _{n}\mid n\in 1,\ldots N\}}$$$${\displaystyle A(s)|_{s=\alpha _{n}}=0.}$$

บริเวณการบรรจบกัน (ROC) สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนเวลาต่อเนื่องที่กำหนด คือระนาบครึ่งหนึ่งหรือแถบแนวตั้ง ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ไม่มีขั้ว โดยทั่วไปแล้ว ROC จะไม่เป็นเอกลักษณ์ และ ROC เฉพาะในแต่ละกรณีจะขึ้นอยู่กับว่าระบบนั้นเป็นระบบเชิงสาเหตุหรือระบบต่อต้านเชิงสาเหตุ

• ถ้าเส้นโค้ง ROC ครอบคลุมแกนจินตนาการแสดงว่าระบบมีเสถียรภาพแบบอินพุตจำกัด เอาต์พุตจำกัด (BIBO)
• ถ้า ROC ขยายไปทางขวาจากขั้วที่มีส่วนจริง มากที่สุด (แต่ไม่ใช่ที่อนันต์) ระบบนั้นจะเป็นระบบเชิงสาเหตุ
• ถ้า ROC ขยายไปทางซ้ายจากขั้วที่มีส่วนจริงน้อยที่สุด (แต่ไม่ใช่ที่อนันต์ลบ) ระบบนั้นจะเป็นระบบต่อต้านเหตุและผล

โดยปกติแล้ว ROC จะถูกเลือกให้รวมแกนจินตนาการด้วย เนื่องจากความเสถียรแบบ BIBO (Bind on Block ) เป็นสิ่งสำคัญสำหรับระบบใช้งานจริงส่วนใหญ่

$${\displaystyle H(s)={\frac {25}{s^{2}+6s+25}}}$$

ระบบนี้ไม่มีศูนย์ (จำกัด) และมีขั้วสองขั้ว: และ$${\displaystyle s=\alpha _{1}=-3+4j}$$$${\displaystyle s=\alpha _{2}=-3-4j}$$

แผนภาพแสดงตำแหน่งขั้วและศูนย์จะเป็นดังนี้:

โปรดสังเกตว่าขั้วทั้งสองนี้เป็นคู่สังยุคเชิงซ้อนซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่จะทำให้สัมประสิทธิ์ในสมการเชิงอนุพันธ์ที่แสดงถึงระบบมีค่าเป็นจำนวนจริง

โดยทั่วไป ฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงตรรกะสำหรับระบบ LTI แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง จะมีรูปแบบดังนี้:

$${\displaystyle H(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {\displaystyle \sum _{m=0}^{M}{b_{m}z^{-m}}}{1+\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{a_{n}z^{-n}}}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}\cdots +a_{N}z^{-N}}}}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle M}$คือลำดับของพหุนามตัวเศษ
• ${\displaystyle b_{m}}$คือ สัมประสิทธิ์ลำดับ ^{ที่ n}ของพหุนามตัวเศษ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle N}$คือลำดับของพหุนามตัวส่วน และ
• ${\displaystyle a_{n}}$คือ สัมประสิทธิ์ลำดับ ^{ที่ n}ของพหุนามตัวส่วน${\displaystyle n}$

อาจเป็นศูนย์ อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ ทั้งสองอย่างก็ได้${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

• ${\displaystyle z=\beta _{m}}$โดยที่ ค่าเหล่านั้น เป็นศูนย์ของระบบ${\displaystyle P(z)|_{z=\beta _{m}}=0}$
• ${\displaystyle z=\alpha _{n}}$โดยที่สิ่งเหล่านี้คือขั้วของระบบ${\displaystyle Q(z)|_{z=\alpha _{n}}=0}$

บริเวณการบรรจบกัน (ROC) สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนเวลาไม่ต่อเนื่องที่กำหนดให้ คือวงกลมหรือวงแหวนที่ไม่มีขั้วที่ไม่ถูกหักล้าง โดยทั่วไปแล้ว ROC จะไม่เป็นเอกลักษณ์ และ ROC เฉพาะในแต่ละกรณีจะขึ้นอยู่กับว่าระบบนั้นเป็นระบบเชิงสาเหตุหรือระบบต่อต้านเชิงสาเหตุ

• ถ้าขอบเขตการครอบคลุม ( ROC) ครอบคลุมวงกลมหน่วยแสดงว่าระบบมีเสถียรภาพแบบอินพุตจำกัด เอาต์พุตจำกัด (BIBO)
• ถ้าขอบเขตการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (ROC) ขยายออกไปจากขั้วที่มีขนาดใหญ่ที่สุด (แต่ไม่ใช่ค่าอนันต์) แสดงว่าระบบมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบด้านขวา ถ้าขอบเขตการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (ROC) ขยายออกไปจากขั้วที่มีขนาดใหญ่ที่สุดและไม่มีขั้วที่ค่าอนันต์ แสดงว่าระบบเป็นระบบเชิงสาเหตุ
• ถ้า ROC ขยายเข้าด้านในจากขั้วที่มีขนาดเล็กที่สุด (ไม่เป็นศูนย์) แสดงว่าระบบนั้นเป็นระบบต่อต้านเหตุและผล

โดยปกติแล้ว ROC จะถูกเลือกให้ครอบคลุมวงกลมหน่วย เนื่องจากความเสถียรแบบ BIBO เป็นสิ่งสำคัญสำหรับระบบใช้งาน จริง ส่วนใหญ่

ถ้าและถูกแยกตัวประกอบอย่างสมบูรณ์แล้ว คำตอบของสมการสามารถพล็อตลงบนระนาบ z ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น กำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนดังต่อไปนี้:${\displaystyle P(z)}$${\displaystyle Q(z)}$$${\displaystyle H(z)={\frac {z+2}{z^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$$

จุดศูนย์ (จำกัด) เพียงจุดเดียวอยู่ที่: และจุด ขั้ว ทั้งสองอยู่ที่: โดยที่คือหน่วยจินตนาการ${\displaystyle z=-2}$${\displaystyle z=\pm {\frac {j}{2}}}$${\displaystyle j}$

แผนภาพแสดงตำแหน่งขั้วและศูนย์จะเป็นดังนี้:

• ตำแหน่งราก
• การแปลงลาปลาส
• การแปลง Z
• ฟังก์ชันเชิงตรรกะ

• Haag, Michael (22 มิถุนายน 2548). "การทำความเข้าใจแผนภาพขั้ว/ศูนย์บนระนาบ Z" . OpenStax CNX . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 12 มิถุนายน 2561 . เรียกดูเมื่อ9 มิถุนายน 2561 .
• Eric W. Weisstein . "Z-Transform" . MathWorld . สืบค้นเมื่อ24 มกราคม 2010 .