ในทางคณิตศาสตร์ระนาบเชิงซ้อนคือระนาบที่เกิดจากจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่ง แกน x ในแนวนอน เรียกว่าแกนจริงประกอบด้วยจำนวนจริงและแกนy ในแนวตั้ง เรียกว่า แกนจินตนาการประกอบด้วยจำนวนจินตนาการ

ระนาบเชิงซ้อนช่วยให้สามารถตีความจำนวนเชิงซ้อนในเชิงเรขาคณิตได้ ภายใต้การบวก จำนวนเชิงซ้อน จะบวกกันเหมือนเวกเตอร์การคูณจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนสามารถแสดงได้ง่ายขึ้นในพิกัดเชิงขั้ว : ขนาดหรือโมดูลัสของผลคูณคือผลคูณของค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสทั้งสอง และมุมหรืออาร์กิวเมนต์ของผลคูณคือผลรวมของมุมหรืออาร์กิวเมนต์ทั้งสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่มีโมดูลัส 1 จะทำหน้าที่เหมือนการหมุน ( กลุ่มวงกลม )

ระนาบเชิงซ้อนบางครั้งเรียกว่าระนาบอาร์แกนด์หรือระนาบเกาส์

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อนมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์zซึ่งสามารถแยกออกเป็นส่วนจริง ( x ) และส่วน จินตนาการ ( y ) ได้:

$${\displaystyle z=x+iy}$$

ตัวอย่างเช่น: z = 4 + 5i โดยที่xและyเป็นจำนวนจริง และiคือหน่วยจินตภาพในสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปนี้ จำนวนเชิงซ้อนzสอดคล้องกับจุด( x , y )ในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนจุด( x , y )สามารถแสดงในพิกัดเชิงขั้ว ได้ ด้วย:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}$$

ในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน อาจสันนิษฐานได้ว่าช่วงของฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์มีค่าเป็น(−π/2, π/2) (ในหน่วยเรเดียน ) และต้องระมัดระวังในการกำหนดฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นสำหรับจุด( x , y )เมื่อx ≤ 0 [ ^{หมายเหตุ 1 ]}ในระนาบเชิงซ้อน พิกัดเชิงขั้วเหล่านี้จะมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}}$$

โดยที่^{[หมายเหตุ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{aligned}}}$$

ในที่นี้| z |คือค่าสัมบูรณ์หรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนz ; θซึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ของzมักจะอยู่ในช่วง0 ≤ θ < 2 π ; และความเท่าเทียมกันสุดท้าย (กับ| z | e ^iθ ) มาจากสูตรของออยเลอร์หากไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับช่วงของθอาร์กิวเมนต์ของzจะมีหลายค่า เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นคาบ โดยมีคาบ2 πiดังนั้น ถ้าθเป็นค่าหนึ่งของarg( z )ค่าอื่นๆ จะกำหนดโดยarg( z ) = θ + 2 nπโดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ^{[ 2 ]}

แม้ว่าจะไม่ค่อยได้ใช้โดยตรง แต่ทัศนะทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนนั้นตั้งอยู่บนโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์ยุคลิดมิติ 2 โดยที่ผลคูณภายในของจำนวนเชิงซ้อนwและzกำหนดโดย;จากนั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อนzค่าสัมบูรณ์| z |จะตรงกับค่าบรรทัดฐานยุคลิด และอาร์กิวเมนต์arg( z )จะ ตรง กับมุมที่เปลี่ยนจาก 1 เป็น  z${\displaystyle \Re (w{\overline {z}})}$

ทฤษฎีการอินทิเกรตตามเส้นโค้งเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อน ในบริบทนี้ ทิศทางการเคลื่อนที่รอบเส้นโค้งปิดมีความสำคัญ – การกลับทิศทางการเคลื่อนที่รอบเส้นโค้งจะทำให้ค่าของการอินทิเกรตเพิ่มขึ้นเป็น−1ตามธรรมเนียมแล้ว ทิศทาง บวกคือทวนเข็มนาฬิกา ตัวอย่างเช่นวงกลมหน่วยจะถูกเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกเมื่อเราเริ่มต้นที่จุดz = 1จากนั้นเคลื่อนที่ขึ้นไปทางซ้ายผ่านจุดz = i จาก นั้นลงไปทางซ้ายผ่าน−1จากนั้นลงไปทางขวาผ่าน−iและสุดท้ายขึ้นไปทางขวาไปยังz = 1ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้น

