ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระบบไม่เชิงเส้น (หรือระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น ) คือระบบที่การเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุตไม่เป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงของอินพุต^{[ 1 ] [ 2 ]}ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นเป็นที่สนใจของวิศวกรนักชีววิทยา [ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ]}นักฟิสิกส์ [ ^{6 ] [ 7 ]}นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ อื่นๆ อีกมากมาย เนื่องจากระบบส่วนใหญ่มีลักษณะไม่เป็นเชิงเส้นโดยเนื้อแท้^{[ 8 ]}ระบบพลวัต^ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งอธิบายการ เปลี่ยนแปลง ของตัวแปรเมื่อเวลาผ่านไป อาจดูเหมือนอลวน คาดเดาไม่ได้ หรือขัดกับสัญชาตญาณ ซึ่งแตกต่างจาก ระบบเชิงเส้น ที่ง่าย ^กว่ามาก

โดยทั่วไป พฤติกรรมของระบบไม่เชิงเส้นจะถูกอธิบายในทางคณิตศาสตร์ด้วยระบบสมการไม่เชิงเส้นซึ่งเป็นชุดสมการ พร้อมกัน ที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า (หรือฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าในกรณีของสมการเชิงอนุพันธ์ ) ปรากฏเป็นตัวแปรของพหุนามดีกรีสูงกว่าหนึ่ง หรือในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่พหุนามดีกรีหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในระบบสมการไม่เชิงเส้น สมการที่จะต้องแก้ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรหรือฟังก์ชัน ที่ไม่ทราบค่า ที่ปรากฏอยู่ในนั้นได้ ระบบสามารถนิยามได้ว่าไม่เชิงเส้น โดยไม่คำนึงว่าจะมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ทราบค่าปรากฏอยู่ในสมการหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเป็นเชิงเส้นในแง่ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าและอนุพันธ์ของมัน แม้ว่าจะไม่เชิงเส้นในแง่ของตัวแปรอื่นๆ ที่ปรากฏอยู่ในนั้นก็ตาม

เนื่องจากสมการพลวัต ที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้นยากต่อการแก้ไข ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นจึงมักถูกประมาณด้วยสมการเชิงเส้น ( การทำให้เป็นเชิงเส้น ) วิธีนี้ใช้ได้ผลดีในระดับความแม่นยำและช่วงค่าอินพุตบางช่วง แต่ปรากฏการณ์ที่น่าสนใจบางอย่าง เช่นโซลิตอนความโกลาหล^{[ 9 ]}และภาวะเอกฐานจะถูกซ่อนไว้โดยการทำให้เป็นเชิงเส้น ส่งผลให้พฤติกรรมพลวัตบางด้านของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นอาจดูขัดกับสัญชาตญาณ คาดเดาไม่ได้ หรือแม้กระทั่งโกลาหล แม้ว่าพฤติกรรมโกลาหลดังกล่าวอาจคล้ายกับ พฤติกรรม แบบสุ่มแต่ในความเป็นจริงแล้วมันไม่ใช่แบบสุ่ม ตัวอย่างเช่น บางแง่มุมของสภาพอากาศนั้นดูเหมือนจะเป็นโกลาหล โดยที่การเปลี่ยนแปลงง่ายๆ ในส่วนหนึ่งของระบบจะทำให้เกิดผลกระทบที่ซับซ้อนไปทั่วทั้งระบบ ความไม่เป็นเชิงเส้นนี้เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้การพยากรณ์ระยะยาวที่แม่นยำเป็นไปไม่ได้ด้วยเทคโนโลยีในปัจจุบัน

นักเขียนบางคนใช้คำว่า " วิทยาศาสตร์เชิงไม่เชิงเส้น"สำหรับการศึกษาเกี่ยวกับระบบเชิงไม่เชิงเส้น อย่างไรก็ตาม นักเขียนคนอื่นๆ ก็โต้แย้งความหมายของคำนี้:

