โครงข่ายแผนที่คู่ ( CML ) เป็นระบบพลวัตที่จำลองพฤติกรรมของ ระบบ ไม่เชิงเส้น (โดยเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ) โดยส่วนใหญ่ใช้เพื่อศึกษาพลวัตความโกลาหลของระบบที่ขยายออกไปในเชิงพื้นที่ ซึ่งรวมถึงพลวัตของความโกลาหลเชิงพื้นที่และ เวลา โดยที่จำนวนองศาอิสระ ที่มีประสิทธิภาพ จะล diverges เมื่อขนาดของระบบเพิ่มขึ้น^{[ 1 ]}

คุณสมบัติของ CML คือพลวัตเวลาแบบไม่ต่อเนื่องพื้นที่พื้นฐานแบบไม่ต่อเนื่อง (แลตทิซหรือเครือข่าย) และตัวแปรสถานะ จริง (ตัวเลขหรือเวกเตอร์) เฉพาะที่ และต่อเนื่อง ^{[ 2 ]}ระบบที่ศึกษาได้แก่ประชากรปฏิกิริยาเคมีการพาความร้อนการไหลของของเหลวและเครือข่ายชีวภาพเมื่อไม่นานมานี้ CML ได้ถูกนำไปใช้กับเครือข่ายการคำนวณ^{[ 3 ]}เพื่อระบุวิธีการโจมตีที่เป็นอันตรายและความล้มเหลวแบบ ต่อเนื่อง

CML สามารถเปรียบเทียบได้กับ แบบจำลอง ออโตมาตาเซลลูลาร์ในแง่ของคุณลักษณะแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม ค่าของแต่ละไซต์ในเครือข่ายออโตมาตาเซลลูลาร์นั้นขึ้นอยู่กับเพื่อนบ้านจากขั้นตอนเวลาก่อนหน้าอย่างเคร่งครัด แต่ละไซต์ของ CML ขึ้นอยู่กับเพื่อนบ้านเฉพาะในส่วนของเงื่อนไขการเชื่อมต่อในสมการเวียนเกิดเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ความคล้ายคลึงกันสามารถเพิ่มขึ้นได้เมื่อพิจารณาระบบไดนามิกแบบหลายองค์ประกอบ

โดยทั่วไปแล้ว CML จะประกอบด้วยระบบสมการ (แบบเชื่อมโยงหรือไม่เชื่อมโยงกัน) ตัวแปรจำนวนจำกัด รูปแบบการเชื่อมโยงแบบทั่วโลกหรือแบบเฉพาะที่ และพจน์การเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้อง โครงข่ายพื้นฐานสามารถมีอยู่ในมิติอนันต์ได้ การแมปที่น่าสนใจใน CML โดยทั่วไปจะแสดงพฤติกรรมอลวน สามารถดูแผนที่ดังกล่าวได้ที่นี่: รายชื่อแผนที่อลวน

การแมปแบบโลจิสติกแสดงให้เห็นพฤติกรรมอลวน ซึ่งสามารถระบุได้ง่ายในมิติเดียวสำหรับพารามิเตอร์ r > 3.57:

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

ในรูปที่ 1 ค่าเริ่มต้นของ ถูกกำหนดให้เป็นค่าสุ่มบนโครงข่ายขนาดเล็ก โดยค่าเหล่านี้จะไม่สัมพันธ์กับจุดข้างเคียงความสัมพันธ์เวียนเกิด เดียวกัน ถูกนำมาใช้ที่แต่ละจุดบนโครงข่าย แม้ว่าค่าพารามิเตอร์ r จะเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในแต่ละช่วงเวลา ผลลัพธ์ที่ได้คือพฤติกรรมอลหม่านในรูปแบบดิบๆ บนโครงข่ายแผนที่ อย่างไรก็ตาม ไม่มีความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ ที่สำคัญ หรือแนวหน้าใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมอลหม่านนี้ และไม่มีลำดับที่ชัดเจนปรากฏให้เห็น ${\displaystyle x_{0}}$

สำหรับการเชื่อมต่อพื้นฐาน เราพิจารณาการเชื่อมต่อแบบ 'เพื่อนบ้านเดี่ยว' โดยที่ค่า ณ ตำแหน่งใด ๆจะถูกคำนวณจากแผนที่แบบวนซ้ำทั้งบนตัวมันเองและบนตำแหน่งเพื่อนบ้านพารามิเตอร์การเชื่อมต่อมีน้ำหนักเท่ากัน อีกครั้ง ค่าของจะคงที่ตลอดทั้งโครงข่าย แต่จะเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในแต่ละช่วงเวลา ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s-1}$${\displaystyle \epsilon =0.5}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}}$