เกือบทั้งหมดของการวิเคราะห์เชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงซ้อน  นั่นคือ ฟังก์ชันที่แปลงเซตย่อยหนึ่งของระนาบเชิงซ้อนไปยังเซตย่อยอื่น (อาจทับซ้อนกัน หรือแม้แต่เหมือนกัน) ของระนาบเชิงซ้อน ในที่นี้ นิยมกล่าวถึงโดเมนของf ( z )ว่าอยู่ใน ระนาบ zในขณะที่กล่าวถึงเรนจ์ของf ( z )ว่าเป็นเซตของจุดใน ระนาบ wในสัญลักษณ์เราเขียนว่า

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}}$$

และมักจะคิดว่าฟังก์ชันfเป็นการแปลงจาก ระนาบ z (ที่มีพิกัด( x , y ) ) ไปยัง ระนาบ w (ที่มีพิกัด( u , v ) )

ระนาบเชิงซ้อนใช้สัญลักษณ์.${\displaystyle \mathbb {C} }$

แผนภาพอาร์แกนด์เป็นแผนภาพเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้จุดz = x + iyโดยใช้ แกน xแนวนอนเป็นแกนจริงและ แกน y แนวตั้ง เป็นแกนจินตนาการ^{[ 3 ]}แม้ว่าจะตั้งชื่อตามฌอง-โรเบิร์ต อาร์แกนด์ (1768–1822) แต่แผนภาพดังกล่าวได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย แคสปาร์ เวสเซล (1745–1818) นักสำรวจที่ดินและนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์-เดนมาร์ก^{[หมายเหตุ 3 ]}แผนภาพอาร์แกนด์มักใช้เพื่อพล็อตตำแหน่งของศูนย์และขั้วของฟังก์ชันในระนาบเชิงซ้อน

ความยาวของเส้นตรงและเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนแสดงถึงจำนวนจริง: ความยาวทางกายภาพของเส้นตรงหรือเส้นโค้งหารด้วยความยาวทางกายภาพของรัศมีของวงกลมหน่วย ในทำนองเดียวกัน มุมระหว่างรังสีสองเส้นใดๆ ที่ออกมาจากจุดใดๆ ในระนาบเชิงซ้อนแสดงถึงจำนวนจริง: ค่าเรเดียนของมุมทางกายภาพ (กล่าวคือ จำนวนเรเดียนของมุม) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อาร์กิวเมนต์ (เฟส) ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริง ไม่ใช่มุมทางกายภาพ

อาจเป็นประโยชน์ที่จะคิดว่าระนาบเชิงซ้อนเสมือนอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม กำหนดให้ทรงกลมมีรัศมีหนึ่งหน่วย วางจุดศูนย์กลางไว้ที่จุดกำเนิดของระนาบเชิงซ้อน โดยให้เส้นศูนย์สูตรบนทรงกลมตรงกับวงกลมหนึ่งหน่วยในระนาบ และขั้วโลกเหนืออยู่ "เหนือ" ระนาบ

เราสามารถสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดบนพื้นผิวของทรงกลมที่ไม่รวมขั้วเหนือและจุดในระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้ เมื่อกำหนดจุดหนึ่งในระนาบ ให้ลากเส้นตรงเชื่อมจุดนั้นกับขั้วเหนือบนทรงกลม เส้นตรงนั้นจะตัดกับพื้นผิวของทรงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น จุดz = 0จะถูกฉายลงบนขั้วใต้ของทรงกลม เนื่องจากส่วนภายในของวงกลมหน่วยอยู่ภายในทรงกลม บริเวณทั้งหมดนั้น ( | z | < 1 ) จะถูกแมปไปยังซีกโลกใต้ วงกลมหน่วยเอง ( | z | = 1 ) จะถูกแมปไปยังเส้นศูนย์สูตร และส่วนภายนอกของวงกลมหน่วย ( | z | > 1 ) จะถูกแมปไปยังซีกโลกเหนือที่ไม่รวมขั้วเหนือ เห็นได้ชัดว่ากระบวนการนี้สามารถย้อนกลับได้ – เมื่อกำหนดจุดใดๆ บนพื้นผิวของทรงกลมที่ไม่ใช่ขั้วเหนือ เราสามารถลากเส้นตรงเชื่อมจุดนั้นกับขั้วเหนือและตัดกับระนาบเพียงจุดเดียวเท่านั้น