การใช้คำว่า "วิทยาศาสตร์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น" ก็เหมือนกับการกล่าวถึงวิชาสัตววิทยาโดยรวมว่าเป็นการศึกษาเกี่ยวกับสัตว์ที่ไม่ใช่ช้าง

ในทางคณิตศาสตร์แผนที่เชิงเส้น (หรือฟังก์ชันเชิงเส้น ) คือแผนที่ที่ตรงตามคุณสมบัติทั้งสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle f(x)}$

• หลักการบวกหรือหลักการซ้อนทับ :${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• ความเป็นเนื้อเดียวกัน:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

คุณสมบัติการบวกหมายถึงคุณสมบัติเอกพันธุ์สำหรับจำนวนตรรกยะα ใดๆ และสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องสำหรับจำนวนจริงα ใดๆ สำหรับจำนวนเชิงซ้อนαคุณสมบัติเอกพันธุ์ไม่ได้เป็นผลมาจากคุณสมบัติการบวก ตัวอย่างเช่นแผนที่แอนติลิเนียร์มีคุณสมบัติการบวกแต่ไม่มีคุณสมบัติเอกพันธุ์ เงื่อนไขของคุณสมบัติการบวกและคุณสมบัติเอกพันธุ์มักถูกรวมเข้าด้วยกันในหลักการซ้อนทับ $${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$$

สมการที่เขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle f(x)=C}$$

เรียกว่าเชิงเส้นถ้าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) และเรียกว่า ไม่เชิงเส้นในกรณีอื่น ๆ สมการเรียกว่าเอกพันธุ์ถ้าและเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle f(x)}$

นิยามนี้มีความเป็นทั่วไปมาก กล่าวคือสามารถเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใดๆ ที่สมเหตุสมผล (ตัวเลข เวกเตอร์ ฟังก์ชัน ฯลฯ) และฟังก์ชันนั้นสามารถเป็นการแมป ใดๆ ก็ได้ รวมถึงการอินทิเกรตหรือการหาอนุพันธ์ที่มีข้อจำกัดที่เกี่ยวข้อง (เช่นค่าขอบเขต ) หากประกอบด้วยการหาอนุพันธ์เทียบกับผลลัพธ์จะเป็น สมการ เชิง อนุพันธ์${\displaystyle f(x)=C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

ระบบสมการไม่เชิงเส้นประกอบด้วยชุดสมการในหลายตัวแปร โดยที่อย่างน้อยหนึ่งสมการในชุดนั้นไม่ใช่สม การเชิงเส้น

สำหรับสมการเดี่ยวในรูปแบบมีการออกแบบวิธีการมากมาย โปรดดูที่อัลกอริทึมการหาค่ารากในกรณีที่fเป็นพหุนามจะมีสมการพหุนามเช่น อัลกอริทึมการหาค่ารากทั่วไปใช้ได้กับราก ของ พหุนาม แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่พบรากทั้งหมด และเมื่อไม่พบรากใดรากหนึ่ง ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีราก วิธีการเฉพาะสำหรับพหุนามช่วยให้สามารถหารากทั้งหมดหรือ ราก จริงได้โปรดดูที่การแยกรากจริง${\displaystyle f(x)=0,}$${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

การแก้ระบบสมการพหุนามนั่นคือ การหาศูนย์ร่วมของชุดพหุนามหลายชุดในตัวแปรหลายตัว เป็นปัญหาที่ยากซึ่งได้มีการออกแบบอัลกอริธึมที่ซับซ้อน เช่นอัลกอริธึมฐาน Gröbner ^{[ 11 ]}

สำหรับกรณีทั่วไปของระบบสมการที่เกิดจากการกำหนดให้ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ หลายฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ วิธีหลักคือวิธีของนิวตันและรูปแบบต่างๆ ของวิธีดังกล่าว โดยทั่วไปแล้ว วิธีเหล่านี้อาจให้คำตอบได้ แต่ไม่ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับจำนวนคำตอบ

ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เชิงเส้นกำหนดเงื่อนไขต่อเนื่องของลำดับเป็นฟังก์ชันไม่เชิงเส้นของเงื่อนไขก่อนหน้า ตัวอย่างของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เชิงเส้น ได้แก่แผนที่โลจิสติกและความสัมพันธ์ที่กำหนดลำดับ Hofstadter ต่างๆ โมเดลแบบไม่เชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องที่แสดงถึงความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบไม่เชิงเส้นในวงกว้าง ได้แก่ โมเดล NARMAX (Nonlinear Autoregressive Moving Average with eXogenous inputs) และขั้นตอนการระบุและการวิเคราะห์ระบบไม่เชิงเส้น ที่เกี่ยวข้อง ^{[ 12 ]}แนวทางเหล่านี้สามารถใช้เพื่อศึกษาพฤติกรรมไม่เชิงเส้นที่ซับซ้อนในวงกว้างในโดเมนเวลา ความถี่ และเชิงพื้นที่และเวลา

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ ไม่เป็นเชิงเส้นจะถูกเรียกว่าเป็น ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น หากมันไม่ใช่ ระบบ สมการเชิงเส้น ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้นมีความหลากหลายอย่างมาก และวิธีการแก้ปัญหาหรือการวิเคราะห์ก็ขึ้นอยู่กับปัญหา ตัวอย่างของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ได้แก่สมการนาเวียร์-สโตกส์ในพลศาสตร์ของไหล และสมการลอตก้า-โวลเทอร์ราในชีววิทยา

หนึ่งในความยากลำบากที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นคือ โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถรวมคำตอบที่ทราบแล้วเข้าด้วยกันเพื่อสร้างคำตอบใหม่ได้ ตัวอย่างเช่น ในปัญหาเชิงเส้น กลุ่มของ คำตอบ ที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามารถนำมาใช้สร้างคำตอบทั่วไปได้โดยใช้หลักการซ้อนทับตัวอย่างที่ดีคือการถ่ายเทความร้อนแบบหนึ่งมิติที่มีเงื่อนไขขอบแบบ Dirichletซึ่งคำตอบสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นแบบขึ้นอยู่กับเวลาของฟังก์ชันไซน์ที่มีความถี่ต่างกัน ทำให้คำตอบมีความยืดหยุ่นมาก บ่อยครั้งที่สามารถหาคำตอบเฉพาะเจาะจงหลายคำตอบสำหรับสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ แต่การขาดหลักการซ้อนทับทำให้ไม่สามารถสร้างคำตอบใหม่ได้

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งมักหาคำตอบได้อย่างแม่นยำโดยวิธีแยกตัวแปรโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสมการอิสระ ตัวอย่างเช่น สมการไม่เชิงเส้น $${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}}$$

มีคำตอบทั่วไป (และคำตอบพิเศษที่สอดคล้องกับลิมิตของคำตอบทั่วไปเมื่อCเข้าสู่ค่าอนันต์) สมการนี้เป็นสมการไม่เชิงเส้นเพราะสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$${\displaystyle u=0,}$$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0}$$

และด้านซ้ายของสมการไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้นของและอนุพันธ์ของมัน โปรดสังเกตว่าหากแทนที่เทอม ด้วยปัญหาจะกลายเป็นเชิงเส้น ( ปัญหา การลดลงแบบเอกซ์ponential ) ${\displaystyle u}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u}$

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสองขึ้นไป (หรือโดยทั่วไปคือระบบสมการไม่เชิงเส้น) มักไม่ค่อยให้ คำตอบ ในรูปแบบปิด แม้ว่า จะพบ คำตอบโดยปริยายและคำตอบที่เกี่ยวข้องกับปริพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงพื้นฐาน ก็ตาม

วิธีการทั่วไปสำหรับการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่เป็นเชิงเส้น ได้แก่:

• การตรวจสอบ ปริมาณอนุรักษ์ใดๆโดยเฉพาะในระบบแฮมิลโทเนียน
• การตรวจสอบปริมาณการสูญเสียพลังงาน (ดูฟังก์ชัน Lyapunov ) ซึ่งคล้ายคลึงกับปริมาณการอนุรักษ์พลังงาน
• การทำให้เป็นเชิงเส้นโดยใช้การขยายอนุกรมเทย์เลอร์
• การเปลี่ยนตัวแปรให้เป็นสิ่งที่ศึกษาได้ง่ายขึ้น
• ทฤษฎีการแยกสาขา
• วิธี การรบกวน (สามารถนำไปใช้กับสมการพีชคณิตได้เช่นกัน)
• การมีอยู่ของคำตอบที่มีระยะเวลาจำกัด^{[ 13 ]}ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางสมการ

วิธีการพื้นฐานที่พบได้บ่อยที่สุดในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบ ไม่เชิงเส้น คือการเปลี่ยนตัวแปร (หรือแปลงปัญหาในรูปแบบอื่น) เพื่อให้ปัญหาที่ได้นั้นง่ายขึ้น (อาจเป็นเชิงเส้น) บางครั้ง สมการอาจถูกแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญหนึ่งสมการ หรือมากกว่านั้น ดังที่เห็นได้ในการแยกตัวแปรซึ่งมีประโยชน์เสมอไม่ว่าสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ได้นั้นจะหาคำตอบได้หรือไม่ก็ตาม

อีกหนึ่งกลยุทธ์ที่ใช้กันทั่วไป (แม้ว่าจะไม่เน้นคณิตศาสตร์มากนัก) ซึ่งมักใช้ในกลศาสตร์ของไหลและความร้อน คือการใช้การวิเคราะห์มาตราส่วน เพื่อลดทอนสมการทั่วไปที่เป็นธรรมชาติใน ปัญหาค่าขอบเขตเฉพาะบางอย่างตัวอย่างเช่น สมการนาเวียร์-สโตกส์ ที่ไม่เป็นเชิงเส้น (มาก) สามารถลดทอนให้เหลือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นหนึ่งสมการได้ในกรณีของการไหลแบบลามินาร์ชั่วคราวหนึ่งมิติในท่อทรงกลม การวิเคราะห์มาตราส่วนจะให้เงื่อนไขที่การไหลเป็นแบบลามินาร์และหนึ่งมิติ และยังให้สมการที่ลดทอนแล้วด้วย

วิธีการอื่นๆ ได้แก่ การตรวจสอบลักษณะเฉพาะและการใช้วิธีการที่กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

ปัญหาที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบคลาสสิกที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางคือพลศาสตร์ของลูกตุ้ม ที่ไม่มีแรงเสียดทาน ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงการใช้กลศาสตร์ลากรางจ์อาจแสดงให้เห็นได้^{[ 14 ]}ว่าการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มสามารถอธิบายได้ด้วยสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นแบบ ไร้มิติ$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$$

โดยที่แรงโน้มถ่วงชี้ "ลง" และเป็นมุมที่ลูกตุ้มทำกับตำแหน่งพัก ดังแสดงในรูปด้านขวา วิธีหนึ่งในการ "แก้" สมการนี้คือการใช้เป็นตัวประกอบการอินทิเกรตซึ่งในที่สุดจะให้ผลลัพธ์เป็น ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d\theta /dt}$$${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$$

ซึ่งเป็นคำตอบโดยปริยายที่เกี่ยวข้องกับอินทิกรัลเชิงวงรีคำตอบนี้โดยทั่วไปแล้วไม่มีประโยชน์มากนัก เนื่องจากลักษณะส่วนใหญ่ของคำตอบนั้นซ่อนอยู่ในอินทิกรัลที่ไม่ใช่เชิงพื้นฐาน (ไม่ใช่เชิงพื้นฐานเว้นแต่...) ${\displaystyle C_{0}=2}$

อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้คือการแปลงความไม่เป็นเชิงเส้น (ในกรณีนี้คือพจน์ฟังก์ชันไซน์) ที่จุดต่างๆ ที่สนใจให้เป็นเชิงเส้นโดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ตัวอย่างเช่น การแปลงเป็นเชิงเส้นที่จุด ซึ่งเรียกว่าการประมาณมุมเล็ก คือ ${\displaystyle \theta =0}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$$

เนื่องจากสำหรับนี่คือออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่สอดคล้องกับการแกว่งของลูกตุ้มใกล้จุดต่ำสุดของเส้นทาง การทำให้เป็นเชิงเส้นอีกแบบหนึ่งจะอยู่ที่ซึ่งสอดคล้องกับลูกตุ้มที่ชี้ขึ้นตรงๆ: ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle \theta =\pi }$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$$

เนื่องจากสำหรับวิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไซน์ไฮเปอร์โบลิกและโปรดทราบว่า ต่างจากการประมาณค่ามุมเล็ก การประมาณค่านี้ไม่เสถียร ซึ่งหมายความว่าโดยทั่วไปแล้วจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัด แม้ว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาที่มีขอบเขตได้ก็ตาม นี่สอดคล้องกับความยากลำบากในการรักษาสมดุลของลูกตุ้มให้ตั้งตรง มันเป็นสถานะที่ไม่เสถียรอย่างแท้จริง ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$${\displaystyle \theta \approx \pi }$${\displaystyle |\theta |}$

อีกหนึ่งความเป็นไปได้ในการแบ่งเชิงเส้นที่น่าสนใจก็คือ: ${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$$

นี่สอดคล้องกับปัญหาการตกอย่างอิสระ ภาพรวมเชิงคุณภาพที่มีประโยชน์มากเกี่ยวกับพลวัตของลูกตุ้มสามารถได้มาจากการนำเส้นตรงต่างๆ มาประกอบกัน ดังที่เห็นในรูปด้านขวา เทคนิคอื่นๆ อาจใช้เพื่อหาภาพแสดงเฟส (ที่แน่นอน) และคาบโดยประมาณได้

• การหยุดการสั่น – การสั่นใดๆ ที่เกิดขึ้นในระบบจะหยุดลงเนื่องจากการปฏิสัมพันธ์กับระบบอื่นหรือการป้อนกลับจากระบบเดียวกัน
• ความโกลาหล – ค่าของระบบไม่สามารถคาดการณ์ได้อย่างแม่นยำในอนาคตอันไกลโพ้น และความผันผวนก็ไม่เป็นไปตามคาบเวลา
• ภาวะเสถียรหลายสถานะ – การมีสถานะเสถียรตั้งแต่สองสถานะขึ้นไป
• โซลิตอน – คลื่นเดี่ยวที่เสริมแรงกันเอง
• วงจรจำกัด – วงโคจรคาบเชิงเส้นกำกับที่จุดคงที่ที่ไม่เสถียรถูกดึงดูดเข้าไป
• การสั่นแบบอัตโนมัติ – การสั่นแบบป้อนกลับที่เกิดขึ้นในระบบทางกายภาพแบบเปิดที่มีการสูญเสียพลังงาน

• โครงการวิจัยด้านการบัญชาการและควบคุม (CCRP)
• สถาบันระบบซับซ้อนแห่งนิวอิงแลนด์: แนวคิดเกี่ยวกับระบบซับซ้อน
• พลศาสตร์ไม่เชิงเส้น 1: ความโกลาหลในหลักสูตรออนไลน์ OpenCourseWare ของ MIT
• คลังแบบจำลองไม่เชิงเส้น (Nonlinear Model Library) เก็บถาวรเมื่อวันที่ 19 ธันวาคม 2008 ที่Wayback Machine  – (ในMATLAB ) ฐานข้อมูลของระบบทางกายภาพ
• ศูนย์การศึกษาด้านปรากฏการณ์ไม่เชิงเส้น ณ ห้องปฏิบัติการแห่งชาติลอสอะลามอส