แม้ว่าการเรียกซ้ำจะดูวุ่นวาย แต่รูปแบบที่มั่นคงกว่าก็ค่อยๆ พัฒนาขึ้นในวิวัฒนาการ ช่องว่างการพาความร้อนที่ยาวเหยียดคงอยู่ทั่วทั้งโครงข่าย (ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 1: โครงข่ายแผนที่โลจิสติกส์แบบไม่เชื่อมโยงกันโดยใช้การกำหนดค่าเริ่มต้นแบบสุ่มในการวนซ้ำสี่สิบครั้ง	รูปที่ 2: CML ที่มีรูปแบบการเชื่อมต่อแบบเพื่อนบ้านเดี่ยวซึ่งดำเนินการซ้ำ 40 ครั้ง

CML ได้รับการแนะนำครั้งแรกในช่วงกลางทศวรรษ 1980 ผ่านชุดสิ่งพิมพ์ที่เผยแพร่อย่างใกล้ชิด^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Kapral ใช้ CML สำหรับการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ทางเคมีเชิงพื้นที่ Kuznetsov พยายามนำ CML ไปใช้กับวงจรไฟฟ้าโดยการพัฒนา แนวทาง กลุ่มการปรับมาตรฐาน (คล้ายกับความเป็นสากล ของ Feigenbaum สำหรับระบบที่ขยายออกไปในเชิงพื้นที่) Kaneko มีจุดสนใจที่กว้างกว่า และเขายังคงเป็นที่รู้จักในฐานะนักวิจัยที่กระตือรือร้นที่สุดในด้านนี้^{[ 9 ]}แบบจำลอง CML ที่ได้รับการตรวจสอบมากที่สุดได้รับการแนะนำโดย Kaneko ในปี 1983 โดยสมการเวียนเกิดมีดังนี้:

${\displaystyle u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]}$

ที่ไหนและเป็นการทำแผนที่จริง ${\displaystyle u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,}$${\displaystyle f}$

กลยุทธ์ CML ที่ใช้มีดังนี้:

• เลือกชุดตัวแปรสนามบนโครงข่ายในระดับมหภาค มิติ (ไม่จำกัดโดยระบบ CML) ควรเลือกให้สอดคล้องกับพื้นที่ทางกายภาพที่กำลังศึกษาอยู่
• แยกกระบวนการ (ซึ่งเป็นพื้นฐานของปรากฏการณ์) ออกเป็นส่วนประกอบอิสระต่างๆ
• แทนที่ส่วนประกอบแต่ละส่วนด้วยการแปลงแบบไม่เชิงเส้นของตัวแปรสนามบนจุดแลตติสแต่ละจุด และพจน์การเชื่อมต่อบนจุดข้างเคียงที่เหมาะสมซึ่งได้รับการเลือกไว้
• ดำเนินการตามขั้นตอนของแต่ละหน่วยอย่างต่อเนื่อง

ระบบ CML พัฒนาไปตามช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่องโดยผ่านการแมปบนลำดับเวกเตอร์ การแมปเหล่านี้เป็นฟังก์ชันเวียนเกิดของสองเทอมที่แข่งขันกัน ได้แก่ ปฏิกิริยา ที่ไม่เป็นเชิงเส้น เฉพาะตัว และปฏิสัมพันธ์เชิงพื้นที่ (การเชื่อมโยง) ที่มีความเข้มข้นแปรผันได้ CML สามารถจำแนกได้ตามความแรงของพารามิเตอร์การเชื่อมโยงนี้

งานวิจัยที่ตีพิมพ์ในปัจจุบันส่วนใหญ่ใน CMLs นั้นมีพื้นฐานมาจากระบบที่เชื่อมต่อกันอย่างอ่อน^{[ 2 ]}ซึ่งมีการศึกษาการแปลงแบบดิฟเฟอเรน เชียล ของพื้นที่สถานะ ที่ใกล้เคียงกับเอกลักษณ์ การเชื่อมต่ออย่างอ่อนที่มีระบอบไดนามิก แบบโมโนโทนิก ( แบบสองเสถียร ) แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์ความโกลาหลเชิงพื้นที่และเป็นที่นิยมในแบบจำลองประสาท^{[ 10 ]}แผนที่แบบเอกโมดอลที่เชื่อมต่อกันอย่างอ่อนนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยจุดคาบ ที่เสถียร และถูกใช้โดย แบบจำลอง เครือข่ายควบคุมยีนปรากฏการณ์ความโกลาหลของกาลอวกาศสามารถแสดงให้เห็นได้จากแผนที่ความโกลาหลภายใต้สัมประสิทธิ์การเชื่อมต่ออย่างอ่อนและเป็นที่นิยมในแบบจำลองปรากฏการณ์ การเปลี่ยนเฟส