ภายใต้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกนี้ ขั้วโลกเหนือเองไม่ได้เกี่ยวข้องกับจุดใด ๆ ในระนาบเชิงซ้อน เราทำให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งสมบูรณ์โดยการเพิ่มจุดอีกหนึ่งจุดลงในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งเรียกว่าจุดที่อนันต์  และระบุจุดนั้นกับขั้วโลกเหนือบนทรงกลม พื้นที่โทโพโลยีนี้ ระนาบเชิงซ้อนบวกจุดที่อนันต์ เรียกว่าระนาบเชิงซ้อนแบบขยายเราพูดถึง "จุดที่อนันต์" เพียงจุดเดียวเมื่อพูดถึงการวิเคราะห์เชิงซ้อน มีจุดที่อนันต์สองจุด (บวกและลบ) บนเส้นจำนวนจริงแต่มีเพียงจุดที่อนันต์จุดเดียว (ขั้วโลกเหนือ) ในระนาบเชิงซ้อนแบบขยาย^{[ 5 ]}

ลองจินตนาการดูสักครู่ว่าเส้นละติจูดและเส้นลองจิจูดจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อฉายภาพจากทรงกลมลงบนระนาบ เส้นละติจูดทั้งหมดจะขนานกับเส้นศูนย์สูตร ดังนั้นพวกมันจะกลายเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดz = 0และเส้นลองจิจูดจะกลายเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด (และผ่าน "จุดอนันต์" ด้วย เนื่องจากพวกมันผ่านทั้งขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้บนทรงกลม)

นี่ไม่ใช่สถานการณ์การฉายภาพสามมิติที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของการฉายภาพทรงกลมลงบนระนาบที่ประกอบด้วยค่าสองค่าขึ้นไป ตัวอย่างเช่น ขั้วเหนือของทรงกลมอาจวางอยู่บนจุดกำเนิดz = −1ในระนาบที่สัมผัสกับวงกลม รายละเอียดไม่สำคัญนัก การฉายภาพสามมิติของทรงกลมลงบนระนาบใดๆ จะสร้าง "จุดที่อนันต์" หนึ่งจุด และจะแปลงเส้นละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมให้เป็นวงกลมและเส้นตรงตามลำดับในระนาบ

ในการกล่าวถึงฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน มักจะสะดวกที่จะนึกถึงรอยตัดในระนาบเชิงซ้อน แนวคิดนี้เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในบริบทต่างๆ หลายประการ

ลองพิจารณาความสัมพันธ์แบบสองค่าอย่างง่ายนี้

$${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.}$$

ก่อนที่เราจะสามารถพิจารณาความสัมพันธ์นี้เป็น ฟังก์ชันค่าเดียวได้นั้น ช่วงของค่าที่ได้จะต้องถูกจำกัดไว้ก่อน เมื่อเราพิจารณาถึงรากที่สองของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ การทำเช่นนี้จะทำได้ง่าย ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดได้เลยว่า

$${\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}}$$

โดยที่ y ^เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบซึ่งy² = xแนวคิดนี้ใช้ไม่ได้ผลดีนักในระนาบเชิงซ้อนสองมิติ เพื่อดูว่าทำไม ลองคิดถึงวิธีที่ค่าของf ( z )เปลี่ยนแปลงไปเมื่อจุดzเคลื่อนที่ไปรอบวงกลมหน่วย เราสามารถเขียนและใช้ได้ดังนี้ ${\textstyle z=re^{i\theta }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}}$$