ปฏิสัมพันธ์แบบคู่ควบระดับกลางและระดับสูงเป็นหัวข้อการศึกษาที่ไม่ค่อยได้รับความสนใจมากนัก ปฏิสัมพันธ์ระดับกลางมักศึกษาในแง่ของแนวหน้าและคลื่นเคลื่อนที่ แอ่งที่มีรูพรุน การแตกแขนงที่มีรูพรุน กลุ่ม และเฟสที่ไม่ซ้ำกัน ส่วนปฏิสัมพันธ์แบบคู่ควบระดับสูงนั้นเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดในการจำลองผลกระทบของการซิงโครไนซ์ของระบบเชิงพื้นที่แบบไดนามิก เช่นแบบจำลองคุราโมโตะ

การจำแนกประเภทเหล่านี้ไม่ได้สะท้อนถึงลักษณะการเชื่อมโยงในระดับท้องถิ่นหรือระดับโลก (GMLs ^{[ 11 ]} ) ของปฏิสัมพันธ์ นอกจากนี้ยังไม่ได้พิจารณาถึงความถี่ของการเชื่อมโยงซึ่งสามารถมีอยู่เป็นระดับความเป็นอิสระในระบบ^{[ 12 ]}สุดท้ายแล้ว พวกมันไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่างขนาดของพื้นที่พื้นฐานหรือเงื่อนไขขอบเขต

ที่น่าประหลาดใจคือพลวัตของ CML แทบไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับแผนที่ท้องถิ่นที่ประกอบเป็นส่วนประกอบพื้นฐานของมัน ในแต่ละแบบจำลองจำเป็นต้องมีการตรวจสอบทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวดเพื่อระบุสถานะโกลาหล (นอกเหนือจากการตีความด้วยสายตา) มีการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในเรื่องนี้ ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของโกลาหลของกาลอวกาศในการปฏิสัมพันธ์ของพื้นที่ที่อ่อนแอของแผนที่หนึ่งมิติที่มีคุณสมบัติทางสถิติที่แข็งแกร่งได้รับการพิสูจน์โดย Bunimovich และ Sinai ในปี 1988 ^{[ 13 ]}มีการพิสูจน์ที่คล้ายกันสำหรับแผนที่ไฮเปอร์โบลิกที่เชื่อมต่อกันอย่างอ่อนภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

สำหรับกรณีที่แผนที่พื้นฐานอิงตามแผนที่เบอร์นูลลี ทั่วไป สามารถแสดงได้ว่าสเปกตรัม Lyapunov ที่สมบูรณ์สำหรับ CML สามารถประเมินได้ทางวิเคราะห์ในช่วงของกรณีต่างๆ^{[ 14 ]}

CML ได้เปิดเผยกลุ่มความเป็นสากลเชิงคุณภาพแบบใหม่ในปรากฏการณ์วิทยา (CML) กลุ่มดังกล่าวได้แก่:

• การแยกสาขาเชิงพื้นที่และความโกลาหลที่หยุดนิ่ง
• การเลือกรูปแบบ
• การเลือกใช้รูปแบบซิกแซกและการแพร่กระจายอย่างไม่เป็นระเบียบของข้อบกพร่อง
• ความไม่สม่ำเสมอเชิงพื้นที่และเวลา
• ความปั่นป่วนของโซลิตอน
• คลื่นเดินทางทั่วโลกที่เกิดจากการเลื่อนเฟสในระดับท้องถิ่น
• การแยกสาขาเชิงพื้นที่เพื่อการไหลลงในระบบการไหลแบบเปิด

กลุ่มคุณภาพเฉพาะที่ระบุไว้ข้างต้นสามารถมองเห็นได้ด้วยภาพ โดยการประยุกต์ใช้แบบจำลอง Kaneko ปี 1983 กับแผนที่โลจิสติกส์ จะสามารถสังเกตเห็นกลุ่มคุณภาพ CML หลายกลุ่มได้ ดังแสดงด้านล่าง โปรดสังเกตพารามิเตอร์เฉพาะ: ${\displaystyle {f(x_{n})}=1-ax^{2}}$

ความวุ่นวายเยือกแข็ง	การเลือกรูปแบบ	การเคลื่อนที่แบบบราวน์อันอลหวาดของข้อบกพร่อง
รูปที่ 1: พื้นที่ต่างๆ ถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มที่ไม่สม่ำเสมอ โดยรูปแบบที่แบ่งออกนั้นถือเป็นตัวดึงดูด ความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นมีอยู่เมื่อa < 1.5	รูปที่ 2: กลุ่มที่มีขนาดใกล้เคียงกัน ( a = 1.71, ε = 0.4)	รูปที่ 3: มีข้อบกพร่องเกิดขึ้นในระบบและผันผวนอย่างอลหม่านคล้ายกับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ( a = 1.85, ε = 0.1)
ความปั่นป่วนของข้อบกพร่อง	ความไม่สม่ำเสมอเชิงพื้นที่และเวลา I	ความไม่สม่ำเสมอเชิงพื้นที่และเวลา II
รูปที่ 4: ข้อบกพร่องจำนวนมากเกิดขึ้นและชนกันอย่างปั่นป่วน ( a = 1.895, ε = 0.1)	รูปที่ 5: แต่ละไซต์เปลี่ยนสถานะระหว่างสถานะที่สอดคล้องกันและสถานะที่วุ่นวายสลับกันไป ( a = 1.75, ε = 0.6) ระยะที่ 1	รูปที่ 6: สถานะโคherent เฟสที่ 2
ความโกลาหลเชิงพื้นที่และเวลาที่พัฒนาเต็มที่	คลื่นเดินทาง
รูปที่ 7: ไซต์ส่วนใหญ่แกว่งตัวอย่างอิสระอย่างอลหม่าน ( a = 2.00, ε = 0.3)	รูปที่ 8: คลื่นของกลุ่มกระจุกดาวเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 'ต่ำ' ( a = 1.47, ε = 0.5)

โครงข่ายแผนที่แบบคู่ซึ่งเป็นต้นแบบของระบบที่ขยายออกไปในเชิงพื้นที่และจำลองได้ง่าย ได้กลายเป็นเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการกำหนดและการนำเสนอตัวบ่งชี้ความโกลาหลเชิงพื้นที่และเวลาหลายประการ โดยตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องมากที่สุด ได้แก่

• สเปกตรัมพลังงานในอวกาศและเวลา
• สเปกตรัม Lyapunov ^{[ 15 ]}
• ความหนาแน่นมิติ
• ความหนาแน่นของเอนโทรปี Kolmogorov–Sinai
• การกระจายของรูปแบบ
• เอนโทรปีของรูปแบบ
• ความเร็วในการแพร่กระจายของสัญญาณรบกวนที่มีขนาดจำกัดและขนาดเล็กมาก
• ข้อมูลร่วมและความสัมพันธ์ในมิติเวลาและอวกาศ
• เลขชี้กำลัง Lyapunov , การหาตำแหน่งของเวกเตอร์ Lyapunov
• ค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunov ของการเคลื่อนที่ร่วมและเวลาในปริภูมิย่อย
• ค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunov เชิงพื้นที่และเวลา^{[ 16 ]}

• แบบจำลองโครงตาข่าย (ฟิสิกส์)
• ออโตมาตาเซลลูลาร์
• ค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov
• ออโตมาตาเซลลูลาร์แบบสุ่ม
• แผนที่รุลคอฟ
• แผนที่ Chialvo

• "ห้องปฏิบัติการคาเนโกะ "
• พลวัตของโครงข่ายแผนที่แบบคู่ . ปารีส: สถาบันอองรี ปวงกาเร. 21 มิถุนายน – 2 กรกฎาคม 2547. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 26 พฤศจิกายน 2549.
• “สถาบันระบบที่ซับซ้อน” . การติดตั้งระบบ .ฟลอเรนซ์ประเทศอิตาลี
• "โครงข่ายแผนที่แบบเชื่อมโยงและแผนที่แบบเชื่อมโยงทั่วโลก "
• "เครื่องมือจำลองและวิเคราะห์ระบบพลวัต" AnT 4.669เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 18 กรกฎาคม 2554