เห็นได้ชัดว่า เมื่อzเคลื่อนที่ไปรอบวงกลมจนครบwจะเคลื่อนที่ไปเพียงครึ่งวงกลมเท่านั้น ดังนั้น การเคลื่อนที่ต่อเนื่องหนึ่งครั้งในระนาบเชิงซ้อนจึงเปลี่ยนรากที่สองบวกe ⁰ = 1 ให้กลาย เป็นรากที่สองลบe ^iπ = −1

ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากจุดz = 0มีรากที่สองเพียงตัวเดียว ในขณะที่จำนวนเชิงซ้อนอื่นๆz ≠ 0 ทุก ตัวมีรากที่สองสองตัวพอดี บนเส้นจำนวนจริง เราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้โดยการสร้าง "กำแพง" ที่จุดx = 0 จุดเดียว แต่ในระนาบเชิงซ้อน จำเป็นต้องมีกำแพงที่ใหญ่กว่า เพื่อป้องกันไม่ให้เส้นโค้งปิดใดๆ ล้อมรอบจุดแยกz = 0 อย่าง สมบูรณ์ โดยทั่วไปแล้วจะทำได้โดยการสร้างรอยตัดในกรณีนี้ "รอยตัด" อาจขยายจากจุดz = 0ไปตามแกนจริงบวกไปยังจุดที่อนันต์ เพื่อให้ค่าของตัวแปรzในระนาบรอยตัดถูกจำกัดอยู่ในช่วง0 ≤ arg( z ) < 2 π

ตอนนี้เราสามารถให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของw = z ^1/2 ได้แล้ว ในการทำเช่นนั้น เราต้องการระนาบz สองชุด โดยแต่ละชุดถูกตัดตามแกนจริง บนชุดหนึ่ง เรากำหนดรากที่สองของ 1 เป็นe ⁰ = 1และบนอีกชุดหนึ่ง เรากำหนดรากที่สองของ 1 เป็นe ^iπ = −1 เราเรียก ระนาบที่ตัดสมบูรณ์ทั้งสองชุดนี้ว่าแผ่น โดยใช้การพิสูจน์ความต่อเนื่อง เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน w = z ^1/2 (ซึ่งตอนนี้มีค่าเดียว) จะแมปแผ่นแรกไปยังครึ่งบนของ ระนาบ wโดยที่0 ≤ arg( w ) < πในขณะที่แมปแผ่นที่สองไปยังครึ่งล่างของ ระนาบ w (โดยที่π ≤ arg( w ) < 2 π ) ^{[ 6 ]}

เส้นตัดสาขาในตัวอย่างนี้ไม่จำเป็นต้องอยู่ตามแกนจริง ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรงด้วยซ้ำ เส้นโค้งต่อเนื่องใดๆ ที่เชื่อมจุดกำเนิดz = 0กับจุดที่อนันต์ก็ใช้ได้ ในบางกรณี เส้นตัดสาขาไม่จำเป็นต้องผ่านจุดที่อนันต์ด้วยซ้ำ ตัวอย่างเช่น พิจารณาความสัมพันธ์ต่อ ไปนี้

$${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.}$$

ในที่นี้พหุนามz² ⁻ 1มีค่าเป็นศูนย์เมื่อz = ±1ดังนั้นgจึงมีจุดแยกสองจุดอย่างเห็นได้ชัด เราสามารถ "ตัด" ระนาบตามแกนจริงจาก−1ถึง1และได้ระนาบที่g ( z )เป็นฟังก์ชันค่าเดียว หรืออีกทางหนึ่ง การตัดสามารถเริ่มจากz = 1ไปตามแกนจริงบวกผ่านจุดที่อนันต์ จากนั้นจึงลาก "ขึ้น" ไปตามแกนจริงลบไปยังจุดแยกอีกจุดหนึ่งคือz = −1

สถานการณ์นี้สามารถมองเห็นภาพได้ง่ายที่สุดโดยใช้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกที่อธิบายไว้ข้างต้นบนทรงกลม เส้นตัดเส้นหนึ่งวิ่งตามแนวยาวผ่านซีกโลกใต้ เชื่อมจุดบนเส้นศูนย์สูตร ( z = −1 ) กับอีกจุดหนึ่งบนเส้นศูนย์สูตร ( z = 1 ) และผ่านขั้วโลกใต้ (จุดกำเนิดz = 0 ) ระหว่างทาง เส้นตัดอีกแบบหนึ่งวิ่งตามแนวยาวผ่านซีกโลกเหนือและเชื่อมจุดสองจุดบนเส้นศูนย์สูตรเดียวกันโดยผ่านขั้วโลกเหนือ (นั่นคือ จุดที่อนันต์)

ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกคือฟังก์ชันเชิงซ้อนที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกและดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกที่ในโดเมนของมัน ยกเว้นที่จุดจำนวนจำกัดหรืออนันต์นับได้^{[หมายเหตุ 4 ]}จุดที่ฟังก์ชันดังกล่าวไม่สามารถนิยามได้เรียกว่าขั้วของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก บางครั้งขั้วทั้งหมดเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในกรณีนั้นนักคณิตศาสตร์อาจกล่าวว่าฟังก์ชันนั้นเป็น "โฮโลมอร์ฟิกบนระนาบตัด" ตัวอย่างเช่น:

ฟังก์ชันแกมมาซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]}$$

โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีและมีขั้วเดี่ยวที่0, −1, −2, −3, ...เนื่องจากตัวส่วนเพียงตัวเดียวในผลคูณอนันต์จะหายไปเมื่อz = 0หรือจำนวนเต็มลบ^{[หมายเหตุ 5 ]}เนื่องจากขั้วทั้งหมดของฟังก์ชันนี้อยู่บนแกนจริงลบ ตั้งแต่z = 0ไปจนถึงจุดอนันต์ ฟังก์ชันนี้จึงอาจอธิบายได้ว่าเป็น "ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบตัด ซึ่งระนาบตัดนั้นทอดยาวไปตามแกนจริงลบ ตั้งแต่ 0 (รวม) ไปจนถึงจุดอนันต์"

อีกทางเลือกหนึ่งΓ( z )อาจถูกอธิบายว่าเป็น "โฮโลมอร์ฟิกในระนาบตัดที่มี−π < arg( z ) < πและไม่รวมจุดz = 0 "

การตัดแบบนี้แตกต่างจากการตัดแบบแยกสาขาที่เราเคยพบมาเล็กน้อย เพราะการตัดแบบนี้จะไม่รวมแกนจริงลบออกจากระนาบการตัด การตัดแบบแยกสาขาจะปล่อยให้แกนจริงเชื่อมต่อกับระนาบการตัดด้านหนึ่ง(0 ≤ θ ) แต่ จะ ตัดขาดจากระนาบการตัดอีกด้านหนึ่ง( θ < 2π )

แน่นอนว่า จริงๆ แล้วไม่จำเป็นต้องตัดส่วนของเส้นตรงทั้งหมดจากz = 0ถึง−∞ ออกไปเพื่อสร้างโดเมนที่Γ( z )เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก สิ่งที่เราต้องทำจริงๆ ก็คือเจาะระนาบที่จุดจำนวนอนันต์ที่นับได้{0, −1, −2, −3, ...}แต่เส้นโค้งปิดในระนาบที่เจาะอาจล้อมรอบขั้วหนึ่งหรือมากกว่าของΓ( z )ทำให้ปริพันธ์ตามเส้นโค้งไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบทส่วนเหลือการตัดระนาบเชิงซ้อนไม่เพียงแต่ทำให้Γ( z )เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในโดเมนที่จำกัดนี้เท่านั้น แต่ยังทำให้ปริพันธ์ตามเส้นโค้งของฟังก์ชันแกมมาเหนือเส้นโค้งปิดใดๆ ที่อยู่ในระนาบที่ถูกตัดนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์โดยสมบูรณ์อีกด้วย

ฟังก์ชันเชิงซ้อนจำนวนมากถูกกำหนดโดยอนุกรมอนันต์หรือโดยเศษส่วนต่อเนื่องสิ่งสำคัญพื้นฐานในการวิเคราะห์นิพจน์ที่มีความยาวอนันต์เหล่านี้ คือ การระบุส่วนของระนาบเชิงซ้อนที่นิพจน์เหล่านั้นลู่เข้าสู่ค่าจำกัด การตัดระนาบอาจช่วยให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้

พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรมอนันต์

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.}$$

เนื่องจากz² = (−z ) ² ^{สำหรับ}ทุกจำนวนเชิงซ้อนzจึงเห็นได้ชัดว่าf ( z )เป็นฟังก์ชันคู่ของz ดังนั้นการวิเคราะห์จึงสามารถจำกัดไว้ที่ครึ่งหนึ่งของระนาบเชิงซ้อน ^ได้และเนื่องจากอนุกรมไม่นิยามเมื่อ

$${\displaystyle z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},}$$

การตัดระนาบตามแกนจินตนาการทั้งหมดและสร้างความลู่เข้าของอนุกรมนี้โดยที่ส่วนจริงของzไม่เป็นศูนย์ก่อนที่จะดำเนินการตรวจสอบf ( z )เมื่อzเป็นจำนวนจินตนาการบริสุทธิ์นั้น เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล ^{[หมายเหตุ 6 ]}

ในตัวอย่างนี้ การตัดเป็นเพียงความสะดวกเท่านั้น เพราะจุดที่ผลรวมอนันต์ไม่นิยามนั้นแยกออกจากกัน และ ระนาบที่ ถูกตัดสามารถแทนที่ด้วย ระนาบ ที่มีรูพรุน อย่างเหมาะสมได้ ในบางบริบท การตัดมีความจำเป็น ไม่ใช่แค่ความสะดวกเท่านั้น ลองพิจารณาเศษส่วนต่อเนื่องเป็นคาบอนันต์

$${\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}.}$$

สามารถแสดงได้ว่าf ( z )ลู่เข้าสู่ค่าจำกัดหากzไม่ใช่จำนวนจริงลบที่z < −1/4 กล่าว อีกนัยหนึ่ง คือบริเวณการลู่เข้าสำหรับเศษส่วนต่อเนื่องนี้คือระนาบตัด โดยที่การตัดจะวิ่งไปตามแกนจำนวนจริงลบ จาก−1/4 ไปยังจุดที่อนันต์^{[ 8 ]}

เราได้เห็นไปแล้วว่าความสัมพันธ์เป็นอย่างไร

$${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}}$$

สามารถทำให้เป็นฟังก์ชันค่าเดียวได้โดยการแบ่งโดเมนของfออกเป็นสองส่วนที่ไม่เชื่อมต่อกัน นอกจากนี้ยังสามารถ "เชื่อม" สองส่วนนั้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างพื้นผิวรีมันน์ เดียว ซึ่งf ( z ) = z¹ ^/²สามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีภาพของเป็น ระนาบ w ทั้งหมด (ยกเว้นจุดw = 0 ) นี่คือวิธีการทำงาน

ลองนึกภาพระนาบเชิงซ้อนที่ถูกตัดสองชุด โดยรอยตัดทอดยาวไปตามแกนจริงบวกจากz = 0ไปยังจุดที่อนันต์ บนแผ่นหนึ่ง กำหนดให้0 ≤ arg( z ) < 2 πดังนั้น1 ^1/2 = e ⁰ = 1ตามคำนิยาม บนแผ่นที่สอง กำหนดให้2 π ≤ arg( z ) < 4 πดังนั้น1 ^1/2 = e ^iπ = −1ตามคำนิยามเช่นกัน ตอนนี้ให้พลิกแผ่นที่สองกลับหัว เพื่อให้แกนจินตนาการชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับแกนจินตนาการบนแผ่นแรก โดยที่แกนจริงทั้งสองชี้ไปในทิศทางเดียวกัน แล้ว "ติด" แผ่นทั้งสองเข้าด้วยกัน (เพื่อให้ขอบบนแผ่นแรกที่ระบุว่า " θ = 0 " เชื่อมต่อกับขอบที่ระบุว่า " θ < 4π "บนแผ่นที่สอง และขอบบนแผ่นที่สองที่ระบุว่า " θ = 2π "เชื่อมต่อกับขอบที่ระบุว่า " θ < 2π "บนแผ่นแรก) ผลลัพธ์ที่ได้คือโดเมนพื้นผิวรีมันน์ซึ่งf ( z ) = z¹ ^/²เป็นค่าเดียวและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก (ยกเว้นเมื่อz = 0 ) ^{[ 6 ]}

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมfจึงมีค่าเดียวในโดเมนนี้ ลองนึกภาพวงจรรอบวงกลมหน่วย โดยเริ่มจากz = 1บนแผ่นแรก เมื่อ0 ≤ θ < 2πเรายังคงอยู่บนแผ่นแรก เมื่อθ = 2π เราได้ข้ามไปยังแผ่นที่สองแล้ว และจำเป็นต้องวนรอบจุดแยกz = 0 เป็นวงจรที่สอง ก่อนที่จะกลับไปยังจุดเริ่มต้น ซึ่งθ = 4π เทียบเท่ากับθ = 0เนื่องจากวิธีที่เราเชื่อมแผ่นทั้งสองเข้าด้วยกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อตัวแปรzวนรอบจุดแยกเป็นสองรอบ ภาพของzใน ระนาบ wจะวาดเป็นวงกลมเพียงวงเดียวเท่านั้น

การหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการแสดงให้เห็นว่า

$${\displaystyle f(z)=z^{1/2}\quad \Rightarrow \quad f'(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1/2}}$$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอนุพันธ์ของfมีอยู่และมีค่าจำกัดทุกที่บนพื้นผิวรีมันน์ ยกเว้นเมื่อz = 0 (นั่นคือfเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ยกเว้นเมื่อz = 0 )

พื้นผิวรีมันน์สำหรับฟังก์ชันนั้นเป็นอย่างไร

$${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2},}$$

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น แล้ว จะสร้างได้อย่างไร? อีกครั้งหนึ่ง เราเริ่มต้นด้วยระนาบz สองแผ่น แต่คราวนี้แต่ละแผ่นถูกตัดตามส่วนของเส้นตรงจริงที่ทอดยาวจากz = −1ถึงz = 1 – นี่คือจุดแยกสองจุดของg ( z )เราพลิกแผ่นหนึ่งคว่ำลง เพื่อให้แกนจินตนาการทั้งสองชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม และติดขอบที่สอดคล้องกันของแผ่นที่ตัดแล้วทั้งสองเข้าด้วยกัน เราสามารถตรวจสอบได้ว่าgเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนพื้นผิวนี้โดยการลากเส้นรอบวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่z = 1เริ่มต้นที่จุดz = 2บนแผ่นแรก เราหมุนไปครึ่งทางรอบวงกลมก่อนที่จะพบกับรอยตัดที่z = 0 รอยตัดบังคับให้เราไปยังแผ่นที่สอง ดังนั้นเมื่อzหมุนครบหนึ่งรอบรอบจุดแยกz = 1 แล้ว w จะหมุนไปเพียงครึ่งรอบเท่านั้น เครื่องหมายของwจะกลับด้าน (เนื่องจากe ^iπ = −1 ) และเส้นทางของเราจะพาเราไปยังจุดz = 2บน แผ่น ที่สองของพื้นผิว เมื่อหมุนต่อไปอีกครึ่งรอบ เราจะพบอีกด้านหนึ่งของรอยตัด ซึ่งz = 0และในที่สุดก็ถึงจุดเริ่มต้นของเรา ( z = 2บน แผ่น แรก ) หลังจากหมุนครบสองรอบรอบจุดแยก

วิธีที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดสัญลักษณ์θ = arg( z )ในตัวอย่างนี้คือการตั้งค่า− π < θ ≤ πบนแผ่นแรก และπ < θ ≤ 3 πบนแผ่นที่สอง แกนสมมติบนแผ่นทั้งสองชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม เพื่อให้ทิศทางการหมุนทวนเข็มนาฬิกายังคงอยู่เมื่อเส้นโค้งปิดเคลื่อนจากแผ่นหนึ่งไปยังอีกแผ่นหนึ่ง (จำไว้ว่าแผ่นที่สองคว่ำอยู่ ) ลองจินตนาการถึงพื้นผิวนี้ที่ฝังอยู่ในปริภูมิสามมิติ โดยที่แผ่นทั้งสองขนานกับ ระนาบ xyจากนั้นจะปรากฏรูแนวตั้งบนพื้นผิว ซึ่งเป็นจุดที่รอยตัดทั้งสองมาบรรจบกัน แล้วถ้ารอยตัดทำจากz = −1ลงไปตามแกนจริงจนถึงจุดที่อนันต์ และจากz = 1ขึ้นไปตามแกนจริงจนกระทั่งรอยตัดมาบรรจบกันเองล่ะ? อีกครั้งหนึ่ง สามารถสร้างพื้นผิวรีมันน์ได้ แต่คราวนี้ "รู" จะเป็นแนวนอนในทางทอพอโลยีพื้นผิวรีมันน์ทั้งสองแบบนี้เทียบเท่ากัน กล่าวคือ เป็นพื้นผิวสองมิติที่สามารถกำหนดทิศทางได้ และมี จีนัสเท่ากับหนึ่ง

ในทฤษฎีการควบคุมการใช้งานระนาบเชิงซ้อนอย่างหนึ่งเรียกว่าระนาบ sใช้เพื่อแสดงภาพรากของสมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบ (สมการลักษณะเฉพาะ) ในรูปแบบกราฟ โดยปกติสมการจะแสดงเป็นพหุนามในพารามิเตอร์sของการแปลงลาปลาสจึงเป็นที่มาของชื่อ ระนาบ sจุดในระนาบ s มีรูปแบบs = σ + jω โดย ใช้' j ' แทน ' i ' เพื่อแทนส่วนจินตภาพ (ตัวแปร ' i ' มักใช้แทนกระแสไฟฟ้าในบริบททางวิศวกรรม)

อีกหนึ่งการใช้งานที่เกี่ยวข้องกับระนาบเชิงซ้อนคือเกณฑ์ความเสถียรของไนควิสต์ (Nyquist stability criterion ) นี่คือหลักการทางเรขาคณิตที่ช่วยให้สามารถกำหนดความเสถียรของระบบป้อนกลับแบบวงปิดได้โดยการตรวจสอบกราฟไนควิสต์ของการตอบสนองขนาดและเฟสแบบวงเปิดเป็นฟังก์ชันของความถี่ (หรือฟังก์ชันถ่าย โอนวง ) ในระนาบเชิงซ้อน

ระนาบzเป็น ระนาบ แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเป็น เวอร์ชันของระนาบs โดยใช้ การแปลงzแทนการแปลงลาปลาส

ระนาบเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับปริภูมิกำลัง สองที่แตกต่างกันสอง ^แบบสำหรับจุดz = x + iyในระนาบเชิงซ้อนฟังก์ชันกำลัง^สองz²และค่ากำลังสองของนอร์มx² + y² ^ต่างก็เป็นรูปแบบกำลังสอง โดยฟังก์ชันกำลัง สองมักถูกละเลยเนื่องจากการใช้ฟังก์ชันกำลังสองในการกำหนดเมตริกบนระนาบเชิงซ้อน ระนาบเชิงซ้อนในบทความนี้คือวงแหวนผลหาร โดยที่อุดมคติคือพหุนามกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับหน่วยจินตนาการนอกจากนี้ยังมีอุดมคติอีกสองอย่างที่ให้วงแหวนผลหารซึ่งเป็นพีชคณิตจริงสองมิติ และด้วยเหตุนี้จึงเป็น “ระนาบเชิงซ้อน” ซึ่งก็คือพีชคณิตกำลังสองเหนือฟิลด์จำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$

• พื้นที่พิกัดเชิงซ้อน
• เรขาคณิตที่ซับซ้อน
• เส้นที่ซับซ้อน
• แผนภาพกลุ่มดาว
• ทรงกลมรีมันน์ซึ่งเป็นระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออกไป
• ระนาบเอส
• ส่วนประกอบเฟสตรงกันและเฟสตั้งฉาก
• เส้นจริง

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับระนาบเชิงซ้อน

• Jean-Robert Argand, " Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques ", 1806 ออนไลน์และวิเคราะห์บนBibNum [สำหรับเวอร์ชันภาษาอังกฤษ คลิก ' à télécharger ']